Matematikens filosofi

Matematik
Områden
Förhållande till vetenskaper
Portal

Matematikens filosofi är den gren av filosofin som studerar matematikens antaganden, grunder och implikationer . Det syftar till att förstå matematikens natur och metoder och ta reda på matematikens plats i människors liv. Matematikens logiska och strukturella natur gör denna gren av filosofin bred och unik.

Matematikens filosofi har två huvudteman: matematisk realism och matematisk antirealism.

Historia

Pythagoras anses vara matematikens och geometrins fader då han satte grunden för Euklid och Euklidisk geometri . Pythagoras var grundaren av Pythagoreanism : en matematisk och filosofisk modell för att kartlägga universum.

Matematikens ursprung är argument och meningsskiljaktigheter. Huruvida födelsen av matematik var av en slump eller inducerad av nödvändighet under utvecklingen av liknande ämnen, såsom fysik, är fortfarande ett område för diskussion.

Många tänkare har bidragit med sina idéer om matematikens natur. Idag, några [ vem? ] matematikfilosofer syftar till att redogöra för denna form av undersökning och dess produkter som de ser ut, medan andra betonar en roll för sig själva som går utöver enkel tolkning till kritisk analys. Det finns traditioner för matematisk filosofi i både västerländsk filosofi och österländsk filosofi . Västerländska matematikfilosofier går så långt tillbaka som Pythagoras , som beskrev teorin "allt är matematik" ( matematik ), Platon , som parafraserade Pythagoras och studerade matematiska objekts ontologiska status , och Aristoteles , som studerade logik och frågor relaterade till oändligheten . (faktisk kontra potential).

Grekisk filosofi om matematik var starkt influerad av deras studier av geometri . Till exempel, vid en tidpunkt, ansåg grekerna att 1 (ett) inte var ett tal , utan snarare en enhet av godtycklig längd. Ett nummer definierades som en mångfald. Därför representerade t.ex. 3 en viss mängd enheter, och var alltså "verkligen" ett tal. Vid ett annat tillfälle framfördes ett liknande argument att 2 inte var ett tal utan en grundläggande föreställning om ett par. Dessa synpunkter kommer från grekernas starkt geometriska raka kant-och-kompasssynpunkt: precis som linjer som ritas i ett geometriskt problem mäts i proportion till den första godtyckligt ritade linjen, så mäts även siffrorna på en tallinje i proportion. till det godtyckliga första "numret" eller "ett". [ citat behövs ]

Dessa tidigare grekiska idéer om siffror ändrades senare av upptäckten av irrationaliteten i kvadratroten ur två. Hippasus , en lärjunge till Pythagoras , visade att diagonalen för en enhetskvadrat var omöjlig att jämföra med dess (enhetslängd) kant: han bevisade med andra ord att det inte fanns något existerande (rationellt) tal som exakt visar proportionen av enhetens diagonal kvadrat till dess kant. Detta orsakade en betydande omvärdering av grekisk filosofi om matematik. Enligt legenden var andra pythagoraner så traumatiserade av denna upptäckt att de mördade Hippasus för att hindra honom från att sprida sin kätterska idé. talet Simon Stevin var en av de första i Europa som utmanade grekiska idéer på 1500- . Från och med Leibniz skiftade fokus starkt till förhållandet mellan matematik och logik. Detta perspektiv dominerade matematikens filosofi genom Freges och Russells tid, men ifrågasattes av utvecklingen i slutet av 1800-talet och början av 1900-talet.

Samtida filosofi

En ständig fråga i matematikens filosofi handlar om förhållandet mellan logik och matematik vid deras gemensamma grund. Medan 1900-talsfilosofer fortsatte att ställa frågorna som nämndes i början av denna artikel, kännetecknades matematikens filosofi under 1900-talet av ett övervägande intresse för formell logik , mängdteori (både naiv mängdlära och axiomatisk mängdlära ) och grundläggande frågor.

Det är ett djupt pussel att matematiska sanningar å ena sidan verkar ha en övertygande oundviklighet, men å andra sidan förblir källan till deras "sanningsfullhet" svårfångad. Undersökningar av denna fråga är kända som grunderna för matematikprogrammet .

Redan i början av 1900-talet började matematikfilosofer dela upp sig i olika skolor om alla dessa frågor, brett utmärkande av sina bilder av matematisk epistemologi och ontologi . Tre skolor, formalism , intuitionism och logicism , växte fram vid denna tid, delvis som svar på den alltmer utbredda oro över att matematik som den såg ut, och analys i synnerhet, inte levde upp till de standarder för säkerhet och rigoritet som hade tagits för beviljas. Varje skola tog upp de frågor som aktualiserades vid den tiden, antingen försökte lösa dem eller hävdade att matematik inte har rätt till dess status som vår mest betrodda kunskap.

Överraskande och kontraintuitiva utvecklingar inom formell logik och mängdteori tidigt på 1900-talet ledde till nya frågor om vad som traditionellt kallades matematikens grunder . Allteftersom århundradet utvecklades, expanderade det initiala orosmomentet till ett öppet utforskande av matematikens grundläggande axiom, där det axiomatiska tillvägagångssättet har tagits för givet sedan Euklids tid omkring 300 f.Kr. som den naturliga grunden för matematik. Föreställningar om axiom , proposition och bevis , såväl som föreställningen om att en proposition är sann för ett matematiskt objekt (se Uppgift ), formaliserades, vilket gjorde att de kunde behandlas matematiskt. Zermelo –Fraenkels axiom för mängdteori formulerades som gav en begreppsram där mycket matematisk diskurs skulle tolkas. Inom matematiken, liksom i fysiken, hade nya och oväntade idéer uppstått och betydande förändringar var på väg. Med Gödel-numrering kan påståenden tolkas som att de syftar på sig själva eller andra påståenden, vilket möjliggör undersökning av matematiska teoriers överensstämmelse . Denna reflekterande kritik där teorin under granskning "blir själv föremål för en matematisk studie" fick Hilbert att kalla en sådan studie metamatematik eller bevisteori .

I mitten av seklet skapades en ny matematisk teori av Samuel Eilenberg och Saunders Mac Lane , känd som kategoriteori , och den blev en ny utmanare för det naturliga språket i matematiskt tänkande. Allt eftersom 1900-talet fortskred gick emellertid de filosofiska åsikterna isär om hur välgrundade de frågor om stiftelser som väcktes i början av seklet var. Hilary Putnam sammanfattade en vanlig syn på situationen under seklets sista tredjedel genom att säga:

När filosofin upptäcker att något är fel med vetenskapen måste vetenskapen ibland ändras - Russells paradox kommer att tänka på, liksom Berkeleys attack mot det faktiska oändliga - men oftare är det filosofin som måste ändras. Jag tror inte att de svårigheter som filosofin finner med klassisk matematik idag är genuina svårigheter; och jag tror att de filosofiska tolkningarna av matematik som vi erbjuds på alla sidor är felaktiga, och att "filosofisk tolkning" är precis vad matematiken inte behöver.

Matematikens filosofi fortsätter idag på flera olika sätt av undersökningar, av matematikfilosofer, logiker och matematiker, och det finns många skolor i ämnet. Skolorna behandlas separat i nästa avsnitt och deras antaganden förklaras.

Stora teman

Matematisk realism

Matematisk realism , liksom realism i allmänhet, hävdar att matematiska enheter existerar oberoende av det mänskliga sinnet . Människor uppfinner alltså inte matematik, utan upptäcker den snarare, och alla andra intelligenta varelser i universum skulle förmodligen göra detsamma. I denna synvinkel finns det verkligen en sorts matematik som kan upptäckas; trianglar , till exempel, är verkliga enheter, inte skapelser av det mänskliga sinnet.

Många arbetande matematiker har varit matematiska realister; de ser sig själva som upptäckare av naturligt förekommande föremål. Som exempel kan nämnas Paul Erdős och Kurt Gödel . Gödel trodde på en objektiv matematisk verklighet som kunde uppfattas på ett sätt analogt med sinnesuppfattning. Vissa principer (t.ex. för vilka två objekt som helst, det finns en samling objekt som består av just dessa två objekt) skulle direkt kunna ses vara sanna, men kontinuumhypotesen kan visa sig oavgörlig bara på basis av sådana principer. Gödel föreslog att kvasi-empirisk metodologi skulle kunna användas för att tillhandahålla tillräckliga bevis för att rimligen kunna anta en sådan gissning.

Inom realismen finns det distinktioner beroende på vilken typ av existens man tar matematiska enheter att ha, och hur vi vet om dem. Viktiga former av matematisk realism inkluderar platonism och aristotelianism .

Matematisk antirealism

Se även: Post rem strukturalism

Matematisk antirealism hävdar generellt att matematiska påståenden har sanningsvärden, men att de inte gör det genom att motsvara ett speciellt område av immateriella eller icke-empiriska enheter. Viktiga former av matematisk anti-realism inkluderar formalism och fiktionalism .

Samtida tankeskolor

Konstnärlig

Synen som hävdar att matematik är den estetiska kombinationen av antaganden, och sedan också hävdar att matematik är en konst . En berömd matematiker som hävdar att det är britten GH Hardy . För Hardy, i sin bok, A Mathematician's Apology , var definitionen av matematik mer som den estetiska kombinationen av begrepp.

Platonism

Huvudartikel: Platonism
Se även: Modern platonism

Matematisk platonism är den form av realism som antyder att matematiska enheter är abstrakta, inte har några rumsliga eller kausala egenskaper och är eviga och oföränderliga. Detta påstås ofta vara den syn som de flesta har på siffror. Termen platonism används eftersom en sådan uppfattning ses vara parallell med Platons formteori och en "värld av idéer" (grekiska: eidos (εἶδος)) som beskrivs i Platons allegori om grottan : den vardagliga världen kan bara ofullständigt approximera en oföränderlig, yttersta verklighet. Både Platons grotta och platonismen har meningsfulla, inte bara ytliga kopplingar, eftersom Platons idéer föregicks och förmodligen påverkades av de enormt populära pytagoreerna i det antika Grekland, som trodde att världen, bokstavligen, skapades av siffror .

En viktig fråga i den matematiska platonismen är: Exakt var och hur existerar de matematiska enheterna, och hur vet vi om dem? Finns det en värld, helt skild från vår fysiska, som är upptagen av de matematiska enheterna? Hur kan vi få tillgång till denna separata värld och upptäcka sanningar om varelserna? Ett föreslaget svar är Ultimate Ensemble , en teori som postulerar att alla strukturer som existerar matematiskt också existerar fysiskt i deras eget universum.

Kurt Gödel

Kurt Gödels platonism postulerar en speciell typ av matematisk intuition som låter oss uppfatta matematiska objekt direkt. (Denna uppfattning liknar många saker Husserl sa om matematik och stöder Kants idé att matematik är syntetisk a priori .) Davis och Hersh har i sin bok The Mathematical Experience från 1999 föreslagit att de flesta matematiker agerar som om de vore platonister, till och med men om de tvingas att försvara positionen noggrant, kan de dra sig tillbaka till formalism .

Fullblodsplatonism är en modern variant av platonism, som är en reaktion på det faktum att olika uppsättningar av matematiska enheter kan bevisas existera beroende på de axiom och slutledningsregler som används (till exempel lagen om den uteslutna mitten och valets axiom ). Det gäller att alla matematiska enheter existerar. De kan vara bevisbara, även om de inte alla kan härledas från en enda konsekvent uppsättning axiom.

Mängdteoretisk realism (även set-teoretisk platonism ) en ståndpunkt som försvaras av Penelope Maddy , är uppfattningen att mängdteorin handlar om ett enda universum av mängder. Denna position (som också är känd som naturaliserad platonism eftersom den är en naturaliserad version av matematisk platonism) har kritiserats av Mark Balaguer på grundval av Paul Benacerrafs epistemologiska problem . En liknande åsikt, kallad platoniserad naturalism , försvarades senare av Stanford-Edmonton School : enligt denna åsikt överensstämmer en mer traditionell sorts platonism med naturalism ; den mer traditionella typen av platonism de försvarar kännetecknas av allmänna principer som hävdar att det finns abstrakta objekt .

Matematik

Huvudartikel: Matematik

Max Tegmarks matematiska universumhypotes (eller matematik ) går längre än platonismen genom att hävda att inte bara alla matematiska objekt existerar, utan inget annat gör det. Tegmarks enda postulat är: Alla strukturer som existerar matematiskt existerar också fysiskt . Det vill säga i den meningen att "i dessa [världar] tillräckligt komplexa för att innehålla självmedvetna substrukturer [kommer de] subjektivt att uppfatta sig själva som existerande i en fysiskt "verklig" värld".

Logicism

Huvudartikel: Logicism

Logicism är tesen att matematik kan reduceras till logik, och därmed inget annat än en del av logiken. Logiker menar att matematik kan vara känd a priori , men antyder att vår kunskap om matematik bara är en del av vår kunskap om logik i allmänhet, och är således analytisk och inte kräver någon speciell förmåga till matematisk intuition. Enligt detta synsätt logik den riktiga grunden för matematik, och alla matematiska påståenden är nödvändiga logiska sanningar .

Rudolf Carnap (1931) presenterar logikeruppsatsen i två delar:

  1. begrepp kan härledas från logiska begrepp genom explicita definitioner .
  2. satser kan härledas från logiska axiom genom rent logisk deduktion .

Gottlob Frege var grundaren av logicismen. I sin framstående Die Grundgesetze der Arithmetik ( Aritmetikens grundlagar ) byggde han upp aritmetiken från ett logiksystem med en allmän förståelseprincip, som han kallade "grundlag V" (för begreppen F och G är förlängningen av F lika med förlängning av G om och endast om för alla objekt a , Fa är lika med Ga ), en princip som han ansåg vara acceptabel som en del av logiken.

Bertrand Russell

Freges konstruktion var bristfällig. Bertrand Russell upptäckte att Basic Law V är inkonsekvent (detta är Russells paradox) . Frege övergav sitt logikerprogram strax efter detta, men det fortsattes av Russell och Whitehead . De tillskrev paradoxen till "ond cirkularitet" och byggde upp vad de kallade förgrenad typteori för att hantera den. I detta system kunde de så småningom bygga upp mycket av modern matematik men i en förändrad och alltför komplex form (till exempel fanns det olika naturliga tal i varje typ, och det fanns oändligt många typer). De var också tvungna att göra flera kompromisser för att utveckla mycket av matematiken, såsom " reducerbarhetens axiom" . Till och med Russell sa att detta axiom egentligen inte hörde till logiken.

Moderna logiker (som Bob Hale , Crispin Wright och kanske andra) har återvänt till ett program närmare Freges. De har övergett Basic Law V till förmån för abstraktionsprinciper som Humes princip (antalet objekt som faller under begreppet F är lika med antalet objekt som faller under begreppet G om och endast om förlängningen av F och förlängningen av G kan vara skickas till en-till-en-korrespondens ). Frege krävde Grundlag V för att kunna ge en explicit definition av talen, men alla egenskaper hos siffror kan härledas från Humes princip. Detta skulle inte ha räckt för Frege eftersom det (för att parafrasera honom) inte utesluter möjligheten att siffran 3 faktiskt är Julius Caesar. Dessutom verkar många av de försvagade principer som de har varit tvungna att anta för att ersätta grundlag V inte längre så självklart analytiska, och därmed rent logiska.

Formalism

Huvudartikel: Formalism (matematikens filosofi)

Formalismen hävdar att matematiska påståenden kan ses som påståenden om konsekvenserna av vissa regler för strängmanipulation. Till exempel, i "spelet" av euklidisk geometri (som ses som bestående av några strängar som kallas "axiom" och några "inferensregler" för att generera nya strängar från givna), kan man bevisa att Pythagoras sats håller ( det vill säga man kan generera strängen som motsvarar Pythagoras sats). Enligt formalismen handlar matematiska sanningar inte om tal och mängder och trianglar och liknande – i själva verket handlar de inte "om" någonting alls.

En annan version av formalism är ofta känd som deduktivism . Inom deduktivismen är Pythagoras sats inte en absolut sanning, utan en relativ sådan: om man tilldelar strängarna mening på ett sådant sätt att spelets regler blir sanna (dvs sanna påståenden hänförs till axiomen och reglerna för slutsatser är sanningsbevarande), då måste man acceptera satsen, eller snarare, tolkningen man har gett det måste vara ett sant uttalande. Detsamma anses vara sant för alla andra matematiska påståenden. Formalism behöver alltså inte betyda att matematik inte är något annat än ett meningslöst symbolspel. Man brukar hoppas att det finns någon tolkning där spelreglerna håller. (Jämför denna position med strukturalism .) Men det tillåter den arbetande matematikern att fortsätta i sitt arbete och överlåta sådana problem till filosofen eller vetenskapsmannen. Många formalister skulle säga att i praktiken kommer de axiomsystem som ska studeras att föreslås av kraven från vetenskap eller andra områden av matematik.

David Hilbert

En stor tidig förespråkare av formalism var David Hilbert , vars program var tänkt att vara en fullständig och konsekvent axiomatisering av all matematik. Hilbert syftade till att visa konsekvensen av matematiska system från antagandet att den "finitära aritmetiken" (ett delsystem av den vanliga aritmetiken av de positiva heltal , valt att vara filosofiskt okontroversiell) var konsekvent. Hilberts mål att skapa ett system av matematik som är både komplett och konsekvent undergrävdes allvarligt av den andra av Gödels ofullständighetsteorem, som säger att tillräckligt uttrycksfulla konsistenta axiomsystem aldrig kan bevisa sin egen konsistens. Eftersom varje sådant axiomsystem skulle innehålla den finitära aritmetiken som ett delsystem, antydde Gödels sats att det skulle vara omöjligt att bevisa systemets konsistens i förhållande till det (eftersom det då skulle bevisa sin egen konsistens, vilket Gödel hade visat var omöjligt). För att visa att alla axiomatiska system i matematik faktiskt är konsekventa, måste man först anta konsistensen av ett matematiskt system som på sätt och vis är starkare än systemet för att bevisas vara konsistent.

Hilbert var från början en deduktivist, men, som kan framgå från ovan, ansåg han vissa metamatematiska metoder för att ge inneboende meningsfulla resultat och var en realist med avseende på den finitära aritmetiken. Senare ansåg han att det inte fanns någon annan meningsfull matematik överhuvudtaget, oavsett tolkning.

Andra formalister, som Rudolf Carnap , Alfred Tarski och Haskell Curry , ansåg att matematik var undersökningen av formella axiomsystem . Matematiska logiker studerar formella system men är lika ofta realister som formalister.

Formalister är relativt toleranta och inbjudande till nya metoder för logik, icke-standardiserade talsystem, nya mängdteorier etc. Ju fler spel vi studerar, desto bättre. Men i alla dessa tre exempel hämtas motivationen från existerande matematiska eller filosofiska frågor. "Leken" är vanligtvis inte godtyckliga.

Den huvudsakliga kritiken mot formalism är att de faktiska matematiska idéerna som upptar matematiker är långt borta från de ovan nämnda strängmanipulationsspelen. Formalismen är alltså tyst i frågan om vilka axiomsystem som bör studeras, eftersom inget är mer meningsfullt än ett annat ur en formalistisk synvinkel.

Nyligen några [ vem? ] formalistiska matematiker har föreslagit att all vår formella matematiska kunskap systematiskt ska kodas i datorläsbara format, för att underlätta automatiserad korrekturkontroll av matematiska bevis och användningen av interaktiva teorembevisande i utvecklingen av matematiska teorier och datorprogram. På grund av deras nära koppling till datavetenskap , förespråkas denna idé också av matematiska intuitionister och konstruktivister i "beräknebarhet"-traditionen – se QED-projektet för en allmän översikt.

Konventionalism

Huvudartiklar: Konventionalism och preintuitionism

Den franske matematikern Henri Poincaré var bland de första som uttryckte en konventionell uppfattning. Poincarés användning av icke-euklidiska geometrier i sitt arbete med differentialekvationer övertygade honom om att euklidisk geometri inte bör betraktas som en a priori sanning. Han ansåg att axiom i geometri borde väljas för de resultat de producerar, inte för deras uppenbara överensstämmelse med mänskliga intuitioner om den fysiska världen.

Intuitionism

Huvudartikel: Matematisk intuitionism

Inom matematiken är intuitionism ett program för metodologisk reform vars motto är att "det finns inga icke erfarna matematiska sanningar" ( LEJ Brouwer ). Från denna språngbräda försöker intuitionister rekonstruera vad de anser vara den korrigerbara delen av matematiken i enlighet med kantianska begrepp om vara, tillblivelse, intuition och kunskap. Brouwer, rörelsens grundare, ansåg att matematiska objekt uppstår från a priori -formerna av de viljor som informerar perceptionen av empiriska objekt.

En stor kraft bakom intuitionismen var LEJ Brouwer , som förkastade användbarheten av formaliserad logik av något slag för matematik. Hans elev Arend Heyting postulerade en intuitionistisk logik som skiljer sig från den klassiska aristoteliska logiken ; denna logik innehåller inte lagen om den uteslutna mitten och rynkar därför på näsan mot bevis genom motsägelse . Axiomet för val avvisas också i de flesta intuitionistiska mängdteorier, även om det i vissa versioner accepteras.

Inom intuitionismen är termen "uttrycklig konstruktion" inte rent definierad, och det har lett till kritik. Försök har gjorts att använda begreppen Turing-maskin eller beräkningsbar funktion för att fylla denna lucka, vilket leder till påståendet att endast frågor om beteendet hos ändliga algoritmer är meningsfulla och bör undersökas i matematik. Detta har lett till studiet av de beräkningsbara siffrorna , som först introducerades av Alan Turing . Inte överraskande, då är detta förhållningssätt till matematik ibland förknippat med teoretisk datavetenskap .

Konstruktivism

Huvudartikel: Konstruktivism (matematikens filosofi)

Liksom intuitionism innefattar konstruktivism den reglerande principen att endast matematiska enheter som kan konstrueras explicit i en viss mening bör tillåtas till matematisk diskurs. I detta synsätt är matematik en övning av den mänskliga intuitionen, inte ett spel som spelas med meningslösa symboler. Istället handlar det om enheter som vi kan skapa direkt genom mental aktivitet. Dessutom avvisar vissa anhängare av dessa skolor icke-konstruktiva bevis, som att använda bevis genom motsägelse när de visar att ett objekt finns eller när de försöker fastställa sanningen i något påstående. Viktigt arbete gjordes av Errett Bishop , som lyckades bevisa versioner av de viktigaste satserna i verklig analys som konstruktiv analys i sin 1967 Foundations of Constructive Analysis.

Finitism

Huvudartikel: Finitism
Leopold Kronecker

Finitism är en extrem form av konstruktivism , enligt vilken ett matematiskt objekt inte existerar om det inte kan konstrueras från naturliga tal i ett ändligt antal steg. I sin bok Philosophy of Set Theory karakteriserade Mary Tiles de som tillåter countably oändliga objekt som klassiska finitister, och de som förnekar även countably oändliga objekt som strikta finitister .

Den mest kända förespråkaren för finitism var Leopold Kronecker , som sa:

Gud skapade de naturliga talen, allt annat är människans verk.

Ultrafinitism är en ännu mer extrem version av finitism, som avvisar inte bara oändligheter utan ändliga kvantiteter som inte är möjliga att konstruera med tillgängliga resurser. En annan variant av finitism är euklidisk aritmetik, ett system utvecklat av John Penn Mayberry i sin bok The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets . Mayberrys system är allmänt aristoteliskt inspirerat och, trots att han starkt avvisar någon roll för operationalism eller genomförbarhet i matematikens grunder, kommer han till något liknande slutsatser, som till exempel att superexponentiering inte är en legitim finitär funktion.

Strukturalism

Huvudartikel: Matematisk strukturalism

Strukturalism är en ståndpunkt som hävdar att matematiska teorier beskriver strukturer, och att matematiska objekt är uttömmande definierade av sina platser i sådana strukturer, och följaktligen inte har några inneboende egenskaper . Till exempel skulle den hävda att allt som behöver vara känt om talet 1 är att det är det första heltal efter 0. På samma sätt definieras alla andra heltal av sina platser i en struktur, tallinjen . Andra exempel på matematiska objekt kan inkludera linjer och plan i geometri, eller element och operationer i abstrakt algebra .

Strukturalism är en epistemologiskt realistisk syn i det att den håller fast vid att matematiska påståenden har ett objektivt sanningsvärde. Dess centrala anspråk hänför sig dock bara till vilken typ av enhet ett matematiskt objekt är, inte till vilken typ av existens matematiska objekt eller strukturer har (inte, med andra ord, till deras ontologi ). Den typ av existens som matematiska objekt har skulle helt klart vara beroende av strukturerna i vilka de är inbäddade; olika undervarianter av strukturalism gör olika ontologiska anspråk i detta avseende.

ante rem strukturalism ("före saken") har en liknande ontologi som platonismen . Strukturer anses ha en verklig men abstrakt och immateriell tillvaro. Som sådan står den inför det epistemologiska standardproblemet att förklara interaktionen mellan sådana abstrakta strukturer och matematiker av kött och blod (se Benacerrafs identifieringsproblem ) .

In -re -strukturalismen ("i saken") är motsvarigheten till aristotelisk realism . Strukturer anses existera i den mån som något konkret system exemplifierar dem. Detta medför de vanliga problemen att vissa helt legitima strukturer av misstag råkar inte existera, och att en ändlig fysisk värld kanske inte är "stor" nog för att rymma vissa annars legitima strukturer.

Post rem- strukturalismen ("efter saken") är antirealistisk om strukturer på ett sätt som liknar nominalismen . Liksom nominalismen post rem -metoden existensen av abstrakta matematiska objekt med andra egenskaper än deras plats i en relationsstruktur. Enligt denna uppfattning existerar matematiska system och har strukturella drag gemensamma. Om något är sant för en struktur, kommer det att vara sant för alla system som exemplifierar strukturen. Det är dock bara instrumentellt att tala om att strukturer är "gemensamma" mellan system: de har faktiskt ingen självständig existens.

Förkroppsligade sinneteorier

Embodied mind -teorier hävdar att matematisk tanke är en naturlig utväxt av den mänskliga kognitiva apparat som befinner sig i vårt fysiska universum. Till exempel kommer det abstrakta begreppet antal från erfarenheten av att räkna diskreta föremål (kräver mänskliga sinnen som syn för att upptäcka föremålen, beröring och signalering från hjärnan). Det hävdas att matematik inte är universell och inte existerar i någon egentlig mening, annat än i mänskliga hjärnor. Människor konstruerar, men upptäcker inte, matematik.

De kognitiva processerna för att hitta och särskilja föremål är också föremål för neurovetenskap ; om matematik anses vara relevant för en naturlig värld (som från realism eller en viss grad av den, till skillnad från ren solipsism ).

Dess faktiska relevans för verkligheten, även om den accepteras som en pålitlig approximation (det föreslås också att utvecklingen av uppfattningar, kroppen och sinnena kan ha varit nödvändiga för överlevnad) är inte nödvändigtvis korrekt för en fullständig realism (och är fortfarande föremål för brister som illusion , antaganden (som en följd; grunderna och axiomen i vilka matematik har formats av människor), generaliseringar, bedrägeri och hallucinationer ). Som sådant kan detta också väcka frågor för den moderna vetenskapliga metoden för dess kompatibilitet med allmän matematik; som även om den är relativt tillförlitlig, är den fortfarande begränsad av vad som kan mätas med empiri som kanske inte är så tillförlitlig som tidigare antagits (se även: "kontraintuitiva" begrepp i till exempel quantum nonlocality och action at a distance ).

En annan fråga är att ett siffersystem kanske inte nödvändigtvis är tillämpligt för problemlösning. Ämnen som komplexa tal eller imaginära tal kräver specifika förändringar av mer vanliga matematikens axiom; annars kan de inte förstås tillräckligt.

Alternativt kan datorprogrammerare använda hexadecimal för sin "mänskligvänliga" representation av binärkodade värden, snarare än decimal (bekvämt att räkna eftersom människor har tio fingrar). Axiomen eller logiska reglerna bakom matematiken varierar också över tiden (som anpassningen och uppfinningen av noll ).

Eftersom uppfattningar från den mänskliga hjärnan är föremål för illusioner , antaganden, bedrägerier, (inducerade) hallucinationer , kognitiva fel eller antaganden i ett allmänt sammanhang, kan det ifrågasättas om de är korrekta eller strikt indikerar sanning (se även: filosofi om att vara ) , och empirismens natur i förhållande till universum och huruvida den är oberoende av sinnena och universum.

Det mänskliga sinnet har inga speciella anspråk på verkligheten eller tillvägagångssätt till den byggd av matematik. Om sådana konstruktioner som Eulers identitet är sanna så är de sanna som en karta över det mänskliga sinnet och kognitionen .

Förkroppsligade sinneteoretiker förklarar alltså effektiviteten av matematik – matematik konstruerades av hjärnan för att vara effektiv i detta universum.

Den mest tillgängliga, kända och ökända behandlingen av detta perspektiv är Where Mathematics Comes From , av George Lakoff och Rafael E. Núñez . Dessutom har matematikern Keith Devlin undersökt liknande begrepp med sin bok The Math Instinct , liksom neurovetaren Stanislas Dehaene med sin bok The Number Sense . För mer om de filosofiska idéerna som inspirerade detta perspektiv, se kognitiv vetenskap om matematik .

Aristotelisk realism

Huvudartikel: Aristotelisk realistisk matematikfilosofi
Se även: I omstrukturalism och immanent realism

Aristotelisk realism menar att matematik studerar egenskaper som symmetri, kontinuitet och ordning som bokstavligen kan realiseras i den fysiska världen (eller i vilken annan värld som helst). Det står i kontrast till platonismen genom att hävda att matematikens objekt, såsom siffror, inte existerar i en "abstrakt" värld utan kan realiseras fysiskt. Till exempel realiseras siffran 4 i förhållandet mellan en hög med papegojor och det universella "att vara en papegoja" som delar upp högen i så många papegojor. Aristotelisk realism försvaras av James Franklin och Sydney School i matematikens filosofi och ligger nära Penelope Maddys uppfattning att när en äggkartong öppnas uppfattas en uppsättning av tre ägg (det vill säga en matematisk enhet som förverkligas i fysisk värld). Ett problem för den aristoteliska realismen är vilken redogörelse man ska ge av högre oändligheter, som kanske inte är realiserbara i den fysiska världen.

Den euklidiska aritmetiken som utvecklats av John Penn Mayberry i sin bok The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets faller också in i den aristoteliska realistiska traditionen. Mayberry, efter Euclid, anser att siffror helt enkelt är "definitiva mängder enheter" som förverkligas i naturen - som "medlemmarna i London Symphony Orchestra" eller "träden i Birnam-skogen". Huruvida det finns bestämda mängder enheter för vilka Euklids gemensamma föreställning 5 (helheten är större än delen) misslyckas och som följaktligen skulle räknas som oändliga är för Mayberry i huvudsak en fråga om naturen och innebär inte några transcendentala antaganden.

Psykologi

Huvudartikel: Psykologi
Se även: Antipsykologism

Psykologi i matematikens filosofi är ståndpunkten att matematiska begrepp och/eller sanningar är grundade i, härledda från eller förklarade av psykologiska fakta (eller lagar).

John Stuart Mill verkar ha varit en förespråkare för en typ av logisk psykologism, liksom många tyska logiker från 1800-talet som Sigwart och Erdmann samt ett antal psykologer , tidigare och nutid: till exempel Gustave Le Bon . Psykologi kritiserades berömt av Frege i hans The Foundations of Arithmetic och många av hans verk och essäer, inklusive hans recension av Husserls Philosophy of Arithmetic . Edmund Husserl, i den första volymen av hans Logical Investigations , kallad "The Prolegomena of Pure Logic", kritiserade psykologismen grundligt och försökte ta avstånd från den. "Prolegomena" anses vara ett mer kortfattat, rättvist och grundligt vederläggande av psykologism än kritiken från Frege, och det anses också idag av många som ett minnesvärt vederläggande för dess avgörande slag mot psykologismen. Psykologin kritiserades också av Charles Sanders Peirce och Maurice Merleau-Ponty .

Empirism

Huvudartiklar: Kvasiempiri i matematik och postmodern matematik

Matematisk empiri är en form av realism som förnekar att matematik överhuvudtaget kan vara känd a priori . Den säger att vi upptäcker matematiska fakta genom empirisk forskning , precis som fakta i någon av de andra vetenskaperna. Det är inte en av de klassiska tre ståndpunkter som förespråkades i början av 1900-talet, utan uppstod i första hand i mitten av seklet. En viktig tidig förespråkare för en uppfattning som denna var dock John Stuart Mill . Mills synpunkt kritiserades flitigt, eftersom den, enligt kritiker, som AJ Ayer, får uttalanden som " 2 + 2 = 4" att framstå som osäkra, betingade sanningar, som vi bara kan lära oss genom att observera fall av två par som går samman och bildar en kvartett.

Karl Popper var en annan filosof som påpekade empiriska aspekter av matematik, och observerade att "de flesta matematiska teorier är, liksom de inom fysik och biologi, hypotetisk-deduktiva: ren matematik visar sig därför vara mycket närmare naturvetenskapen vars hypoteser är gissningar, än det verkade till och med nyligen." Popper noterade också att han skulle "erkänna ett system som empiriskt eller vetenskapligt endast om det är kapabelt att testas av erfarenhet."

Samtida matematisk empiri, formulerad av WVO Quine och Hilary Putnam , stöds i första hand av oumbärlighetsargumentet : matematik är oumbärlig för alla empiriska vetenskaper, och om vi vill tro på verkligheten av de fenomen som beskrivs av vetenskaperna, borde vi också tro på verkligheten hos de enheter som krävs för denna beskrivning. Det vill säga, eftersom fysiken behöver prata om elektroner för att säga varför glödlampor beter sig som de gör, då måste elektroner finnas . Eftersom fysiken behöver tala om siffror för att erbjuda någon av dess förklaringar, måste siffror existera. I linje med Quine och Putnams övergripande filosofier är detta ett naturalistiskt argument. Den argumenterar för existensen av matematiska enheter som den bästa förklaringen till erfarenhet, vilket gör att matematiken inte är skild från andra vetenskaper.

Putnam avvisade starkt termen " platonist " som att antyda en överspecifik ontologi som inte var nödvändig för matematisk praktik i någon egentlig mening. Han förespråkade en form av "ren realism" som förkastade mystiska föreställningar om sanning och accepterade mycket kvasi-empiri i matematik . Detta växte från det allt populärare påståendet i slutet av 1900-talet att ingen grund för matematik någonsin kunde bevisas existera. Det kallas också ibland för "postmodernism i matematik" även om den termen anses överbelastad av vissa och förolämpande av andra. Kvasi-empiri hävdar att matematiker under sin forskning testar hypoteser och bevisar teorem. Ett matematiskt argument kan överföra falskhet från slutsatsen till premisserna lika bra som det kan överföra sanning från premisserna till slutsatsen. Putnam har hävdat att varje teori om matematisk realism skulle innefatta kvasiempiriska metoder. Han föreslog att en främmande art som gör matematik mycket väl kan förlita sig på kvasi-empiriska metoder i första hand, vara villig att ofta avstå från rigorösa och axiomatiska bevis och fortfarande göra matematik - med kanske en något större risk att misslyckas med sina beräkningar. Han gav ett utförligt argument för detta i New Directions . Kvasiempiri utvecklades också av Imre Lakatos .

Den viktigaste kritiken mot empiriska synsätt på matematik är ungefär densamma som den som riktades mot Mill. Om matematik är lika empirisk som de andra vetenskaperna, så tyder detta på att dess resultat är lika felbara som deras och lika betingade. I Mills fall kommer den empiriska motiveringen direkt, medan den i Quines fall kommer indirekt, genom koherensen i vår vetenskapliga teori som helhet, det vill säga konsiliens efter EO Wilson . Quine menar att matematiken verkar helt säker eftersom den roll den spelar i vårt nät av tro är utomordentligt central, och att det skulle vara extremt svårt för oss att revidera den, även om den inte är omöjlig.

För en filosofi om matematik som försöker övervinna några av bristerna i Quine och Gödels tillvägagångssätt genom att ta aspekter av var och en, se Penelope Maddys Realism in Mathematics . Ett annat exempel på en realistisk teori är teorin om embodied mind .

För experimentella bevis som tyder på att mänskliga spädbarn kan göra elementär aritmetik, se Brian Butterworth .

Fiktionalism

Se även: Fiktionalism

Matematisk fiktionalism kom till berömmelse 1980 när Hartry Field publicerade Science Without Numbers , som förkastade och faktiskt vände om Quines oumbärlighetsargument. Där Quine föreslog att matematik var oumbärlig för våra bästa vetenskapliga teorier, och därför borde accepteras som en samling sanningar som talar om oberoende existerande enheter, föreslog Field att matematik var oumbärlig, och därför borde betraktas som en samling lögner som inte pratar om någonting. verklig. Han gjorde detta genom att ge en fullständig axiomatisering av Newtons mekanik utan hänvisning till siffror eller funktioner alls. Han började med "mellanheten" i Hilberts axiom för att karakterisera rymden utan att koordinera den, och lade sedan till extra relationer mellan punkter för att göra det arbete som tidigare utfördes av vektorfält . Hilberts geometri är matematisk, eftersom den talar om abstrakta punkter, men i Fields teori är dessa punkter det fysiska rummets konkreta punkter, så inga speciella matematiska objekt behövs alls.

Efter att ha visat hur man gör vetenskap utan att använda siffror, fortsatte Field att rehabilitera matematik som en slags användbar fiktion . Han visade att matematisk fysik är en konservativ förlängning av hans icke-matematiska fysik (det vill säga varje fysiskt faktum som kan bevisas i matematisk fysik är redan bevisbart från Fields system), så att matematik är en pålitlig process vars fysiska tillämpningar alla är sanna, även om dess egna påståenden är falska. När vi gör matematik kan vi alltså se oss själva som att vi berättar en sorts historia och pratar som om siffror existerade. För Field är ett påstående som "2 + 2 = 4" lika fiktivt som " Sherlock Holmes bodde på 221B Baker Street" - men båda är sanna enligt de relevanta fiktionerna.

En annan fiktionalist, Mary Leng , uttrycker perspektivet kortfattat genom att avfärda varje till synes samband mellan matematik och den fysiska världen som "en lycklig slump". Detta förkastande skiljer fiktionalism från andra former av antirealism, som ser matematiken i sig som artificiell men ändå avgränsad eller anpassad till verkligheten på något sätt.

Enligt denna redogörelse finns det inga metafysiska eller epistemologiska problem som är speciella för matematik. De enda bekymmer som finns kvar är de allmänna oron för icke-matematisk fysik, och för fiktion i allmänhet. Fields tillvägagångssätt har varit mycket inflytelserik, men förkastas allmänt. Detta beror delvis på kravet på starka fragment av andra ordningens logik för att genomföra sin reduktion, och på att uttalandet om konservativitet tycks kräva kvantifiering framför abstrakta modeller eller slutsatser. [ citat behövs ]

Socialkonstruktivism

Huvudartikel: Socialkonstruktivism

Socialkonstruktivismen ser matematik i första hand som en social konstruktion , som en produkt av kultur, föremål för korrigering och förändring. Liksom andra vetenskaper ses matematik som en empirisk strävan vars resultat ständigt utvärderas och kan förkastas. Men även om utvärderingen enligt en empiristisk syn är någon sorts jämförelse med "verkligheten", betonar socialkonstruktivister att riktningen för matematisk forskning dikteras av modet hos den sociala grupp som utför den eller av behoven hos samhället som finansierar den. Men även om sådana yttre krafter kan ändra riktningen för viss matematisk forskning, finns det starka interna begränsningar – de matematiska traditioner, metoder, problem, betydelser och värderingar som matematiker är inkulturerade i – som arbetar för att bevara den historiskt definierade disciplinen.

Detta strider mot den traditionella uppfattningen hos arbetande matematiker, att matematik på något sätt är ren eller objektiv. Men socialkonstruktivister hävdar att matematiken i själva verket är grundad av mycket osäkerhet: allteftersom matematisk praktik utvecklas, så tvivlas den tidigare matematikens status i tvivel och korrigeras till den grad det krävs eller önskas av den nuvarande matematiska gemenskapen. Detta kan ses i utvecklingen av analys från omprövning av kalkylen för Leibniz och Newton. De hävdar vidare att färdig matematik ofta ges för mycket status, och folklig matematik inte tillräckligt, på grund av en överbetoning av axiomatiska bevis och kamratgranskning som praktiker.

Matematikens sociala natur framhävs i dess subkulturer . Stora upptäckter kan göras inom en gren av matematiken och vara relevanta för en annan, men förhållandet förblir oupptäckt på grund av bristande social kontakt mellan matematiker. Socialkonstruktivister hävdar att varje specialitet bildar sin egen epistemiska gemenskap och har ofta stora svårigheter att kommunicera eller motivera undersökningen av förenande gissningar som kan relatera till olika områden inom matematiken. Socialkonstruktivister ser att processen att "göra matematik" faktiskt skapar meningen, medan socialrealister ser en brist antingen i mänsklig förmåga att abstrahera, eller av människans kognitiva fördomar , eller av matematikers kollektiva intelligens som förhindrar förståelsen av ett verkligt universum av matematiska objekt. Socialkonstruktivister avvisar ibland sökandet efter matematikens grunder som skyldiga att misslyckas, som meningslösa eller till och med meningslösa.

Bidrag till denna skola har gjorts av Imre Lakatos och Thomas Tymoczko , även om det inte är klart att någon av dem skulle stödja titeln. [ förtydligande behövs ] På senare tid har Paul Ernest uttryckligen formulerat en socialkonstruktivistisk matematikfilosofi. Vissa anser att Paul Erdős arbete som helhet har fört fram denna uppfattning (även om han personligen förkastade det) på grund av hans unikt breda samarbeten, vilket fick andra att se och studera "matematik som en social aktivitet", t.ex. via Erdős nummer . . Reuben Hersh har också främjat den sociala synen på matematik och kallat det ett "humanistiskt" tillvägagångssätt, liknande men inte riktigt samma som det som förknippas med Alvin White; en av Hershs medförfattare, Philip J. Davis , har också uttryckt sympati för den sociala synen.

Bortom de traditionella skolorna

Orimlig effektivitet

Istället för att fokusera på snäva debatter om den matematiska sanningens sanna natur , eller till och med på metoder som är unika för matematiker som beviset, började en växande rörelse från 1960- till 1990-talet ifrågasätta idén om att söka grunder eller hitta ett enda rätt svar på varför matematik fungerar. Utgångspunkten för detta var Eugene Wigners berömda artikel från 1960 " The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences ", där han hävdade att det lyckliga sammanträffandet av att matematik och fysik var så väl matchade verkade vara orimligt och svårt att förklara.

Poppers två betydelser av talsatser

Realistiska och konstruktivistiska teorier anses normalt vara motsatser. Karl Popper menade dock att en siffersats som "2 äpplen + 2 äpplen = 4 äpplen" kan uppfattas i två betydelser. I en mening är det obestridligt och logiskt sant. I den andra meningen är det faktiskt sant och falsifierbart. Ett annat sätt att uttrycka detta är att säga att en enstaka talsats kan uttrycka två påståenden: en kan förklaras på konstruktivistiska linjer; den andra på realistiska linjer.

Språkfilosofi

Innovationer i språkfilosofin under 1900-talet förnyade intresset för huruvida matematik är, som det ofta sägs, [ citat behövs ] vetenskapens språk . Även om vissa [ vem? ] matematiker och filosofer skulle acceptera påståendet "matematik är ett språk" (de flesta anser att matematikens språk är en del av matematiken som matematiken inte kan reduceras till), [ citat behövs ] lingvister [ vem? ] anser att innebörden av ett sådant uttalande måste övervägas. Till exempel tillämpas inte lingvistikens verktyg generellt på matematikens symbolsystem, det vill säga matematik studeras på ett markant annorlunda sätt än andra språk. Om matematik är ett språk är det en annan typ av språk än naturliga språk . Faktum är att på grund av behovet av klarhet och specificitet är matematikens språk mycket mer begränsat än naturliga språk som studeras av lingvister. Emellertid har de metoder som utvecklats av Frege och Tarski för studier av matematiskt språk utökats kraftigt av Tarskis elev Richard Montague och andra lingvister som arbetar inom formell semantik för att visa att skillnaden mellan matematiskt språk och naturligt språk kanske inte är så stor som det verkar. .

Mohan Ganesalingam har analyserat matematiskt språk med hjälp av verktyg från formell lingvistik. Ganesalingam noterar att vissa funktioner i naturligt språk inte är nödvändiga när man analyserar matematiskt språk (som t.ex. tense ), men många av samma analytiska verktyg kan användas (som kontextfria grammatiker ). En viktig skillnad är att matematiska objekt har tydligt definierade typer , som uttryckligen kan definieras i en text: "Vi har faktiskt tillåtelse att introducera ett ord i en del av en mening och deklarera dess orddel i en annan; och denna operation har ingen analog i naturligt språk."

Argument

Oumbärlighetsargument för realism

Huvudartikel: Quine–Putnams oumbärlighetsargument

Detta argument, associerat med Willard Quine och Hilary Putnam , anses av Stephen Yablo vara ett av de mest utmanande argumenten till förmån för acceptansen av existensen av abstrakta matematiska enheter, såsom tal och mängder. Formen för argumentet är följande.

  1. Man måste ha ontologiska åtaganden till alla entiteter som är oumbärliga för de bästa vetenskapliga teorierna, och endast för dessa entiteter (vanligtvis kallade "all and only").
  2. Matematiska enheter är oumbärliga för de bästa vetenskapliga teorierna. Därför,
  3. Man måste ha ontologiska åtaganden till matematiska enheter.

Motiveringen till den första premissen är den mest kontroversiella. Både Putnam och Quine åberopar naturalism för att motivera uteslutningen av alla icke-vetenskapliga enheter, och därmed för att försvara den "enda" delen av "allt och bara". Påståendet att "alla" entiteter postulerade i vetenskapliga teorier, inklusive siffror, bör accepteras som verkliga motiveras av bekräftelseholism . Eftersom teorier inte bekräftas på ett styckevis sätt, utan som en helhet, finns det ingen motivering för att utesluta någon av de enheter som hänvisas till i väl bekräftade teorier. Detta försätter nominalisten som vill utesluta förekomsten av mängder och icke-euklidisk geometri , men att inkludera förekomsten av kvarkar och andra oupptäckbara fysiska enheter, till exempel, i en svår position.

Epistemiskt argument mot realism

Det antirealistiska " epistemiska argumentet" mot platonismen har framförts av Paul Benacerraf och Hartry Field . Platonismen hävdar att matematiska objekt är abstrakta enheter. Genom allmän överenskommelse kan abstrakta entiteter inte interagera kausalt med konkreta, fysiska entiteter ("sanningsvärdena i våra matematiska påståenden beror på fakta som involverar platonska entiteter som finns i ett rike utanför rumtiden"). Medan vår kunskap om konkreta, fysiska föremål är baserad på vår förmåga att uppfatta dem, och därför att kausalt interagera med dem, finns det ingen parallell redogörelse för hur matematiker kommer att ha kunskap om abstrakta föremål. Ett annat sätt att göra poängen på är att om den platonska världen skulle försvinna, skulle det inte göra någon skillnad för matematikernas förmåga att generera bevis etc., vilket redan är fullt ansvarigt när det gäller fysiska processer i deras hjärnor.

Fält utvecklade sina åsikter till fiktionalism . Benacerraf utvecklade också filosofin om matematisk strukturalism , enligt vilken det inte finns några matematiska objekt. Icke desto mindre är vissa versioner av strukturalism kompatibla med vissa versioner av realism.

Argumentationen bygger på tanken att en tillfredsställande naturalistisk redogörelse för tankeprocesser i termer av hjärnprocesser kan ges för matematiska resonemang tillsammans med allt annat. En försvarslinje är att hävda att detta är falskt, så att matematiska resonemang använder någon speciell intuition som involverar kontakt med det platonska riket. En modern form av detta argument ges av Sir Roger Penrose .

En annan försvarslinje är att hävda att abstrakta objekt är relevanta för matematiska resonemang på ett sätt som är icke-kausalt, och inte analogt med perception. Detta argument utvecklas av Jerrold Katz i sin bok från 2000 Realistic Rationalism .

Ett mer radikalt försvar är förnekandet av den fysiska verkligheten, dvs den matematiska universumhypotesen . I så fall är en matematikers kunskaper i matematik ett matematiskt objekt som tar kontakt med ett annat.

Estetik

Många praktiserande matematiker har dragits till sitt ämne på grund av en känsla av skönhet som de uppfattar i det. Man hör ibland känslan att matematiker skulle vilja lämna filosofin till filosoferna och återgå till matematiken – där, förmodligen, skönheten ligger.

I sitt arbete om den gudomliga proportionen relaterar HE Huntley känslan av att läsa och förstå någon annans bevis på en matematiksats till känslan hos en betraktare av ett konstverk – läsaren av ett bevis har en liknande känsla av upprymdhet över att förstå som den ursprungliga författaren till beviset, på samma sätt som, hävdar han, betraktaren av ett mästerverk har en känsla av upprymdhet som liknar den ursprungliga målaren eller skulptören. Man kan faktiskt studera matematiska och vetenskapliga skrifter som litteratur .

Philip J. Davis och Reuben Hersh har kommenterat att känslan av matematisk skönhet är universell bland praktiserande matematiker. Som exempel ger de två bevis på irrationaliteten hos √ 2 . Det första är det traditionella beviset genom motsägelse , som tillskrivs Euklid ; det andra är ett mer direkt bevis som involverar aritmetikens grundläggande teorem som, menar de, når till kärnan i frågan. Davis och Hersh hävdar att matematiker tycker att det andra beviset är mer estetiskt tilltalande eftersom det kommer närmare problemets natur.

Paul Erdős var välkänd för sin föreställning om en hypotetisk "bok" som innehåller de mest eleganta eller vackra matematiska bevisen. Det finns ingen allmän överenskommelse om att ett resultat har ett "mest elegant" bevis; Gregory Chaitin har argumenterat emot denna idé.

Filosofer har ibland kritiserat matematikers känsla för skönhet eller elegans som i bästa fall vagt uttalad. På samma sätt har dock matematikfilosofer försökt karakterisera vad som gör ett bevis mer önskvärt än ett annat när båda är logiskt sunda.

En annan aspekt av estetik angående matematik är matematikers syn på möjliga användningar av matematik för ändamål som anses oetiska eller olämpliga. Den mest kända utläggningen av detta synsätt förekommer i GH Hardys bok A Mathematician's Apology , där Hardy hävdar att ren matematik är överlägsen i skönhet än tillämpad matematik just för att den inte kan användas för krig och liknande syften.

Tidskrifter

Se även

Relaterat arbete

Historiska ämnen

Anteckningar

Vidare läsning

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Philosophy_of_mathematics&oldid=1143636050 "