Differentialekvation

Ej att förväxla med skillnadsekvationen .

Visualisering av värmeöverföring i ett pumphus, skapad genom att lösa värmeekvationen . Värme genereras internt i höljet och kyls vid gränsen, vilket ger en jämn temperaturfördelning.

I matematik är en differentialekvation en ekvation som relaterar en eller flera okända funktioner och deras derivator . I applikationer representerar funktionerna i allmänhet fysiska storheter, derivatorna representerar deras förändringshastigheter, och differentialekvationen definierar ett samband mellan de två. Sådana relationer är vanliga; därför spelar differentialekvationer en framträdande roll i många discipliner inklusive ingenjörskonst , fysik , ekonomi och biologi .

Studiet av differentialekvationer består huvudsakligen av studiet av deras lösningar (uppsättningen funktioner som uppfyller varje ekvation), och av egenskaperna hos deras lösningar. Endast de enklaste differentialekvationerna kan lösas med explicita formler; emellertid kan många egenskaper hos lösningar av en given differentialekvation bestämmas utan att exakt beräkna dem.

Ofta när ett uttryck i sluten form för lösningarna inte är tillgängligt, kan lösningar approximeras numeriskt med hjälp av datorer. Teorin om dynamiska system lägger tonvikt på kvalitativ analys av system beskrivna med differentialekvationer, samtidigt som många numeriska metoder har utvecklats för att bestämma lösningar med en given grad av noggrannhet.

Historia

Differentialekvationer först kom till existens med uppfinningen av kalkyl av Newton och Leibniz . I kapitel 2 i sitt arbete från 1671, Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum , listade Isaac Newton tre sorters differentialekvationer:

${\begin{aligned}{\frac { dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}$

I alla dessa fall är y en okänd funktion av x (eller av x ₁ och x ₂ ), och f är en given funktion.

Han löser dessa och andra exempel med hjälp av oändliga serier och diskuterar lösningarnas icke-unika.

Jacob Bernoulli föreslog Bernoullis differentialekvation 1695. Detta är en vanlig differentialekvation av formen

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

för vilket Leibniz året därpå fick lösningar genom att förenkla det.

studerades problemet med en vibrerande sträng som ett musikinstrument av Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli och Joseph-Louis Lagrange . År 1746 upptäckte d'Alembert den endimensionella vågekvationen , och inom tio år upptäckte Euler den tredimensionella vågekvationen.

Euler –Lagrange-ekvationen utvecklades på 1750-talet av Euler och Lagrange i samband med deras studier av tautokronproblemet . Detta är problemet med att bestämma en kurva på vilken en viktad partikel kommer att falla till en fast punkt inom en bestämd tid, oberoende av utgångspunkten. Lagrange löste detta problem 1755 och skickade lösningen till Euler. Båda vidareutvecklade Lagranges metod och tillämpade den på mekanik , vilket ledde till formuleringen av Lagranges mekanik .

1822 publicerade Fourier sitt arbete om värmeflöde i Théorie analytique de la chaleur (The Analytic Theory of Heat), där han grundade sitt resonemang på Newtons lag om kylning, nämligen att värmeflödet mellan två intilliggande molekyler är proportionellt mot den extremt lilla skillnaden mellan deras temperaturer. I denna bok fanns Fouriers förslag till hans värmeekvation för ledande värmediffusion. Denna partiella differentialekvation lärs nu ut för varje elev i matematisk fysik.

Exempel

I klassisk mekanik beskrivs en kropps rörelse av dess position och hastighet när tidsvärdet varierar. Newtons lagar tillåter att dessa variabler uttrycks dynamiskt (med tanke på position, hastighet, acceleration och olika krafter som verkar på kroppen) som en differentialekvation för kroppens okända position som en funktion av tiden.

I vissa fall kan denna differentialekvation (kallad en rörelseekvation ) lösas explicit.

Ett exempel på att modellera ett verkligt problem med differentialekvationer är bestämningen av hastigheten för en boll som faller genom luften, med hänsyn till enbart gravitation och luftmotstånd. Bollens acceleration mot marken är accelerationen på grund av gravitationen minus retardationen på grund av luftmotståndet. Tyngdkraften anses vara konstant, och luftmotståndet kan modelleras som proportionellt mot bollens hastighet. Det betyder att bollens acceleration, som är en derivata av dess hastighet, beror på hastigheten (och hastigheten beror på tiden). Att hitta hastigheten som en funktion av tiden innebär att lösa en differentialekvation och verifiera dess giltighet.

Typer

Differentialekvationer kan delas in i flera typer. Förutom att beskriva egenskaperna hos själva ekvationen kan dessa klasser av differentialekvationer hjälpa till att informera valet av tillvägagångssätt för en lösning. Vanligt använda distinktioner inkluderar om ekvationen är ordinär eller partiell, linjär eller icke-linjär, och homogen eller heterogen. Denna lista är långt ifrån uttömmande; det finns många andra egenskaper och underklasser av differentialekvationer som kan vara mycket användbara i specifika sammanhang.

Vanliga differentialekvationer

Huvudartiklar: Vanlig differentialekvation och linjär differentialekvation

En vanlig differentialekvation ( ODE ) är en ekvation som innehåller en okänd funktion av en reell eller komplex variabel x , dess derivator och några givna funktioner av x . Den okända funktionen representeras i allmänhet av en variabel (ofta betecknad y ), som därför beror på x . Därför kallas x ofta för ekvationens oberoende variabel . Termen " vanlig " används i motsats till termen partiell differentialekvation , som kan vara med avseende på mer än en oberoende variabel.

Linjära differentialekvationer är de differentialekvationer som är linjära i den okända funktionen och dess derivator. Deras teori är väl utvecklad, och i många fall kan man uttrycka sina lösningar i termer av integraler .

De flesta ODE som påträffas i fysiken är linjära. Därför kan de flesta specialfunktioner definieras som lösningar av linjära differentialekvationer (se holonomisk funktion ) .

Eftersom lösningarna av en differentialekvation i allmänhet inte kan uttryckas med ett uttryck i sluten form , används numeriska metoder vanligtvis för att lösa differentialekvationer på en dator.

Partiella differentialekvationer

Huvudartikel: Partiell differentialekvation

En partiell differentialekvation ( PDE ) är en differentialekvation som innehåller okända multivariabla funktioner och deras partiella derivator . (Detta är i motsats till vanliga differentialekvationer , som handlar om funktioner av en enskild variabel och deras derivator.) PDE:er används för att formulera problem som involverar funktioner av flera variabler, och löses antingen i sluten form eller används för att skapa en relevant dator modell .

PDE kan användas för att beskriva en mängd olika fenomen i naturen som ljud , värme , elektrostatik , elektrodynamik , vätskeflöde , elasticitet eller kvantmekanik . Dessa till synes distinkta fysiska fenomen kan formaliseras på liknande sätt i termer av PDE. Precis som vanliga differentialekvationer ofta modellerar endimensionella dynamiska system , modellerar partiella differentialekvationer ofta flerdimensionella system . Stokastiska partiella differentialekvationer generaliserar partiella differentialekvationer för modellering av slumpmässighet .

Icke-linjära differentialekvationer

Huvudartikel: Icke-linjära differentialekvationer

En icke-linjär differentialekvation är en differentialekvation som inte är en linjär ekvation i den okända funktionen och dess derivator (linjäriteten eller icke-linjäriteten i funktionens argument beaktas inte här). Det finns väldigt få metoder för att lösa olinjära differentialekvationer exakt; de som är kända beror vanligtvis på att ekvationen har speciella symmetrier . Icke-linjära differentialekvationer kan uppvisa mycket komplicerat beteende över långa tidsintervall, karakteristiskt för kaos . Till och med de grundläggande frågorna om existens, unikhet och utökbarhet av lösningar för icke-linjära differentialekvationer, och välplacering av initiala och gränsvärdesproblem för icke-linjära PDE:er är svåra problem och deras lösning i speciella fall anses vara ett betydande framsteg inom den matematiska teori (jfr Navier–Stokes existens och smidighet ). Men om differentialekvationen är en korrekt formulerad representation av en meningsfull fysisk process, förväntar man sig att den har en lösning.

Linjära differentialekvationer uppträder ofta som approximationer till icke-linjära ekvationer. Dessa uppskattningar är endast giltiga under begränsade förhållanden. Till exempel är den harmoniska oscillatorekvationen en approximation till den olinjära pendelekvationen som är giltig för oscillationer med små amplituder (se nedan).

Ekvationsordning och grad

Ordningen för differentialekvationen är ordningen för den högsta derivatan av den okända funktionen som förekommer i den . När en differentialekvation skrivs som en polynomialekvation i den okända funktionen och dess derivator, är dess grad, beroende på sammanhanget, graden i den högsta derivatan av den okända funktionen, eller dess totala grad i den okända funktionen och dess derivator. I synnerhet har en linjär differentialekvation grad ett för båda betydelserna, men den icke-linjära differentialekvationen $y'+y^{2}=0$ är av grad ett för den första betydelsen men inte för den andra.

En ekvation som bara innehåller första derivator är en differentialekvation av första ordningen , en ekvation som innehåller andra derivatan är en differentialekvation av andra ordningen , och så vidare.

Differentialekvationer som beskriver naturfenomen har nästan alltid endast första och andra ordningens derivator i sig, men det finns några undantag, till exempel någon form av tunnfilmsekvationen , som är en partiell differentialekvation av fjärde ordningen.

Exempel

I den första gruppen av exempel är u en okänd funktion av x , och c och ω är konstanter som antas vara kända. Två breda klassificeringar av både vanliga och partiella differentialekvationer består av att skilja mellan linjära och olinjära differentialekvationer, och mellan homogena differentialekvationer och heterogena .

• Heterogen första ordningens linjär konstantkoefficient ordinarie differentialekvation:

  ${\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.$

• Homogen andra ordningens linjära ordinarie differentialekvation:

  ${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x {\frac {du}{dx}}+u=0.$

• Homogen andra ordningens linjär konstantkoefficient ordinarie differentialekvation som beskriver den harmoniska oscillatorn :

  ${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}} +\omega ^{2}u=0.$

• Heterogen första ordningens ickelinjär vanlig differentialekvation:

  ${\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.$

• Andra ordningens olinjära (på grund av sinusfunktion) vanlig differentialekvation som beskriver rörelsen hos en pendel med längden L :

  $L{\frac {d^{2 }u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.$

I nästa grupp av exempel beror den okända funktionen u på två variabler x och t eller x och y .

• Homogen första ordningens linjära partiella differentialekvation:

  ${\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{ \partial x}}=0.$

• Homogen andra ordningens linjär konstantkoefficient partiell differentialekvation av elliptisk typ, Laplace-ekvationen :

  ${\frac {\partial ^{2}u}{ \partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$

• Homogen tredje ordningens icke-linjär partiell differentialekvation, KdV-ekvationen :

  ${\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x ^{3}}}.$

Förekomsten av lösningar

Att lösa differentialekvationer är inte som att lösa algebraiska ekvationer . Inte bara är deras lösningar ofta otydliga, utan om lösningarna är unika eller överhuvudtaget finns är också anmärkningsvärda ämnen av intresse.

För första ordningens initiala värdeproblem ger Peanos existenssats en uppsättning omständigheter under vilka en lösning existerar. Givet vilken punkt som helst $(a,b)$ i xy-planet, definiera någon rektangulär region $Z$ , så att ${ \displaystyle Z=[l,m]\ gånger [n,p]}$ och $(a,b)$ finns i det inre av $Z$ . Om vi ​​får en differentialekvation ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)}$ och villkoret att $y =b$ när $x=a$ , så finns det lokalt en lösning på detta problem om $g(x,y)$ och ${\textstyle { \frac {\partial g}{\partial x}}}$ är båda kontinuerliga på $Z$ . Den här lösningen finns på ett visst intervall med dess mitt i $a$ . Lösningen kanske inte är unik. (Se ordinarie differentialekvation för andra resultat.)

Detta hjälper oss dock bara med första ordningens initiala värdeproblem . Antag att vi hade ett linjärt initialvärdesproblem av n:te ordningen:

$f_{n}(x){\frac {d^ {n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)$

Så att

${\begin{aligned}y(x_{0})&=y_{0},&y '(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&\ldots \end{aligned}}$

För alla ${\displaystyle f_{n}(x)} som inte är noll$ , om $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ och $g$ är kontinuerliga på något intervall som innehåller ${\displaystyle x_{0}} ,$ y $\displaystyle y}$ är unik och existerar.

Relaterade begrepp

• En fördröjningsdifferentialekvation (DDE) är en ekvation för en funktion av en enskild variabel, vanligtvis kallad tid , där derivatan av funktionen vid en viss tidpunkt ges i termer av funktionens värden vid tidigare tidpunkter.
• En integro-differentialekvation (IDE) är en ekvation som kombinerar aspekter av en differentialekvation och en integralekvation .
• En stokastisk differentialekvation (SDE) är en ekvation där den okända kvantiteten är en stokastisk process och ekvationen involverar några kända stokastiska processer, till exempel Wienerprocessen i fallet med diffusionsekvationer.
• En stokastisk partiell differentialekvation (SPDE) är en ekvation som generaliserar SDE:er till att inkludera rum-tidsbrusprocesser, med tillämpningar inom kvantfältteori och statistisk mekanik .
• En ultrametrisk pseudo-differentialekvation är en ekvation som innehåller p-adiska tal i ett ultrametriskt utrymme . Matematiska modeller som involverar ultrametriska pseudo-differentialekvationer använder pseudo-differentialoperatorer istället för differentialoperatorer .
• En differentialalgebraisk ekvation (DAE) är en differentialekvation som består av differential- och algebraiska termer, givna i implicit form.

Koppling till differensekvationer

Se även: Tidskaleräkning

Teorin om differentialekvationer är nära besläktad med teorin om skillnadsekvationer , där koordinaterna endast antar diskreta värden, och förhållandet involverar värden för den okända funktionen eller funktioner och värden på närliggande koordinater. Många metoder för att beräkna numeriska lösningar av differentialekvationer eller studera egenskaperna hos differentialekvationer involverar approximationen av lösningen av en differentialekvation med lösningen av en motsvarande skillnadsekvation.

Ansökningar

Studiet av differentialekvationer är ett brett fält inom ren och tillämpad matematik , fysik och ingenjörskonst . Alla dessa discipliner handlar om egenskaperna hos differentialekvationer av olika slag. Ren matematik fokuserar på lösningarnas existens och unika, medan tillämpad matematik betonar den rigorösa motiveringen av metoderna för att approximera lösningar. Differentialekvationer spelar en viktig roll för att modellera praktiskt taget alla fysiska, tekniska eller biologiska processer, från himmelska rörelser, till brodesign, till interaktioner mellan neuroner. Differentialekvationer som de som används för att lösa problem i verkligheten behöver inte nödvändigtvis vara direkt lösbara, dvs har inte slutna lösningar. Istället kan lösningar approximeras med numeriska metoder .

Många grundläggande lagar inom fysik och kemi kan formuleras som differentialekvationer. Inom biologi och ekonomi används differentialekvationer för att modellera beteendet hos komplexa system. Den matematiska teorin om differentialekvationer utvecklades först tillsammans med vetenskaperna där ekvationerna hade sitt ursprung och där resultaten fick tillämpning. Emellertid kan olika problem, ibland med ursprung i ganska distinkta vetenskapliga områden, ge upphov till identiska differentialekvationer. Närhelst detta händer kan matematisk teori bakom ekvationerna ses som en förenande princip bakom olika fenomen. Som ett exempel, betrakta utbredningen av ljus och ljud i atmosfären och av vågor på ytan av en damm. Alla kan beskrivas av samma andra ordningens partiella differentialekvation , vågekvationen , som gör att vi kan tänka på ljus och ljud som former av vågor, ungefär som välbekanta vågor i vattnet . Värmeledning, vars teori utvecklades av Joseph Fourier , styrs av en annan partiell differentialekvation av andra ordningen, värmeekvationen . Det visar sig att många diffusionsprocesser , även om de verkar olika, beskrivs av samma ekvation; Black –Scholes ekvation inom finans är till exempel relaterad till värmeekvationen.

Antalet differentialekvationer som fått ett namn inom olika vetenskapliga områden är ett vittne om ämnets betydelse. Se Lista över namngivna differentialekvationer .

programvara

Vissa CAS- program kan lösa differentialekvationer. Dessa CAS- program och deras kommandon är värda att nämna:

• Lönn : dsolve
• Mathematica : Dsolve[]
• Maxima : ode2(ekvation, y, x)
• SageMath : desolve()
• SymPy : sympy.solvers.ode.dsolve(ekvation)
• Xcas : desolve(y'=k*y,y)

Se även

• Exakt differentialekvation
• Funktionell differentialekvation
• Initialtillstånd
• Integralekvationer
• Numeriska metoder för vanliga differentialekvationer
• Numeriska metoder för partiella differentialekvationer
• Picard–Lindelöfs teorem om existens och unika lösningar
• Återkommande relation , även känd som "differensekvation"
• Abstrakt differentialekvation
• System av differentialekvationer

Vidare läsning

• Abbott, P.; Neill, H. (2003). Lär dig själv kalkyl . s. 266–277.
• Blanchard, P.; Devaney, RL ; Hall, GR (2006). Differentialekvationer . Thompson.
• Boyce, W.; DiPrima, R.; Meade, D. (2017). Elementära differentialekvationer och problem med gränsvärden . Wiley.
• Coddington, EA; Levinson, N. (1955). Teori om vanliga differentialekvationer . McGraw-Hill.
• Ince, EL (1956). Vanliga differentialekvationer . Dover.
• Johnson, W. (1913). En avhandling om vanliga och partiella differentialekvationer . John Wiley och söner. I University of Michigan Historical Math Collection
•   polyanin, AD; Zaitsev, VF (2003). Handbok med exakta lösningar för vanliga differentialekvationer ( 2:a upplagan). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2 .
• Porter, RI (1978). "XIX differentialekvationer". Ytterligare elementär analys .
•   Teschl, Gerald (2012). Vanliga differentialekvationer och dynamiska system . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
•   Daniel Zwillinger (12 maj 2014). Handbok för differentialekvationer . Elsevier Vetenskap. ISBN 978-1-4832-6396-0 .

externa länkar

• Media relaterade till differentialekvationer på Wikimedia Commons
• Föreläsningar om differentialekvationer MIT Open CourseWare-videor
• Onlineanteckningar / differentialekvationer Paul Dawkins, Lamar University
• Differentialekvationer , SOS-matematik
• Introduktion till modellering via differentialekvationer Introduktion till modellering med hjälp av differentialekvationer, med kritiska kommentarer.
• Matematisk assistent på webben Symboliskt ODE-verktyg med Maxima
• Exakta lösningar av vanliga differentialekvationer
• Samling av ODE- och DAE-modeller av fysiska system MATLAB-modeller
• Anteckningar om Diffy Qs: Differentialekvationer för ingenjörer En inledande lärobok om differentialekvationer av Jiri Lebl från UIUC
• Khan Academy Videospellista om differentialekvationer Ämnen som behandlas i en förstaårskurs i differentialekvationer.
• MathDiscuss Videospellista om differentialekvationer