Filosofisk logik

Förstått i snäv mening är filosofisk logik det område av logik som studerar tillämpningen av logiska metoder på filosofiska problem, ofta i form av utökade logiska system som modal logik . Vissa teoretiker uppfattar filosofisk logik i en vidare mening som studiet av logikens omfattning och natur i allmänhet. I denna mening kan filosofisk logik ses som identisk med logikens filosofi , som inkluderar ytterligare ämnen som hur man definierar logik eller en diskussion om logikens grundläggande begrepp. Den aktuella artikeln behandlar filosofisk logik i snäv mening, där den utgör ett fält av undersökning inom logikens filosofi.

En viktig fråga för filosofisk logik är frågan om hur man klassificerar den stora variationen av icke-klassiska logiska system, av vilka många är av ganska nyligen ursprung. En form av klassificering som ofta återfinns i litteraturen är att skilja mellan utökad logik och avvikande logik. Logik i sig kan definieras som studiet av giltig slutledning . Klassisk logik är den dominerande formen av logik och artikulerar regler för slutledning i enlighet med logiska intuitioner som delas av många, som lagen om utesluten mitt , eliminering av dubbel negation och sanningens bivalens.

Utökade logiker är logiska system som är baserade på klassisk logik och dess inferensregler men utökar den till nya fält genom att introducera nya logiska symboler och motsvarande inferensregler som styr dessa symboler. När det gäller aletisk modal logik , används dessa nya symboler för att uttrycka inte bara vad som är sant enklare , utan också vad som är möjligt eller nödvändigtvis sant . Det kombineras ofta med möjliga världars semantik, som hävdar att ett påstående möjligen är sant om det är sant i någon möjlig värld medan det nödvändigtvis är sant om det är sant i alla möjliga världar. Deontisk logik hänför sig till etik och ger en formell behandling av etiska föreställningar, såsom skyldighet och tillåtelse . Temporal logik formaliserar tidsmässiga relationer mellan propositioner. Detta inkluderar idéer som om något är sant någon gång eller hela tiden och om det är sant i framtiden eller i det förflutna. Epistemisk logik tillhör epistemologin . Det kan användas för att uttrycka inte bara vad som är fallet utan också vad någon tror eller vet är fallet. Dess regler för slutledning artikulerar vad som följer av det faktum att någon har dessa typer av mentala tillstånd . Logiker av högre ordning tillämpar inte direkt klassisk logik på vissa nya delfält inom filosofin utan generaliserar den genom att tillåta kvantifiering inte bara över individer utan även över predikat.

Avvikande logiker , i motsats till dessa former av utökade logiker, avvisar några av den klassiska logikens grundläggande principer och ses ofta som dess rivaler. Intuitionistisk logik bygger på idén att sanning beror på verifiering genom ett bevis. Detta leder till att den förkastar vissa slutledningsregler som finns i klassisk logik som inte är förenliga med detta antagande. Fri logik modifierar klassisk logik för att undvika existentiella förutsättningar förknippade med användningen av möjligen tomma singulära termer, som namn och bestämda beskrivningar. Många värderade logiker tillåter ytterligare sanningsvärden förutom sant och falskt . De förkastar därmed principen om sanningens bivalens. Parakonsekventa logiker är logiska system som kan hantera motsägelser. De gör det genom att undvika explosionsprincipen som finns i klassisk logik. Relevanslogik är en framträdande form av parakonsistent logik. Den avvisar den rent sanningsfunktionella tolkningen av det materiella betingade genom att införa det ytterligare kravet på relevans: för att det villkorliga ska vara sant måste dess antecedent vara relevant för dess följd.

Definition och relaterade fält

Termen "filosofisk logik" används av olika teoretiker på lite olika sätt. När den tolkas i snäv mening, som diskuteras i denna artikel, är filosofisk logik det filosofiska området som studerar tillämpningen av logiska metoder på filosofiska problem. Detta sker vanligtvis i form av att utveckla nya logiska system för att antingen utvidga den klassiska logiken till nya områden eller för att modifiera den för att inkludera vissa logiska intuitioner som inte korrekt behandlas av klassisk logik. I denna mening studerar filosofisk logik olika former av icke-klassisk logik, som modal logik och deontisk logik. På så sätt behandlas olika grundläggande filosofiska begrepp, som möjlighet, nödvändighet, skyldighet, tillåtelse och tid, på ett logiskt exakt sätt genom att formellt uttrycka de inferentiella roller de spelar i förhållande till varandra. Vissa teoretiker förstår filosofisk logik i en vidare mening som studiet av logikens omfattning och natur i allmänhet. Utifrån detta synsätt undersöker den olika filosofiska problem som väcker logik, inklusive logikens grundläggande begrepp. I denna vidare mening kan det förstås som identiskt med logikens filosofi , där dessa ämnen diskuteras. Den aktuella artikeln diskuterar endast den snäva uppfattningen om filosofisk logik. I denna mening utgör det ett område av logikens filosofi.

Centralt för filosofisk logik är en förståelse för vad logik är och vilken roll filosofisk logik spelar i den. Logik kan definieras som studiet av giltiga slutsatser. En slutledning är det steg av resonemang där den går från premisserna till en slutsats. Ofta används istället termen "argument". En slutsats är giltig om det är omöjligt för premisserna att vara sanna och slutsatsen att vara falsk. I denna mening säkerställer sanningen i premisserna sanningen i slutsatsen. Detta kan uttryckas i termer av inferensregler : en slutledning är giltig om dess struktur, dvs hur dess premisser och dess slutsats är utformade, följer en inferensregel. Olika logiksystem ger olika redogörelser för när en slutsats är giltig. Det betyder att de använder olika slutledningsregler. Den traditionellt dominerande synen på validitet kallas klassisk logik. Men filosofisk logik handlar om icke-klassisk logik: den studerar alternativa slutledningssystem. Motiven för att göra det kan grovt delas in i två kategorier. För vissa är den klassiska logiken för snäv: den utelämnar många filosofiskt intressanta frågor. Detta kan lösas genom att utöka den klassiska logiken med ytterligare symboler för att ge en logiskt strikt behandling av ytterligare områden. Andra ser något fel med den klassiska logiken i sig och försöker ge en rivaliserande redogörelse för slutsatser. Detta leder vanligtvis till utvecklingen av avvikande logiker, som var och en modifierar de grundläggande principerna bakom klassisk logik för att rätta till deras påstådda brister.

Klassificering av logik

Moderna utvecklingar inom logikområdet har resulterat i en stor spridning av logiska system. Detta står i skarp kontrast till den historiska dominansen av aristotelisk logik , som behandlades som logikens enda kanon i över två tusen år. Avhandlingar om modern logik behandlar ofta dessa olika system som en lista över separata ämnen utan att ge en tydlig klassificering av dem. Men en klassificering som ofta nämns i den akademiska litteraturen beror på Susan Haack och skiljer mellan klassisk logik , utökad logik och avvikande logik . Denna klassificering bygger på idén att klassisk logik, dvs propositionell logik och första ordningens logik, formaliserar några av de vanligaste logiska intuitionerna. I denna mening utgör den en grundläggande redogörelse för de axiom som styr giltig slutledning. Utökad logik accepterar detta grundläggande konto och utökar det till ytterligare områden. Detta sker vanligtvis genom att lägga till nytt ordförråd, till exempel för att uttrycka nödvändighet, skyldighet eller tid. Dessa nya symboler integreras sedan i den logiska mekanismen genom att specificera vilka nya inferensregler som gäller för dem, liksom den möjligheten följer av nödvändigheten. Avvikande logik, å andra sidan, avvisar några av den klassiska logikens grundläggande antaganden. I denna mening är de inte bara förlängningar av det utan formuleras ofta som rivaliserande system som erbjuder en annan redogörelse för logikens lagar.

Uttryckt på ett mer tekniskt språk dras distinktionen mellan utökad och avvikande logik ibland på ett lite annorlunda sätt. Enligt detta synsätt är en logik en förlängning av klassisk logik om två villkor är uppfyllda: (1) alla välformade formler för klassisk logik är också välformade formler i den och (2) alla giltiga slutledningar i klassisk logik är också giltiga slutsatser i det. För en avvikande logik, å andra sidan, (a) dess klass av välformade formler sammanfaller med den för klassisk logik, medan (b) vissa giltiga slutledningar i klassisk logik inte är giltiga slutledningar i den. Termen kvasi-avvikande logik används om (i) den introducerar nytt ordförråd men alla välformade formler för klassisk logik också är välformade formler i den och (ii) även när den är begränsad till slutledningar som endast använder den klassiska vokabulären logik, vissa giltiga slutledningar i klassisk logik är inte giltiga slutledningar i den. Termen "avvikande logik" används ofta i en mening som också inkluderar kvasi-avvikande logik.

Ett filosofiskt problem som tas upp av denna mångfald av logiker rör frågan om det kan finnas mer än en sann logik. Vissa teoretiker föredrar ett lokalt synsätt där olika typer av logik tillämpas på olika områden. Tidiga intuitionister såg till exempel intuitionistisk logik som den korrekta logiken för matematik men tillät klassisk logik inom andra områden. Men andra, som Michael Dummett , föredrar ett globalt tillvägagångssätt genom att hävda att intuitionistisk logik bör ersätta klassisk logik på alla områden. Monism är tesen att det bara finns en sann logik. Detta kan förstås på olika sätt, till exempel att endast ett av alla föreslagna logiska system är korrekt eller att det korrekta logiska systemet ännu inte finns som ett system som ligger bakom och förenar alla de olika logikerna. Pluralister, å andra sidan, menar att en mängd olika logiska system alla kan vara korrekta samtidigt.

Ett närbesläktat problem gäller frågan om alla dessa formella system faktiskt utgör logiska system. Detta är särskilt relevant för avvikande logiker som avviker väldigt långt från de vanliga logiska intuitionerna förknippade med klassisk logik. I denna mening har det till exempel hävdats att fuzzy logic är en logik endast i namnet men bör betraktas som ett icke-logiskt formellt system istället eftersom idén om grader av sanning är för långt borta från de mest grundläggande logiska intuitionerna. Så alla är inte överens om att alla de formella system som diskuteras i den här artikeln faktiskt utgör logiker , när de tolkas i strikt mening.

Klassisk logik

Klassisk logik är den dominerande formen av logik som används inom de flesta områden. Termen syftar främst på propositionell logik och första ordningens logik . Klassisk logik är inte ett självständigt ämne inom filosofisk logik. Men en god förtrogenhet med den krävs fortfarande eftersom många av de logiska systemen som direkt berör filosofisk logik kan förstås antingen som förlängningar av klassisk logik, som accepterar dess grundläggande principer och bygger på den, eller som modifieringar av den, förkastande några av dess kärnantaganden. Klassisk logik skapades ursprungligen för att analysera matematiska argument och tillämpades på olika andra områden först efteråt. Av denna anledning försummar den många ämnen av filosofisk betydelse som inte är relevanta för matematik, som skillnaden mellan nödvändighet och möjlighet, mellan skyldighet och tillåtelse, eller mellan dåtid, nutid och framtid. Dessa och liknande ämnen ges en logisk behandling i de olika filosofiska logikerna som utvidgar den klassiska logiken. Klassisk logik i sig handlar bara om ett fåtal grundläggande begrepp och den roll dessa begrepp spelar för att dra giltiga slutsatser. Begreppen som hänför sig till propositionell logik inkluderar propositionella kopplingar, som "och", "eller" och "om-då". Utmärkande för det klassiska förhållningssättet till dessa bindemedel är att de följer vissa lagar, som lagen om utesluten mitt , eliminering av dubbel negation , explosionsprincipen och sanningens bivalens. Detta skiljer klassisk logik från olika avvikande logiker, som förnekar en eller flera av dessa principer.

I första ordningens logik består själva propositionerna av delpropositionella delar , som predikat , singulartermer och kvantifierare . Singular termer hänvisar till objekt och predikat uttrycker egenskaper hos objekt och relationer mellan dem. Kvantifierare utgör en formell behandling av begrepp som "för vissa" och "för alla". De kan användas för att uttrycka om predikat överhuvudtaget har en tillägg eller om deras tillägg inkluderar hela domänen. Kvantifiering är endast tillåten över enskilda termer men inte över predikat, i motsats till logik av högre ordning.

Utökad logik

Aletisk modal

Aletisk modal logik har varit mycket inflytelserik inom logik och filosofi. Det ger en logisk formalism för att uttrycka vad som är möjligt eller nödvändigtvis sant . Det utgör en förlängning av första ordningens logik, som i sig själv bara kan uttrycka det som är sant förenklat . Denna förlängning sker genom att introducera två nya symboler: " $\Diamond$ " för möjlighet och " $\Box$ " för nödvändighet. Dessa symboler används för att modifiera propositioner. Till exempel, om " $W(s)$ " står för propositionen "Sokrates är klok", så uttrycker " ${\displaystyle \Diamond W(s)} "$ propositionen " det är möjligt att Sokrates är vis”. För att integrera dessa symboler i den logiska formalismen läggs olika axiom till de existerande axiomen för första ordningens logik. De styr det logiska beteendet hos dessa symboler genom att bestämma hur giltigheten av en slutledning beror på det faktum att dessa symboler finns i den. De inkluderar vanligtvis tanken att om en proposition är nödvändig är dess negation omöjlig, dvs att " $\Box A$ " motsvarar " $\lnot \Diamond \lnot A$ " . En annan sådan princip är att om något är nödvändigt så måste det också vara möjligt. Detta betyder att " $\Diamond A$ " följer av " $\Box A$ " . Det råder oenighet om exakt vilka axiom som styr modal logik. De olika formerna av modal logik presenteras ofta som en kapslad hierarki av system där de mest fundamentala systemen, som system K , bara inkluderar de mest fundamentala axiomen medan andra system, som det populära systemet S5 , bygger ovanpå det genom att inkludera ytterligare axiom. I denna mening är system K en förlängning av första ordningens logik medan system S5 är en förlängning av system K. Viktiga diskussioner inom filosofisk logik rör frågan om vilket system av modal logik som är korrekt. Det är vanligtvis fördelaktigt att ha ett så starkt system som möjligt för att kunna dra många olika slutsatser. Men detta för med sig problemet att vissa av dessa ytterligare slutsatser kan motsäga grundläggande modala intuitioner i specifika fall. Detta motiverar vanligtvis valet av ett mer grundläggande system av axiom.

Possible worlds semantics är en mycket inflytelserik formell semantik inom modal logik som för med sig system S5. En formell semantik av ett språk kännetecknar de förhållanden under vilka meningarna i detta språk är sanna eller falska. Formell semantik spelar en central roll i den modellteoretiska uppfattningen om validitet . De kan tillhandahålla tydliga kriterier för när en slutsats är giltig eller inte: en slutledning är giltig om och bara om den är sanningsbevarande, dvs om närhelst dess premisser är sanna så är dess slutsats också sann. Om de är sanna eller falska anges av den formella semantiken. Möjliga världars semantik specificerar sanningsvillkoren för meningar uttryckta i modal logik i termer av möjliga världar. En möjlig värld är ett komplett och konsekvent sätt hur saker kunde ha varit. I denna vy är en mening modifierad av ◊ $\displaystyle \Diamond }$ -operatorn sann om den är sann i minst en möjlig värld medan en mening modifierad av ◻ {\ $\Box }$ -operatorn är sann om den är sant i alla möjliga världar. Så meningen " $\Diamond W(s)$ " (det är möjligt att Sokrates är vis) är sann eftersom det finns åtminstone en värld där Sokrates är vis. Men " $\Box W(s)$ " (det är nödvändigt att Sokrates är vis) är falsk eftersom Sokrates inte är vis i alla möjliga världar. Möjlig världssemantik har kritiserats som en formell semantik av modal logik eftersom den verkar vara cirkulär. Anledningen till detta är att möjliga världar i sig definieras i modala termer, det vill säga som hur saker kunde ha varit. På så sätt använder den själv modala uttryck för att fastställa sanningen i meningar som innehåller modala uttryck.

Deontisk

Deontisk logik utvidgar klassisk logik till etikområdet . Av central betydelse inom etiken är begreppen skyldighet och tillstånd , det vill säga vilka handlingar agenten har att göra eller får göra. Deontisk logik uttrycker vanligtvis dessa idéer med operatorerna $O$ och $P$ . Så om " $J(r)$ " står för propositionen "Ramirez joggar", så betyder " $OJ(r)$ " att Ramirez har skyldigheten att gå jogging och " $PJ(r)$ " betyder att Ramirez har tillstånd att jogga.

Deontisk logik är nära besläktad med aletisk modal logik genom att axiomen som styr det logiska beteendet hos deras operatörer är identiska. Detta innebär att skyldighet och tillåtelse beter sig med avseende på giltig slutledning precis som nödvändighet och möjlighet gör. Av denna anledning används ibland till och med samma symboler som operatorer. Precis som i aletisk modal logik finns det en diskussion inom filosofisk logik om vilket som är det rätta systemet av axiom för att uttrycka de vanliga intuitionerna som styr deontiska slutsatser. Men argumenten och motexemplen här är något annorlunda eftersom innebörden av dessa operatorer skiljer sig åt. Till exempel är en vanlig intuition inom etik att om agenten har skyldighet att göra något så har de automatiskt också tillstånd att göra det. Detta kan uttryckas formellt genom axiomschemat " $to PA}$ " \ En annan fråga av intresse för filosofisk logik rör relationen mellan aletisk modal logik och deontisk logik. En ofta diskuterad princip i detta avseende är att borde innebär kan . Det innebär att ombudet endast kan ha skyldighet att göra något om det är möjligt för ombudet att göra det. Uttryckt formellt: " $OA\to \Diamond A$ " .

Timlig

Temporal logik , eller spänd logik, använder logiska mekanismer för att uttrycka tidsmässiga relationer. I sin enklaste form innehåller den en operator för att uttrycka att något hänt vid ett tillfälle och en annan för att uttrycka att något händer hela tiden. Dessa två operatörer beter sig på samma sätt som operatörerna för möjlighet och nödvändighet i aletisk modal logik. Eftersom skillnaden mellan förflutna och framtid är av central betydelse för mänskliga angelägenheter, modifieras dessa operatörer ofta för att ta hänsyn till denna skillnad. Arthur Priors spända logik, till exempel, realiserar denna idé med hjälp av fyra sådana operatorer: $P$ (det var så att...), $F$ (det kommer att vara fallet att.. .), $H$ (det har alltid varit så att...) och $G$ (det kommer alltid att vara så att...). Så för att uttrycka att det alltid kommer att vara regnigt i London skulle man kunna använda " $G(Rainy(london))$ " . Olika axiom används för att styra vilka slutsatser som är giltiga beroende på vilka operatorer som förekommer i dem. Enligt dem kan man till exempel härleda " $F(Rainy(london))$ " (det kommer att regna i London någon gång) från " $G(Rainy(london))$ " . I mer komplicerade former av tidslogik definieras även binära operatorer som länkar två propositioner, till exempel för att uttrycka att något händer tills något annat händer.

Temporal modal logik kan översättas till klassisk första ordningens logik genom att behandla tid i form av en singulär term och öka ariteten av ens predikat med ett. Till exempel, tense-logic-meningen " $dark\land P(light)\land F(light)$ " (det är mörkt, det var ljust, och det kommer att bli ljust igen) kan översättas till ren första ordningens logik som " $dark(t_{1})\land \exists t_{0}(t_{0}<t_{ 1}\landljus(t_{0}))\land \exists t_{2}(t_{1}<t_{2}\landljus(t_{2}))$ " . Medan liknande tillvägagångssätt ofta ses inom fysiken, föredrar logiker vanligtvis en autonom behandling av tid när det gäller operatörer. Detta är också närmare naturliga språk, som mest använder grammatik, t.ex. genom att konjugera verb, för att uttrycka händelsernas förflutna eller framtid.

Epistemisk

Epistemisk logik är en form av modal logik som tillämpas på epistemologins fält . Det syftar till att fånga logiken i kunskap och tro . De modala operatorerna som uttrycker kunskap och övertygelse uttrycks vanligtvis genom symbolerna " $K$ " och " $B$ " . Så om " $W(s)$ " står för propositionen "Sokrates är klok", så uttrycker " ${\displaystyle KW(s)} "$ propositionen "agenten vet att Sokrates är klok" och " ${\displaystyle BW(s)} "$ uttrycker påståendet "agenten tror att Sokrates är klok". Axiom som styr dessa operatorer formuleras sedan för att uttrycka olika epistemiska principer. Till exempel, axiomschemat " $KA\to A$ " uttrycker att närhelst något är känt så är det sant. Detta speglar tanken att man bara kan veta vad som är sant, annars är det inte kunskap utan ett annat mentalt tillstånd. En annan epistemisk intuition om kunskap handlar om att när agenten vet något så vet de också att de vet det. Detta kan uttryckas med axiomschemat " $KA\to KKA$ " . En ytterligare princip som kopplar samman kunskap och tro säger att kunskap innebär tro, dvs " $KA\to BA$ " . Dynamisk epistemisk logik är en distinkt form av epistemisk logik som fokuserar på situationer där förändringar i tro och kunskap sker.

Högre ordning

Högre ordningens logik utökar första ordningens logik genom att inkludera nya former av kvantifiering . I första ordningens logik är kvantifiering begränsad till singulära termer. Det kan användas för att tala om huruvida ett predikat överhuvudtaget har en förlängning eller om dess förlängning omfattar hela domänen. På så sätt kan satser som " ${\displaystyle \exists x(Apple(x)\land Sweet(x))} "$ ( det finns vissa äpplen som är söta) kan uttryckas. I logik av högre ordning tillåts kvantifiering inte bara över enskilda termer utan också över predikat. På så sätt är det möjligt att till exempel uttrycka om vissa individer delar några eller alla sina predikat, som i " $\exists Q(Q(mary)\land Q(john))$ " ( det finns några egenskaper som Mary och John delar). På grund av dessa förändringar har högre ordningens logik mer uttryckskraft än första ordningens logik. Detta kan vara till hjälp för matematik på olika sätt eftersom olika matematiska teorier har ett mycket enklare uttryck i högre ordningens logik än i första ordningens logik. Till exempel Peano-aritmetik och Zermelo-Fraenkels mängdteori ett oändligt antal axiom för att uttryckas i första ordningens logik. Men de kan uttryckas i andra ordningens logik med endast ett fåtal axiom.

Men trots denna fördel är första ordningens logik fortfarande mycket mer utbredd än logik av högre ordningen. En anledning till detta är att logik av högre ordning är ofullständig . Detta innebär att det för teorier formulerade i högre ordningslogik inte är möjligt att bevisa varje sann mening som hör till teorin i fråga. En annan nackdel är kopplad till de extra ontologiska åtagandena hos logik av högre ordning. Det anses ofta att användningen av den existentiella kvantifieraren för med sig ett ontologiskt engagemang för de enheter över vilka denna kvantifierare sträcker sig. I första ordningens logik handlar det bara om individer, vilket brukar ses som ett oproblematiskt ontologiskt engagemang. I logik av högre ordning gäller kvantifiering även egenskaper och relationer. Detta tolkas ofta som att logik av högre ordning för med sig en form av platonism , dvs synen att universella egenskaper och relationer existerar förutom individer.

Avvikande logik

Intuitionistisk

Intuitionistisk logik är en mer begränsad version av klassisk logik. Den är mer begränsad i den meningen att vissa slutledningsregler som används i klassisk logik inte utgör giltiga slutledningar i den. Detta gäller specifikt lagen om utesluten mitt och eliminering av dubbel negation . Lagen om utesluten mitten säger att för varje mening är antingen den eller dess negation sanna. Formellt uttryckt: $A\eller \lnot A$ . Lagen om eliminering av dubbel negation säger att om en mening inte är sann, så är den sann, dvs " $\lnot \lnot A\to A$ " . På grund av dessa restriktioner är många bevis mer komplicerade och vissa bevis som annars accepteras blir omöjliga.

Dessa modifikationer av klassisk logik är motiverade av idén att sanning beror på verifiering genom ett bevis . Detta har tolkats på det sättet att "sant" betyder "verifierbar". Det tillämpades ursprungligen bara på matematikområdet men har sedan dess använts inom andra områden också. På denna tolkning skulle lagen om utesluten mitt innebära antagandet att varje matematiskt problem har en lösning i form av ett bevis. I denna mening motiveras det intuitionistiska förkastandet av lagen om utesluten mitt av förkastandet av detta antagande. Denna ståndpunkt kan också uttryckas genom att konstatera att det inte finns några oerfarna eller verifieringstranscendenta sanningar. I denna mening är intuitionistisk logik motiverad av en form av metafysisk idealism. Tillämpat på matematik, säger det att matematiska objekt existerar endast i den utsträckning som de är konstruerade i sinnet.

Fri

Fri logik förkastar några av de existentiella förutsättningar som finns i klassisk logik. I klassisk logik måste varje singulär term beteckna ett objekt inom kvantifieringsdomänen. Detta brukar förstås som ett ontologiskt engagemang för existensen av den namngivna entiteten. Men många namn används i vardagliga diskurser som inte hänvisar till existerande enheter, som "tomten" eller "Pegasus". Detta hotar att utesluta sådana diskursområden från en strikt logisk behandling. Fri logik undviker dessa problem genom att tillåta formler med icke-betecknande singulära termer. Detta gäller såväl egennamn som bestämda beskrivningar och funktionella uttryck. Kvantifierare, å andra sidan, behandlas på vanligt sätt som att de sträcker sig över domänen. Detta gör att uttryck som " $\lnot \exists x(x=santa)$ " (tomten finns inte) är sanna även om de är självmotsägande i klassisk logik. Det för också med sig konsekvensen att vissa giltiga former av slutledning som finns i klassisk logik inte är giltiga i fri logik. Till exempel kan man dra slutsatsen från " $Beard(santa)$ " (tomten har ett skägg) att " $\exists x(Beard(x))$ " (något har skägg) i klassisk logik men inte i fri logik. I fri logik används ofta ett existenspredikat för att indikera om en singulär term betecknar ett objekt i domänen eller inte. Men användningen av existenspredikat är kontroversiell. De är ofta emot, utifrån tanken att existens krävs om några predikat överhuvudtaget skulle gälla objektet. I denna mening kan inte existensen i sig vara ett predikat.

Karel Lambert , som myntade termen "fri logik", har föreslagit att fri logik kan förstås som en generalisering av klassisk predikatlogik precis som predikatslogik är en generalisering av aristotelisk logik. I detta synsätt introducerar klassisk predikatlogik predikat med en tom förlängning medan fri logik introducerar singular termer för icke-existerande saker.

Ett viktigt problem för fri logik består i hur man bestämmer sanningsvärdet för uttryck som innehåller tomma singulära termer, dvs att formulera en formell semantik för fri logik. Formell semantik av klassisk logik kan definiera sanningen i deras uttryck i termer av deras denotation. Men detta alternativ kan inte tillämpas på alla uttryck i fri logik eftersom inte alla har en denotation. Tre allmänna förhållningssätt till denna fråga diskuteras ofta i litteraturen: negativ semantik , positiv semantik och neutral semantik . Negativ semantik hävdar att alla atomformler som innehåller tomma termer är falska. I denna vy är uttrycket " $Beard(santa)$ " falskt. Positiv semantik tillåter att åtminstone vissa uttryck med tomma termer är sanna. Detta inkluderar vanligtvis identitetssatser, som " $santa=santa$ " . Vissa versioner introducerar en andra, yttre domän för icke-existerande objekt, som sedan används för att fastställa motsvarande sanningsvärden. Neutral semantik , å andra sidan, hävdar att atomformler som innehåller tomma termer varken är sanna eller falska. Detta förstås ofta som en trevärdig logik , dvs att ett tredje sanningsvärde förutom sant och falskt införs för dessa fall.

Många värderade

Många värderade logiker är logiker som tillåter mer än två sanningsvärden. De förkastar ett av den klassiska logikens kärnantaganden: principen om sanningens bivalens. De enklaste versionerna av logik med många värden är logik med tre värden: de innehåller ett tredje sanningsvärde. I Stephen Cole Kleenes logik med tre värden är till exempel detta tredje sanningsvärde "odefinierat". Enligt Nuel Belnaps logik med fyra värden finns det fyra möjliga sanningsvärden: "sant", "falskt", "varken sant eller falskt" och "både sant och falskt". Detta kan till exempel tolkas som att det indikerar vilken information man har om huruvida en stat får: information som den får, information som den inte får, ingen information och motstridig information. En av de mest extrema formerna av mångvärdig logik är fuzzy logic. Det tillåter sanning att uppstå i vilken grad som helst mellan 0 och 1. 0 motsvarar helt falskt, 1 motsvarar helt sant och värdena däremellan motsvarar sanning i någon grad, t.ex. som lite sant eller mycket sant. Det används ofta för att hantera vaga uttryck i naturligt språk. Att till exempel säga att "Petr är ung" passar bättre (dvs. är "mer sant") om "Petr" syftar på en treåring än om det syftar på en 23-åring. Många värderade logiker med ett begränsat antal sanningsvärden kan definiera sina logiska kopplingar med hjälp av sanningstabeller, precis som klassisk logik. Skillnaden är att dessa sanningstabeller är mer komplexa eftersom fler möjliga input och output måste beaktas. ∧ $\displaystyle \land } "$ för konjunktionsoperatorn " i utgången "odefinierad". Inmatningarna "falskt" och "odefinierat" resulterar å andra sidan i "falskt".

Parakonsekvent

Parakonsekventa logiker är logiska system som kan hantera motsägelser utan att leda till fullständig absurditet. De uppnår detta genom att undvika explosionsprincipen som finns i klassisk logik. Enligt explosionsprincipen följer allt av en motsägelse. Detta är fallet på grund av två regler för inferens, som är giltiga i klassisk logik: disjunktionsintroduktion och disjunktiv syllogism . Enligt disjunktionsinledningen kan vilken proposition som helst introduceras i form av en disjunktion när den paras ihop med en sann proposition. Så eftersom det är sant att "solen är större än månen" är det möjligt att dra slutsatsen att "solen är större än månen eller Spanien styrs av rymdkaniner". Enligt den disjunktiva syllogismen kan man dra slutsatsen att en av dessa disjunkter är sann om den andra är falsk. Så om det logiska systemet också innehåller negationen av denna proposition, dvs att "solen inte är större än månen", så är det möjligt att sluta sig till vilken proposition som helst från detta system, som påståendet att "Spanien styrs av rymdkaniner ". Parakonsekventa logiker undviker detta genom att använda olika slutledningsregler som gör slutsatser i enlighet med explosionsprincipen ogiltiga.

En viktig motivering för att använda parakonsekventa logiker är dialeteism, dvs tron ​​att motsägelser inte bara introduceras i teorier på grund av misstag utan att själva verkligheten är motsägelsefull och att motsägelser inom teorier behövs för att korrekt återspegla verkligheten. Utan parakonsekventa logiker skulle dialeteismen vara hopplös eftersom allt skulle vara både sant och falskt. Parakonsekventa logiker gör det möjligt att hålla motsägelser lokala, utan att explodera hela systemet. Men även med denna justering är dialeteismen fortfarande mycket omtvistad. En annan motivation för parakonsekvent logik är att tillhandahålla en logik för diskussioner och gruppövertygelser där gruppen som helhet kan ha inkonsekventa övertygelser om dess olika medlemmar är oense.

Relevans

Relevanslogik är en typ av parakonsistent logik. Som sådan undviker den också principen om explosion även om detta vanligtvis inte är huvudmotiveringen bakom relevanslogik. Istället är det vanligtvis formulerat med målet att undvika vissa ointuitiva tillämpningar av det materiella betingade som finns i klassisk logik. Klassisk logik definierar materialet villkorligt i rent sanningsfunktionella termer, dvs " $p\to q$ " är falskt om " ${\displaystyle p} "$ är sant och " $q$ " är falskt, men annars sant i alla fall. Enligt denna formella definition spelar det ingen roll om " $p$ " och " $q$ " är relevanta för varandra på något sätt. Till exempel är det materiella villkoret "om alla citroner är röda så är det en sandstorm inuti Sydney Opera House" sant även om de två förslagen inte är relevanta för varandra.

Det faktum att denna användning av materiella villkor är mycket ointuitiv återspeglas också i informell logik , som kategoriserar sådana slutsatser som relevansfel . Relevanslogik försöker undvika dessa fall genom att kräva att för ett verkligt materiellt villkor måste dess antecedent vara relevant för följden. En svårighet för denna fråga är att relevans vanligtvis hör till innehållet i propositionerna medan logik endast behandlar formella aspekter. Detta problem åtgärdas delvis av den så kallade variabeldelningsprincipen . Den anger att antecedent och konsekvent måste dela en propositionsvariabel. Detta skulle till exempel vara fallet i " $(p\land q)\to q$ " men inte i " $(p\land q)\till r$ " . En närbesläktad angelägenhet för relevanslogik är att slutsatser ska följa samma krav på relevans, dvs att det är ett nödvändigt krav på giltiga slutsatser att deras premisser är relevanta för deras slutsats.