Homotopi teori

Inom matematik är homotopi teori en systematisk studie av situationer där kartor kan komma med homotopier mellan dem. Det har sitt ursprung som ett ämne i algebraisk topologi men studeras numera som en självständig disciplin. Förutom algebraisk topologi, har teorin också använts i andra områden av matematiken som algebraisk geometri (t.ex. A ¹ homotopi teori ) och kategoriteori (särskilt studiet av högre kategorier ).

Begrepp

Utrymmen och kartor

I homotopi teori och algebraisk topologi, betecknar ordet "rymd" ett topologiskt utrymme . För att undvika patologier arbetar man sällan med godtyckliga utrymmen; istället kräver man utrymmen för att möta extra begränsningar, som att vara kompakt genererad , eller Hausdorff , eller ett CW-komplex .

I samma veva som ovan är en " karta " en kontinuerlig funktion, eventuellt med några extra begränsningar.

Ofta arbetar man med ett spetsigt utrymme -- det vill säga ett utrymme med en "utmärkt punkt", som kallas en baspunkt. En spetsig karta är då en karta som bevarar baspunkter; det vill säga den skickar baspunkten för domänen till den för kodomänen. Däremot är en fri karta en som inte behöver bevara baspunkter.

Homotopi

Huvudartikel: Homotopi

Låt mig beteckna enhetsintervallet. En familj av kartor indexerade av I , $h_{t}:X\to Y$ kallas en homotopi från $h_{0}$ till $h_{1 }$ om $h:I\ gånger X\till Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ är en karta (t.ex. måste det vara en kontinuerlig funktion ). När X , Y är spetsiga mellanslag krävs $h_{t}$ för att bevara baspunkterna. En homotopi kan visas vara en ekvivalensrelation . Givet ett spetsigt mellanslag X och ett heltal $n\geq 1$ , låt $\pi _{n}(X)=[S^ {n},X]_{*}$ vara homotopiklasserna för baserade kartor $S^{n}\to X$ från en (spetsad) n -sfär $S^{ n}$ till X . Som det visar sig är $\pi _{n}(X)$ grupper ; i synnerhet kallas ${\displaystyle \pi _{1}(X)} den$ fundamentala gruppen av X .

Om man föredrar att arbeta med ett utrymme istället för ett spetsigt utrymme, finns det föreställningen om en fundamental groupoid (och högre varianter): per definition är den fundamentala groupoiden i ett utrymme X den kategori där objekten är punkterna i X och morfismerna är vägar .

Cofibration och fibration

En karta $f:A\to X$ kallas en cofibration om den ges (1) en karta $h_{0}:X\to Z$ och (2) a homotopi $g_{t}:A\to Z$ , det finns en homotopi $h_{t}:X\to Z$ som sträcker sig ${\ displaystyle h_{0}}$ och så att $h_{t}\circ f=g_{t}$ . Till viss mening är det en analog till det definierande diagrammet för en injektiv modul i abstrakt algebra . Det mest grundläggande exemplet är ett CW-par $(X,A)$ ; eftersom många enbart arbetar med CW-komplex är föreställningen om en cofibration ofta implicit.

En fibrering i betydelsen Serre är den dubbla föreställningen om en samfibrering: det vill säga en karta $p:X\to B$ är en fibrering om den ges (1) en karta ${\ displaystyle Z\to X}$ och (2) en homotopi $g_{t}:Z\to B$ , det finns en homotopi $h_{t}: Z\till X$ så att $h_{0}$ är den givna och $p\circ h_{t}=g_{t}$ . Ett grundläggande exempel är en täckkarta (i själva verket är en fibrering en generalisering av en täckande karta). Om $E$ är ett huvudsakligt G -bunt , det vill säga ett rum med en fri och transitiv (topologisk) gruppverkan av en ( topologisk ) grupp, då projektionskartan $p: E\till X$ är ett exempel på en fibrering.

Klassificering av utrymmen och homotopioperationer

Givet en topologisk grupp G , är klassificeringsutrymmet för huvudsakliga G -buntar ("the" upp till ekvivalens) ett utrymme $\displaystyle BG}$ { så att, för varje utrymme X ,

$[X,BG]=$ {huvud G -bunt på X } / ~ $,\,\,[f]\mapsto f ^{*}EG$

var

• den vänstra sidan är uppsättningen homotopiklasser av kartor $X\to BG$ ,
• ~ hänvisar till isomorfism av buntar, och
• = ges genom att dra tillbaka den distinguerade bunten $EG$ på $BG$ (kallad universell bunt) längs en karta $X\to BG$ .

Browns representabilitetsteorem garanterar att det finns klassificerande utrymmen.

Spektrum och generaliserad kohomologi

Huvudartiklar: Spectrum (algebraisk topologi) och generaliserad kohomologi

Tanken att ett klassificerande utrymme klassificerar huvudbuntar kan drivas vidare. Till exempel kan man försöka klassificera kohomologiklasser: givet en abelsk grupp A (som $\mathbb {Z}$ ),

$[X,K(A,n)]=\operatörsnamn {H} ^{n}(X;A)$

där $K(A,n)$ är Eilenberg–MacLane-utrymmet . Ovanstående ekvation leder till föreställningen om en generaliserad kohomologiteori; dvs en kontravariant funktion från kategorin rum till kategorin abelska grupper som uppfyller axiomen som generaliserar vanlig kohomologiteori. Det visar sig att en sådan funktor kanske inte kan representeras av ett mellanslag, men den kan alltid representeras av en sekvens av (spetsade) rum med strukturkartor som kallas ett spektrum. Med andra ord, att ge en generaliserad kohomologiteori är att ge ett spektrum.

Ett grundläggande exempel på ett spektrum är ett sfärspektrum : $S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots$

Nyckelsatser

• Seifert–van Kampens sats
• Homotopi excision teorem
• Freudenthal suspensionssats (en följd av excisionssatsen)
• Landwebers exakta funktorsats
• Dold–Kan korrespondens
• Eckmann-Hilton-argument - detta visar till exempel att högre homotopigrupper är abelska .
• Universell koefficientsats

Obstruktionsteori och karaktäristisk klass

Se även: Karakteristisk klass , Postnikov-tornet , Whitehead-torsion

Lokalisering och färdigställande av ett utrymme

Huvudartikel: Lokalisering av ett topologiskt utrymme

Specifika teorier

Det finns flera specifika teorier

• enkel homotopi teori
• stabil homotopi teori
• kromatisk homotopi teori
• rationell homotopi teori
• p-adisk homotopi teori
• ekvivariant homotopi teori

Homotopihypotes

Huvudartikel: Homotopihypotes

En av de grundläggande frågorna i grunderna för homotopi teorin är naturen av ett rum. Homotopihypotesen frågar sig om ett rum är något fundamentalt algebraiskt .

Abstrakt homotopi teori

Begrepp

• fibersekvens
• kofibersekvens

Modellkategorier

Huvudartikel: Modellkategori

Enkel homotopi teori

• Enkel homotopi

Se även

• Högstrukturerat ringspektrum
• Homotopi typteori
• Jagar stackar

• May, J. En kortfattad kurs i algebraisk topologi
•    George William Whitehead (1978). Element av homotopi teori . Examentexter i matematik. Vol. 61 (3:e upplagan). New York-Berlin: Springer-Verlag. s. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1 . MR 0516508 . Hämtad 6 september 2011 .
•   Ronald Brown, Topology and groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8 .

Vidare läsning

• Cisinskis anteckningar
• http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf
• Math 527 - Homotopy Theory Spring 2013, Section F1 , föreläsningar av Martin Frankland

externa länkar

• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory