Konstruerbart universum

Ej att förväxla med Gödel metrisk .

  Inom matematik , i mängdlära , är det konstruerbara universum (eller Gödels konstruerbara universum ), betecknat med L , en speciell klass av mängder som kan beskrivas helt i termer av enklare mängder. L är föreningen av den konstruerbara hierarkin L _α . Den introducerades av Kurt Gödel i hans artikel från 1938 "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis". I den här artikeln bevisade han att det konstruerbara universum är en inre modell av ZF-mängdteorin (det vill säga av Zermelo–Fraenkels mängdteori med valets axiom uteslutet), och även att valets axiom och den generaliserade kontinuumhypotesen är sanna i det konstruerbara universum. Detta visar att båda påståendena är förenliga med mängdteorins grundläggande axiom , om ZF i sig är konsekvent. Eftersom många andra satser bara gäller i system där en eller båda påståendena är sanna, är deras konsistens ett viktigt resultat.

Vad L är

L kan tänkas vara byggd i "steg" som liknar konstruktionen av von Neumanns universum , V . Stadierna indexeras med ordningstal . I von Neumanns universum, på ett efterföljande stadium, tar man V _{α +1} för att vara mängden av alla delmängder av det föregående steget, V _α . Däremot använder man i Gödels konstruerbara universum L endast de delmängder av det föregående steget som är:

• kan definieras med en formel i det formella språket för mängdteorin,
• med parametrar från föregående steg och,
• med kvantifierarna tolkade för att sträcka sig över föregående steg.

Genom att begränsa sig till mängder definierade endast i termer av vad som redan har konstruerats, säkerställer man att de resulterande mängderna kommer att konstrueras på ett sätt som är oberoende av särdragen hos den omgivande modellen för mängdteori och som ingår i en sådan modell.

Definiera Def-operatorn:

$\operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\mid y\in X{\text{ och }}(X,\in )\models \Phi (y,z_{ 1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ är en första ordningens formel och }}z_{1},\ldots ,z_{n}\i X {\Bigr \}}.$

L definieras av transfinit rekursion enligt följande:

• $L_{0}:=\varnothing .$
• $L_{\alpha +1}:=\operatörsnamn {Def} (L_{\alpha }).$
• Om $\lambda$ är en limitordinal , då ${\displaystyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.} Här betyder α < λ {\displaystyle \$ alpha < $α$$\displaystyle \alpha }$ föregår $\lambda$ .
• $L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.$ Här betecknar Ord klassen av alla ordinaler.

Om $z$ är ett element av $L_{\alpha }$ , då är $z=\{y\in L_{\alpha }\ {\text{and}}\ y\in z\}\in {\textrm {Def}}(L_{\alpha })=L_{\alpha +1 }$ . Så $L_{\alpha }$ är en delmängd av ${\displaystyle L_{\alpha +1}} ,$ som är en delmängd av potensmängden av L _α . Följaktligen är detta ett torn av kapslade transitiva uppsättningar . Men L i sig är en riktig klass .

Elementen i L kallas "konstruerbara" uppsättningar; och L själv är det "konstruerbara universum". " Konstruerbarhetens axiom ", aka " V = L ", säger att varje uppsättning (av V ) är konstruerbar, dvs i L .

Ytterligare fakta om mängderna L _α

En ekvivalent definition för L _α är:

För valfri ordningsföljd α , $L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatörsnamn {Def} (L_{\beta })\ !$ .

För varje ändlig ordningsföljd n är mängderna L _n och V _n desamma (oavsett om V är lika med L eller inte), och därför är L _ω = V _ω : deras element är exakt de ärftligt ändliga mängderna . Jämställdhet bortom denna punkt håller inte. Även i modeller av ZFC där V är lika med _{L +1} , är L _{ω +1} en riktig delmängd av Vω _{+1 ,} och därefter är Lα en riktig delmängd av effektmängden Lα för alla α > ω _. Å andra sidan innebär V = L att V _α är lika med L _α om α = ω _α , till exempel om α är otillgänglig. Mer generellt innebär V = L H _α = L _α för alla oändliga kardinaler α .

Om α är en oändlig ordinal så finns det en bijektion mellan L _α och α , och bijektionen är konstruerbar. Så dessa uppsättningar är lika många i alla modeller av mängdteori som inkluderar dem.

₀ Som definierats ovan är Def( X ) uppsättningen av delmängder av X som definieras av Δ- formler (med avseende på Levy-hierarkin , dvs. formler för mängdteorin som endast innehåller avgränsade kvantifierare ) som endast använder X och dess element som parametrar .

En annan definition, på grund av Gödel, karakteriserar varje L _{α +1} som skärningspunkten mellan potensmängden av L _α med stängningen av $L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}$ under en samling av nio explicita funktioner, liknande Gödel-operationer . Denna definition hänvisar inte till definierbarhet.

Alla aritmetiska delmängder av ω och relationer på ω tillhör L _{ω +1} (eftersom den aritmetiska definitionen ger en i L _{ω +1} ). Omvänt är varje delmängd av ω som hör till L _{ω +1} aritmetisk (eftersom element i L _ω kan kodas av naturliga tal på ett sådant sätt att ∈ är definierbar, dvs. aritmetisk). Å andra sidan L _{ω +2} redan vissa icke-aritmetiska delmängder av ω , såsom uppsättningen av (naturliga tal som kodar) sanna aritmetiska påståenden (detta kan definieras från L _{ω +1} så det är i L _{ω +2} ).

Alla hyperaritmetiska delmängder av ω och relationer på ω tillhör ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}} ($ där $\omega _{ 1}^{\mathrm {CK} }$ står för Church–Kleene ordinal ), och omvänt varje delmängd av ω som tillhör $L_{\omega _{1}^{\mathrm { CK} }}$ är hyperaritmetisk.

L är en standard inre modell av ZFC

$(L,\in )$ är en standardmodell, dvs L är en transitiv klass och tolkningen använder det verkliga elementförhållandet, så det är välgrundat . L är en inre modell, dvs den innehåller alla ordningstal för V och den har inga "extra" mängder utöver de i V . Men L kan vara en riktig underklass av V . L är en modell av ZFC , vilket betyder att den uppfyller följande axiom :

• Regelbundenhetsaxiom : Varje icke-tom mängd x innehåller något element y så att x och y är disjunkta mängder.

( L ,∈) är en understruktur av ( V ,∈), som är välgrundad, så L är välgrundad. I synnerhet, om y ∈ x ∈ L , då genom transitiviteten av L , y ∈ L . Om vi ​​använder samma y som i V , är det fortfarande disjunkt från x eftersom vi använder samma elementrelation och inga nya uppsättningar har lagts till.

• Axiom för extensionalitet : Två uppsättningar är samma om de har samma element.

Om x och y är i L och de har samma element i L , så har de genom L :s transitivitet samma element (i V ). De är alltså lika (i V och alltså i L ).

• Axiom för tom mängd : {} är en mängd.

$\{\}=L_{0}=\{y\mid y\in L_{0}\land y=y\}$ , som är i $L_{1}$ . Så $\{\}\in L$ . Eftersom elementrelationen är densamma och inga nya element har lagts till, är detta den tomma uppsättningen av $L$ .

• Axiom för parning : Om $x$ , $y$ är mängder, då är $\{x,y\}$ en mängd.

Om $x\in L$ och ${\displaystyle y\in L} ,$ så finns det någon ordinal $\alpha$ så att $x\in L_ {\alpha }$ och $y\in L_{\alpha }$ . Då { x , y } = { s | s ∈ L _α och ( s = x eller s = y )} ∈ L _{α +1} . Alltså { x , y } ∈ L och det har samma betydelse för L som för V .

• Föreningsaxiom : För varje mängd x finns det en mängd y vars element är just elementen i elementen i x .

Om $x\in L_{\alpha }$ så är dess element i $L_{\alpha }$ och deras element är också i $L_{\alpha }$ . Så $y$ är en delmängd av $L_{\alpha }$ . y = { s | s ∈ L _α och det finns z ∈ x så att s ∈ z } ∈ L _{α +1} . Alltså $y\in L$ .

• Oändlighetens axiom : Det finns en mängd $x$ så att $\varnothing$ är i $x$ och när $y$ är i $x$ , så är föreningen $y\cup \{y\}$ .

Transfinit induktion kan användas för att visa varje ordinal α ∈ L _{α +1} . I synnerhet ω ∈ L _{ω +1} och därmed ω ∈ L .

• Separationsaxiom : Givet vilken mängd S och vilken proposition P som helst ( x , z ₁ ,..., z _n ), { x | x ∈ S och P ( x , z ₁ ,..., z _n )} är en mängd.

Genom induktion på underformler av P kan man visa att det finns ett α så att L _α innehåller S och z ₁ ,..., z _n och ( P är sant i L _α om och endast om $P$ är sant i $L$ ), den senare kallas " reflektionsprincipen "). Så { x | x ∈ S och P ( x , z ₁ ,..., z _n ) gäller i L } = { x | x ∈ L _α och x ∈ S och P ( x , z ₁ ,..., z _n ) håller i L _α } ∈ L _{α +1} . Således är delmängden i L .

• Axiom för ersättning : Givet varje mängd S och eventuell mappning (formellt definierad som en proposition P ( x , y ) där P ( x , y ) och P( x , z ) antyder y = z ), { y | det finns x ∈ S så att P ( x , y )} är en mängd.

Låt Q ( x , y ) vara formeln som relativiserar P till L , dvs alla kvantifierare i P är begränsade till L . Q är en mycket mer komplex formel än P , men det är fortfarande en finit formel, och eftersom P var en avbildning över L måste Q vara en avbildning över V ; sålunda kan vi tillämpa ersättning i V till Q . Så { y | y ∈ L och det finns x ∈ S så att P ( x , y ) gäller i L } = { y | det finns x ∈ S så att Q ( x , y )} är en mängd i V och en underklass till L . Återigen genom att använda axiomet för ersättning i V , kan vi visa att det måste finnas ett α så att denna mängd är en delmängd av L _α ∈ L _{α +1} . Sedan kan man använda axiomet för separation i L för att avsluta att visa att det är ett element av L .

• Axiom för potensmängd : För varje mängd x finns det en mängd y , så att elementen i y är exakt delmängderna av x .

I allmänhet kommer vissa delmängder av en mängd i L inte att vara i L . Så hela kraftmängden för en mängd i L kommer vanligtvis inte att vara i L . Vad vi behöver här är att visa att skärningspunkten mellan effektmängden och L är i L . Använd ersättning i V för att visa att det finns ett α så att skärningspunkten är en delmängd av L _α . Då är skärningspunkten { z | z ∈ L _α och z är en delmängd av x } ∈ L _{α +1} . Den erforderliga uppsättningen är alltså i L .

• Axiom av val : Givet en mängd x av inbördes disjunkta icke-tomma mängder, finns det en mängd y (en valmängd för x ) som innehåller exakt ett element från varje medlem av x .

Man kan visa att det finns en definierbar välordning av L , särskilt baserat på att sortera alla uppsättningar i $L$ efter deras definitioner och efter den rangordning de förekommer på. Så man väljer det minsta elementet av varje medlem av x för att bilda y med hjälp av axiomen för förening och separation i L .

Lägg märke till att beviset på att L är en modell av ZFC bara kräver att V är en modell av ZF, dvs vi antar inte att valets axiom gäller i V .

L är absolut och minimal

Om $W$ är en standardmodell av ZF som delar samma ordningstal som $V$ , så är $L$ som definieras i $W$ samma som $L$ definierad i $V$ . Speciellt $L_{\alpha }$ är densamma i $W$ och $V$ , för alla ordinala $\alpha$ . Och samma formler och parametrar i $Def(L_{\alpha })$ ger samma konstruerbara mängder i $L_{\alpha +1}$ .

Dessutom, eftersom $L$ är en underklass till $V$ och på liknande sätt $L$ är en underklass till $W$ , är $L$ den minsta klassen som innehåller alla ordningstal som är en standardmodell av ZF. Faktum är att $L$ är skärningspunkten för alla sådana klasser.

Om det finns en uppsättning $W$ i $V$ som är en standardmodell av ZF, och ordinalen $\kappa$ är uppsättningen av ordningstal som förekommer i $W$ , då är $L_{\kappa }$$L$ för $W$ . Om det finns en uppsättning som är en standardmodell av ZF, så är den minsta sådan uppsättningen en sådan $L_{\kappa }$ . Denna uppsättning kallas den minimala modellen av ZFC. Med hjälp av Löwenheim–Skolem-satsen nedåt kan man visa att den minimala modellen (om den finns) är en räknebar mängd.

Naturligtvis måste varje konsekvent teori ha en modell, så även inom den minimala modellen för mängdteori finns det mängder som är modeller av ZF (förutsatt att ZF är konsekvent). Dessa uppsättningsmodeller är dock icke-standardiserade. I synnerhet använder de inte den normala elementrelationen och de är inte välgrundade.

Eftersom både " $L$ konstruerad inom $L$ " och " $V$ konstruerad inom $L$ " resulterar i det verkliga $L$ , och både $L$ av $L_{\kappa }$ och $V$ av $L_{\kappa }$ är de verkliga $L_{\kappa }$ , får vi att $V=L$ är sant i $L$ och i alla $L_{\kappa }$ som är en modell av ZF. ${\displaystyle V=L} gäller$ dock inte i någon annan standardmodell av ZF.

L och stora kardinaler

Eftersom Ord ⊂ L ⊆ V , bevaras egenskaper hos ordningstal som beror på frånvaron av en funktion eller annan struktur (dvs Π ₁ ^{ZF -formler) när man går ner från} V till L . Därför de initiala ordinalerna för kardinalerna initiala i L . Regelbundna ordningstal förblir regelbundna i L . Weak limit cardinals blir starka limit cardinals i L eftersom den generaliserade kontinuumhypotesen gäller i L . Svagt otillgängliga kardinaler blir starkt otillgängliga. Svagt Mahlo-kardinaler blir starkt Mahlo. Och mer generellt kommer alla stora kardinalegenskaper som är svagare än 0 ^# (se listan över stora kardinalegenskaper ) att behållas i L .

Emellertid är 0 ^# falskt i L även om sant i V . Så alla de stora kardinalerna vars existens innebär 0 ^# upphör att ha de stora kardinalegenskaperna, men behåller egenskaperna som är svagare än 0 # som de också har. Till exempel mätbara kardinaler att vara mätbara men förblir Mahlo i L .

Om 0 ^# gäller i V , så finns det en sluten ogränsad klass av ordningstal som inte går att urskilja i L. Även om vissa av dessa inte ens är initiala ordinaler i V , har de alla stora kardinalegenskaper som är svagare än 0 ^# i L. Dessutom kan varje strikt ökande klassfunktion från klassen av oskiljbara till sig själv utvidgas på ett unikt sätt till en elementär inbäddning av L i L . Detta ger L en fin struktur av repeterande segment.

L kan vara välordnat

Det finns olika sätt att välordna L . Några av dessa involverar den "fina strukturen" av L , som först beskrevs av Ronald Bjorn Jensen i hans 1972 artikel med titeln "Den fina strukturen av den konstruerbara hierarkin". Istället för att förklara den fina strukturen kommer vi att ge en översikt över hur L skulle kunna vara välordnad med endast definitionen ovan.

Antag att x och y är två olika mängder i L och vi vill bestämma om x < y eller x > y . Om x först förekommer i L _{α +1} och y först förekommer i L _{β +1} och β skiljer sig från α , så låt x < y om och endast om α < β . I fortsättningen antar vi att β = α .

Steget L _{α +1} = Def ( L _α ) använder formler med parametrar från L _α för att definiera mängderna x och y . Om man (för tillfället) diskonterar parametrarna, kan formlerna ges en standard Gödel-numrering av de naturliga talen. Om Φ är formeln med det minsta Gödel-talet som kan användas för att definiera x , och Ψ är formeln med det minsta Gödel-talet som kan användas för att definiera y , och Ψ skiljer sig från Φ , låt x < y om och endast om Φ < Ψ i Gödel-numreringen. I fortsättningen antar vi att Ψ = Φ .

Antag att Φ använder n parametrar från L _α . Antag att z ₁ ,..., z _n är sekvensen av parametrar som kan användas med Φ för att definiera x , och w ₁ ,..., w _n gör samma sak för y . Låt sedan x < y om och endast om antingen z _n < w _n eller ( z _n = w _n och $z_{n-1}<w_{n-1}$ ) eller ( z _n = w _n och $z_{n-1}=w_{n-1}$ och $z_{n -2}<w_{n-2}$ ) etc. Detta kallas den omvända lexikografiska ordningen ; om det finns flera sekvenser av parametrar som definierar en av uppsättningarna, väljer vi den minsta i denna ordning. La _{underförstått} att varje parameters möjliga värden är ordnade i enlighet med begränsningen av ordningen av L till , så denna definition involverar transfinit rekursion på a .

Välordningen av värdena för enskilda parametrar tillhandahålls av den induktiva hypotesen om den transfinita induktionen. Värdena för n -tuplar av parametrar är välordnade efter produktbeställningen. Formlerna med parametrar är välordnade efter den ordnade summan (efter Gödel-tal) av brunnsordningar. Och L är välordnad efter den ordnade summan (indexerad med α ) av beställningarna på L _{α +1} .

Lägg märke till att denna välordning kan definieras inom L själv med en formel för mängdteori utan parametrar, bara de fria variablerna x och y . Och den här formeln ger samma sanningsvärde oavsett om den utvärderas i L , V eller W (någon annan standardmodell av ZF med samma ordningstal) och vi kommer att anta att formeln är falsk om antingen x eller y inte är i L .

Det är välkänt att valets axiom är likvärdigt med förmågan att välordna varje uppsättning. Att kunna välordna den rätta klassen V (som vi har gjort här med L ) är ekvivalent med axiomet för globalt val , vilket är mer kraftfullt än det vanliga valets axiom eftersom det också täcker korrekta klasser av icke-tomma mängder.

L har en reflektionsprincip

Att bevisa att axiomet för separation , axiomet för ersättning och axiom av val håller i L kräver (åtminstone som visas ovan) användningen av en reflektionsprincip för L . Här beskriver vi en sådan princip.

Genom induktion på n < ω , kan vi använda ZF i V för att bevisa att för vilken som helst ordningsföljd α finns det en ordningsföljd β > α så att för vilken mening P ( z ₁ ,..., z _k ) som helst med z ₁ ,. .., z _k i L _β och innehåller färre än n symboler (räknas en konstant symbol för ett element av L _β som en symbol) får vi att P ( z ₁ ,..., z _k ) gäller i L _β om och bara om det håller i L .

Den generaliserade kontinuumhypotesen gäller i L

Låt $S\in L_{\alpha }$ , och låt T vara vilken konstruerbar delmängd som helst av S . Sedan finns det något β med $T\in L_{\beta +1}$ , så $T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x \in S:\Phi (x,z_{i})\}$ , för vissa formel Φ och vissa $z_{i}$ dragna från $L_{\beta }$ . Genom den nedåtgående Löwenheim–Skolem-satsen och Mostowski kollaps måste det finnas någon transitiv mängd K som innehåller $L_{\alpha }$ och några $w_{i}$ , och som har samma första ordningens teori som $L_{\beta }$ med $w_{i}$ ersatt för $z_{i}$ ; och denna K kommer att ha samma kardinal som $L_{\alpha }$ . Eftersom $V=L$ är sant i ${\displaystyle L_{\beta }},$ är det också sant i K , så $K=L_{\gamma }$ för vissa γ har samma kardinal som α . Och $T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i })\}$ eftersom $L_{\beta }$ och $L_{\gamma }$ har samma teori. Så T är faktiskt i $L_{\gamma +1}$ .

Så alla konstruerbara delmängder av en oändlig mängd S har rangordningar med (högst) samma kardinal κ som rangordningen för S ; det följer att om δ är den initiala ordningen för κ ⁺ , så fungerar $L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }$ som "power set" av S inom L . Alltså denna "power set" $L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}$ . Och detta betyder i sin tur att "kraftmängden" av S har kardinal som mest || δ ||. Om vi ​​antar att S själv har kardinal κ , måste "kraftmängden" då ha kardinal exakt κ ⁺ . Men detta är just den generaliserade kontinuumhypotesen relativerad till L .

Konstruerbara uppsättningar är definierbara från ordinalerna

Det finns en formel för mängdlära som uttrycker tanken att X = L _α . Den har bara fria variabler för X och α . Med hjälp av detta kan vi utöka definitionen av varje konstruktionsbar uppsättning. Om s ∈ L _{α +1} så är s = { y | y ∈ L _α och Φ ( y , z ₁ ,..., z _n ) gäller ( L _α ,∈)} för någon formel Φ och några z ₁ ,..., z _n i L _α . Detta motsvarar att säga att: för alla y , y ∈ s om och endast om [det finns X så att X = L _α och y ∈ X och Ψ ( X , y , z ₁ ,..., z _n )] där Ψ ( X ,...) är resultatet av att begränsa varje kvantifierare i Φ (...) till X . Lägg märke till att varje z _k ∈ L _{β +1} för något β < α . Kombinera formler för z :en med formeln för s och applicera existentiella kvantifierare över z :en utanför och man får en formel som definierar den konstruerbara mängden s med endast ordningstalen α som förekommer i uttryck som X = L _α som parametrar.

Exempel: Mängden {5, ω } är konstruerbar. Det är den unika uppsättningen som uppfyller formeln:

$\forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{ 5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))$ ,

där $Ord(a)$ är förkortning för:

$\forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).$

I själva verket har även denna komplexa formel förenklats från vad instruktionerna i första stycket skulle ge. Men poängen kvarstår, det finns en formel för mängdteorin som endast är sann för den önskade konstruerbara mängden s och som innehåller parametrar endast för ordinaler.

Relativ konstruktivitet

Ibland är det önskvärt att hitta en modell för mängdteori som är smal som L , men som inkluderar eller påverkas av en mängd som inte är konstruerbar. Detta ger upphov till begreppet relativ konstruktivitet, av vilket det finns två smaker, betecknade med L ( A ) och L [ A ].

Klassen L ( A ) för en icke-konstruerbar mängd A är skärningspunkten mellan alla klasser som är standardmodeller för mängdlära och innehåller A och alla ordningstal.

L ( A ) definieras av transfinit rekursion enligt följande:

• ₀ L ( A ) = den minsta transitiva mängden som innehåller A som ett element, dvs den transitiva stängningen av { A }.
• L _{α +1} ( A ) = Def ( L _α ( A ))
• Om λ är en limitordinal, då $L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha } (A)\!$ .
• $L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)\!$ .

Om L ( A ) innehåller en välordning av den transitiva stängningen av A, så kan denna utökas till en välordning av L ( A ). Annars kommer valets axiom att misslyckas i L ( A ).

Ett vanligt exempel är $L(\mathbb {R} )$ , den minsta modellen som innehåller alla reella tal, som används flitigt i modern beskrivande mängdteori .

Klassen L [ A ] är klassen av mängder vars konstruktion påverkas av A , där A kan vara en (förmodligen icke-konstruerbar) mängd eller en riktig klass. Definitionen av denna klass använder Def _A ( X ), vilket är samma som Def ( X ) förutom att istället för att utvärdera sanningen av formler Φ i modellen ( X ,∈), använder man modellen ( X ,∈, A ) där A är ett unärt predikat. Den avsedda tolkningen av A ( y ) är y ∈ A . Då är definitionen av L [ A ] exakt den för L endast med Def ersatt av Def _A.

L [ A ] är alltid en modell av valets axiom. Även om A är en mängd, är A inte nödvändigtvis själv en medlem av L [ A ], även om det alltid är det om A är en uppsättning av ordningstal.

Mängderna i L ( A ) eller L [ A ] är vanligtvis inte konstruerbara, och egenskaperna hos dessa modeller kan skilja sig ganska mycket från egenskaperna hos L själv.

Se även

• Axiom för byggbarhet
• Påståenden sanna i L
• Reflektionsprincip
• Axiomatisk mängdlära
• Transitivt set
• L(R)
• Ordinaldefinierbar

Anteckningar

•   Barwise, Jon (1975). Tillåtna uppsättningar och strukturer . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07451-1 .
•   Devlin, Keith J. (1984). Byggbarhet . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-13258-9 .
•   Felgner, Ulrich (1971). Modeller av ZF-uppsättningsteori . Föreläsningsanteckningar i matematik. Springer-Verlag. ISBN 3-540-05591-6 .
•     Gödel, Kurt (1938). "Konsistensen av valets axiom och den generaliserade kontinuumhypotesen" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . National Academy of Sciences. 24 (12): 556–557. Bibcode : 1938PNAS...24..556G . doi : 10.1073/pnas.24.12.556 . JSTOR 87239 . PMC 1077160 . PMID 16577857 .
•    Gödel, Kurt (1940). Kontinuumhypotesens konsistens . Annals of Mathematics Studies. Vol. 3. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1 . MR 0002514 .
•   Jech, Thomas (2002). Mängdlära . Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.). Springer. ISBN 3-540-44085-2 .