Euklidisk geometri

"Plane geometri" omdirigerar hit. För annan användning, se Plangeometri (disambiguation) .

Detalj från Rafaels The School of Athens med en grekisk matematiker – kanske representerande Euklid eller Arkimedes – som använder en kompass för att rita en geometrisk konstruktion.

Euklidisk geometri är ett matematiskt system som tillskrivs den antika grekiske matematikern Euklid , som han beskrev i sin lärobok om geometri : Elementen . Euklids tillvägagångssätt består i att anta en liten uppsättning intuitivt tilltalande axiom (postulat) och härleda många andra propositioner ( satser ) från dessa. Även om många av Euklids resultat hade angetts tidigare, var Euklid den första att organisera dessa påståenden i ett logiskt system där varje resultat är bevisade från axiom och tidigare bevisade satser.

Elementen börjar med plan geometri , som fortfarande lärs ut i gymnasiet ( högstadiet) som det första axiomatiska systemet och de första exemplen på matematiska bevis . Det går vidare till den solida geometrin av tre dimensioner . En stor del av elementen anger resultat av vad som nu kallas algebra och talteori , förklarat i geometriskt språk.

I mer än två tusen år var adjektivet "Euklidiskt" onödigt eftersom ingen annan sorts geometri hade tänkts ut. Euklids axiom verkade så intuitivt uppenbara (med eventuellt undantag av parallellpostulatet ) att varje sats som bevisades från dem ansågs sann i en absolut, ofta metafysisk, mening. Idag är dock många andra självständiga icke-euklidiska geometrier kända, de första har upptäckts i början av 1800-talet. En implikation av Albert Einsteins teori om allmän relativitet är att det fysiska rummet i sig inte är euklidiskt, och det euklidiska rummet är en bra approximation för det endast över korta avstånd (i förhållande till gravitationsfältets styrka) .

Euklidisk geometri är ett exempel på syntetisk geometri , i det att den logiskt fortsätter från axiom som beskriver grundläggande egenskaper hos geometriska objekt såsom pekar och linjer, till propositioner om dessa objekt. Detta står i motsats till analytisk geometri , som introducerades nästan 2 000 år senare av René Descartes , som använder koordinater för att uttrycka geometriska egenskaper som algebraiska formler .

Elementen _

Huvudartikel: Euklids element

Elementen är främst en systematisering av tidigare kunskaper om geometri . Dess förbättring jämfört med tidigare behandlingar upptäcktes snabbt, med resultatet att det fanns lite intresse för att bevara de tidigare, och de är nu nästan alla förlorade.

Det finns 13 böcker i Elements :

Böckerna I–IV och VI diskuterar plangeometri. Många resultat om plana figurer bevisas, till exempel "I vilken triangel som helst är två vinklar tillsammans på något sätt mindre än två räta vinklar." (Bok I proposition 17) och Pythagoras sats "I rätvinkliga trianglar är kvadraten på den sida som understryker den räta vinkeln lika med kvadraterna på de sidor som innehåller den räta vinkeln." (Bok I, proposition 47)

Böckerna V och VII–X handlar om talteori , med tal som behandlas geometriskt som längder av linjesegment eller ytområden. Begrepp som primtal och rationella och irrationella tal introduceras. Det är bevisat att det finns oändligt många primtal.

Böckerna XI–XIII handlar om solid geometri . Ett typiskt resultat är förhållandet 1:3 mellan volymen av en kon och en cylinder med samma höjd och bas. De platoniska fasta ämnena är konstruerade.

Axiom

Det parallella postulatet (postulat 5): Om två linjer skär en tredje på ett sådant sätt att summan av de inre vinklarna på ena sidan är mindre än två räta vinklar, måste de två linjerna oundvikligen skära varandra på den sidan om de sträcks långt ut tillräckligt.

Euklidisk geometri är ett axiomatiskt system , där alla satser ("sanna påståenden") härleds från ett litet antal enkla axiom. Fram till tillkomsten av icke-euklidisk geometri ansågs dessa axiom vara uppenbart sanna i den fysiska världen, så att alla satser skulle vara lika sanna. Emellertid förblir Euklids resonemang från antaganden till slutsatser giltiga oberoende av deras fysiska verklighet.

Nära början av den första boken av Elementen ger Euklid fem postulat (axiom) för plangeometri, angivna i termer av konstruktioner (som översatt av Thomas Heath):

Låt följande postuleras:

1. Att rita en rak linje från valfri punkt till valfri punkt.
2. Att producera (förlänga) en ändlig rät linje kontinuerligt i en rät linje.
3. Att beskriva en cirkel med valfritt centrum och avstånd (radie).
4. Att alla räta vinklar är lika med varandra.
5. [Det parallella postulatet ]: Att om en rät linje som faller på två räta linjer gör att de inre vinklarna på samma sida är mindre än två räta vinklar, möts de två räta linjerna, om de produceras på obestämd tid, på den sida där vinklarna är mindre än två räta vinklar.

Även om Euklid uttryckligen endast hävdar existensen av de konstruerade objekten, antar han i sitt resonemang också implicit att de är unika.

Elementen inkluderar även följande fem "vanliga föreställningar" :

1. Saker som är lika med samma sak är också lika med varandra (den transitiva egenskapen hos en euklidisk relation) .
2. Om lika läggs till lika, så är helheterna lika (Additionsegenskapen för likhet).
3. Om lika subtraheras från lika, då är skillnaderna lika (subtraktionsegenskap för likhet).
4. Saker som sammanfaller med varandra är lika med varandra (reflexiv egenskap).
5. Helheten är större än delen.

Moderna forskare är överens om att Euklids postulat inte ger den fullständiga logiska grund som Euklids krävde för sin presentation. Moderna behandlingar använder mer omfattande och kompletta uppsättningar av axiom.

Parallellt postulat

Huvudartikel: Parallellt postulat

För de gamla verkade parallellpostulatet mindre självklart än de andra. De strävade efter att skapa ett system av absolut säkra påståenden, och för dem verkade det som om parallelllinjepostulatet krävde bevis från enklare påståenden. Det är nu känt att ett sådant bevis är omöjligt eftersom man kan konstruera konsekventa geometrisystem (att följa de andra axiomen) där parallellpostulatet är sant och andra där det är falskt. Euklids själv tycks ha ansett det vara kvalitativt annorlunda än de andra, vilket framgår av elementens organisation: hans första 28 påståenden är de som kan bevisas utan den.

Många alternativa axiom kan formuleras som är logiskt ekvivalenta med parallellpostulatet (i sammanhanget av de andra axiomen). Till exempel säger Playfairs axiom :

I ett plan , genom en punkt som inte ligger på en given rät linje, kan högst en linje dras som aldrig möter den givna linjen.

"högst"-satsen är allt som behövs eftersom det kan bevisas från de återstående axiomen att det finns minst en parallell linje.

Ett bevis från Euklids element att man, givet ett linjesegment, kan konstruera en liksidig triangel som inkluderar segmentet som en av dess sidor: en liksidig triangel ΑΒΓ görs genom att rita cirklar Δ och Ε centrerade på punkterna Α och Β, och ta en skärningspunkt av cirklarna som triangelns tredje hörn.

Bevismetoder

Euklidisk geometri är konstruktiv . Postulaten 1, 2, 3 och 5 hävdar att vissa geometriska figurer finns och är unika, och dessa påståenden är av konstruktiv karaktär: det vill säga vi får inte bara veta att vissa saker existerar, utan vi får också metoder för att skapa dem med inte mer än en kompass och en omarkerad räta . I denna mening är den euklidiska geometrin mer konkret än många moderna axiomatiska system som mängdteori , som ofta hävdar att det finns objekt utan att säga hur man konstruerar dem, eller till och med hävdar att det finns objekt som inte kan konstrueras inom teorin. Strängt taget är linjerna på papper modeller av de objekt som definieras inom det formella systemet, snarare än instanser av dessa objekt. Till exempel, en euklidisk rät linje har ingen bredd, men alla riktiga dragna linjer kommer att göra det. Även om nästan alla moderna matematiker överväger icke-konstruktiva metoder lika bra som konstruktiva, Euklids konstruktiva bevis ersatte ofta felaktiga icke-konstruktiva bevis – t.ex. några av pytagoreernas bevis som involverade irrationella tal, vilket vanligtvis krävde ett uttalande som "Hitta det största vanliga måttet på ..."

Euklid använde ofta bevis genom motsägelse . Euklidisk geometri tillåter också metoden för superposition, där en figur överförs till en annan punkt i rymden. Till exempel, påstående I.4, sidovinkel-sida kongruens av trianglar, bevisas genom att flytta en av de två trianglarna så att en av dess sidor sammanfaller med den andra triangelns lika stora sida, och sedan bevisa att de andra sidorna också sammanfaller . Vissa moderna behandlingar lägger till ett sjätte postulat, triangelns styvhet, som kan användas som ett alternativ till superposition.

Notation och terminologi

Namngivning av punkter och figurer

Punkter brukar namnges med versaler i alfabetet. Andra figurer, såsom linjer, trianglar eller cirklar, namnges genom att lista ett tillräckligt antal punkter för att plocka ut dem entydigt från den relevanta figuren, t.ex. skulle triangeln ABC vanligtvis vara en triangel med hörn i punkterna A, B och C .

Kompletterande och kompletterande vinklar

Vinklar vars summa är en rät vinkel kallas komplementära . Komplementära vinklar bildas när en stråle delar samma vertex och pekar i en riktning som ligger mellan de två ursprungliga strålarna som bildar den räta vinkeln. Antalet strålar mellan de två ursprungliga strålarna är oändligt.

Vinklar vars summa är en rät vinkel är kompletterande . Kompletterande vinklar bildas när en stråle delar samma vertex och pekar i en riktning som ligger mellan de två ursprungliga strålarna som bildar den raka vinkeln (180 graders vinkel). Antalet strålar mellan de två ursprungliga strålarna är oändligt.

Moderna versioner av Euklids notation

I modern terminologi skulle vinklar normalt mätas i grader eller radianer .

Moderna skolböcker definierar ofta separata figurer som kallas linjer (oändliga), strålar (halvoändliga) och linjesegment (av ändlig längd). Euklid skulle, snarare än att diskutera en stråle som ett objekt som sträcker sig till oändligheten i en riktning, normalt använda ställen som "om linjen förlängs till en tillräcklig längd", även om han ibland hänvisade till "oändliga linjer". En "linje" i Euclid kunde vara antingen rak eller krökt, och han använde den mer specifika termen "rät linje" när det var nödvändigt.

Några viktiga eller välkända resultat

• 

  Pons asinorum eller åsnors sats säger att i en likbent triangel, α = β och γ = δ.

• 

  Triangelvinkelsummasatsen säger att summan av de tre vinklarna i en triangel, i detta fall vinklarna α, β och γ, alltid kommer att vara lika med 180 grader .

• 

  Pythagoras sats säger att summan av arean av de två kvadraterna på benen ( a och b ) i en rätvinklig triangel är lika med arean av kvadraten på hypotenusan ( c ).

• 

  Thales sats säger att om AC är en diameter så är vinkeln vid B en rät vinkel.

Pons asinorum

Den pons asinorum ( bro av åsnor ) säger att i likbenta trianglar är vinklarna vid basen lika med varandra, och om de lika räta linjerna produceras längre, så är vinklarna under basen lika med varandra . Dess namn kan tillskrivas dess frekventa roll som det första verkliga testet i Elementen för läsarens intelligens och som en bro till de svårare propositionerna som följde. Det kan också heta så på grund av den geometriska figurens likhet med en brant bro som bara en säker åsna kunde ta sig över.

Kongruens av trianglar

Trianglars kongruens bestäms genom att ange två sidor och vinkeln mellan dem (SAS), två vinklar och sidan mellan dem (ASA) eller två vinklar och en motsvarande intilliggande sida (AAS). Att specificera två sidor och en angränsande vinkel (SSA) kan dock ge två distinkta möjliga trianglar om inte den angivna vinkeln är en rät vinkel.

Trianglar är kongruenta om de har alla tre sidor lika (SSS), två sidor och vinkeln mellan dem lika (SAS), eller två vinklar och en sida lika (ASA) (bok I, påståenden 4, 8 och 26). Trianglar med tre lika vinklar (AAA) är lika, men inte nödvändigtvis kongruenta. Dessutom är trianglar med två lika sidor och en angränsande vinkel inte nödvändigtvis lika eller kongruenta.

Triangelvinkelsumma

Summan av vinklarna i en triangel är lika med en rät vinkel (180 grader). Detta gör att en liksidig triangel har tre inre vinklar på 60 grader. Det gör också att varje triangel har minst två spetsiga vinklar och upp till en trubbig eller rät vinkel .

Pythagoras sats

Den berömda Pythagoras sats (bok I, påstående 47) säger att i varje rätvinklig triangel är arean av kvadraten vars sida är hypotenusan (sidan mitt emot den räta vinkeln) lika med summan av arean av kvadraterna vars sidor är de två benen (de två sidorna som möts i rät vinkel).

Thales sats

Thales sats , uppkallad efter Thales från Miletus, säger att om A, B och C är punkter på en cirkel där linjen AC är cirkelns diameter, så är vinkeln ABC en rät vinkel. Cantor antog att Thales bevisade sin teorem med hjälp av Euklids bok I, Prop. 32, på samma sätt som Euclid Book III, Prop. 31.

Skalning av yta och volym

I modern terminologi är arean av en plan figur proportionell mot kvadraten av någon av dess linjära dimensioner, $A\propto L^{2}$ , och volymen av ett fast ämne till kuben, $V\propto L^{3}$ . Euklid bevisade dessa resultat i olika speciella fall såsom arean av en cirkel och volymen av ett parallellepipediskt fast ämne. Euklid bestämde några, men inte alla, av de relevanta proportionalitetskonstanterna. Det var till exempel hans efterträdare Arkimedes som bevisade att en sfär har 2/3 volymen av den omskrivande cylindern.

System för mätning och aritmetik

Euklidisk geometri har två grundläggande typer av mätningar: vinkel och avstånd . Vinkelskalan är absolut, och Euklid använder den räta vinkeln som sin grundenhet, så att till exempel en 45 graders vinkel skulle betecknas som hälften av en rät vinkel. Avståndsskalan är relativ; man väljer godtyckligt ett linjesegment med en viss längd som inte är noll som enhet, och andra avstånd uttrycks i förhållande till det. Addition av avstånd representeras av en konstruktion där ett linjesegment kopieras till slutet av ett annat linjesegment för att förlänga dess längd, och på liknande sätt för subtraktion.

Mätningar av area och volym härleds från avstånd. Till exempel har en rektangel med en bredd på 3 och en längd på 4 en area som representerar produkten, 12. Eftersom denna geometriska tolkning av multiplikation var begränsad till tre dimensioner, fanns det inget direkt sätt att tolka produkten av fyra eller fler siffror, och Euklid undvek sådana produkter, även om de antyds, till exempel i beviset i bok IX, proposition 20.

Ett exempel på kongruens. De två figurerna till vänster är kongruenta, medan den tredje liknar dem. Den sista siffran är ingendera. Kongruenser ändrar vissa egenskaper, som plats och orientering, men lämnar andra oförändrade, som avstånd och vinklar . Den senare typen av egenskaper kallas invarianter och att studera dem är geometrins väsen.

Euklid hänvisar till ett par linjer, eller ett par plana eller heldragna figurer, som "lika" (ἴσος) om deras längder, ytor eller volymer är lika respektive, och på liknande sätt för vinklar. Den starkare termen " kongruent " hänvisar till idén att en hel figur har samma storlek och form som en annan figur. Alternativt är två figurer kongruenta om den ena kan flyttas ovanpå den andra så att den matchar den exakt. (Att vända den är tillåten .) Således är till exempel en 2x6 rektangel och en 3x4 rektangel lika men inte kongruenta, och bokstaven R är kongruent med dess spegelbild. Figurer som skulle vara kongruenta förutom deras olika storlekar hänvisas till som liknande . Motsvarande vinklar i ett par liknande former är kongruenta och motsvarande sidor står i proportion till varandra.

Ansökningar

På grund av den euklidiska geometrins grundläggande status i matematik är det opraktiskt att ge mer än ett representativt urval av tillämpningar här.

• 

  En lantmätare använder en nivå

• 

  Sfärförpackning gäller en bunt med apelsiner .

• 

  En parabolisk spegel bringar parallella ljusstrålar i fokus.

Som antyds av ordets etymologi, är en av de tidigaste anledningarna till intresse för och också en av de vanligaste användningarna av geometri undersökningar och vissa praktiska resultat från euklidisk geometri, såsom den rätvinkliga egenskapen för 3- 4-5 triangel, användes långt innan de bevisades formellt. De grundläggande typerna av mätningar i euklidisk geometri är avstånd och vinklar, som båda kan mätas direkt av en lantmätare. Historiskt sett mättes avstånd ofta med kedjor, som Gunters kedja , och vinklar med hjälp av graderade cirklar och, senare, teodoliten .

En tillämpning av euklidisk solid geometri är bestämningen av packningsarrangemang , såsom problemet med att hitta den mest effektiva packningen av sfärer i n dimensioner. Det här problemet har applikationer för felsökning och korrigering .

Geometrisk optik använder euklidisk geometri för att analysera fokuseringen av ljus med linser och speglar.

• 

  Geometri används inom konst och arkitektur.

• 

  Vattentornet består av en kon, en cylinder och en halvklot. Dess volym kan beräknas med hjälp av solid geometri.

• 

  Geometri kan användas för att designa origami.

Geometri används flitigt inom arkitektur .

Geometri kan användas för att designa origami . Vissa klassiska konstruktionsproblem av geometri är omöjliga med kompass och rätsida , men kan lösas med origami .

Mycket av CAD (computer-aided design) och CAM (computer-aided manufacturing) baseras på euklidisk geometri. Designgeometri består vanligtvis av former som begränsas av plan, cylindrar, koner, tori och andra liknande former. I dag är CAD/CAM väsentligt i designen av nästan allt, inklusive bilar, flygplan, fartyg och smartphones. För några decennier sedan skulle sofistikerade ritare lära sig ganska avancerad euklidisk geometri, inklusive saker som Pascals sats och Brianchons sats , men i modern tid är detta inte längre nödvändigt.

• 

Senare arbete

Arkimedes och Apollonius

En sfär har 2/3 av volymen och ytan av sin omgivande cylinder. En sfär och cylinder placerades på Archimedes grav på hans begäran.

Arkimedes (c. 287 f.v.t. – c. 212 f.v.t.), en färgstark figur om vilken många historiska anekdoter finns nedtecknade, minns tillsammans med Euklids som en av de största forntida matematikerna. Även om grunden för hans verk lades på plats av Euclid, tros hans verk, till skillnad från Euclids, ha varit helt original. Han bevisade ekvationer för volymer och arealer av olika figurer i två och tre dimensioner, och uttalade den arkimedeiska egenskapen för ändliga tal.

Apollonius av Perga (ca 262 fvt – ca 190 fvt) är främst känd för sin undersökning av koniska sektioner.

René Descartes. Porträtt efter Frans Hals , 1648.

1600-talet: Descartes

René Descartes (1596–1650) utvecklade analytisk geometri , en alternativ metod för att formalisera geometri som fokuserade på att förvandla geometri till algebra.

I detta tillvägagångssätt representeras en punkt på ett plan av dess kartesiska ( x , y ) koordinater, en linje representeras av dess ekvation, och så vidare.

I Euklids ursprungliga tillvägagångssätt följer Pythagoras sats från Euklids axiom. I det kartesiska tillvägagångssättet är axiomen algebras axiom, och ekvationen som uttrycker Pythagoras sats är då en definition av ett av termerna i Euklids axiom, som nu betraktas som satser.

Ekvationen

$|PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y} -q_{y})^{2}}}\,$

definiera avståndet mellan två punkter P = ( p _x , p _y ) och Q = ( q _x , q _y ) är då känt som den euklidiska metriken , och andra metriker definierar icke-euklidiska geometrier .

När det gäller analytisk geometri innebär begränsningen av klassisk geometri till kompass- och rätlinjekonstruktioner en begränsning till första och andra ordningens ekvationer, t.ex. y = 2 x + 1 (en linje), eller x ² + y ² = 7 ( en cirkel).

Också på 1600-talet introducerade Girard Desargues , motiverad av teorin om perspektiv , begreppet idealiserade punkter, linjer och plan i oändligheten. Resultatet kan betraktas som en typ av generaliserad geometri, projektiv geometri , men det kan också användas för att ta fram bevis i vanlig euklidisk geometri där antalet specialfall reduceras.

Kvadrering av cirkeln: arean av denna kvadrat och denna cirkel är lika. År 1882 bevisades det att denna figur inte kan konstrueras i ett begränsat antal steg med en idealiserad kompass och rätsida .

1700-talet

Geometrar från 1700-talet kämpade för att definiera gränserna för det euklidiska systemet. Många försökte förgäves bevisa det femte postulatet från de fyra första. År 1763 hade minst 28 olika bevis publicerats, men alla befanns vara felaktiga.

Inför denna period försökte geometrar också bestämma vilka konstruktioner som kunde åstadkommas i euklidisk geometri. Till exempel är problemet med att treskära en vinkel med en kompass och en rätlinje ett som naturligt förekommer inom teorin, eftersom axiomen refererar till konstruktiva operationer som kan utföras med dessa verktyg. Men århundraden av ansträngningar misslyckades med att hitta en lösning på detta problem, tills Pierre Wantzel publicerade ett bevis 1837 på att en sådan konstruktion var omöjlig. Andra konstruktioner som visade sig vara omöjliga är att dubbla kuben och kvadrera cirkeln . Vid en fördubbling av kuben härrör konstruktionens omöjlighet från det faktum att kompass- och rätningsmetoden involverar ekvationer vars ordning är en integralpotens av två, medan fördubbling av en kub kräver lösningen av en tredje ordningens ekvation.

Euler diskuterade en generalisering av euklidisk geometri som kallas affin geometri , som behåller det femte postulatet oförändrat samtidigt som postulaten tre och fyra försvagas på ett sätt som eliminerar begreppen vinkel (där räta trianglar blir meningslösa) och lika längd på linjesegment i allmänhet ( varifrån cirklar blir meningslösa) samtidigt som man behåller föreställningarna om parallellitet som en ekvivalensrelation mellan linjer, och lika längd av parallella linjesegment (så linjesegment fortsätter att ha en mittpunkt).

1800-talet

Jämförelse av elliptiska, euklidiska och hyperboliska geometrier i två dimensioner

I början av 1800-talet utvecklade Carnot och Möbius systematiskt användningen av signerade vinklar och linjesegment som ett sätt att förenkla och förena resultat.

Högre dimensioner

På 1840-talet utvecklade William Rowan Hamilton quaternionerna och John T. Graves och Arthur Cayley oktonionerna . Dessa är normerade algebror som utökar de komplexa talen . Senare förstod man att quaternionerna också är ett euklidiskt geometriskt system med fyra riktiga kartesiska koordinater. Cayley använde quaternions för att studera rotationer i 4-dimensionell euklidisk rymd .

Vid mitten av århundradet utvecklade Ludwig Schläfli det allmänna begreppet euklidiska rymden och utökade den euklidiska geometrin till högre dimensioner . Han definierade polyschemes , senare kallade polytoper , som är de högre dimensionella analogerna av polygoner och polyedrar . Han utvecklade deras teori och upptäckte alla de reguljära polytoperna, dvs de $n$ -dimensionella analogerna av reguljära polygoner och platonska solider . Han fann att det finns sex regelbundna konvexa polytoper i dimension fyra och tre i alla högre dimensioner.

Vanliga konvexa 4-polytoper
Symmetrigrupp	A 4	B 4		F 4	H 4
namn	5-cell Hypertetraeder 5 - punkts	16-celler Hyperoktaeder 8- punkts	8-cell Hyperkub 16- punkts	24-celler 24 poäng	600-celler Hypericosahedron 120- punkts	120-celler Hyperdodekaeder 600- punkts
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter speglar
Spegel dihedraler	𝝅 / 3 𝝅 / 3 𝝅 / 3 𝝅 / 2 𝝅 / 2 𝝅 / 2	𝝅 / 3 𝝅 / 3 𝝅 / 4 𝝅 / 2 𝝅 / 2 𝝅 / 2	𝝅 / 4 𝝅 / 3 𝝅 / 3 𝝅 / 2 𝝅 / 2 𝝅 / 2	𝝅 / 3 𝝅 / 4 𝝅 / 3 𝝅 / 2 𝝅 / 2 𝝅 / 2	𝝅 / 3 𝝅 / 3 𝝅 / 5 𝝅 / 2 𝝅 / 2 𝝅 / 2	𝝅 / 5 𝝅 / 3 𝝅 / 3 𝝅 / 2 𝝅 / 2 𝝅 / 2
Graf
Vertices	5 tetraedrisk	8 oktaedral	16 tetraedrisk	24 kubik	120 icosahedral	600 tetraedriska
Kanter	10 triangulära	24 kvadrat	32 triangulär	96 triangulär	720 femkantig	1200 triangulär
Ansikten	10 trianglar	32 trianglar	24 rutor	96 trianglar	1200 trianglar	720 femhörningar
Celler	5 tetraedrar	16 tetraedrar	8 kuber	24 oktaedrar	600 tetraedrar	120 dodekaedrar
Tori	1 5-tetraeder	2 8-tetraeder	2 4-kuber	4 6-oktaeder	20 30-tetraeder	12 10-dodekaeder
Inskriven	120 i 120-celler	675 i 120-celler	2 16-celler	3 8-celler	25 24-celler	10 600-celler
Stora polygoner		2 𝅅 / 2 rutor x 3	4 𝝅 / 2 rektanglar x 3	4 𝝅 / 3 hexagoner x 4	12 𝝅 / 5 dekagoner x 6	50 𝝅 / 15 dodecagons x 4
Petrie polygoner	1 femkant	1 oktagon	2 oktagoner	2 dodecagoner	4 30-gons	20 30-gons
Lång radie	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Kantlängd	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0,618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0,270$
Kort radie	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0,707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926$
Område	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right )\ungefär 90,366$
Volym	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}} }}\right)\approx 18.118$
4-Innehåll	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4} \ungefär 0,146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0,667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

Schläfli utförde detta arbete i relativt dunkel och det publicerades i sin helhet först postumt 1901. Det hade litet inflytande tills det återupptäcktes och dokumenterades fullt ut 1948 av HSM Coxeter .

År 1878 introducerade William Kingdon Clifford vad som nu kallas geometrisk algebra , som förenar Hamiltons quaternions med Hermann Grassmanns algebra och avslöjar den geometriska naturen hos dessa system, särskilt i fyra dimensioner. Operationerna av geometrisk algebra har effekten av att spegla, rotera, översätta och kartlägga de geometriska objekt som modelleras till nya positioner. Clifford torus på ytan av 3-sfären är den enklaste och mest symmetriska platta inbäddningen av den kartesiska produkten av två cirklar (i samma mening som ytan på en cylinder är "platt").

Icke-euklidisk geometri

Århundradets mest inflytelserika utveckling inom geometri inträffade när, omkring 1830, János Bolyai och Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicerade separat arbete om icke-euklidisk geometri , där parallellpostulatet inte är giltigt. Eftersom icke-euklidisk geometri bevisligen är relativt överensstämmande med euklidisk geometri, kan det parallella postulatet inte bevisas från de andra postulaten.

På 1800-talet insåg man också att Euklids tio axiom och vanliga föreställningar inte räcker för att bevisa alla satser som anges i Elementen . Till exempel antog Euklid implicit att vilken linje som helst innehåller minst två punkter, men detta antagande kan inte bevisas från de andra axiomen och måste därför vara ett axiom i sig. Det allra första geometriska beviset i Elementen, som visas i figuren ovan, är att vilket linjesegment som helst är en del av en triangel; Euklid konstruerar detta på vanligt sätt, genom att rita cirklar runt båda ändpunkterna och ta deras skärningspunkt som tredje vertex . Hans axiom garanterar dock inte att cirklarna faktiskt skär varandra, eftersom de inte hävdar den geometriska egenskapen kontinuitet, som i kartesiska termer är likvärdig med de reella talens fullständighetsegenskap . Från och med Moritz Pasch 1882 har många förbättrade axiomatiska system för geometri föreslagits, de mest kända är de av Hilbert , George Birkhoff och Tarski .

1900-talet och relativitetsteori

Ett motbevis för euklidisk geometri som en beskrivning av det fysiska rummet. I ett test 1919 av den allmänna relativitetsteorin, fotograferades stjärnor (markerade med korta horisontella linjer) under en solförmörkelse . Stjärnans strålar böjdes av solens gravitation på väg till jorden. Detta tolkas som bevis till förmån för Einsteins förutsägelse att gravitationen skulle orsaka avvikelser från den euklidiska geometrin.

Einsteins teori om speciell relativitet involverar ett fyrdimensionellt rum-tid , Minkowski- rummet , som är icke-euklidiskt . Detta visar att icke-euklidiska geometrier, som hade introducerats några år tidigare för att visa att parallellpostulatet inte kan bevisas, också är användbara för att beskriva den fysiska världen.

Den tredimensionella "rymddelen" av Minkowski-rummet förblir dock utrymmet för euklidisk geometri. Detta är inte fallet med allmän relativitet , för vilken geometrin för rymddelen av rum-tid inte är euklidisk geometri. Till exempel, om en triangel är konstruerad av tre ljusstrålar, blir de inre vinklarna i allmänhet inte upp till 180 grader på grund av gravitationen. Ett relativt svagt gravitationsfält, som jordens eller solens, representeras av ett mått som är ungefärligt, men inte exakt, euklidiskt. Fram till 1900-talet fanns det ingen teknik som kunde upptäcka dessa avvikelser i ljusstrålar från euklidisk geometri, men Einstein förutspådde att sådana avvikelser skulle existera. De verifierades senare av observationer som solens lätta böjning av stjärnljuset under en solförmörkelse 1919, och sådana överväganden är nu en integrerad del av programvaran som driver GPS- system.

Som en beskrivning av rummets struktur

Euklid trodde att hans axiom var självklara uttalanden om fysisk verklighet. Euklids bevis beror på antaganden som kanske inte är uppenbara i Euklids grundläggande axiom, särskilt att vissa rörelser av figurer inte ändrar deras geometriska egenskaper såsom längderna på sidor och inre vinklar, de så kallade euklidiska rörelserna, som inkluderar translationer, reflektioner och rotationer av figurer. Taget som en fysisk beskrivning av rymden, hävdar postulat 2 (förlängning av en linje) att rymden inte har hål eller gränser; postulat 4 (likhet mellan räta vinklar) säger att rymden är isotropisk och figurer kan flyttas till vilken plats som helst med bibehållen kongruens ; och postulat 5 (det parallella postulatet ) att utrymmet är platt (har ingen inneboende krökning) .

Som diskuterats ovan, ändrar Albert Einsteins relativitetsteori denna syn påtagligt.

Den tvetydiga karaktären hos axiomen som ursprungligen formulerades av Euklid gör det möjligt för olika kommentatorer att vara oense om några av deras andra implikationer för rymdens struktur, såsom om det är oändligt eller inte (se nedan) och vad dess topologi är . Moderna, mer rigorösa omformuleringar av systemet syftar vanligtvis till en renare separation av dessa problem. Genom att tolka Euklids axiom i andan av detta mer moderna tillvägagångssätt överensstämmer axiom 1–4 med antingen oändligt eller ändligt utrymme (som i elliptisk geometri ), och alla fem axiom är förenliga med en mängd olika topologier (t.ex. ett plan, en cylinder eller en torus för tvådimensionell euklidisk geometri).

Behandling av oändlighet

Oändliga objekt

Euklid skilde ibland uttryckligen mellan "ändliga linjer" (t.ex. Postulat 2) och " oändliga linjer" (bok I, proposition 12). Men han gjorde vanligtvis inte sådana distinktioner om de inte var nödvändiga. Postulaten hänvisar inte uttryckligen till oändliga linjer, även om till exempel vissa kommentatorer tolkar postulat 3, existensen av en cirkel med vilken radie som helst, som att rymden är oändlig.

Begreppet oändliga kvantiteter hade tidigare diskuterats flitigt av den eleatiska skolan , men ingen hade kunnat sätta dem på en fast logisk grund, med paradoxer som Zenos paradox som inte hade lösts till allmän tillfredsställelse. Euklid använde metoden för utmattning snarare än oändliga små.

Senare forntida kommentatorer, som Proclus (410–485 e.Kr.), behandlade många frågor om oändligheten som frågor som kräver bevis, och t.ex. hävdade Proclus att han bevisade en linjes oändliga delbarhet, baserat på ett motsägelsebevis där han övervägde fallen av jämna och udda antal poäng som utgör den.

Vid 1900-talets början producerade Otto Stolz , Paul du Bois-Reymond , Giuseppe Veronese och andra kontroversiella arbeten på icke-arkimediska modeller av euklidisk geometri, där avståndet mellan två punkter kan vara oändligt eller oändligt, i Newton . – Leibniz förnuft. Femtio år senare Abraham Robinson en rigorös logisk grund för Veroneses arbete.

Oändliga processer

Forntida geometrar kan ha ansett det parallella postulatet – att två parallella linjer aldrig skär varandra – mindre säkert än de andra eftersom det gör ett uttalande om oändligt avlägsna områden i rymden, och därför inte kan verifieras fysiskt.

Den moderna formuleringen av bevis genom induktion utvecklades inte förrän på 1600-talet, men några senare kommentatorer anser att det är implicit i några av Euklids bevis, t.ex. beviset för oändligheten av primtal.

Förmodade paradoxer som involverar oändliga serier, såsom Zenos paradox , föregick Euclid. Euklid undvek sådana diskussioner och gav till exempel uttrycket för delsummorna av den geometriska serien i IX.35 utan att kommentera möjligheten att låta antalet termer bli oändligt.

Logisk grund

Se även: Hilberts axiom , Axiomatic system och Real closed field

Klassisk logik

Euklid använde ofta metoden att bevisa genom motsägelse , och därför förutsätter den traditionella presentationen av euklidisk geometri klassisk logik , där varje påstående är antingen sant eller falskt, dvs. för varje påstående P är påståendet "P eller inte P" automatiskt sant .

Moderna standarder för rigoritet

Att placera euklidisk geometri på en solid axiomatisk grund var en upptagenhet av matematiker i århundraden. Rollen för primitiva föreställningar , eller odefinierade begrepp, framfördes tydligt av Alessandro Padoa från Peano -delegationen vid Pariskonferensen 1900:

...när vi börjar formulera teorin kan vi föreställa oss att de odefinierade symbolerna helt saknar betydelse och att de obevisade påståendena helt enkelt är villkor som åläggs de odefinierade symbolerna.

Sedan är det idésystem som vi från början valt helt enkelt en tolkning av de odefinierade symbolerna; men..denna tolkning kan ignoreras av läsaren, som är fri att ersätta den i sitt sinne med en annan tolkning..som uppfyller villkoren...

Logiska frågor blir därmed helt oberoende av empiriska eller psykologiska frågor...

Systemet av odefinierade symboler kan då betraktas som den abstraktion som erhålls från de specialiserade teorierna som blir resultatet när...systemet av odefinierade symboler successivt ersätts av var och en av tolkningarna...

— Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie deductive quelconque

Det vill säga matematik är kontextoberoende kunskap inom en hierarkisk ram. Som sagt av Bertrand Russell :

Om vår hypotes handlar om något , och inte om någon eller flera speciella saker, så utgör våra deduktioner matematik. Matematik kan alltså definieras som det ämne där vi aldrig vet vad vi pratar om, och inte heller om det vi säger är sant.

— Bertrand Russell, Matematik och metafysikerna

Sådana grundläggande tillvägagångssätt sträcker sig mellan foundationalism och formalism .

Axiomatiska formuleringar

Geometri är vetenskapen om korrekt resonemang på felaktiga figurer.

— George Pólya , How to Solve It , s. 208

• Euklids axiom: I sin avhandling vid Trinity College, Cambridge, sammanfattade Bertrand Russell den förändrade rollen av Euklids geometri i filosofernas medvetande fram till den tiden. Det var en konflikt mellan viss kunskap, oberoende av experiment, och empiri, som krävde experimentell input. Denna fråga blev tydlig när det upptäcktes att parallellpostulatet inte nödvändigtvis var giltigt och dess tillämplighet var en empirisk fråga, som avgjorde om den tillämpliga geometrin var euklidisk eller icke-euklidisk .
• Hilberts axiom : Hilberts axiom hade som mål att identifiera en enkel och komplett uppsättning oberoende axiom från vilka de viktigaste geometriska satserna kunde härledas. De utestående målen var att göra den euklidiska geometrin rigorös (undvika dolda antaganden) och att klargöra följderna av det parallella postulatet.
• Birkhoffs axiom : Birkhoff föreslog fyra postulat för euklidisk geometri som kan bekräftas experimentellt med skala och gradskiva. Detta system är starkt beroende av egenskaperna hos de reella talen . Föreställningarna om vinkel och avstånd blir primitiva begrepp.
• Tarskis axiom : Alfred Tarski (1902–1983) och hans elever definierade elementär euklidisk geometri som den geometri som kan uttryckas i första ordningens logik och inte är beroende av mängdteorin för sin logiska grund, i motsats till Hilberts axiom, som involverar punkt set. Tarski bevisade att hans axiomatiska formulering av elementär euklidisk geometri är konsekvent och komplett i en viss mening : det finns en algoritm som för varje proposition kan visas antingen sant eller falskt. (Detta bryter inte mot Gödels teorem , eftersom euklidisk geometri inte kan beskriva en tillräcklig mängd aritmetik för att satsen ska tillämpas.) Detta motsvarar avgörbarheten av verkliga slutna fält , av vilka elementär euklidisk geometri är en modell.

Se även

• Absolut geometri
• Analytisk geometri
• Birkhoffs axiom
• Kartesiskt koordinatsystem
• Hilberts axiom
• Incidensgeometri
• Lista över programvara för interaktiv geometri
• Metriskt utrymme
• Icke-euklidisk geometri
• Beställd geometri
• Parallellt postulat
• Typteori

Klassiska satser

• Vinkelhalveringssats
• Fjärilssats
• Cevas teorem
• Herons formel
• Menelaos sats
• Niopunktscirkel
• Pythagoras sats

Anteckningar

•   Ball, WW Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Originalpublication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.). New York: Dover Publications. s. 50–62 . ISBN 0-486-20630-0 .
• Coxeter, HSM (1961). Introduktion till geometri . New York: Wiley.
• Eves, Howard (1963). En undersökning av geometri (volym ett) . Allyn och Bacon.
•       Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Fax. Originalpublication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications. I 3 vol.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2 , vol. 2 ISBN 0-486-60089-0 , vol. 3 ISBN 0-486-60090-4 . Heaths auktoritativa översättning av Euclids element, plus hans omfattande historiska forskning och detaljerade kommentarer genom hela texten.
• Misner, Charles W. ; Thorne, Kip S. ; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . WH Freeman.
•   Mlodinow (2001). Euklids fönster . Den fria pressen. ISBN 9780684865232 .
• Nagel, E.; Newman, JR (1958). Gödels bevis . New York University Press.
• Tarski, Alfred (1951). En beslutsmetod för elementär algebra och geometri . Univ. från California Press.
• Stillwell, John (januari 2001). "Berättelsen om 120-cellen" (PDF) . Meddelanden från AMS . 48 (1): 17–25.

externa länkar

• "Euklidisk geometri" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Plane trigonometry" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Kiran Kedlaya, Geometry Unbound (en behandling som använder analytisk geometri; PDF-format, GFDL licensierad)