Aleph nummer

Aleph-nought, aleph-noll eller aleph-null, det minsta oändliga kardinaltalet

I matematik , särskilt i mängdlära , är aleftalen en sekvens av siffror som används för att representera kardinaliteten ( eller storleken) av oändliga mängder som kan vara välordnade . De introducerades av matematikern Georg Cantor och är uppkallade efter symbolen han använde för att beteckna dem, den semitiska bokstaven aleph ( ${\displaystyle \,\aleph \,} )$ .

Kardinaliteten för de naturliga talen är $\,\aleph _{0}\,$ (läs alef-noll eller alef-noll ; termen alef-null används också ibland), nästa större kardinalitet för en brunn -beställbar uppsättning är aleph-one $\,\aleph _{1}\;,$ sedan $\,\aleph _{2}\,$ och så vidare. Om man fortsätter på detta sätt är det möjligt att definiera ett kardinaltal $\,\aleph _{\alpha }\,$ för varje ordningstal $\,\alpha \;,$ enligt beskrivningen nedan .

Begreppet och notationen beror på Georg Cantor , som definierade begreppet kardinalitet och insåg att oändliga mängder kan ha olika kardinaliteter .

Aleftalen skiljer sig från oändligheten ( $\,\infty \,$ ) som vanligtvis finns i algebra och kalkyl, genom att aleferna mäter storleken på mängder, medan oändligheten vanligtvis definieras antingen som en yttersta gräns för det verkliga tallinje (tillämpas på en funktion eller sekvens som " divergerar till oändlighet" eller "ökar utan gräns"), eller som en extrempunkt för den utökade reella tallinjen .

Aleph-nought

$\,\aleph _{0}\,$ (aleph-nought, även aleph-noll eller aleph-null) är kardinaliteten av mängden av alla naturliga tal, och är en oändlig kardinal . Mängden av alla ändliga ordinaler , kallade $\,\omega \,$ eller $\,\omega _{0}\,$ (där $\,\omega \,$ är grekisk liten bokstav omega ), har kardinalitet $\,\aleph _{0}\,$ . En mängd har kardinalitet $\,\aleph _{0}\,$ om och bara om den är uträkneligt oändlig , det vill säga det finns en bijektion (en-till-en-överensstämmelse) mellan den och de naturliga talen. Exempel på sådana uppsättningar är

mängden av alla heltal ,
någon oändlig delmängd av heltal, till exempel mängden av alla kvadrattal eller mängden av alla primtal ,
mängden av alla rationella tal ,
mängden av alla konstruerbara tal (i geometrisk mening),
mängden av alla algebraiska tal ,
uppsättningen av alla beräkningsbara tal ,
uppsättningen av alla binära strängar av ändlig längd, och
mängden av alla ändliga delmängder av en given räkningsbart oändlig mängd.

Dessa oändliga ordningstal: $\,\omega \;,$ $\,\omega +1\;,$ $\,\omega \,\cdot 2 \,,\,$ $\,\omega ^{2}\,,$ $\,\omega ^{\omega }\,$ och $\,\varepsilon _{0}\,$ är bland de uträkneligt oändliga uppsättningarna. Till exempel sekvensen (med ordinalitet $\,\omega \,\cdot 2\,$ ) av alla positiva udda heltal följt av alla positiva jämna heltal

\,\{\,1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...\,\}\,

är en ordning av mängden (med kardinalitet $\aleph _{0}$ ) av positiva heltal.

Om axiomet för räknebart val (en svagare version av valets axiom ) gäller, är $\,\aleph _{0}\,$ mindre än någon annan oändlig kardinal.

Aleph-one

$\,\aleph _{1}\,$ är kardinaliteten av mängden av alla räknebara ordningstal , kallade $\,\omega _{1}\,$ eller ibland ${\ displaystil \,\Omega \,}$ . Denna $\,\omega _{1}\,$ är i sig själv ett ordningstal större än alla räknebara, så det är en oräknelig mängd . Därför $\,\aleph _{1}\,$ skild från $\,\aleph _{0}\,$ . Definitionen av $\,\aleph _{1}\,$ antyder (i ZF, Zermelo–Fraenkel mängdteori utan valets axiom) att inget kardinaltal är mellan $\,\aleph _ {0}\,$ och $\,\aleph _{1}\,$ . Om det valda axiomet används, kan det ytterligare bevisas att klassen av kardinaltal är helt ordnad , och därför är $\,\aleph _{1}\,$ det näst minsta oändliga kardinaltalet. Med hjälp av det valda axiomet kan man visa en av de mest användbara egenskaperna för mängden $\,\omega _{1}\,$ : vilken som helst räknebar delmängd av $\,\omega _{ 1}\,$ har en övre gräns i $\,\omega _{1}\,$ . (Detta följer av det faktum att föreningen av ett räknebart antal räknebara mängder i sig själv är räknebar – en av de vanligaste tillämpningarna av valets axiom.) Detta faktum är analogt med situationen i ℵ {\displaystyle \,\ $_ {0}\;}$ : varje finita mängd naturliga tal har ett maximum som också är ett naturligt tal, och finita föreningar av finita mängder är finita.

$\,\omega _{1}~$ är faktiskt ett användbart koncept, om än något exotiskt klingande. Ett exempel på applikation är "stängning" med avseende på räknebara operationer; t.ex. försök att explicit beskriva σ-algebra som genereras av en godtycklig samling av delmängder (se t.ex. Borel-hierarki) . Detta är svårare än de flesta explicita beskrivningar av "generering" i algebra ( vektorrum , grupper , etc.) eftersom vi i de fallen bara måste stänga med avseende på ändliga operationer – summor, produkter och liknande. Processen innebär att definiera, för varje räknebar ordningsföljd, via transfinit induktion , en uppsättning genom att "kasta in" alla möjliga räknebara förbund och komplement, och ta föreningen av allt det över allt av $\,\omega _{1 }$ .

Kontinuumhypotes

Kardinaliteten för uppsättningen reella tal ( kontinuumets kardinalitet $\,2^{\aleph _{0}}~.$ är . Det kan inte bestämmas utifrån ZFC ( Zermelo–Fraenkels mängdteori utökad med valets axiom ) där detta tal passar exakt i alefnummerhierarkin, men det följer av ZFC att kontinuumhypotesen, CH , är ekvivalent med identiteten

2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.

CH anger att det inte finns någon uppsättning vars kardinalitet är strikt mellan den för heltalen och de reella talen. CH är oberoende av ZFC : det kan varken bevisas eller motbevisas inom ramen för det axiomsystemet (förutsatt att ZFC är konsekvent ). Att CH är förenligt med ZFC demonstrerades av Kurt Gödel 1940, när han visade att dess negation inte är ett teorem av ZFC . Att det är oberoende av ZFC demonstrerades av Paul Cohen 1963, när han omvänt visade att CH i sig inte är ett teorem för ZFC – med den (då nya) metoden att tvinga .

Aleph-omega

Aleph-omega är

\aleph _{\omega }=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n\i \omega \}=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n\i \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\ }\,\}~

där den minsta oändliga ordningen betecknas $ω$ . Det vill säga att kardinaltalet $\,\aleph _{\omega }\,$ är den minsta övre gränsen för

\left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}~.

$\,\aleph _{\omega }$ är det första oräkneliga kardinaltalet som kan påvisas inom Zermelo–Fraenkels mängdteori att inte vara lika med kardinaliteten av mängden av alla reella tal ; för varje positivt heltal n kan vi konsekvent anta att $\,2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}~,$ och dessutom är det möjligt att anta $\,2^{\aleph _{0}}\,$ är så stor som vi vill. Vi är bara tvungna att undvika att ställa in den till vissa speciella kardinaler med kofinalitet $\,\aleph _{0}~,$ vilket betyder att det finns en obegränsad funktion från $\,\aleph _{0}\ ,$ till den (se Eastons sats ) .

Aleph-α för allmänt α

För att definiera $\,\aleph _{\alpha }\,$ för godtyckligt ordningsnummer $\,\alpha ~,$ måste vi definiera efterföljande kardinaloperation , som tilldelar valfritt kardinaltal $\,\rho \,$ nästa större välordnade kardinal $\,\rho ^{+}\,$ (om det valda axiomet gäller är detta nästa större kardinal).

Vi kan sedan definiera aleftalen enligt följande:

\aleph _{0}=\omega

\aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}~

och för $λ$ , en oändlig gränsordinal ,

\aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }~.

Den α-te oändliga initialordningen skrivs $\omega _{\alpha }$ . Dess kardinalitet skrivs $\,\aleph _{\alpha }~.$ I ZFC är aleph-funktionen $\,\aleph \,$ en bijektion från ordinalen till de oändliga kardinalerna.

Fasta punkter av omega

För varje ordinal α vi har

\alpha \leq \omega _{\alpha }~.

I många fall är $\omega _{\alpha }$ strikt större än $α$ . Till exempel, för varje efterföljande ordningsföljd α gäller detta. Det finns dock några gränsordningstal som är fixpunkter för omegafunktionen, på grund av fixpunktslemma för normala funktioner . Den första är gränsen för sekvensen

\omega ,\,\omega _{\omega },\,\omega _{\omega _{\omega }},\,\ldots ~.

Varje svagt otillgänglig kardinal är också en fast punkt för aleffunktionen. Detta kan visas i ZFC enligt följande. Antag att $\,\kappa =\aleph _{\lambda }\,$ är en svagt otillgänglig kardinal. Om $\lambda$ var en efterföljande ordinal , då skulle $\,\aleph _{\lambda }\,$ vara en efterföljande kardinal och därmed inte svagt otillgänglig. Om $\,\lambda \,$ var en limitordinal mindre än $\,\kappa ~,$ då dess kofinalitet (och därmed kofinaliteten av $\aleph _{\lambda }$ ) skulle vara mindre än $\,\kappa \,$ och därför skulle $\,\kappa \,$ inte vara regelbunden och därmed inte svagt otillgänglig. Alltså $\,\lambda \geq \kappa \,$ och följaktligen $\,\lambda =\kappa \,$ vilket gör den till en fixpunkt.

Rollen för valets axiom

Kardinaliteten för ett oändligt ordningstal är ett alefnummer. Varje alef är kardinalitet av någon ordinal. Den minsta av dessa är dess initiala ordinarie . Varje uppsättning vars kardinalitet är en alef är lika många med en ordinal och är därför välordnad .

Varje ändlig uppsättning är välordnad, men har inte en alef som kardinalitet.

Antagandet att kardinaliteten för varje oändlig uppsättning är ett alefnummer motsvarar över ZF förekomsten av en välordning av varje uppsättning, vilket i sin tur är ekvivalent med valets axiom . ZFC-mängdteorin, som inkluderar valets axiom, innebär att varje oändlig mängd har ett alefnummer som sin kardinalitet (dvs. är lika stort med dess initiala ordningsföljd), och därför fungerar de initiala ordningstalen för aleftalen som en klass av representanter för alla möjliga oändliga kardinaltal.

När kardinalitet studeras i ZF utan valets axiom är det inte längre möjligt att bevisa att varje oändlig mängd har något alefnummer som sin kardinalitet; de mängder vars kardinalitet är ett alefnummer är exakt de oändliga mängderna som kan vara välordnade. Metoden för Scotts trick används ibland som ett alternativt sätt att konstruera representanter för kardinalnummer i inställningen av ZF. Till exempel kan man definiera $kort(S)$ som uppsättningen av uppsättningar med samma kardinalitet som $S$ med minsta möjliga rang. Detta har egenskapen att $kort(S) = kort(T)$ om och endast om $S$ och $T$ har samma kardinalitet. (Det inställda $kortet(S)$ har inte samma kardinalitet som $S$ i allmänhet, men alla dess element har det.)

Se även

Anteckningar

Citat

externa länkar

"Aleph-zero" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Aleph-0" . MathWorld .