Aritmetisk

För låten av Brooke Fraser, se Arithmetic (sång) .

Aritmetiska tabeller för barn, Lausanne , 1835

Aritmetik (från antikgrekiska ἀριθμός ( arithmós ) 'tal' och τική [ τέχνη ] ( tikḗ [tékhnē] ) 'konst , hantverk består av') är en elementär del av matematikens egenskaper som studerar det traditionella talets egenskaper. — addition , subtraktion , multiplikation , division , exponentiering och extraktion av rötter . På 1800-talet formaliserade den italienske matematikern Giuseppe Peano aritmetiken med sina Peano-axiom , som är mycket viktiga för den matematiska logikens område idag.

Historia

Huvudartikel: Aritmetikens historia

Aritmetikens förhistoria är begränsad till ett litet antal artefakter, vilket kan indikera idén om addition och subtraktion, den mest kända är Ishango- benet från centrala Afrika , som daterar sig från någonstans mellan 20 000 och 18 000 f.Kr., även om dess tolkning är omtvistad.

De tidigaste skriftliga uppgifterna visar att egyptierna och babylonierna använde alla elementära aritmetiska operationer: addition, subtraktion, multiplikation och division, så tidigt som 2000 f.Kr. Dessa artefakter avslöjar inte alltid den specifika processen som används för att lösa problem, men egenskaperna hos det speciella siffersystemet påverkar starkt metodernas komplexitet. Det hieroglyfiska systemet för egyptiska siffror , som de senare romerska siffrorna , härstammade från räkningsmärken som användes för att räkna. I båda fallen resulterade detta ursprung i värden som använde en decimalbas , men som inte inkluderade positionsbeteckning . Komplexa beräkningar med romerska siffror krävde hjälp av en räknebräda (eller den romerska kulramen ) för att få resultaten.

Tidiga talsystem som inkluderade positionsbeteckning var inte decimal; dessa inkluderar sexagesimal (bas 60) systemet för babyloniska siffror , och vigesimal (bas 20) systemet som definierade Maya siffror . På grund av platsvärdekonceptet bidrog möjligheten att återanvända samma siffror för olika värden till enklare och effektivare beräkningsmetoder.

Den kontinuerliga historiska utvecklingen av modern aritmetik börjar med den hellenistiska perioden i det antika Grekland; det uppstod mycket senare än de babyloniska och egyptiska exemplen. Euklids verk omkring 300 f.Kr. överlappade grekiska studier i matematik med filosofiska och mystiska föreställningar. Nicomachus är ett exempel på denna synpunkt, genom att använda den tidigare pythagoreiska inställningen till siffror och deras relationer till varandra i sitt arbete Introduktion till aritmetik .

Grekiska siffror användes av Archimedes , Diophantus och andra i en positionsbeteckning som inte skilde sig mycket från den moderna notationen. De gamla grekerna saknade en symbol för noll fram till den hellenistiska perioden, och de använde tre separata uppsättningar av symboler som siffror : en uppsättning för enhetsplatsen, en för tiotalsplatsen och en för hundratalet. För tusentalsplatsen skulle de återanvända symbolerna för enhetsplatsen, och så vidare. Deras additionsalgoritm var identisk med den moderna metoden, och deras multiplikationsalgoritm var bara något annorlunda. Deras långa divisionsalgoritm var densamma, och siffra-för-siffra kvadratrotsalgoritmen , som användes så sent som på 1900-talet, var känd för Arkimedes (som kan ha uppfunnit den). Han föredrog det framför Heros metod för successiv approximation eftersom en siffra inte ändras, när den väl har beräknats, och kvadratrötterna av perfekta kvadrater, som 7485696, slutar omedelbart som 2736. För tal med en bråkdel, som 546,934, använde de negativa potenser av 60 - istället för negativa potenser av 10 för bråkdelen 0,934.

De forntida kineserna hade avancerade aritmetiska studier från Shangdynastin och fortsatte genom Tangdynastin, från grundläggande tal till avancerad algebra. De gamla kineserna använde en positionsbeteckning som liknade grekernas. Eftersom de också saknade en symbol för noll , hade de en uppsättning symboler för enhetsplatsen och en andra uppsättning för tiotalet. För hundratalsplatsen återanvände de sedan symbolerna för enhetsplatsen, och så vidare. Deras symboler var baserade på de gamla räknestavarna . Den exakta tidpunkten då kineserna började beräkna med positionsrepresentation är okänd, även om det är känt att adoptionen började före 400 f.Kr. De forntida kineserna var de första som på ett meningsfullt sätt upptäckte, förstår och tillämpar negativa tal. Detta förklaras i de nio kapitlen om matematisk konst ( Jiuzhang Suanshu ), som skrevs av Liu Hui från 200-talet f.Kr.

0 Den gradvisa utvecklingen av det hinduiskt-arabiska siffersystemet utformade självständigt platsvärdekonceptet och positionsbeteckningen, som kombinerade de enklare metoderna för beräkningar med en decimalbas och användningen av en siffra som representerar . Detta gjorde det möjligt för systemet att konsekvent representera både stora och små heltal – ett tillvägagångssätt som så småningom ersatte alla andra system. I början av 600-talet e.Kr. införlivade den indiske matematikern Aryabhata en befintlig version av detta system i sitt arbete och experimenterade med olika notationer. På 700-talet Brahmagupta användningen av 0 som ett separat tal, och bestämde resultaten för multiplikation, division, addition och subtraktion av noll och alla andra tal - förutom resultatet av division med noll . Hans samtida, den syriske biskopen Severus Sebokht (650 e.Kr.) sa: "Indier har en beräkningsmetod som inget ord kan berömma tillräckligt. Deras rationella matematiksystem eller deras beräkningsmetod. Jag menar systemet som använder nio symboler." Araberna lärde sig också denna nya metod och kallade den hesab .

Leibniz Stepped Reckoner var den första räknaren som kunde utföra alla fyra aritmetiska operationer.

Även om Codex Vigilanus beskrev en tidig form av arabiska siffror (som utelämnade 0) år 976 e.Kr., var Leonardo av Pisa ( Fibonacci ) primärt ansvarig för att sprida användningen av dem över hela Europa efter publiceringen av sin bok Liber Abaci 1202. Han skrev, "Den indianernas metod (latin Modus Indorum ) överträffar alla kända metoder att beräkna. Det är en fantastisk metod. De gör sina beräkningar med hjälp av nio siffror och symbolen noll .

Under medeltiden var aritmetik en av de sju fria konsterna som lärdes ut vid universiteten.

Uppblomstringen av algebra i den medeltida islamiska världen, och även i renässansens Europa , var ett resultat av den enorma förenklingen av beräkningar genom decimalnotation .

Olika typer av verktyg har uppfunnits och används i stor utsträckning för att hjälpa till vid numeriska beräkningar. Före renässansen var de olika typer av abaci . Nyare exempel inkluderar skjutregler , nomogram och mekaniska miniräknare , som Pascals miniräknare . För närvarande har de ersatts av elektroniska miniräknare och datorer .

Aritmetiska operationer

Se även: Algebraisk operation

De grundläggande aritmetiska operationerna är addition, subtraktion, multiplikation och division, även om aritmetik också inkluderar mer avancerade operationer, såsom manipulationer av procenttal , kvadratrötter , exponentiering , logaritmiska funktioner och till och med trigonometriska funktioner , i samma veva som logaritmer ( prostaphaeresis ). Aritmetiska uttryck måste utvärderas enligt den avsedda sekvensen av operationer. Det finns flera metoder för att specificera detta, antingen – de vanligaste, tillsammans med infixnotation – explicit genom att använda parenteser och förlita sig på prioritetsregler , eller genom att använda ett prefix eller postfix- notation, som unikt fixar exekveringsordningen av sig själva. Varje uppsättning objekt som alla fyra aritmetiska operationer (förutom division med noll ) kan utföras på, och där dessa fyra operationer följer de vanliga lagarna (inklusive distribution), kallas ett fält .

Tillägg

Huvudartikel: Tillägg

Addition, betecknad med symbolen $+$ , är aritmetikens mest grundläggande operation. I sin enkla form kombinerar addition två tal, tilläggen eller termerna , till ett enda tal, summan av talen (som 2 + 3 = 5 eller 3 + 5 = 8 ).

Att lägga till ändligt många tal kan ses som upprepad enkel addition; denna procedur är känd som summering , en term som också används för att beteckna definitionen för "att lägga till oändligt många tal" i en oändlig serie . Upprepad tillägg av siffran 1 är den mest grundläggande formen av räkning ; resultatet av att lägga till 1 brukar kallas efterföljaren till det ursprungliga numret.

Addition är kommutativ och associativ , så ordningen i vilken ändligt många termer läggs till spelar ingen roll.

Numret har egenskapen att när det läggs till ett valfritt tal, ger det samma nummer ; 0 så det är identitetselementet för addition, eller additiv identitet .

För varje nummer x finns ett tal betecknat – x , som kallas motsatsen till x , så att x + (– x ) = 0 och (– x ) + x = 0 . Så, motsatsen till x är inversen av x med avseende på addition, eller den additiva inversen av x . Till exempel är motsatsen till 7 −7 , eftersom 7 + (−7) = 0 .

Addition kan också tolkas geometriskt, som i följande exempel. Om vi ​​har två pinnar med längderna 2 och 5 , då, om pinnarna är inriktade efter varandra, blir längden på den kombinerade stickan 7 , eftersom 2 + 5 = 7 .

Subtraktion

Huvudartikel: Subtraktion

Se även: Metod för komplement

Subtraktion, betecknad med symbolen $-$ , är den omvända operationen till addition. Subtraktion finner skillnaden mellan två tal, minuend minus subtrahend : D = M − S . Med det tidigare etablerade tillägget betyder det att skillnaden är det tal som, när det läggs till subtrahenden, resulterar i minuend: D + S = M .

För positiva argument anser M och S :

Om minuend är större än subtrahend är skillnaden D positiv.

Om minuend är mindre än subtrahend är skillnaden D negativ.

I alla fall, om minuend och subtrahend är lika, är skillnaden D = 0.

Subtraktion är varken kommutativ eller associativ . Av den anledningen förkastas konstruktionen av denna inversa operation i modern algebra ofta till förmån för att introducera begreppet omvända element (som skisseras under § Addition ), där subtraktion betraktas som att additiva inversen av subtrahenden adderas till minuend, att är, a − b = a + (− b ) . Det omedelbara priset för att kassera den binära operationen av subtraktion är introduktionen av den (triviala) unära operationen , leverera den additiva inversen för ett givet tal, och att förlora den omedelbara tillgången till begreppet skillnad , vilket är potentiellt missvisande när negativa argument är inblandade .

För varje representation av siffror finns det metoder för att beräkna resultat, av vilka några är särskilt fördelaktiga när det gäller att utnyttja procedurer, som finns för en operation, genom små ändringar även för andra. Till exempel kan digitala datorer återanvända befintliga adderingskretsar och spara ytterligare kretsar för att implementera en subtraktion, genom att använda metoden med tvås komplement för att representera de additiva inverserna, vilket är extremt lätt att implementera i hårdvara ( negation ). Avvägningen är halveringen av nummerområdet för en fast ordlängd.

En tidigare utbredd metod för att uppnå ett korrekt ändringsbelopp, med kännedom om förfallna och givna belopp, är uppräkningsmetoden , som inte uttryckligen genererar värdet av skillnaden. Antag att ett belopp P ges för att betala det nödvändiga beloppet Q , med P större än Q. Istället för att explicit utföra subtraktionen P − Q = C och räkna ut det beloppet C i växling, räknas pengar ut med början med efterföljaren till Q , och fortsätter i valutastegen, tills P nås. Även om det räknade beloppet måste vara lika med resultatet av subtraktionen P − Q , gjordes subtraktionen aldrig riktigt och värdet av P − Q tillhandahålls inte med denna metod.

Multiplikation

Huvudartikel: Multiplikation

Multiplikation, betecknad med symbolerna $\times$ eller $\cdot$ , är den andra grundläggande operationen i aritmetiken. Multiplikation kombinerar också två tal till ett enda tal, produkten . De två ursprungliga talen kallas multiplikatorn och multiplikanten , oftast kallas båda faktorer .

Multiplikation kan ses som en skalningsoperation. Om talen föreställs ligga på en linje, är multiplikation med ett tal större än 1, säg x , detsamma som att sträcka allt från 0 jämnt, på ett sådant sätt att talet 1 i sig sträcks till där x var. På liknande sätt kan multiplicering med ett tal mindre än 1 föreställas som att man klämmer mot 0, på ett sådant sätt att 1 går till multiplikaden.

En annan syn på multiplikation av heltal (kan utökas till rational men inte särskilt tillgänglig för reella tal) är att betrakta det som upprepad addition. Till exempel. 3 × 4 motsvarar att antingen lägga till 3 gånger en 4 , eller 4 gånger en 3 , vilket ger samma resultat. Det finns olika åsikter om fördelarna med dessa paradigmater i matematikundervisningen.

0000 Multiplikation är kommutativ och associativ; vidare är den distributiv över addition och subtraktion. Den multiplikativa identiteten är 1, eftersom multiplicering av valfritt tal med 1 ger samma tal. Den multiplikativa inversen för vilket tal som helst utom är den reciproka av detta tal, eftersom multiplicering av den reciproka av ett tal med talet i sig ger den multiplikativa identiteten 1 . är det enda talet utan en multiplikativ invers, och resultatet av att multiplicera vilket tal som helst och är återigen 0. Man säger att det inte ingår i den multiplikativa gruppen av talen.

Produkten av a och b skrivs som a × b eller a · b . Det kan också skrivas genom enkel sammanställning: ab . I datorprogrammeringsspråk och mjukvarupaket (där man bara kan använda tecken som normalt finns på ett tangentbord) skrivs det ofta med en asterisk: a * b .

Algoritmer som implementerar multiplikation för olika representationer av tal är mycket mer kostsamma och mödosamma än de för addition. De som är tillgängliga för manuell beräkning förlitar sig antingen på att bryta ner faktorerna till enstaka platsvärden och tillämpa upprepad addition, eller på att använda tabeller eller diaregler , och därigenom mappa multiplikation till addition och vice versa. Dessa metoder är föråldrade och ersätts gradvis av mobila enheter. Datorer använder olika sofistikerade och mycket optimerade algoritmer för att implementera multiplikation och division för de olika talformat som stöds i deras system.

Division

Huvudartikel: Division (matematik)

Division, betecknad med symbolerna $\div$ eller $/$ , är i huvudsak den inversa operationen till multiplikation. Division finner kvoten av två tal, utdelningen dividerad med divisorn . Enligt vanliga regler är utdelning dividerad med noll odefinierad. För distinkta positiva tal, om utdelningen är större än divisorn, är kvoten större än 1, annars är den mindre än eller lika med 1 (en liknande regel gäller för negativa tal). Kvoten multiplicerad med divisorn ger alltid utdelningen.

Division är varken kommutativ eller associativ. Så som förklarats i § Subtraktion , förkastas konstruktionen av divisionen i modern algebra till förmån för att konstruera de inversa elementen med avseende på multiplikation, som infördes i § Multiplikation . Division är alltså multiplikationen av utdelningen med den reciproka av divisorn som faktorer, det vill säga a ÷ b = a × 1 / b .

Inom de naturliga talen finns det också ett annat men relaterat begrepp som kallas euklidisk division , som utmatar två tal efter att ha "dividerat" ett naturligt N (täljare) med ett naturligt D (nämnare): först ett naturligt Q (kvot), och sedan en naturlig R (resten) så att N = D × Q + R och 0 ≤ R < Q .

I vissa sammanhang, inklusive datorprogrammering och avancerad aritmetik, utökas divisionen med en annan utgång för resten. Detta behandlas ofta som en separat operation, Modulo-operationen , betecknad med symbolen $\%$ eller ordet $mod$ , men ibland en andra utgång för en "divmod"-operation. I båda fallen Modular aritmetik en mängd olika användningsfall. Olika implementeringar av division (golvad, trunkerad, euklidisk, etc.) motsvarar olika implementeringar av modul.

Grundläggande sats för aritmetik

Huvudartikel: Fundamental theorem of aritmetic

Aritmetikens grundsats säger att varje heltal större än 1 har en unik primtalsfaktorisering (en representation av ett tal som produkten av primtalsfaktorer), exklusive ordningen på faktorerna. Till exempel har 252 bara en primtalsfaktorisering:

252 = 2 ² × 3 ² × 7 ¹

Euklids element introducerade först denna teorem och gav ett partiellt bevis (som kallas Euklids lemma) . Den grundläggande aritmetikens grundsats bevisades först av Carl Friedrich Gauss .

Aritmetikens grundsats är en av anledningarna till att 1 inte anses vara ett primtal . Andra skäl inkluderar sikten av Eratosthenes , och definitionen av ett primtal i sig (ett naturligt tal större än 1 som inte kan bildas genom att multiplicera två mindre naturliga tal.).

Decimalaritmetik

Decimalrepresentation hänvisar uteslutande, i vanligt bruk, till det skrivna siffersystemet som använder arabiska siffror som siffror för en radix 10 ("decimal") positionsbeteckning ; dock kan vilket siffersystem som helst baserat på potenser av 10, t.ex. grekiska , kyrilliska , romerska eller kinesiska siffror begreppsmässigt beskrivas som "decimal notation" eller "decimal representation".

⁰ Moderna metoder för fyra grundläggande operationer (addition, subtraktion, multiplikation och division) utarbetades först av Brahmagupta från Indien. Detta var känt under det medeltida Europa som "Modus Indorum" eller indianernas metod. Positionell notation (även känd som "plats-värde notation") hänvisar till representation eller kodning av tal som använder samma symbol för de olika storleksordningarna (t.ex. "ettorplatsen", "tiotalsplatsen", "hundratalsplatsen") och med en radixpunkt använder du samma symboler för att representera bråk (t.ex. "tiondelsplatsen", "hundradelsplatsen"). Till exempel anger 507.36 5 hundratal (10 ² ), plus 0 tiotal (10 ¹ ), plus 7 enheter (10 ), plus 3 tiondelar (10 ⁻¹ ) plus 6 hundradelar (10 ⁻² ).

0 Begreppet som ett tal som är jämförbart med de andra grundläggande siffrorna är väsentligt för denna notation, liksom begreppet 0:s användning som platshållare, och likaså definitionen av multiplikation och addition med 0. Användningen av 0 som platshållare och, därför intygas användningen av en positionsbeteckning först i Jain -texten från Indien med titeln Lokavibhâga , daterad 458 e.Kr. och det var först i början av 1200-talet som dessa begrepp, överförda via den arabiska världens vetenskap , introducerades i Europa av Fibonacci med det hinduiska-arabiska siffersystemet.

Algorism omfattar alla regler för att utföra aritmetiska beräkningar med denna typ av skrivna siffror. Till exempel ger addition summan av två godtyckliga tal. Resultatet beräknas genom att upprepade siffror adderas från varje nummer som upptar samma position, från höger till vänster. En additionstabell med tio rader och tio kolumner visar alla möjliga värden för varje summa. Om en enskild summa överstiger värdet 9, representeras resultatet med två siffror. Siffran längst till höger är värdet för den aktuella positionen, och resultatet för det efterföljande tillägget av siffrorna till vänster ökar med värdet för den andra (längst till vänster) siffran, som alltid är en (om inte noll). Denna justering kallas för en överföring av värdet 1.

Processen för att multiplicera två godtyckliga tal liknar processen för addition. En multiplikationstabell med tio rader och tio kolumner listar resultaten för varje par av siffror. Om en enskild produkt av ett sifferpar överstiger 9, bärjusteringen resultatet av varje efterföljande multiplikation från siffror till vänster med ett värde lika med den andra (längst till vänster) siffran, vilket är vilket värde som helst från 1 till 8 ( 9 × 9 = 81 ). Ytterligare steg definierar det slutliga resultatet.

Liknande tekniker finns för subtraktion och division.

  Skapandet av en korrekt process för multiplikation bygger på förhållandet mellan värden på intilliggande siffror. Värdet för varje enskild siffra i en siffra beror på dess position. Varje position till vänster representerar också ett värde tio gånger större än positionen till höger. I matematiska termer exponenten för radixen (basen) av 10 med 1 (till vänster) eller minskar med 1 (till höger). Därför multipliceras värdet för en godtycklig siffra med ett värde av formen 10 ⁿ med heltal n . Listan med värden som motsvarar alla möjliga positioner för en enstaka siffra skrivs som {..., 10 ² , 10, 1, 10 ⁻¹ , 10 ⁻² , ...}.

Upprepad multiplikation av valfritt värde i denna lista med 10 ger ett annat värde i listan. I matematisk terminologi definieras denna egenskap som stängning , och den föregående listan beskrivs som stängd under multiplikation . Det är grunden för att korrekt hitta resultaten av multiplikation med den tidigare tekniken. Detta resultat är ett exempel på användningen av talteori .

Sammansatt enhetsaritmetik

Sammansatt enhetsaritmetik är tillämpningen av aritmetiska operationer på blandade radixkvantiteter såsom fot och tum; gallons och pints; pund, shilling och pence; och så vidare. Innan decimalbaserade system för pengar och måttenheter användes aritmetik med sammansatt enhet i stor utsträckning inom handel och industri.

Grundläggande aritmetiska operationer

Teknikerna som används i sammansatt enhetsaritmetik har utvecklats under många århundraden och är väl dokumenterade i många läroböcker på många olika språk. Förutom de grundläggande aritmetiska funktionerna som påträffas i decimalaritmetik, använder sammansatt enhetsaritmetik ytterligare tre funktioner:

• Reduktion , där en sammansatt kvantitet reduceras till en enda kvantitet – till exempel omvandling av ett avstånd uttryckt i yards, fot och tum till ett uttryckt i tum.
• Expansion , den omvända funktionen till reduktion, är omvandlingen av en kvantitet som uttrycks som en enda måttenhet till en sammansatt enhet, som att expandera 24 oz till 1 lb 8 oz .
• Normalisering är omvandlingen av en uppsättning sammansatta enheter till en standardform – till exempel att skriva om " 1 ft 13 in " som " 2 ft 1 in " .

Kunskap om sambandet mellan de olika måttenheterna, deras multipler och deras submultipler utgör en väsentlig del av sammansatt enhetsaritmetik.

Principer för aritmetik med sammansatt enhet

Det finns två grundläggande metoder för aritmetik med sammansatt enhet:

• Reduktion–expansionsmetod där alla sammansatta enhetsvariabler reduceras till enskilda enhetsvariabler, beräkningen utförs och resultatet expanderas tillbaka till sammansatta enheter. Detta tillvägagångssätt är lämpligt för automatiserade beräkningar. Ett typiskt exempel är hanteringen av tid i Microsoft Excel där alla tidsintervall bearbetas internt som dagar och decimaldelar av en dag.
• Pågående normaliseringsmetod där varje enhet behandlas separat och problemet kontinuerligt normaliseras allt eftersom lösningen utvecklas. Detta tillvägagångssätt, som beskrivs allmänt i klassiska texter, lämpar sig bäst för manuella beräkningar. Ett exempel på den pågående normaliseringsmetoden som tillämpas på addition visas nedan.

Tilläggsoperationen utförs från höger till vänster; i detta fall bearbetas pence först, sedan shilling följt av pund. Siffrorna under "svarsraden" är mellanresultat.

Summan i pencekolumnen är 25. Eftersom det finns 12 pennies i en shilling delas 25 med 12 för att ge 2 med en återstod av 1. Värdet "1" skrivs sedan till svarsraden och värdet "2" föras fram till skillingskolumnen. Denna operation upprepas med hjälp av värdena i kolumnen shilling, med det ytterligare steget att lägga till värdet som överfördes från pennies-kolumnen. Den mellanliggande summan delas med 20 eftersom det finns 20 shilling i ett pund. Pound-kolumnen bearbetas sedan, men eftersom pounds är den största enheten som övervägs, förs inga värden vidare från pound-kolumnen.

För enkelhetens skull hade det valda exemplet inga avstånd.

Verksamhet i praktiken

En våg kalibrerad i imperialistiska enheter, med tillhörande kostnadsdisplay

Under 1800- och 1900-talen utvecklades olika hjälpmedel för att underlätta manipulering av sammansatta enheter, särskilt i kommersiella applikationer. De vanligaste hjälpmedlen var mekaniska kassar som anpassades i länder som Storbritannien för att rymma pund, shilling, pence och farthings, och ready reckoners , som är böcker riktade till handlare som katalogiserade resultaten av olika rutinmässiga beräkningar såsom procentsatser eller multiplar av olika summor pengar. Ett typiskt häfte som omfattade 150 sidor tabellerade multipler "från ett till tio tusen till olika priser från en farthing till ett pund".

Den besvärliga karaktären hos sammansatt enhetsaritmetik har erkänts i många år - 1586 publicerade den flamländska matematikern Simon Stevin en liten broschyr kallad De Thiende ("den tionde") där han förklarade det universella införandet av decimalmynt, mått och vikter att bara vara en fråga om tid. I modern tid visar många konverteringsprogram, som det som ingår i Microsoft Windows 7-operativsystemkalkylatorn, sammansatta enheter i ett reducerat decimalformat istället för att använda ett utökat format (t.ex. "2,5 fot" visas istället för "2 fot 6 tum" ).

Talteori

Huvudartikel: Talteori

Fram till 1800-talet var talteori en synonym till "aritmetik". De adresserade problemen var direkt relaterade till de grundläggande funktionerna och gällde primalitet , delbarhet och lösningen av ekvationer i heltal , såsom Fermats sista sats . Det visade sig att de flesta av dessa problem, även om de är mycket elementära att ange, är mycket svåra och kanske inte kan lösas utan mycket djup matematik som involverar begrepp och metoder från många andra grenar av matematiken. Detta ledde till nya grenar av talteorin som analytisk talteori , algebraisk talteori , diofantisk geometri och aritmetisk algebraisk geometri . Wiles bevis på Fermats sista sats är ett typiskt exempel på nödvändigheten av sofistikerade metoder, som går långt utöver de klassiska aritmetikens metoder, för att lösa problem som kan anges i elementär aritmetik.

Aritmetik i utbildning

Grundskola i matematik lägger ofta stort fokus på algoritmer för aritmetiken av naturliga tal , heltal , bråktal och decimaler (med decimala plats-värdesystem). Denna studie är ibland känd som algoritm.

Svårigheten och det omotiverade utseendet hos dessa algoritmer har länge fått lärare att ifrågasätta denna läroplan och förespråkar tidig undervisning av mer centrala och intuitiva matematiska idéer. En anmärkningsvärd rörelse i denna riktning var New Math på 1960- och 1970-talen, som försökte lära ut aritmetik i en anda av axiomatisk utveckling från mängdteorin, ett eko av den rådande trenden inom högre matematik.

Även aritmetik användes av islamiska forskare för att lära ut tillämpningen av domarna relaterade till Zakat och Irth . Detta gjordes i en bok med titeln The Best of Arithmetic av Abd-al-Fattah-al-Dumyati. Boken börjar med matematikens grunder och fortsätter till dess tillämpning i de senare kapitlen.

Se även

• Listor över matematikämnen
• Kontur av aritmetik
• Räknesticka

Relaterade ämnen

• Addition av naturliga tal
• Additiv invers
• Aritmetisk kodning
• Aritmetiskt medelvärde
• Aritmetiskt tal
• Aritmetisk progression
• Aritmetiska egenskaper
• Associativitet
• Kommutativitet
• Distributivitet
• Elementär aritmetik
• Finit field aritmetik
• Geometrisk progression
• Heltal
• Lista över viktiga publikationer inom matematik
• Lunar aritmetik
• Mental beräkning
• Nummer linje
• Plantaritmetik

Anteckningar

• Cunnington, Susan, The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development , Swan Sonnenschein, London, 1904
• Dickson, Leonard Eugene , History of theory of Numbers (3 volymer), nytryck: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
• Euler, Leonhard , Elements of Algebra , Tarquin Press, 2007
• Fine, Henry Burchard (1858–1928), Algebras talsystem behandlad teoretiskt och historiskt, Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
• Karpinski, Louis Charles (1878–1956), The History of Arithmetic , Rand McNally, Chicago, 1925; nytryck: Russell & Russell, New York, 1965
• Ore, Øystein , Talteori och dess historia , McGraw-Hill, New York, 1948
• Weil, André , Number Theory: An Approach through History , Birkhauser, Boston, 1984; granskat: Matematiska recensioner 85c:01004

externa länkar

• MathWorld-artikel om aritmetik
• Den nya studentens uppslagsverk/arithmetik (historisk)
• Den stora beräkningen enligt indianerna av Maximus Planudes – ett tidigt västerländskt arbete om aritmetik vid konvergens
• Weyde, PH Vander (1879). "Aritmetik" . Den amerikanska Cyclopædia .