Binär operation

Ej att förväxla med Bitwise-drift .

En binär operation $\circ$ är en regel för att kombinera argumenten $x$ och $y$ för att producera $x\circ y$

I matematik är en binär operation eller dyadisk operation en regel för att kombinera två element (kallade operander ) för att producera ett annat element. Mer formellt är en binär operation en operation av arity två.

Mer specifikt är en intern binär operation på en uppsättning en binär operation vars två domäner och kodomänen är samma uppsättning. Exempel inkluderar de välbekanta aritmetiska operationerna addition , subtraktion och multiplikation . Andra exempel finns lätt inom olika områden av matematik, såsom vektoraddition , matrismultiplikation och konjugering i grupper .

En operation av arity två som involverar flera set kallas ibland också för en binär operation . Till exempel skalär multiplikation av vektorrum en skalär och en vektor för att producera en vektor, och en skalär produkt tar två vektorer för att producera en skalär. Sådana binära operationer kan helt enkelt kallas för binära funktioner .

Binära operationer är slutstenen i de flesta algebraiska strukturer som studeras i algebra , särskilt i semigrupper , monoider , grupper , ringar , fält och vektorrum .

Terminologi

Mer exakt är en binär operation på en uppsättning $S$ en mappning av elementen i den kartesiska produkten $S\times S$ till $S$ :

$\,f\colon S\times S\rightarrow S.$

Eftersom resultatet av att utföra operationen på ett par element av $S$ återigen är ett element i $S$ kallas operationen en sluten (eller intern ) binär operation på $S$ (eller ibland uttryckt som att ha stängningsegenskapen ) .

Om $f$ inte är en funktion , utan en partiell funktion , kallas $f$ en partiell binär operation . Till exempel är division av reella tal en partiell binär operation, eftersom man inte kan dividera med noll : ${\frac {a}{0}}$ är odefinierad för varje reellt tal $a$ . I både universell algebra och modellteori måste binära operationer definieras på alla element i $S\times S$ .

Ibland, särskilt inom datavetenskap , används termen binär operation för vilken binär funktion som helst .

Egenskaper och exempel

Typiska exempel på binära operationer är addition ( $+$ ) och multiplikation ( $\times$ ) av tal och matriser samt sammansättning av funktioner i en enda uppsättning. Till exempel,

• På uppsättningen av reella tal är ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ f $\displaystyle f(a,b)=a+b}$ en binär operation eftersom summan av två reella tal är ett reellt tal.
• På mängden naturliga tal $\mathbb {N}$ , är $f(a,b)=a+b$ en binär operation eftersom summan av två naturliga tal är ett naturligt tal. Detta är en annan binär operation än den föregående eftersom uppsättningarna är olika.
• På uppsättningen $M(2,\mathbb {R} )$ av $2\times 2$ matriser med reella poster, $f(A,B)=A+B$ är en binär operation eftersom summan av två sådana matriser är en $2\x 2$ matris.
• På uppsättningen $M(2,\mathbb {R} )$ av $2\times 2$ matriser med reella poster, ${ \displaystyle f(A,B)=AB}$ är en binär operation eftersom produkten av två sådana matriser är en $2\times 2$ matris.
• För en given uppsättning $C$ , låt $S$ vara mängden av alla funktioner $h\colon C\rightarrow C$ . Definiera $f\colon S\times S\rightarrow S$ med $f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}( c))$ för alla $c\in C$ , sammansättningen av de två funktionerna $h_{1}$ och $h_{2}$ i $S$ . Då $f$ en binär operation eftersom sammansättningen av de två funktionerna återigen är en funktion på mängden $C$ (det vill säga en medlem av $S$ ).

Många binära operationer av intresse i både algebra och formell logik är kommutativa och uppfyller $f(a,b)=f(b,a)$ för alla element ${ \displaystyle a}$ och $b$ i $S$ , eller associativa , som uppfyller $f (f(a,b),c)=f(a,f(b,c))$ för alla $a$ , $b$ och $c$ i ${\ displaystil S}$ . Många har också identitetselement och omvända element .

De tre första exemplen ovan är kommutativa och alla ovanstående exempel är associativa.

På uppsättningen av reella tal $\mathbb {R}$ , är subtraktion , det vill säga $f(a,b)=ab$ , en binär operation som är inte kommutativ eftersom, i allmänhet, $ab\neq ba$ . Den är inte heller associativ, eftersom i allmänhet $a-(bc)\neq (ab)-c$ ; till exempel, $1-(2-3)=2$ men $(1-2)-3=-4$ .

På uppsättningen naturliga tal ${\displaystyle \mathbb {N} } är$ den binära operationens exponentiering , ${\displaystyle f(a,b)=a^{b}} ,$ inte . kommutativ eftersom, $a^{b}\neq b^{a}$ (jfr ekvation x ^y = y ^x ), och är inte heller associativ eftersom $f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))$ . Till exempel, med $a=2$ , $b=3$ och $c=2$ , ${\displaystyle f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64} ,$ men $f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512$ . Genom att ändra mängden $\mathbb {N}$ till mängden heltal $\mathbb {Z}$ , blir denna binära operation en partiell binär operation eftersom den nu är odefinierad när $a =0$ och $b$ är vilket negativt heltal som helst. För båda uppsättningarna har denna operation en rätt identitet (som är $1$ ) eftersom $f(a,1)=a$ för alla $a$ i mängden, som inte är en identitet (tvåsidig identitet) eftersom $f(1,b)\neq b$ i allmänhet.

Division ( $\div$ ), en partiell binär operation på mängden reella eller rationella tal, är inte kommutativ eller associativ. Tetration ( $\uparrow \uparrow$ ), som en binär operation på de naturliga talen, är inte kommutativ eller associativ och har inget identitetselement.

Notation

Binära operationer skrivs ofta med hjälp av infix-notation som $a\ast b$ , $a+b$ , $a\cdot b$ eller (genom inställning med ingen symbol) $ab$ snarare än genom funktionell notation av formen $f(a,b)$ . Potenser skrivs vanligtvis också utan operator, men med det andra argumentet som upphöjd .

Binära operationer skrivs ibland med prefix eller (oftast) postfix-notation, som båda avstår från parenteser. De kallas också för polsk notation respektive omvänd polsk notation .

Binära operationer som ternära relationer

En binär operation $f$ på en mängd $S$ kan ses som en ternär relation på $S$ , det vill säga mängden trippel $(a,b,f(a,b))$ i $S\times S\times S$ för alla $a$ och $b$ i $S$ .

Externa binära operationer

En extern binär operation är en binär funktion från $K\times S$ till $S$ . Detta skiljer sig från en binär operation på en mängd i den meningen att $K$ inte behöver vara $S$ ; dess element kommer utifrån .

Ett exempel på en extern binär operation är skalär multiplikation i linjär algebra . Här $K$ ett fält och $S$ är ett vektorrum över det fältet.

Vissa externa binära operationer kan alternativt ses som en åtgärd av $K$ på $S$ . Detta kräver att det finns en associativ multiplikation i $K$ och en kompatibilitetsregel av formen $a(bs)=(ab)s$ , där $a,b\in K$ och ${\displaystyle s\in S} (här$ betecknas både den externa operationen och multiplikationen i ${\displaystyle K} med sida).$

Punktprodukten av två vektorer mappar $S\times S$ till $K$ , där ${\displaystyle K} är$ ett fält och $S$ är ett vektorrum över ${ \displaystyle K}$ . Det beror på författarna om det betraktas som en binär operation.

Se även

• Kategori: Egenskaper för binära operationer
• Itererad binär operation
• Operatör (programmering)
• Ternär operation
• Sanningstabell#Binära operationer
• Unär operation
• Magma (algebra) , en uppsättning utrustad med en binär operation.

Anteckningar

•   Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd ed.), Läsning: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups , New York: Macmillan
•   Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Chiphers and Discrete Algorithms , Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd ed.), Boston: Allyn and Bacon

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Binär operation" . MathWorld .