David Hilbert

"Hilbert" omdirigerar hit. För annan användning, se Hilbert (disambiguation) .

David Hilbert
Hilbert.jpg
Hilbert 1912
Född ( 1862-01-23 ) 23 januari 1862
Königsberg eller Wehlau , Preussen
dog 14 februari 1943 (1943-02-14) (81 år gammal)
Göttingen , Tyskland
Nationalitet tysk
Utbildning Universitetet i Königsberg ( PhD )
Känd för





Hilberts grundsats Hilberts axiom Hilberts problem Hilberts program Einstein–Hilbert handling Hilbert rymd Epsilonkalkyl
Make Käthe Jerosch
Barn Franz (f. 1893)
Utmärkelser

Lobachevsky-priset (1903) Bolyai-priset (1910) ForMemRS
Vetenskaplig karriär
Fält Matematik , fysik och filosofi
institutioner
Universitetet i Königsberg Göttingens universitet
Avhandling   Om oföränderliga egenskaper hos speciella binära former, särskilt för sfäriska funktioner ( 1885)
Doktorand rådgivare Ferdinand von Lindemann
Doktorander
 
Andra framstående studenter
Edward Kasner John von Neumann
Influenser Immanuel Kant

David Hilbert ( / ˈ h ɪ l b ər t / ; tyska: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt] ; 23 januari 1862 – 14 februari 1943) var en tysk matematiker , en av de mest inflytelserika matematikerna under 1900-talet och början av 1900-talet. Hilbert upptäckte och utvecklade ett brett spektrum av grundläggande idéer inom många områden, inklusive invariantteori , variationskalkyl , kommutativ algebra , algebraisk talteori , grunderna för geometri , spektralteori för operatorer och dess tillämpning på integralekvationer , matematisk fysik och grunderna för matematik (särskilt bevisteori) .

Hilbert antog och försvarade Georg Cantors mängdteori och transfinita tal . År 1900 presenterade han en samling problem som satte kursen för mycket av 1900-talets matematiska forskning.

Hilbert och hans elever bidrog avsevärt till att etablera rigor och utvecklade viktiga verktyg som används i modern matematisk fysik. Hilbert är känd som en av grundarna av bevisteorin och matematisk logik .

Liv

tidigt liv och utbildning

Hilbert, den första av två barn och enda son till Otto och Maria Therese (Erdtmann) Hilbert, föddes i provinsen Preussen , kungariket Preussen , antingen i Königsberg (enligt Hilberts egen uppgift) eller i Wehlau (känd sedan 1946 som Znamensk ) nära Königsberg där hans far arbetade vid tiden för hans födelse.

I slutet av 1872 gick Hilbert in på Friedrichskolleg Gymnasium ( Collegium fridericianum , samma skola som Immanuel Kant hade gått 140 år tidigare); men efter en olycklig period övergick han till (slutet av 1879) och tog examen från (tidigt 1880) det mer naturvetenskapligt inriktade Wilhelmgymnasiet. Efter examen, hösten 1880, skrev Hilbert in vid universitetet i Königsberg , "Albertina". I början av 1882 återvände Hermann Minkowski (två år yngre än Hilbert och också född i Königsberg men hade rest till Berlin i tre terminer), till Königsberg och började på universitetet. Hilbert utvecklade en livslång vänskap med den blyge, begåvade Minkowski.

Karriär

Hilbert 1886
Hilbert 1907

1884 anlände Adolf Hurwitz från Göttingen som Extraordinarius (dvs. docent). Ett intensivt och fruktbart vetenskapligt utbyte mellan de tre inleddes, och särskilt Minkowski och Hilbert skulle utöva ett ömsesidigt inflytande över varandra vid olika tidpunkter i sina vetenskapliga karriärer. Hilbert doktorerade 1885, med en avhandling, skriven under Ferdinand von Lindemann , med titeln Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen (" Om de invarianta egenskaperna hos speciella binära former , i synnerhet de sfäriska harmoniska funktionerna" ).

Hilbert stannade vid universitetet i Königsberg som Privatdozent ( lektor ) från 1886 till 1895. År 1895, som ett resultat av ingripande på hans vägnar av Felix Klein , fick han ställning som professor i matematik vid universitetet i Göttingen . Under Klein- och Hilbert-åren blev Göttingen den framstående institutionen i den matematiska världen. Där stannade han resten av sitt liv.

Matematiska institutet i Göttingen. Dess nya byggnad, byggd med medel från Rockefeller Foundation , öppnades av Hilbert och Courant 1930.

Göttingen skola

Bland Hilberts elever fanns Hermann Weyl , schackmästaren Emanuel Lasker , Ernst Zermelo och Carl Gustav Hempel . John von Neumann var hans assistent. Vid universitetet i Göttingen var Hilbert omgiven av en social krets av några av 1900-talets viktigaste matematiker, såsom Emmy Noether och Alonzo Church .

Bland hans 69 Ph.D. studenter i Göttingen var många som senare blev kända matematiker, inklusive (med avhandlingsdatum): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) och Wilhelm Ackermann (1925). Mellan 1902 och 1939 var Hilbert redaktör för Mathematische Annalen , tidens ledande matematiska tidskrift.

Bra, han hade inte tillräckligt med fantasi för att bli matematiker.

— Hilberts svar när han hörde att en av hans elever hade hoppat av för att studera poesi.

Privatliv

Käthe Hilbert med Constantin Carathéodory , före 1932
Hilbert och hans hustru Käthe Jerosch (1892)
Franz Hilbert

År 1892 gifte sig Hilbert med Käthe Jerosch (1864–1945), som var dotter till en köpman från Königsberg, en frispråkig ung dam med ett självständigt sinne som matchade [Hilberts]." Medan de var i Königsberg fick de sitt enda barn, Franz Hilbert [ de ] (1893–1969) Franz led under hela sitt liv av en odiagnostiserad psykisk sjukdom.Hans underlägsna intellekt var en fruktansvärd besvikelse för hans far och denna olycka var en olycka för matematikerna och studenterna i Göttingen.

Hilbert ansåg att matematikern Hermann Minkowski var sin "bästa och sannaste vän".

Hilbert döptes och uppfostrade en kalvinist i den preussiska evangeliska kyrkan . Han lämnade senare kyrkan och blev agnostiker . Han hävdade också att den matematiska sanningen var oberoende av Guds existens eller andra a priori antaganden. När Galileo Galilei kritiserades för att inte stå upp för sin övertygelse om den heliocentriska teorin , invände Hilbert: "Men [Galileo] var inte en idiot. Endast en idiot kunde tro att vetenskaplig sanning behöver martyrskap; det kan vara nödvändigt i religionen, men vetenskapliga resultat visar sig i sinom tid."

Senare år

Liksom Albert Einstein hade Hilbert närmaste kontakter med Berlingruppen vars ledande grundare hade studerat under Hilbert i Göttingen ( Kurt Grelling , Hans Reichenbach och Walter Dubislav ).

Omkring 1925 utvecklade Hilbert perniciös anemi , en då obehandlad vitaminbrist vars primära symptom är utmattning; hans assistent Eugene Wigner beskrev honom som utsatt för "enorm trötthet" och hur han "verkade ganska gammal", och att även efter att han till slut blivit diagnostiserad och behandlad, "var knappast en vetenskapsman efter 1925, och absolut inte en Hilbert."

Hilbert levde för att se nazisterna rensa ut många av de framstående fakultetsmedlemmarna vid universitetet i Göttingen 1933. De som tvingades bort inkluderade Hermann Weyl (som hade tagit Hilberts stol när han gick i pension 1930), Emmy Noether och Edmund Landau . En som var tvungen att lämna Tyskland, Paul Bernays , hade samarbetat med Hilbert inom matematisk logik och skrev tillsammans med honom den viktiga boken Grundlagen der Mathematik (som så småningom kom ut i två volymer, 1934 och 1939). Detta var en uppföljare till boken Hilbert- Ackermann Principles of Mathematical Logic från 1928. Hermann Weyls efterträdare var Helmut Hasse .

Ungefär ett år senare deltog Hilbert i en bankett och satte sig bredvid den nye utbildningsministern Bernhard Rust . Rust frågade om "Matematiska institutet verkligen led så mycket på grund av judarnas avgång." Hilbert svarade: "Lidad? Det finns inte längre, eller hur?"

Död


Hilberts grav:
Wir müssen wissen Wir werden wissen

När Hilbert dog 1943 hade nazisterna nästan helt återbemannat universitetet, eftersom många av den tidigare fakulteten antingen hade varit judar eller gifta med judar. I Hilberts begravning deltog färre än ett dussin personer, varav bara två var akademiker, bland dem Arnold Sommerfeld , en teoretisk fysiker och även infödd i Königsberg. Nyheten om hans död blev känd för den stora världen först flera månader efter att han dog.

gravsten i Göttingen består av de berömda rader han talade vid avslutningen av sitt pensioneringstal till Society of German Scientists and Physicians den 8 september 1930. Orden gavs som svar på den latinska maximen: "Ignoramus et ignorabimus " eller "Vi vet inte, vi ska inte veta":

Dagen innan Hilbert uttalade dessa fraser vid 1930 års årsmöte för Society of German Scientists and Physicians, tillkännagav Kurt Gödel – i en rundabordsdiskussion under konferensen om epistemologi som hölls tillsammans med föreningens möten – preliminärt det första uttrycket för hans ofullständighetsteorem . Gödels ofullständighetsteorem visar att även elementära axiomatiska system som Peano-arithmetik antingen är självmotsägande eller innehåller logiska påståenden som är omöjliga att bevisa eller motbevisa inom det systemet.

Bidrag till matematik och fysik

Hilbert löser Gordans problem

Hilberts första arbete på invarianta funktioner ledde honom till demonstrationen 1888 av hans berömda finitetsteorem . Tjugo år tidigare Paul Gordan demonstrerat teoremet om ändligheten hos generatorer för binära former med hjälp av en komplex beräkningsmetod. Försök att generalisera hans metod till funktioner med fler än två variabler misslyckades på grund av den enorma svårigheten med beräkningarna. För att lösa det som i vissa kretsar blivit känt som Gordans problem insåg Hilbert att det var nödvändigt att ta en helt annan väg. Som ett resultat visade han Hilberts grundsats , som visar förekomsten av en ändlig uppsättning generatorer, för kvantikens invarianter i valfritt antal variabler, men i en abstrakt form. Det vill säga, samtidigt som det demonstrerade existensen av en sådan uppsättning, var det inte ett konstruktivt bevis - det visade inte "ett objekt" - utan snarare var det ett existensbevis och förlitade sig på användningen av lagen om utesluten mitt i en oändlig förlängning .

Hilbert skickade sina resultat till Mathematische Annalen . Gordan, husets expert på teorin om invarianter för Mathematische Annalen , kunde inte uppskatta den revolutionära karaktären hos Hilberts teorem och förkastade artikeln och kritiserade utläggningen eftersom den inte var tillräckligt omfattande. Hans kommentar var:

Klein , å andra sidan, insåg vikten av verket och garanterade att det skulle publiceras utan några ändringar. Uppmuntrad av Klein utökade Hilbert sin metod i en andra artikel och gav uppskattningar om den maximala graden av den minsta uppsättningen av generatorer, och han skickade den ännu en gång till Annalen . Efter att ha läst manuskriptet skrev Klein till honom och sa:

Utan tvekan är detta det viktigaste verket om allmän algebra som Annalen någonsin har publicerat.

Senare, efter att användbarheten av Hilberts metod blev allmänt erkänd, skulle Gordan själv säga:

Jag har övertygat mig själv om att även teologi har sina förtjänster.

Trots alla hans framgångar skapade karaktären av hans bevis mer problem än vad Hilbert hade kunnat föreställa sig. Även om Kronecker hade medgett, skulle Hilbert senare svara på andras liknande kritik om att "många olika konstruktioner är underordnade en grundläggande idé" - med andra ord (för att citera Reid): "Genom ett bevis på existens hade Hilbert kunnat erhålla en konstruktion"; "beviset" (dvs. symbolerna på sidan) var "objektet". Alla var inte övertygade. Medan Kronecker skulle dö strax efteråt, skulle hans konstruktivistiska filosofi fortsätta med den unge Brouwer och hans utvecklande intuitionistiska "skola", mycket till Hilberts plåga under hans senare år. Sannerligen skulle Hilbert förlora sin "begåvade elev" Weyl till intuitionismen - "Hilbert blev störd av sin tidigare elevs fascination av Brouwers idéer, som väckte Hilberts minne av Kronecker". Brouwer, intuitionisten i synnerhet, motsatte sig användningen av lagen om det uteslutna mitten över oändliga mängder (som Hilbert hade använt det). Hilbert svarade:

Att ta principen om den uteslutna mitten från matematikern ... är detsamma som ... att förbjuda boxaren att använda knytnävarna.

Axiomatisering av geometri

Huvudartikel: Hilberts axiom

Texten Grundlagen der Geometrie (tr.: Foundations of Geometry ) publicerad av Hilbert 1899 föreslår en formell uppsättning, kallad Hilberts axiom, som ersätter Euklids traditionella axiom . De undviker svagheter som identifierats i Euklids , vars verk på den tiden fortfarande användes i läroboksmode. Det är svårt att specificera de axiom som Hilbert använder utan att hänvisa till Grundlagens publiceringshistoria eftersom Hilbert ändrat och modifierat dem flera gånger. Den ursprungliga monografin följdes snabbt av en fransk översättning, där Hilbert lade till V.2, Fullständighetsaxiomet. En engelsk översättning, godkänd av Hilbert, gjordes av EJ Townsend och upphovsrättsskyddad 1902. Denna översättning inkorporerade ändringarna som gjorts i den franska översättningen och anses därför vara en översättning av den 2:a upplagan. Hilbert fortsatte att göra ändringar i texten och flera upplagor kom ut på tyska. Den 7:e upplagan var den sista som dök upp under Hilberts livstid. Nya upplagor följde den 7:e, men huvudtexten reviderades i huvudsak inte.

Hilberts tillvägagångssätt signalerade övergången till den moderna axiomatiska metoden . I detta förutsågs Hilbert av Moritz Paschs verk från 1882. Axiom tas inte som självklara sanningar. Geometri kan behandla saker som vi har kraftfulla intuitioner om, men det är inte nödvändigt att tilldela de odefinierade begreppen någon explicit mening. Elementen, såsom punkt , linje , plan och andra, skulle kunna ersättas, som Hilbert rapporteras ha sagt till Schoenflies och Kötter , med bord, stolar, glas öl och andra sådana föremål. Det är deras definierade relationer som diskuteras.

Hilbert räknar först upp de odefinierade begreppen: punkt, linje, plan, liggande på (en relation mellan punkter och linjer, punkter och plan, och linjer och plan), mellanhet, kongruens av punktpar (linjesegment ) och kongruens av vinklar . Axiomen förenar både Euklids plangeometri och solida geometri i ett enda system.

De 23 problemen

Huvudartikel: Hilberts problem

Hilbert lade fram den mest inflytelserika listan bestående av 23 olösta problem vid International Congress of Mathematicians i Paris 1900. Detta anses allmänt vara den mest framgångsrika och djupt övervägda sammanställningen av öppna problem som någonsin producerats av en enskild matematiker. [ av vem? ]

Efter att ha omarbetat grunderna för klassisk geometri kunde Hilbert ha extrapolerat till resten av matematiken. Hans tillvägagångssätt skiljde sig dock från den senare "foundationalisten" Russell-Whitehead eller "encyklopedisten" Nicolas Bourbaki , och från hans samtida Giuseppe Peano . Den matematiska gemenskapen som helhet kunde engagera sig i problem som han hade identifierat som avgörande aspekter av viktiga områden inom matematiken.

Problemuppsättningen lanserades som ett föredrag "The Problems of Mathematics" som presenterades under loppet av den andra internationella matematikkongressen som hölls i Paris. Inledningen av talet som Hilbert höll sade:

Vem av oss skulle inte gärna lyfta den slöja bakom vilken framtiden döljer sig; att se på den kommande utvecklingen av vår vetenskap och på hemligheterna bakom dess utveckling under de kommande århundradena? Vilka mål kommer andan hos framtida generationer av matematiker att sträva mot? Vilka metoder, vilka nya fakta kommer det nya århundradet att avslöja inom det matematiska tänkandets vidsträckta och rika område?

Han presenterade mindre än hälften av problemen på kongressen, som publicerades i kongressens akter. I en efterföljande publikation utökade han panoramat och kom fram till formuleringen av de nu kanoniska 23 problemen av Hilbert. Se även Hilberts tjugofjärde problem . Hela texten är viktig, eftersom exegesen av frågorna fortfarande kan vara en fråga om oundviklig debatt, närhelst man frågar hur många som har lösts.

En del av dessa löstes på kort tid. Andra har diskuterats under hela 1900-talet, med några som nu anses vara olämpligt öppna för att komma till stängning. Vissa fortsätter att vara utmaningar.

Formalism

I en redogörelse som hade blivit standard vid mitten av seklet var Hilberts problemuppsättning också ett slags manifest som öppnade vägen för utvecklingen av den formalistiska skolan, en av tre stora matematikskolor på 1900-talet. Enligt formalisten är matematik manipulation av symboler enligt överenskomna formella regler. Det är därför en autonom tankeverksamhet. Det finns dock utrymme att tvivla på om Hilberts egna åsikter var förenklat formalistiska i denna mening.

Hilberts program

Huvudartikel: Hilberts program

1920 föreslog Hilbert ett forskningsprojekt i metamatematik som blev känt som Hilberts program. Han ville att matematiken skulle formuleras på en solid och fullständig logisk grund. Han trodde att detta i princip kunde göras genom att visa att:

  1. all matematik följer av ett korrekt valt ändligt system av axiom ; och
  2. att något sådant axiomsystem bevisligen är konsekvent på något sätt som epsilonkalkylen .

Han tycks ha haft både tekniska och filosofiska skäl för att formulera detta förslag. Det bekräftade hans motvilja mot vad som hade blivit känt som ignorabimus , fortfarande en aktiv fråga på hans tid i tyskt tänkande, och spåras tillbaka i den formuleringen till Emil du Bois-Reymond .

Detta program känns fortfarande igen i den mest populära matematikfilosofin , där det brukar kallas formalism . Bourbaki-gruppen antog till exempel en urvattnad och selektiv version av den som adekvat för kraven i deras dubbla projekt att (a) skriva encyklopediska grundverk och (b) stödja den axiomatiska metoden som ett forskningsverktyg. Detta tillvägagångssätt har varit framgångsrikt och inflytelserik i förhållande till Hilberts arbete inom algebra och funktionell analys, men har misslyckats med att engagera sig på samma sätt med hans intressen för fysik och logik.

Hilbert skrev 1919:

Vi talar inte här om godtycke i någon mening. Matematik är inte som ett spel vars uppgifter bestäms av godtyckligt fastställda regler. Snarare är det ett konceptuellt system med inre nödvändighet som bara kan vara så och inte på något annat sätt.

Hilbert publicerade sina åsikter om grunderna för matematik i 2-volymsverket Grundlagen der Mathematik .

Gödels verk

Hilbert och matematikerna som arbetade med honom i hans företag var engagerade i projektet. Hans försök att stödja axiomatiserad matematik med definitiva principer, som kunde förvisa teoretiska osäkerheter, slutade i misslyckande.

Gödel visade att något icke-motsägelsefullt formellt system, som var tillräckligt omfattande för att inkludera åtminstone aritmetik, inte kan visa sin fullständighet genom sina egna axiom. 1931 visade hans ofullständighetsteorem att Hilberts stora plan var omöjlig som sagt. Den andra punkten kan inte på något rimligt sätt kombineras med den första punkten, så länge axiomsystemet är genuint finitärt .

klargjorde de efterföljande prestationerna av bevisteorin åtminstone överensstämmelsen när den hänför sig till teorier av central betydelse för matematiker. Hilberts arbete hade startat logiken i denna förklaringskurs; behovet av att förstå Gödels arbete ledde sedan till utvecklingen av rekursionsteorin och sedan matematisk logik som en autonom disciplin på 1930-talet. Grunden för senare teoretisk datavetenskap , i arbetet av Alonzo Church och Alan Turing , växte också direkt ur denna "debatt".

Funktionsanalys

Omkring 1909 ägnade sig Hilbert åt studiet av differential- och integralekvationer ; hans arbete fick direkta konsekvenser för viktiga delar av modern funktionsanalys. För att utföra dessa studier introducerade Hilbert begreppet en oändlig dimensionell euklidisk rymd , senare kallad Hilbert-rymden . Hans arbete i denna del av analysen gav grunden för viktiga bidrag till fysikens matematik under de kommande två decennierna, dock från en oväntad riktning. Senare Stefan Banach konceptet och definierade Banach-utrymmen . Hilbert-utrymmen är en viktig klass av objekt inom området för funktionell analys , särskilt av den spektrala teorin om självanslutna linjära operatorer, som växte upp runt den under 1900-talet.

Fysik

Fram till 1912 var Hilbert nästan uteslutande en ren matematiker . När han planerade ett besök från Bonn, där han var fördjupad i att studera fysik, skämtade hans medmatematiker och vän Hermann Minkowski att han var tvungen att tillbringa 10 dagar i karantän innan han kunde besöka Hilbert. Faktum är att Minkowski verkar ansvarig för de flesta av Hilberts fysikundersökningar före 1912, inklusive deras gemensamma seminarium om ämnet 1905.

År 1912, tre år efter sin väns död, vände Hilbert nästan uteslutande fokus på ämnet. Han ordnade med att ha en "fysiklärare" för sig själv. Han började studera kinetisk gasteori och gick vidare till elementär strålningsteori och den molekylära teorin om materia. Även efter kriget startade 1914 fortsatte han seminarier och klasser där Albert Einsteins och andras verk följdes noga.

År 1907 hade Einstein formulerat grunderna för gravitationsteorin, men kämpade sedan i nästan 8 år för att sätta teorin i sin slutgiltiga form . Vid försommaren 1915 hade Hilberts intresse för fysik fokuserat på allmän relativitet , och han bjöd in Einstein till Göttingen för att hålla en vecka med föreläsningar i ämnet. Einstein fick ett entusiastiskt mottagande i Göttingen. Under sommaren fick Einstein veta att Hilbert också arbetade med fältekvationerna och fördubblade sina egna ansträngningar. Under november 1915 publicerade Einstein flera artiklar som kulminerade i The Field Equations of Gravitation (se Einsteins fältekvationer ) . Nästan samtidigt publicerade Hilbert "The Foundations of Physics", en axiomatisk härledning av fältekvationerna (se Einstein–Hilberts handling ). Hilbert krediterade Einstein helt som upphovsmannen till teorin och ingen offentlig prioritetstvist angående fältekvationerna uppstod någonsin mellan de två männen under deras liv. Se mer vid prioritet .

Dessutom förutsåg och bistod Hilberts arbete flera framsteg i den matematiska formuleringen av kvantmekanik . Hans arbete var en nyckelaspekt av Hermann Weyl och John von Neumanns arbete på den matematiska ekvivalensen av Werner Heisenbergs matrismekanik och Erwin Schrödingers vågekvation , och hans namne Hilbert rymden spelar en viktig roll i kvantteorin. 1926 visade von Neumann att om kvanttillstånd uppfattades som vektorer i Hilberts rymd, skulle de motsvara både Schrödingers vågfunktionsteori och Heisenbergs matriser.

Under hela denna fördjupning i fysiken arbetade Hilbert med att lägga rigoritet i fysikens matematik. Även om fysiker var mycket beroende av högre matematik, tenderade de att vara "slarviga" med det. För en ren matematiker som Hilbert var detta både fult och svårt att förstå. När han började förstå fysiken och hur fysiker använde matematik, utvecklade han en sammanhängande matematisk teori för vad han fann - viktigast av allt inom området integralekvationer . När hans kollega Richard Courant skrev den numera klassiska Methoden der mathematischen Physik ( Metoder för matematisk fysik ) inklusive några av Hilberts idéer, lade han till Hilberts namn som författare även om Hilbert inte direkt hade bidragit till skrivandet. Hilbert sa "Fysik är för svårt för fysiker", vilket antyder att den nödvändiga matematiken i allmänhet var bortom dem; Courant-Hilbert-boken gjorde det lättare för dem.

Talteori

Hilbert förenade området för algebraisk talteori med sin 1897 avhandling Zahlbericht (bokstavligen "rapport om siffror"). Han löste också ett betydande talteoretiskt problem formulerat av Waring 1770. Liksom med ändlighetsteoremet använde han ett existensbevis som visar att det måste finnas lösningar på problemet snarare än att tillhandahålla en mekanism för att producera svaren. Han hade då lite mer att publicera i ämnet; men framväxten av Hilberts modulära former i avhandlingen av en student betyder att hans namn är ytterligare knutet till ett stort område.

Han gjorde en rad gissningar om klassfältteori . Begreppen var mycket inflytelserika, och hans eget bidrag lever vidare i namnen på Hilbert-klassfältet och Hilbert-symbolen för lokal klassfältteori . Resultaten bevisades mestadels 1930, efter arbete av Teiji Takagi .

Hilbert arbetade inte i de centrala områdena av analytisk talteori , men hans namn har blivit känt för Hilbert–Pólya-förmodan , av skäl som är anekdotiska.

Arbetar

Hans samlade verk ( Gesammelte Abhandlungen ) har publicerats flera gånger. De ursprungliga versionerna av hans papper innehöll "många tekniska fel av varierande grad"; när samlingen publicerades första gången, korrigerades felen och man fann att detta kunde göras utan större förändringar i satsernas uttalanden, med ett undantag – ett påstått bevis på kontinuumhypotesen . Felen var ändå så många och betydande att det tog Olga Taussky-Todd tre år att göra korrigeringarna.

Se även

Begrepp

Satser

Övrig

Fotnoter

Citat

Källor

Primärlitteratur i engelsk översättning

  • Ewald, William B., red. (1996). Från Kant till Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics . Oxford, Storbritannien: Oxford University Press.
    • 1918. "Axiomatisk tanke", 1114–1115.
    • 1922. "The new grounding of mathematics: First report", 1115–1133.
    • 1923. "Matematikens logiska grundval", 1134–1147.
    • 1930. "Logik och kunskapen om naturen", 1157–1165.
    • 1931. "The grounding of elementary number theory", 1148–1156.
    • 1904. "Om logikens och aritmetikens grunder", 129–138.
    • 1925. "Om det oändliga", 367–392.
    • 1927. "The foundations of mathematics", med kommentar av Weyl och Appendix av Bernays , 464–489.
  • van Heijenoort, Jean (1967). Från Frege till Gödel: En källbok i matematisk logik, 1879–1931 . Harvard University Press.
  • Hilbert, David (1950) [1902]. The Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie] (PDF) . Översatt av Townsend, EJ (2:a upplagan). La Salle, IL: Open Court Publishing. Arkiverad (PDF) från originalet den 28 december 2005.
  •   Hilbert, David (1990) [1971]. Fundamenten för geometri [Grundlagen der Geometrie] . Översatt av Unger, Leo (2:a engelska upplagan). La Salle, IL: Open Court Publishing. ISBN 978-0-87548-164-7 . översatt från den 10:e tyska upplagan
  •   Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1999). Geometri och fantasi . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1998-2 . En tillgänglig föreläsningsuppsättning ursprungligen för invånarna i Göttingen.
  •   Hilbert, David (2004). Hallett, Michael; Majer, Ulrich (red.). David Hilberts föreläsningar om grunderna för matematik och fysik, 1891–1933 . Berlin & Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64373-9 .

Sekundärlitteratur

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=David_Hilbert&oldid=1136320704 "