Tidslinje för kategoriteori och relaterad matematik

Detta är en tidslinje för kategoriteori och relaterad matematik . Dess omfattning ("relaterad matematik") tas som:

I den här artikeln, och i kategoriteori i allmänhet, är ∞ = ω .

Tidslinje till 1945: före definitionerna

År Bidragsgivare Händelse
1890 David Hilbert Upplösning av moduler och fri upplösning av moduler.
1890 David Hilbert Hilberts syzygyteorem är en prototyp för ett dimensionsbegrepp i homologisk algebra .
1893 David Hilbert En grundläggande teorem i algebraisk geometri , Hilbert Nullstellensatz . Den omformulerades senare till: kategorin affina varianter över ett fält k är likvärdig med dualen av kategorin reducerade finitely genererade (kommutativa) k -algebror .
1894 Henri Poincaré Grundläggande grupp av ett topologiskt utrymme .
1895 Henri Poincaré Enkel homologi .
1895 Henri Poincaré Grundläggande arbete Analys situs , början på algebraisk topologi .
c.1910 LEJ Brouwer Brouwer utvecklar intuitionismen som ett bidrag till den grundläggande debatten under perioden ungefär 1910 till 1930 om matematik, med intuitionistisk logik som en biprodukt av en alltmer steril diskussion om formalism.
1923 Hermann Künneth Künneth formel för homologi av produkt av utrymmen.
1926 Heinrich Brandt definierar begreppet groupoid .
1928 Arend Heyting Brouwers intuitionistiska logik gjordes till formell matematik, som logik där Heyting-algebra ersätter den booleska algebra .
1929 Walther Mayer Kedjekomplex .
1930 Ernst Zermelo – Abraham Fraenkel Uttalande av de definitiva ZF-axiomen för mängdteorin , angavs först 1908 och förbättrades sedan dess.
c.1930 Emmy Noether Modulteori utvecklas av Noether och hennes studenter, och algebraisk topologi börjar grundas ordentligt i abstrakt algebra snarare än av ad hoc- argument.
1932 Eduard Čech Čech cohomology , homotopigrupper av ett topologiskt utrymme.
1933 Solomon Lefschetz Singular homologi av topologiska utrymmen.
1934 Reinhold Baer Ext grupper, Ext funktor (för abelska grupper och med olika notation).
1935 Witold Hurewicz Högre homotopigrupper i ett topologiskt utrymme.
1936 Marshall sten Stenrepresentationssats för booleska algebror initierar olika stendualiteter .
1937 Richard Brauer – Cecil Nesbitt Frobenius algebror .
1938 Hassler Whitney "Modern" definition av kohomologi , som sammanfattar arbetet sedan James Alexander och Andrey Kolmogorov först definierade cochains .
1940 Reinhold Baer Injektiva moduler .
1940 Kurt Gödel – Paul Bernays Ordentliga klasser i mängdlära.
1940 Heinz Hopf Hopp algebror .
1941 Witold Hurewicz Första grundläggande teorem för homologisk algebra: Givet en kort exakt sekvens av utrymmen finns det en sammanbindande homomorfism så att den långa sekvensen av kohomologigrupper i utrymmena är exakt.
1942 Samuel Eilenberg – Saunders Mac Lane Universell koefficientsats för Čech kohomologi ; senare blev detta den allmänna universella koefficientsatsen . Notationerna Hom och Ext förekommer först i deras tidning.
1943 Norman Steenrod Homologi med lokala koefficienter .
1943 Israel Gelfand – Mark Naimark Gelfand–Naimarks sats (ibland kallad Gelfands isomorfismsats): Kategorin Haus av lokalt kompakta Hausdorff-rum med kontinuerliga korrekta kartor som morfismer är ekvivalent med kategorin C* Alg av kommutativa C*-algebror med riktiga *-homomorfismer som morfismer.
1944 Garrett Birkhoff – Øystein Ore Galois-kopplingar som generaliserar Galois-korrespondensen: ett par adjoint-funktionorer mellan två kategorier som uppstår från delvis ordnade uppsättningar (i modern formulering).
1944 Samuel Eilenberg "Modern" definition av singular homologi och singular kohomologi.
1945 Beno Eckmann Definierar kohomologiringen som bygger på Heinz Hopfs arbete.

1945–1970

År Bidragsgivare Händelse
1945 Saunders Mac Lane – Samuel Eilenberg Start av kategoriteori: axiom för kategorier , funktioner och naturliga transformationer .
1945 Norman Steenrod – Samuel Eilenberg Eilenberg–Steenrods axiom för homologi och kohomologi.
1945 Jean Leray Startar kärveteori : Vid den här tiden var en kärve en karta som tilldelade en modul eller en ring till ett slutet delrum av ett topologiskt utrymme. Det första exemplet var kärven som tilldelade sin p-te kohomologigrupp till ett slutet delrum.
1945 Jean Leray Definierar Sheaf cohomology med hjälp av sitt nya koncept av sheaf.
1946 Jean Leray Uppfinner spektralsekvenser som en metod för att iterativt approximera kohomologigrupper med tidigare approximativa kohomologigrupper. I det begränsande fallet ger det de sökta kohomologigrupperna.
1948 Cartan seminarium Skriver upp kärveteori för första gången.
1948 AL Blakers Korsade komplex (kallade gruppsystem av Blakers), efter ett förslag från Samuel Eilenberg : En icke-abelsk generalisering av kedjekomplex av abelska grupper som är ekvivalenta med strikta ω-gruppoider . De bildar en kategori Crs som har många tillfredsställande egenskaper såsom en monoidal struktur .
1949 John Henry Whitehead Korsade moduler .
1949 André Weil Formulerar Weils gissningar om anmärkningsvärda samband mellan den kohomologiska strukturen av algebraiska varianter över C och den diofantina strukturen för algebraiska varianter över finita fält .
1950 Henri Cartan I boken Sheaf theory from the Cartan-seminariet definierar han: Sheaf space (étale space), support of sheaves axiomatiskt, sheaf cohomology with support in a axiomatic form and more.
1950 John Henry Whitehead Skisserar algebraiskt homotopiprogram för att beskriva, förstå och beräkna homotopityper av utrymmen och homotopiklasser av mappningar
1950 Samuel Eilenberg – Joe Zilber Enkla uppsättningar som en rent algebraisk modell av väluppfostrade topologiska rum. En enkel uppsättning kan också ses som en förkärv på simplexkategorin . En kategori är en enkel uppsättning så att Segal-kartorna är isomorfismer.
1951 Henri Cartan Modern definition av sheaf-teori där en sheaf definieras med öppna delmängder istället för slutna delmängder av ett topologiskt utrymme och alla öppna delmängder behandlas på en gång. En bunt på ett topologiskt utrymme X blir en funktion som liknar en funktion som definieras lokalt på X och tar värden i mängder, abelska grupper, kommutativa ringar , moduler eller generellt i vilken kategori C som helst . Faktum är att Alexander Grothendieck senare gjorde en ordbok mellan kärvar och funktioner. En annan tolkning av skivor är som kontinuerligt varierande uppsättningar (en generalisering av abstrakta uppsättningar). Syftet är att tillhandahålla ett enhetligt tillvägagångssätt för att koppla samman lokala och globala egenskaper hos topologiska utrymmen och att klassificera hindren för att passera från lokala objekt till globala objekt på ett topologiskt utrymme genom att klistra ihop de lokala delarna. De C -värderade skivorna på ett topologiskt utrymme och deras homomorfismer bildar en kategori.
1952 William Massey Uppfinner exakta par för att beräkna spektralsekvenser.
1953 Jean-Pierre Serre Serre C -teori och Serre underkategorier .
1955 Jean-Pierre Serre Visar att det finns en 1−1 överensstämmelse mellan algebraiska vektorbuntar över en affin varietet och ändligt genererade projektiva moduler över dess koordinatring ( Serre–Swan-satsen) .
1955 Jean-Pierre Serre Koherent kärvkohomologi i algebraisk geometri.
1956 Jean-Pierre Serre GAGA korrespondens .
1956 Henri Cartan – Samuel Eilenberg Inflytelserik bok: Homologisk algebra , som sammanfattar det senaste inom sitt ämne vid den tiden. Notationen Tor n och Ext n , liksom begreppen projektiv modul , projektiv och injektiv upplösning av en modul, härledd funktor och hyperhomologi förekommer i denna bok för första gången.
1956 Daniel Kan Simplicial homotopy theory , även kallad kategorisk homotopi theory: En homotopi teori helt internt i kategorin för enkla mängder .
1957 Charles Ehresmann – Jean Bénabou Meningslös topologi som bygger på Marshall Stones arbete.
1957 Alexander Grothendieck Abelska kategorier i homologisk algebra som kombinerar exakthet och linjäritet.
1957 Alexander Grothendieck Det inflytelserika Tohoku- papperet skriver om homologisk algebra ; bevisar Grothendieck-dualitet (Serre-dualitet för möjligen singulära algebraiska varianter). Han visade också att den begreppsmässiga grunden för homologisk algebra över en ring också gäller för linjära objekt som varierar som skivor över ett utrymme.
1957 Alexander Grothendieck Grothendiecks relativa synvinkel , S-scheman .
1957 Alexander Grothendieck Grothendieck–Hirzebruch–Riemann–Rochs sats för slät ; beviset introducerar K-teori .
1957 Daniel Kan Kan-komplex : Enkla uppsättningar (där varje horn har ett fyllmedel) som är geometriska modeller av enkla ∞-grupper . Kan-komplex är också de fibrerande (och kofibrerande) objekten i modellkategorier av enkla uppsättningar för vilka fibrationerna är Kan-fibrationer .
1958 Alexander Grothendieck Startar ny grund för algebraisk geometri genom att generalisera varianter och andra utrymmen i algebraisk geometri till ett schema som har strukturen av en kategori med öppna delmängder som objekt och restriktioner som morfismer. bildar en kategori som är en Grothendieck topos , och till ett schema och till och med en stack kan man associera en Zariski topos, en étale topos, en fppf topos, en fpqc topos, en Nisnevich topos, en platt topos, ... beroende på topologi som ålagts schemat. Hela den algebraiska geometrin kategoriserades med tiden.
1958 Roger Godement Monader i kategoriteori (kallas då standardkonstruktioner och trippel). Monader generaliserar klassiska föreställningar från universell algebra och kan i denna mening ses som en algebraisk teori över en kategori: teorin om kategorin T-algebra. En algebra för en monad subsumerar och generaliserar föreställningen om en modell för en algebraisk teori.
1958 Daniel Kan Tillsammansfunktioner .
1958 Daniel Kan Gränser i kategoriteorin.
1958 Alexander Grothendieck Fibrerade kategorier .
1959 Bernard Dwork Bevisar rationalitetsdelen av Weils gissningar (den första gissningen).
1959 Jean-Pierre Serre Algebraisk K-teori lanserad genom explicit analogi av ringteori med geometriska fall.
1960 Alexander Grothendieck Fiberfunktioner
1960 Daniel Kan Kan förlängningar
1960 Alexander Grothendieck Formell algebraisk geometri och formella scheman
1960 Alexander Grothendieck Representativa funktionärer
1960 Alexander Grothendieck Kategoriserar Galois teori ( Grothendiecks Galois teori )
1960 Alexander Grothendieck Descent theory : En idé som utvidgar begreppet limning i topologi till schema för att komma runt de brutala ekvivalensrelationerna. Det generaliserar också lokalisering i topologi
1961 Alexander Grothendieck Lokal kohomologi . Infördes vid ett seminarium 1961 men anteckningarna publiceras 1967
1961 Jim Stasheff Associahedra användes senare i definitionen av svaga n -kategorier
1961 Richard Swan Visar att det finns en 1−1 överensstämmelse mellan topologiska vektorbuntar över ett kompakt Hausdorff-rum X och ändligt genererade projektiva moduler över ringen C ( X ) av kontinuerliga funktioner på X ( Serre-Swan-satsen )
1963 Frank Adams – Saunders Mac Lane PROP-kategorier och PACT-kategorier för högre homotoper. PROPs är kategorier för att beskriva verksamhetsfamiljer med valfritt antal ingångar och utgångar. Operad är speciella PROPs med operationer med endast en utgång
1963 Alexander Grothendieck Étale topologi , en speciell Grothendieck topologi på
1963 Alexander Grothendieck Étale kohomologi
1963 Alexander Grothendieck Grothendieck toposer , som är kategorier som är som universum (generaliserade utrymmen) av mängder där man kan göra matematik
1963 William Lawvere Algebraiska teorier och algebraiska kategorier
1963 William Lawvere Hittar kategorisk logik , upptäcker interna logiker i kategorier och inser dess betydelse och introducerar Lawvere-teorier . Kategorisk logik är i huvudsak ett lyft av olika logiker till att vara interna logiker av kategorier. Varje typ av kategori med extra struktur motsvarar ett system av logik med sina egna slutledningsregler. En Lawvere-teori är en algebraisk teori som en kategori med ändliga produkter och som har en "generisk algebra" (en generisk grupp). Strukturerna som beskrivs av en Lawvere-teori är modeller av Lawvere-teorin
1963 Jean-Louis Verdier Triangulerade kategorier och triangulerade funktorer . Härledda kategorier och härledda funktioner är specialfall av dessa
1963 Jim Stasheff A ∞ -algebror : dg-algebra- analoger av topologiska monoider associativa upp till homotopi som förekommer i topologi (dvs H-rum )
1963 Jean Giraud Girauds karaktäriseringsteorem som karakteriserar Grothendiecks toposer som kategorier av kärvar över en liten plats
1963 Charles Ehresmann Intern kategoriteori: Internalisering av kategorier i en kategori V med pullbacks ersätter kategorin Set (samma för klasser istället för set) med V i definitionen av en kategori. Internalisering är ett sätt att höja den kategoriska dimensionen
1963 Charles Ehresmann Flera kategorier och flera funktioner
1963 Saunders Mac Lane Monoidala kategorier , även kallade tensorkategorier: Strikta 2-kategorier med ett objekt gjorda av ett ommärkningsknep till kategorier med en tensorprodukt av objekt som i hemlighet är sammansättningen av morfismer i 2-kategorin. Det finns flera objekt i en monoidal kategori eftersom ommärkningstricket gör 2-morfismer av 2-kategorin till morfismer, morfismer av 2-kategorin till objekt och glömmer bort det enskilda objektet. I allmänhet fungerar ett högre ommärkningsknep för n -kategorier med ett objekt för att göra allmänna monoida kategorier. De vanligaste exemplen inkluderar: bandkategorier , flätade tensorkategorier , sfäriska kategorier , kompakta slutna kategorier , symmetriska tensorkategorier , modulära kategorier, autonoma kategorier , kategorier med dualitet
1963 Saunders Mac Lane Mac Lane koherenssats för att bestämma kommutativitet för diagram i monoidala kategorier
1964 William Lawvere ETCS Elementary Theory of the Category of Sets : En axiomatisering av kategorin av mängder som också är det konstanta fallet för en elementär topos
1964 Barry Mitchell – Peter Freyd Mitchell–Freyd inbäddningsteorem : Varje liten abelsk kategori tillåter en exakt och fullständig inbäddning i kategorin (vänster) moduler Mod R över någon ring R
1964 Rudolf Haag – Daniel Kastler Algebraisk kvantfältteori efter Irving Segals idéer
1964 Alexander Grothendieck Topologiserar kategorier axiomatiskt genom att införa en Grothendieck-topologi på kategorier som sedan kallas platser . Syftet med platser är att definiera beläggningar på dem så att skivor över platser kan definieras. De andra "rymden" man kan definiera skivor för förutom topologiska utrymmen är lokaler
1964 Michael Artin – Alexander Grothendieck ℓ-adic kohomologi , teknisk utveckling i SGA4 av den efterlängtade Weil kohomologin .
1964 Alexander Grothendieck Bevisar Weils gissningar förutom analogen till Riemann-hypotesen
1964 Alexander Grothendieck Sex operationer formalism i homologisk algebra ; Rf * , f − 1 , Rf ! , f ! , ⊗ L , RHom och bevis på dess slutenhet
1964 Alexander Grothendieck Introducerade i ett brev till Jean-Pierre Serre gissningsmotiv för att uttrycka tanken att det finns en enda universell kohomologiteori som ligger till grund för de olika kohomologiteorierna för algebraiska varieteter . Enligt Grothendiecks filosofi bör det finnas en universell kohomologifunktion som fäster ett rent motiv h( X ) till varje mjuk projektiv varietet X . När X inte är jämn eller projektiv måste h( X ) ersättas med ett mer generellt blandat motiv som har en viktfiltrering vars kvoter är rena motiv. Kategorien motiv (det kategoriska ramverket för den universella kohomologiteorin) kan användas som ett abstrakt substitut för singular kohomologi (och rationell kohomologi) för att jämföra, relatera och förena "motiverade" egenskaper och parallella fenomen hos de olika kohomologiteorierna och för att upptäcka topologisk struktur av algebraiska varianter. Kategorierna av rena motiv och av blandade motiv är abelska tensorkategorier och kategorin av rena motiv är också en Tannakiansk kategori . Motivkategorier skapas genom att kategorin sorter ersätts med en kategori med samma objekt men vars morfismer är överensstämmelser , modulo en lämplig ekvivalensrelation ; olika ekvivalenser ger olika teorier. Rationell ekvivalens ger kategorin Chow-motiv med Chow-grupper som morfismer som i någon mening är universella. Varje geometrisk kohomologiteori är en funktion för kategorin motiv. Varje inducerad funktion ρ:motiv modulo numerisk ekvivalens→graderade Q -vektorrum kallas för en realisering av kategorin motiv, de inversa funktorerna kallas förbättringar. Blandade motiv förklarar fenomen inom så skilda områden som: Hodge-teori, algebraisk K-teori, polylogaritmer, regulatorkartor, automorfa former, L-funktioner, ℓ-adiska representationer, trigonometriska summor, homotopi av algebraiska varieteter, algebraiska cykler, modulrum och därmed modulrum. har potentialen att berika varje område och att förena dem alla.
1965 Edgar Brown Abstrakta homotopikategorier : Ett korrekt ramverk för studiet av homotopi-teori för CW-komplex
1965 Max Kelly dg-kategorier
1965 Max Kelly – Samuel Eilenberg Anrikad kategoriteori : Kategorier C berikade över en kategori V är kategorier med Hom-mängder Hom C , inte bara en mängd eller klass utan med strukturen av objekt i kategori V . Anrikning över V är ett sätt att höja den kategoriska dimensionen
1965 Charles Ehresmann Definierar både strikta 2-kategorier och strikta n -kategorier
1966 Alexander Grothendieck Kristaller (ett slags kärve som används i kristallin kohomologi )
1966 William Lawvere ETAC Elementär teori för abstrakta kategorier, första föreslagna axiom för Cat eller kategoriteori med hjälp av första ordningens logik
1967 Jean Bénabou Bikategorier (svaga 2-kategorier) och svaga 2-funktioner
1967 William Lawvere Hittar syntetisk differentialgeometri
1967 Simon Kochen–Ernst Specker Kochen-Speckers sats i kvantmekanik
1967 Jean-Louis Verdier Definierar härledda kategorier och omdefinierar härledda funktioner i termer av härledda kategorier
1967 Peter Gabriel–Michel Zisman Axiomatiserar enkel homotopi teori
1967 Daniel Quillen Quillen modellkategorier och Quillen modellfunktioner : Ett ramverk för att göra homotopi teori på ett axiomatiskt sätt i kategorier och en abstraktion av homotopi kategorier på ett sådant sätt att hC = C [ W −1 ] där W −1 är de inverterade svaga ekvivalenserna av Quillen modell kategori C. Quillen modell kategorier är homotopiskt kompletta och medkompletta, och kommer med en inbyggd Eckmann–Hilton dualitet
1967 Daniel Quillen Homotopisk algebra (publicerad som en bok och även ibland kallad icke-kommutativ homologisk algebra): Studiet av olika modellkategorier och samspelet mellan fibrationer, samfibrer och svaga ekvivalenser i godtyckliga slutna modellkategorier
1967 Daniel Quillen Quillen axiom för homotopi teori i modellkategorier
1967 Daniel Quillen Första grundläggande teorem för enkel homotopi teori: Kategorin för enkla mängder är en (riktig) sluten (enkel) modellkategori
1967 Daniel Quillen Andra grundläggande satsen för enkel homotopi-teorin: Realisationsfunktorn och singularfunktorn är en ekvivalens av kategorierna hΔ och hTop ( Δ kategorin för enkla mängder )
1967 Jean Bénabou V-aktegorier: En kategori C med en handling ⊗ : V × C → C som är associativ och enhetlig upp till koherent isomorfism, för V en symmetrisk monoidal kategori . V-aktegorier kan ses som kategoriseringen av R-moduler över en kommutativ ring R
1968 Chen-Ning Yang - Rodney Baxter Yang–Baxter ekvation , senare använd som en relation i flätade monoidala kategorier för korsningar av flätor
1968 Alexander Grothendieck Kristallin kohomologi : En p -adisk kohomologiteori i karakteristisk p uppfunnen för att fylla tomrummet efter étale kohomologi som är bristfällig för att använda mod p -koefficienter för detta fall. Det kallas ibland av Grothendieck som yoga av de Rham-koefficienter och Hodge-koefficienter eftersom kristallin kohomologi av en sort X i karakteristisk p är som de Rham kohomologi mod p av X och det finns en isomorfism mellan de Rham kohomologigrupper och Hodge kohomologigrupper av harmoniska former
1968 Alexander Grothendieck Grothendieck förbindelse
1968 Alexander Grothendieck Formulerar standardförmodan om algebraiska cykler
1968 Michael Artin Algebraiska rum i algebraisk geometri som en generalisering av schema
1968 Charles Ehresmann Skisser : Ett alternativt sätt att presentera en teori (som är kategorisk till sin karaktär i motsats till språklig) vars modeller ska studeras i lämpliga kategorier. En skiss är en liten kategori med en uppsättning framstående kottar och en uppsättning framstående kokonger som uppfyller vissa axiom. En modell av en skiss är en funktion med inställningsvärde som omvandlar de särskiljande kottarna till gränskoner och de särskiljande kokongerna till gränskoner. Kategorierna av modeller av skisser är exakt de tillgängliga kategorierna
1968 Joachim Lambek Flera kategorier
1969 Max Kelly - Nobuo Yoneda Slutar och slutar
1969 Pierre Deligne - David Mumford Deligne–Mumford staplar som en generalisering av schemat
1969 William Lawvere Läror (kategoriteori) , en doktrin är en monad på en 2-kategori
1970 William Lawvere - Myles Tierney Elementär topoi : Kategorier modellerade efter kategorin mängder som är som universum (generaliserade utrymmen) av mängder där man kan göra matematik. Ett av många sätt att definiera en topos är: en korrekt kartesisk sluten kategori med en subobjektklassificerare . Varje Grothendieck topos är en elementär topos
1970 John Conway Nystanteori om knutar : Beräkningen av knutinvarianter av nystanmoduler . Nyckelmoduler kan baseras på kvantinvarianter

1971–1980

År Bidragsgivare Händelse
1971 Saunders Mac Lane Inflytelserik bok: Categories for the Working Mathematician , som blev standardreferensen inom kategoriteorin
1971 Horst Herrlich –Oswald Wyler Kategorisk topologi : Studiet av topologiska kategorier av strukturerade mängder (generaliseringar av topologiska rum, enhetliga rum och de olika andra områdena inom topologi) och relationer mellan dem, som kulminerar i universell topologi. Allmän kategorisk topologistudie och använder strukturerade mängder i en topologisk kategori som allmän topologistudie och använder topologiska utrymmen. Algebraisk kategorisk topologi försöker tillämpa den algebraiska topologins maskineri för topologiska rum på strukturerade mängder i en topologisk kategori.
1971 Harold Temperley – Elliott Lieb Temperley–Lieb algebror : Algebror av tovor definierade av generatorer av tovor och relationer mellan dem
1971 William Lawvere – Myles Tierney Lawvere–Tierney-topologi på en topos
1971 William Lawvere – Myles Tierney Topos-teoretisk forcering (forcering i toposer): Kategorisering av den mängdteoretiska tvingande metoden till toposer för försök att bevisa eller motbevisa kontinuumhypotesen , oberoende av valaxiomet , etc. i toposer
1971 Bob Walters – Ross Street Yoneda strukturerar på 2-kategorier
1971 Roger Penrose Strängdiagram för att manipulera morfismer i en monoidal kategori
1971 Jean Giraud Gerbes : Kategoriserade huvudbuntar som också är specialfall av stackar
1971 Joachim Lambek Generaliserar Haskell-Curry-William-Howard-överensstämmelsen till en trevägsisomorfism mellan typer, propositioner och objekt i en kartesisk sluten kategori
1972 Max Kelly Klubbar (kategoriteori) och koherens (kategoriteori) . En klubba är en speciell typ av 2-dimensionell teori eller en monoid i Cat /(kategori av ändliga mängder och permutationer P ), varje klubba ger en 2-monad på Cat
1972 John Isbell Lokaler : Ett "generaliserat topologiskt utrymme" eller "punktlösa utrymmen" definierat av ett gitter (en komplett Heyting-algebra även kallad Brouwer-gitter) precis som för ett topologiskt utrymme bildar de öppna delmängderna ett gitter. Om gittret har tillräckligt med punkter är det ett topologiskt utrymme. Lokaler är huvudobjekten för meningslös topologi , de dubbla objekten är ramar . Både lokaler och ramar bildar kategorier som är varandras motsatser . Skivor kan definieras över lokaler. De andra "utrymmen" man kan definiera kärvar över är platser. Även om lokaliteter var kända tidigare kallade John Isbell dem först
1972 Ross Street Formell teori om monader: Teorin om monader i 2-kategorier
1972 Peter Freyd Grundläggande sats för topos-teorin : Varje segmentkategori ( E , Y ) av en topos E är en topos och funktorn f *: ( E , X ) → ( E , Y ) bevarar exponentialer och subobjektklassificerarens objekt Ω och har en rättighet och vänster adjoint funktör
1972 Alexander Grothendieck Grothendieck-universum för uppsättningar som en del av grunderna för kategorier
1972 Jean Bénabou – Ross Street Kosmos som kategoriserar universum : Ett kosmos är ett generaliserat universum med 1-kategorier där du kan göra kategoriteori. När mängdteorin generaliseras till studiet av en Grothendieck-topos , är den analoga generaliseringen av kategoriteorin studiet av ett kosmos.
  1. Ross Street definition: En bikategori sådan att
  2. små biprodukter finns;
  3. varje monad medger en Kleisli-konstruktion (analog med kvoten av en ekvivalensrelation i en topos);
  4. den är lokalt liten-samkomplett; och
  5. det finns en liten Cauchy-generator .

Kosmos stängs under dualisering, parametrisering och lokalisering. Ross Street introducerar också elementära kosmos .

Jean Bénabou definition: En bikomplett symmetrisk monoidal sluten kategori

1972 Peter May Operader : En abstraktion av familjen av komponerbara funktioner av flera variabler tillsammans med en handling av permutation av variabler. Operader kan ses som algebraiska teorier och algebror över operader är då modeller av teorierna. Varje operad ger en monad på toppen . Flerkategorier med ett objekt är operader. PROPs generaliserar operationer för att tillåta operationer med flera ingångar och flera utgångar. Operader används för att definiera opetoper , högre kategoriteori, homotopi teori, homologisk algebra, algebraisk geometri, strängteori och många andra områden.
1972 William Mitchell – Jean Bénabou Mitchell–Bénabou internt språk för en topos : För en topos E med subobjektklassificerare objekt Ω ett språk (eller typteori ) L( E ) där:
  1. typerna är föremål för E
  2. termer av typ X i variablerna x i av typ X i är polynomuttryck φ( x 1 ,..., x m ): 1→ X i pilarna x i : 1→ X i i E
  3. formler är termer av typen Ω (pilar från typer till Ω)
  4. connectives induceras från den interna Heyting- algebrastrukturen av Ω
  5. kvantifierare avgränsade av typer och tillämpade på formler behandlas också
  6. för varje typ X finns det också två binära relationer = X (definierad genom att tillämpa diagonalavbildningen på produkttermen för argumenten) och ∈ X (definierad med tillämpning av utvärderingsmappen till produkten av termen och argumentens potensterm).

En formel är sann om pilen som tolkar den faktor genom pilen sann:1→Ω. Mitchell-Bénabous interna språk är ett kraftfullt sätt att beskriva olika objekt i en topos som om de vore mängder och är därför ett sätt att göra topos till en generaliserad mängdteori, att skriva och bevisa påståenden i en topos med hjälp av första ordningens intuitionistiska predikat logik, att betrakta toposer som typteorier och att uttrycka egenskaper hos en topos. Vilket språk L som helst genererar också en språklig topos E (L)

1973 Chris Reedy Reedy kategorier: Kategorier av "former" som kan användas för att göra homotopi teori. En Reedy-kategori är en kategori R utrustad med en struktur som möjliggör induktiv konstruktion av diagram och naturliga transformationer av form R . Den viktigaste konsekvensen av en Reedy-struktur på R är förekomsten av en modellstruktur på funktionskategorin M R närhelst M är en modellkategori . En annan fördel med Reedy-strukturen är att dess samfibreringar, fibrationer och faktoriseringar är explicita. I en Reedy-kategori finns det en föreställning om en injektiv och en surjektiv morfism så att vilken morfism som helst kan faktoriseras unikt som en injektion följt av en injektion. Exempel är ordinalen α betraktad som en poset och därmed en kategori. Motsatsen R ° till en Reedy-kategori R är också en Reedy-kategori. Simplexkategorin Δ och mer allmänt för varje enkel uppsättning X är dess kategori av förenklingar Δ / X en Reedy-kategori . Modellstrukturen på M Δ för en modellkategori M beskrivs i ett opublicerat manuskript av Chris Reedy
1973 Kenneth Brown –Stephen Gersten Visar existensen av en global sluten modellstruktur på kategorin förenkla remsor på ett topologiskt utrymme, med svaga antaganden om det topologiska rummet
1973 Kenneth Brown Generaliserad kärvkohomologi av ett topologiskt utrymme X med koefficienter en kärve på X med värden i Kans kategori av spektra med vissa ändlighetsförhållanden. Den generaliserar generaliserad kohomologiteori och kärvkohomologi med koefficienter i ett komplex av abelska kärvar
1973 William Lawvere Finner att Cauchy fullständighet kan uttryckas för generellt berikade kategorier med kategorin generaliserade metriska utrymmen som ett specialfall. Cauchy-sekvenser blir vänsteranslutna moduler och konvergens blir representativitet
1973 Jean Bénabou Distributörer (även kallade moduler, propunktorer, riktade bryggor)
1973 Pierre Deligne Bevisar den sista av Weils gissningar , analogen till Riemann-hypotesen
1973 Michael Boardman –Rainer Vogt Segalkategorier : Enkla analoger av A∞ - kategorier . De generaliserar naturligtvis förenklade kategorier , genom att de kan betraktas som förenklade kategorier med sammansättning som endast ges upp till homotopi.

0 Def: Ett enkelt mellanrum X så att X (uppsättningen av punkter) är en diskret enkel uppsättning och Segal-kartan

φ k : X k → X 1 × X 0 ... × X 0 X 1 (inducerad av X (α i ): X k → X 1 ) tilldelad X

är en svag ekvivalens av förenklade mängder för k ≥ 2.


Segalkategorier är en svag form av S-kategorier, där sammansättning endast definieras upp till ett sammanhängande system av ekvivalenser. Segalkategorier definierades ett år senare implicit av Graeme Segal . De kallades Segal-kategorier först av William Dwyer – Daniel Kan – Jeffrey Smith 1989. I sin berömda bok Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces, kallade J. Michael Boardman och Rainer Vogt dem för kvasikategorier . En kvasi-kategori är en enkel uppsättning som uppfyller det svaga Kan-villkoret, så kvasi-kategorier kallas också för svaga Kan-komplex

1973 Daniel Quillen Frobenius-kategorier : En exakt kategori där klasserna av injektiva och projektiva objekt sammanfaller och för alla objekt x i kategorin finns en deflation P( x )→ x (det projektiva täcket av x) och en inflation x →I( x ) (det injektiva skrovet av x ) så att både P(x) och I( x ) är i kategorin pro/injektiva objekt. En Frobenius-kategori E är ett exempel på en modellkategori och kvoten E /P (P är klassen av projektiva/injektiva objekt) är dess homotopikategori hE
1974 Michael Artin Generaliserar Deligne–Mumford-stackar till Artin-stackar
1974 Robert Paré Paré monadicitetssats: E är en topos → E ° är monadisk över E
1974 Andy Magid Generaliserar Grothendiecks Galois-teori från grupper till fallet med ringar med hjälp av Galois-gruppoider
1974 Jean Bénabou Fibrerade kategoriers logik
1974 John Gray Grå kategorier med Grå tensorprodukt
1974 Kenneth Brown Skriver en mycket inflytelserik artikel som definierar Browns kategorier av fibrer och dubbla Brown kategorier av kofibrant objekt
1974 Shiing-Shen Chern – James Simons Chern-Simons teori : En speciell TQFT som beskriver knut och mångfaldiga invarianter, vid den tiden endast i 3D
1975 Saul Kripke – André Joyal Kripke–Joyal semantik av Mitchell–Bénabous interna språk för toposer: Logiken i kategorier av kärvar är första ordningens intuitionistiska predikatlogik
1975 Radu Diaconescu Diaconescu-satsen : Det interna valets axiom gäller i en topos → toposen är en boolesk topos. Så i IZF innebär valets axiom lagen om utesluten mitt
1975 Manfred Szabo Polykategorier
1975 William Lawvere Observera att Delignes sats om tillräckligt många punkter i en koherent topos antyder Gödels fullständighetssats för första ordningens logik i den toposen
1976 Alexander Grothendieck Schematiska homotopityper
1976 Marcel Crabbe Heyting-kategorier även kallade logoser: Regelbundna kategorier där subobjekten till ett objekt bildar ett gitter och där varje invers bildkarta har en högeradjoint. Närmare bestämt en koherent kategori C så att för alla morfismer f : A → B i C har funktorn f *:Sub C ( B ) → Sub C ( A ) en vänsteradjoint och en högeradjoint. Sub C ( A ) är förordningen av subobjekt av A ( hela underkategorin av C / A vars objekt är subobjekt av A ) i C . Varje topos är en logotyp. Heyting-kategorier generaliserar Heyting-algebror .
1976 Ross Street Computads
1977 Michael Makkai – Gonzalo Reyes Utvecklar Mitchell–Bénabous interna språk för en topos grundligt i en mer allmän miljö
1977 Andre Boileau – André Joyal – John Zangwill LST, lokal mängdteori: Lokal mängdteori är en typad mängdteori vars underliggande logik är intuitionistisk logik av högre ordning . Det är en generalisering av klassisk mängdteori, där mängder ersätts med termer av vissa typer. Kategorin C(S) byggd av en lokal teori S vars objekt är de lokala mängderna (eller S-mängderna) och vars pilar är de lokala kartorna (eller S-kartorna) är en språklig topos. Varje topos E är ekvivalent med en språklig topos C(S( E ))
1977 John Roberts Introducerar den mest allmänna nonabelska kohomologin av ω-kategorier med ω-kategorier som koefficienter när han insåg att allmän kohomologi handlar om att färga förenklingar i ω-kategorier. Det finns två metoder för att konstruera allmän icke-abelsk kohomologi, som icke-abelsk kohomologi i termer av härkomst för ω-kategorin värderade kärvar, och i termer av homotopisk kohomologiteori som realiserar samcyklerna. De två tillvägagångssätten är relaterade genom kodning
1978 John Roberts Komplicella uppsättningar (enkla uppsättningar med struktur eller förtrollning)
1978 Francois Bayen–Moshe Flato–Chris Fronsdal– André Lichnerowicz –Daniel Sternheimer Deformationskvantisering , senare för att vara en del av kategorisk kvantisering
1978 André Joyal Kombinatoriska arter i enumerativ kombinatorik
1978 Don Andersson Byggande på arbete av Kenneth Brown definierar ABC (sam)fibrering kategorier för att göra homotopi teori och mer allmänna ABC modell kategorier, men teorin ligger vilande till 2003. Varje Quillen modell kategori är en ABC modell kategori. En skillnad mot Quillens modellkategorier är att i ABC-modellkategorier är fibreringar och samfibrer oberoende och att för en ABC-modell är kategori M D en ABC-modellkategori. Till en ABC (sam)fibreringskategori är kanoniskt associerad en (vänster) höger Heller-derivator . Topologiska utrymmen med homotopi-ekvivalenser som svaga ekvivalenser, Hurewicz-kofibrationer som samfibrer och Hurewicz-fibrationer som fibrer bildar en ABC-modellkategori, Hurewicz-modellstrukturen på Top . Komplex av objekt i en abelisk kategori med kvasi-isomorfismer som svaga ekvivalenser och monomorfismer som samfibrer bildar en ABC-prekofibreringskategori
1979 Don Andersson Andersons axiom för homotopi teori i kategorier med en bråkfunktion
1980 Alexander Zamolodchikov Zamolodchikovs ekvation kallas även tetraederekvationen
1980 Ross Street Bikategorisk Yoneda-lemma
1980 Masaki Kashiwara –Zoghman Mebkhout Bevisar Riemann-Hilbert-korrespondensen för komplexa grenrör
1980 Peter Freyd Siffror i en topos

1981–1990

År Bidragsgivare Händelse
1981 Shigeru Mukai Mukai–Fourier-förvandling
1982 Bob Walters Berikade kategorier med bikategorier som bas
1983 Alexander Grothendieck Efterföljande stackar : Manuskript cirkulerat från Bangor, skrivet på engelska som svar på en korrespondens på engelska med Ronald Brown och Tim Porter , som börjar med ett brev adresserat till Daniel Quillen , utvecklar matematiska visioner i ett manuskript på 629 sidor, en slags dagbok, och till publiceras av Société Mathématique de France, redigerad av G. Maltsiniotis.
1983 Alexander Grothendieck Första uppträdandet av strikta ∞-kategorier i stackar, efter en 1981 publicerad definition av Ronald Brown och Philip J. Higgins.
1983 Alexander Grothendieck Fundamental infinity groupoid : En fullständig homotopi invariant Π ∞ ( X ) för CW-komplex X . Den inversa funktorn är den geometriska realiseringsfunktorn | . | och tillsammans bildar de en "ekvivalens" mellan kategorin CW-komplex och kategorin ω-gruppoider
1983 Alexander Grothendieck Homotopihypotes : Homotopikategorin av CW-komplex är Quillen ekvivalent med en homotopikategori av rimligt svaga ∞-gruppoider
1983 Alexander Grothendieck Grothendieck-derivator : En modell för homotopi-teori som liknar Quilen-modellkategorier men mer tillfredsställande. Grothendieck-derivator är dubbla till Heller-derivator
1983 Alexander Grothendieck Elementära modellerare: Kategorier av preheaves som modellerar homotopityper (och generaliserar alltså teorin om enkla mängder ). Kanoniska modellerare används också för att förfölja stackar
1983 Alexander Grothendieck Smidiga funktorer och ordentliga funktorer
1984 Vladimir Bazhanov–Razumov Stroganov Bazhanov–Stroganov d-simplex ekvation som generaliserar Yang–Baxter-ekvationen och Zamolodchikov-ekvationen
1984 Horst Herrlich Universell topologi i kategorisk topologi : En förenande kategorisk inställning till de olika strukturerade uppsättningarna (topologiska strukturer som topologiska rum och enhetliga rum) vars klass bildar en topologisk kategori liknande den universella algebra är för algebraiska strukturer
1984 André Joyal Enkla skivor (skivor med värden i enkla uppsättningar). Enkla skivor på ett topologiskt utrymme X är en modell för den hyperkompletta ∞-topos Sh( X ) ^
1984 André Joyal Visar att kategorin av enkla objekt i en Grothendieck-topos har en sluten modellstruktur
1984 André Joyal – Myles Tierney Main Galois teorem för toposer: Varje topos motsvarar en kategori av étale presheaves på en öppen étale groupoid
1985 Michael Schlessinger – Jim Stasheff L ∞ -algebror
1985 André Joyal – Ross Street Flätade monoidala kategorier
1985 André Joyal – Ross Street Joyal–Street koherenssats för flätade monoidala kategorier
1985 Paul Ghez – Ricardo Lima – John Roberts C*-kategorier
1986 Joachim Lambek – Phil Scott Inflytelserik bok: Introduktion till kategorisk logik av högre ordning
1986 Joachim Lambek – Phil Scott Grundläggande topologisats: Sektionsfunktorn Γ och könsfunktorn Λ etablerar en dubbel adjunktion mellan kategorin presheaves och kategorin buntar (över samma topologiska utrymme) som begränsar till en dubbel ekvivalens av kategorier (eller dualitet) mellan motsvarande fullständiga underkategorier av kärvar och etalebuntar
1986 Peter Freyd -David Yetter Konstruerar den (kompakta flätade) monoidala kategorin av tovor
1986 Vladimir Drinfeld – Michio Jimbo Kvantgrupper : Med andra ord kvasitriangulära Hopf-algebror . Poängen är att kategorierna av representationer av kvantgrupper är tensorkategorier med extra struktur. De används vid konstruktion av kvantinvarianter av knutar och länkar och lågdimensionella grenrör, representationsteori, q-deformationsteori, CFT , integrerbara system . Invarianterna är konstruerade från flätade monoidala kategorier som är kategorier av representationer av kvantgrupper. Den underliggande strukturen för en TQFT är en modulär kategori av representationer av en kvantgrupp
1986 Saunders Mac Lane Matematik, form och funktion (en grund för matematik)
1987 Jean-Yves Girard Linjär logik : Den interna logiken för en linjär kategori (en berikad kategori med dess Hom-uppsättningar som är linjära utrymmen )
1987 Peter Freyd Freyd representation theorem för Grothendieck toposer
1987 Ross Street Definition av nerven i en svag n -kategori och på så sätt erhåller den första definitionen av svag n -kategori med hjälp av förenklingar
1987 Ross Street – John Roberts Formulerar Street–Roberts gissning: Strikta ω-kategorier är likvärdiga med komplicerade uppsättningar
1987 André Joyal – Ross Street – Mei Chee Shum Bandkategorier : En balanserad styv flätad monoidal kategori
1987 Ross Street n-datorer
1987 Iain Aitchison Nedifrån och upp Pascal triangelalgoritm för beräkning av icke-abelska n -samcykelförhållanden för icke-abelsk kohomologi
1987 Vladimir Drinfeld - Gérard Laumon Formulerar geometriska Langlands-program
1987 Vladimir Turaev Startar kvanttopologi genom att använda kvantgrupper och R-matriser för att ge en algebraisk förening av de flesta av de kända knutpolynomen . Särskilt viktigt var Vaughan Jones och Edward Wittens arbete med Jones polynom
1988 Alex Heller Heller axiom för homotopi teori som en speciell abstrakt hyperfunktor. En egenskap hos detta tillvägagångssätt är en mycket allmän lokalisering
1988 Alex Heller Heller-derivator , dualen av Grothendieck-derivator
1988 Alex Heller Ger en global stängd modellstruktur för kategorin förenklade preheaves . John Jardine har också gett en modellstruktur i kategorin simplicial presheaves
1988 Gregory Moore - Nathan Seiberg Rational Conformal Field Theories leder till modulära tensorkategorier
1988 Graeme Segal Elliptiska objekt: En funktion som är en kategoriserad version av en vektorbunt utrustad med en anslutning, det är en 2D parallell transport för strängar
1988 Graeme Segal Konform fältteori CFT : En symmetrisk monoidal funktion Z: nCob C → Hilb som uppfyller vissa axiom
1988 Edward Witten Topologisk kvantfältteori TQFT : En monoidal funktion Z: nCob → Hilb som uppfyller vissa axiom
1988 Edward Witten Topologisk strängteori
1989 Hans Baues Inflytelserik bok: Algebraisk homotopi
1989 Michael Makkai -Robert Paré Tillgängliga kategorier : Kategorier med en "bra" uppsättning generatorer som gör det möjligt att manipulera stora kategorier som om de vore små kategorier , utan rädsla för att stöta på några uppsättningsteoretiska paradoxer. Lokalt presentabla kategorier är kompletta tillgängliga kategorier. Tillgängliga kategorier är kategorierna av modeller av skisser . Namnet kommer från att dessa kategorier är tillgängliga som modeller av skisser.
1989 Edward Witten Witten funktionell integral formalism och Witten invarianter för grenrör.
1990 Peter Freyd Allegorier : En abstraktion av kategorin mängder med relationer som morfismer , den har samma likhet med binära relationer som kategorier gör med funktioner och mängder. Det är en kategori där man förutom kompositionen har en enaroperations reciprokering R ° och en partiell binär operationsskärning R ∩ S , som i kategorin mängder med relationer som morfismer (istället för funktioner) för vilka ett antal axiom är nödvändig. Den generaliserar relationsalgebra till relationer mellan olika sorter.
1990 Nicolai Reshetikhin – Vladimir Turaev – Edward Witten Reshetikhin–Turaev–Witten invarianter av knutar från modulära tensorkategorier av representationer av kvantgrupper .

1991–2000

År Bidragsgivare Händelse
1991 Jean-Yves Girard Polarisering av linjär logik .
1991 Ross Street Paritetskomplex. Ett paritetskomplex genererar en fri ω-kategori.
1991 André Joyal - Ross Street Formalisering av Penrose- strängdiagram för att beräkna med abstrakta tensorer i olika monoidala kategorier med extra struktur. Kalkylen beror nu på sambandet med lågdimensionell topologi .
1991 Ross Street Definition av nedstigningen strikt ω-kategori för en cosimpliciell strikt ω-kategori.
1991 Ross Street Top-down excision av extremals-algoritm för beräkning av icke-abelska n -samcykelförhållanden för icke-abelsk kohomologi .
1992 Yves Diers Axiomatisk kategorisk geometri med användning av algebraisk-geometriska kategorier och algebraisk-geometriska funktorer.
1992 Saunders Mac Lane - Ieke Moerdijk Inflytelserik bok: Skivor i geometri och logik .
1992 John Greenlees - Peter May Greenlees-May dualitet
1992 Vladimir Turaev Modulära tensorkategorier. Särskilda tensorkategorier som uppstår vid konstruktion av knutinvarianter , vid konstruktion av TQFT och CFT , som trunkering (halvenkel kvot) av kategorin representationer av en kvantgrupp (vid rötter till enhet), som kategorier av representationer av svaga Hopf-algebror , som kategori av representationer av en RCFT .
1992 Vladimir Turaev - Oleg Viro Turaev-Viro tillståndssummamodeller baserade på sfäriska kategorier (de första tillståndssummamodellerna) och Turaev-Viro tillståndssummainvarianter för 3-grenrör.
1992 Vladimir Turaev Skuggvärld av länkar: Skuggor av länkar ger skugginvarianter av länkar efter skuggtillståndssummor.
1993 Ruth Lawrence Utökade TQFTs
1993 David Yetter - Louis Crane Crane-Yetter-tillståndssummamodeller baserade på bandkategorier och Crane-Yetter-tillståndsummainvarianter för 4-grenrör.
1993 Kenji Fukaya A ∞ -kategorier och A ∞ -funktioner : Vanligast i homologisk algebra , en kategori med flera sammansättningar så att den första sammansättningen är associativ upp till homotopi som uppfyller en ekvation som håller upp till en annan homotopi, etc. (associativ upp till högre homotopi ). A står för associativ.

Def: En kategori C sådan att

  1. för alla X , Y i Ob( C ) är Hom-uppsättningarna Hom C ( X , Y ) ändligt dimensionella kedjekomplex av Z -graderade moduler
  2. för alla objekt X 1 , ..., X n i Ob( C ) finns det en familj av linjära sammansättningskartor (de högre sammansättningarna)
00 m n : Hom C ( X , X 1 ) ⊗ Hom C ( X 1 , X 2 ) ⊗ ... ⊗ Hom C ( X n −1 , X n ) → Hom C ( X , X n )
av grad n − 2 (homologisk klassificeringskonvention används) för n ≥ 1
  1. m 1 är differentialen på kedjekomplexet Hom C ( X , Y )
  2. m n uppfyller den kvadratiska A ∞ -associativitetsekvationen för alla n ≥ 0.

m 1 och m 2 kommer att vara kedjekartor men kompositionerna mi av högre ordning är inte kedjekartor ; ändå är de Massey-produkter . I synnerhet är det en linjär kategori .

Exempel är Fukaya-kategorin Fuk( X ) och looprymden Ω X där X är ett topologiskt utrymme och A ∞ -algebror som A ∞ -kategorier med ett objekt.

När det inte finns några högre kartor (triviala homotopier) är C en dg-kategori . Varje A ∞ -kategori är kvasiisomorf på ett funktionellt sätt till en dg-kategori. En kvasiisomorfism är en kedjekarta som är en isomorfism i homologi.

Ramverket för dg-kategorier och dg-funktioner är för snävt för många problem, och det är att föredra att överväga den bredare klassen av A ∞ -kategorier och A ∞ -funktioner. Många egenskaper hos A ∞ -kategorier och A ∞ -funktioner kommer från det faktum att de bildar en symmetrisk sluten multikategori , som avslöjas i komonaders språk . Ur ett högre dimensionellt perspektiv A ∞ -kategorier svaga ω -kategorier med alla morfismer inverterbara. A ∞ -kategorier kan också ses som icke-kommutativa formella dg-grenrör med ett stängt markerat underschema av objekt.

1993 John Barret-Bruce Westbury Sfäriska kategorier : Monoidala kategorier med dualer för diagram på sfärer istället för i planet.
1993 Maxim Kontsevich Kontsevich-invarianter för knutar (är störningsexpansion Feynman-integraler för Witten-funktionsintegralen) definierade av Kontsevich-integralen. De är de universella Vassiliev-invarianterna för knutar.
1993 Daniel Freed En ny syn på TQFT med modulära tensorkategorier som förenar tre tillvägagångssätt till TQFT (modulära tensorkategorier från vägintegraler).
1994 Francis Borceux Handbook of Categorical Algebra (3 volymer).
1994 Jean Bénabou – Bruno Loiseau Orbitaler i en topos.
1994 Maxim Kontsevich Formulerar den homologiska spegelsymmetriförmodan : X ett kompakt sympletiskt grenrör med första Chern-klassen c 1 ( X ) = 0 och Y ett kompakt Calabi–Yau-grenrör är spegelpar om och endast om D (Fuk X ) (den härledda kategorin av Fukaya triangulerad kategori av X framställd ur lagrangiska cykler med lokala system) är ekvivalent med en underkategori av Db (Coh Y ) (den avgränsade härledda kategorin av koherenta skivor på Y ) .
1994 Louis Crane - Igor Frenkel Hopf-kategorier och konstruktion av 4D TQFTs av dem.
1994 John Fischer Definierar 2-kategorin av 2-knutar (knutna ytor).
1995 Bob Gordon-John Power- Ross Street Trikategorier och en motsvarande koherenssats : Varje svag 3-kategori motsvarar en Grå 3-kategori.
1995 Ross Street – Dominic Verity Ytdiagram för trikategorier.
1995 Louis Crane Myntkategorisering som leder till den kategoriska stegen .
1995 Sjoerd Crans En allmän procedur för att överföra slutna modellstrukturer på en kategori längs angränsande funktionspar till en annan kategori.
1995 André Joyal - Ieke Moerdijk AST, Algebraisk mängdlära: Kallas även ibland kategorisk mängdlära. Den utvecklades från 1988 av André Joyal och Ieke Moerdijk och presenterades först i detalj som en bok 1995 av dem. AST är ett ramverk baserat på kategoriteori för att studera och organisera mängdteorier och för att konstruera modeller av mängdteorier. Syftet med AST är att tillhandahålla en enhetlig kategorisk semantik eller beskrivning av mängdteorier av olika slag (klassisk eller konstruktiv, avgränsad, predikativ eller impredikativ, välgrundad eller icke-välgrundad, ...), de olika konstruktionerna av kumulativ hierarki av uppsättningar, forceringsmodeller, kärvemodeller och realiserbarhetsmodeller. Istället för att fokusera på kategorier av uppsättningar fokuserar AST på kategorier av klasser. Det grundläggande verktyget för AST är föreställningen om en kategori med klassstruktur (en kategori av klasser utrustade med en klass av små kartor (intuitionen är att deras fibrer är små i någon mening), kraftklasser och ett universellt objekt (ett universum ) ) som ger ett axiomatiskt ramverk inom vilket modeller för mängdlära kan konstrueras. Begreppet en klasskategori tillåter både definitionen av ZF-algebror (Zermelo-Fraenkel algebras) och relaterade strukturer som uttrycker tanken att hierarkin av mängder är en algebraisk struktur å ena sidan och tolkningen av första ordningens logik av elementär mängdteori å den andra. Underkategorin av mängder i en klasskategori är en elementär topos och varje elementär topos förekommer som mängder i en klasskategori. Klasskategorin i sig bäddas alltid in i den ideala kompletteringen av en topos. Tolkningen av logiken är att universum i varje klasskategori är en modell av grundläggande intuitionistisk mängdteori (BIST) som är logiskt komplett med avseende på klasskategorimodeller. Därför generaliserar klasskategorier både topos-teori och intuitionistisk mängdteori. AST grundar och formaliserar mängdteori på ZF-algebra med operationsförbund och efterträdare (singleton) istället för på medlemsrelationen. ZF -axiomen är inget annat än en beskrivning av den fria ZF-algebran precis som Peano-axiomen är en beskrivning av den fria monoiden på en generator. I detta perspektiv är modellerna för mängdteori algebror för en lämpligt presenterad algebraisk teori och många välbekanta mängdteoretiska villkor (såsom välgrundade) är relaterade till välbekanta algebraiska förhållanden (såsom freeness). Med hjälp av en hjälpuppfattning om liten karta är det möjligt att utöka axiomen för en topos och tillhandahålla en allmän teori för att enhetligt konstruera modeller för mängdteori utifrån toposer.
1995 Michael Makkai SFAM, Strukturalistisk grund för abstrakt matematik. I SFAM består universum av högre-dimensionella kategorier, funktorer ersätts av mättade anafunctors, mängder är abstrakta mängder, den formella logiken för entiteter är FOLDS (första ordningens logik med beroende sortering) där identitetsrelationen inte ges a priori av första ordningens axiom men härledda från ett sammanhang.
1995 John Baez -James Dolan Opetopuppsättningar ( opetoper ) baserade på operader . Svaga n -kategorier är n -opetopuppsättningar.
1995 John Baez -James Dolan Introducerade det periodiska systemet för matematik som identifierar k-tuply monoida n-kategorier. Det speglar tabellen över sfärernas homotopigrupper .
1995 John Baez – James Dolan Beskrev ett program där n -dimensionella TQFTs beskrivs som n-kategorirepresentationer.
1995 John Baez – James Dolan Föreslagen n -dimensionell deformationskvantisering .
1995 John Baez – James Dolan Tangle-hypotes : n -kategorin av inramade n -tangles i n + k dimensioner är ( n + k )-ekvivalent med den fria svaga k -tuply monoidala n -kategorin med dualer på ett objekt.
1995 John Baez -James Dolan Kobordismhypotes (Utökad TQFT-hypotes I): n -kategorin vars n -dimensionella utökade TQFT är representationer, nCob , är den fria stabila svaga n -kategorin med dualer på ett objekt.
1995 John Baez -James Dolan Stabiliseringshypotes : Efter att ha suspenderat en svag n -kategori n + 2 gånger har ytterligare suspensioner ingen väsentlig effekt. Upphängningsfunktionen S : nCat k → nCat k +1 är en ekvivalens av kategorier för k = n + 2.
1995 John Baez -James Dolan Utökad TQFT-hypotes II: En n -dimensionell enhetlig utökad TQFT är en svag n -funktion, som bevarar alla nivåer av dualitet, från den fria stabila svaga n -kategorin med dualer på ett objekt till nHilb .
1995 Valentin Lychagin Kategorisk kvantisering
1995 Pierre Deligne - Vladimir Drinfeld - Maxim Kontsevich Härledd algebraisk geometri med härledda scheman och härledda modulstaplar . Ett program för att göra algebraisk geometri och speciellt modulproblem i den härledda kategorin av scheman eller algebraiska varianter istället för i deras normala kategorier.
1997 Maxim Kontsevich Formell deformationskvantiseringsteorem : Varje Poisson-grenrör tillåter en differentierbar stjärnprodukt och de klassificeras upp till ekvivalens genom formella deformationer av Poisson-strukturen.
1998 Claudio Hermida-Michael-Makkai-John Power Multitop, Multitopic set.
1998 Carlos Simpson Simpson gissningar: Varje svag ∞-kategori är likvärdig med en ∞-kategori där kompositions- och utbyteslagarna är strikta och endast enhetslagarna tillåts hålla svagt. Det är bevisat för 1,2,3 -kategorier med ett enda objekt.
1998 André Hirschowitz-Carlos Simpson Ge en modellkategoristruktur för kategorin Segal-kategorier. Segalkategorier är fibrant-kofibrantobjekten och Segalkartor är de svaga ekvivalenserna . Faktum är att de generaliserar definitionen till den för en Segal n -kategori och ger en modellstruktur för Segal n -kategorier för alla n ≥ 1.
1998 Chris Isham – Jeremy Butterfield Kochen-Specker-teorem i topos-teorin för presheaves: Den spektrala presheafen (preheafen som tilldelar varje operator sitt spektrum) har inga globala element ( globala sektioner ) men kan ha partiella element eller lokala element. Ett globalt element är analogen för preheaves av den vanliga idén om ett element i en uppsättning. Detta motsvarar i kvantteorin spektrumet för C*-algebra av observerbara i en topos utan punkter.
1998 Richard Thomas Richard Thomas, en elev till Simon Donaldson , introducerar Donaldson-Thomas-invarianter som är system av numeriska invarianter av komplext orienterade 3-grenrör X , analogt med Donaldson-invarianter i teorin om 4-grenrör. De är vissa vägda Euler-egenskaper för modulutrymmet för remskivor på X och "räkna" Gieseker semistabla koherenta remsor med fixerad Chern-karaktär på X . Helst bör modulutrymmena vara en kritisk uppsättning av holomorfa Chern-Simons-funktioner och Donaldson-Thomas-invarianterna bör vara antalet kritiska punkter för denna funktion, räknat korrekt. För närvarande existerar sådana holomorfa Chern-Simons-funktioner i bästa fall lokalt.
1998 John Baez Spinnskummodeller : Ett 2-dimensionellt cellkomplex med ytor märkta med representationer och kanter märkta av sammanflätade operatörer . Spinnskum är funktioner mellan spinnnätverkskategorier. Varje skiva av ett spinnskum ger ett spinnnätverk.
1998 John Baez – James Dolan Mikrokosmos princip: Vissa algebraiska strukturer kan definieras i vilken kategori som helst utrustad med en kategoriserad version av samma struktur.
1998 Alexander Rosenberg Icke-kommutativa scheman : Paret (Spec( A ),OA ) där A är en abelsk kategori och till den är associerad ett topologiskt utrymme Spec( A ) tillsammans med en bunt av ringar OA på den. I fallet när A = QCoh ( X ) för X ett schema är paret (Spec( A ),OA ) naturligt isomorft till schemat ( X Zar ,O X ) med användning av ekvivalensen av kategorierna QCoh (Spec( R )) = Mod R . Mer allmänt bör abelska kategorier eller triangulerade kategorier eller dg-kategorier eller A ∞ -kategorier betraktas som kategorier av kvasikoherenta remsor (eller komplex av remsor) på icke-kommutativa scheman. Detta är en utgångspunkt i icke-kommutativ algebraisk geometri . Det betyder att man kan tänka sig kategori A i sig som ett utrymme. Eftersom A är abelisk tillåter det naturligt att göra homologisk algebra på icke-kommutativa scheman och därmed kärvkohomologi .
1998 Maxim Kontsevich Calabi–Yau-kategorier: En linjär kategori med en spårningskarta för varje objekt i kategorin och en tillhörande symmetrisk (med avseende på objekt) icke degenererad parning till spårkartan. Om X är en jämn projektiv Calabi—Yau-variation av dimension d så är D b (Coh( X )) en enhetlig Calabi–Yau A ∞ -kategori av Calabi–Yau-dimension d . En Calabi-Yau-kategori med ett objekt är en Frobenius-algebra .
1999 Joseph Bernstein – Igor Frenkel – Mikhail Khovanov Temperley–Lieb-kategorier: Objekt räknas upp med icke-negativa heltal . Mängden homomorfismer från objekt n till objekt m är en fri R -modul med bas över en ring R . R ges av isotopiklasserna av system av (| n | + | m |)/2 enkla parvis disjunkta bågar inuti en horisontell remsa på planet som ansluter i par | n | punkter på botten och | m | punkter på toppen i någon ordning. Morfismer komponeras genom att sammanfoga deras diagram. Temperley–Lieb-kategorier är kategoriserade Temperley–Lieb-algebror .
1999 Moira Chas – Dennis Sullivan Konstruerar strängtopologi genom kohomologi. Detta är strängteori om allmänna topologiska grenrör.
1999 Mikhail Khovanov Khovanov-homologi : En homologiteori för knutar så att dimensionerna för homologigrupperna är koefficienterna för knutens Jones-polynom .
1999 Vladimir Turaev Homotopi kvantfältteori HQFT
1999 Vladimir Voevodsky – Fabien Morel Konstruerar homotopikategorin av scheman .
1999 Ronald Brown – George Janelidze 2-dimensionell Galois teori
2000 Vladimir Voevodsky Ger två konstruktioner av motivisk kohomologi av varieteter, efter modellkategorier i homotopi teori och efter en triangulerad kategori av DM-motiv.
2000 Yasha Eliashberg – Alexander Givental – Helmut Hofer Symplektisk fältteori SFT : En funktion Z från en geometrisk kategori av inramade Hamiltonska strukturer och inramade kobordismer mellan dem till en algebraisk kategori av vissa differentiella D-moduler och Fourier-integraloperatorer mellan dem och som uppfyller vissa axiom.
2000 Paul Taylor ASD (Abstract Stone duality): En reaxiomatisering av rymden och kartorna i allmän topologi i termer av λ-kalkyl av beräkningsbara kontinuerliga funktioner och predikat som är både konstruktiv och beräkningsbar. Topologin på ett utrymme behandlas inte som ett gitter, utan som ett exponentiellt objekt av samma kategori som det ursprungliga utrymmet, med en tillhörande λ-kalkyl . Varje uttryck i λ-kalkylen betecknar både en kontinuerlig funktion och ett program. ASD använder inte kategorin uppsättningar , men hela underkategorin av uppenbara diskreta objekt spelar denna roll (ett uppenbart objekt är dubbelt till ett kompakt objekt), och bildar ett aritmetiskt universum (pretopos med listor) med allmän rekursion.

2001–nutid

År Bidragsgivare Händelse
2001 Charles Rezk Konstruerar en modellkategori med vissa generaliserade Segal-kategorier som fibrantobjekt, och erhåller på så sätt en modell för en homotopi-teori av homotopi-teorier. Kompletta Segal-utrymmen introduceras samtidigt.
2001 Charles Rezk Modell toposer och deras generalisering homotopi toposer (en modell topos utan antagandet om t-fullständighet).
2002 Bertrand Toën - Gabriele Vezzosi Segal-topologier som kommer från Segal-topologier, Segal-webbplatser och staplar över dem.
2002 Bertrand Toën-Gabriele Vezzosi Homotopisk algebraisk geometri : Huvudidén är att utöka scheman genom att formellt ersätta ringarna med någon form av "homotopi-ringliknande föremål". Mer exakt är detta objekt en kommutativ monoid i en symmetrisk monoidal kategori utrustad med en föreställning om ekvivalenser som förstås som "upp-till-homotopi monoid" (t.ex. E ∞ -ringar ).
2002 Peter Johnstone Inflytelserik bok: skisser av en elefant – ett topos-teorikompendium. Den fungerar som ett uppslagsverk för topos -teori (två av tre volymer publicerade 2008).
2002 Dennis Gaitsgory -Kari Vilonen-Edward Frenkel Bevisar det geometriska Langlands-programmet för GL( n ) över ändliga fält.
2003 Denis-Charles Cisinski Arbetar vidare med ABC-modellkategorier och lyfter fram dem igen. Sedan dess kallas de ABC-modellkategorier efter sina bidragsgivare.
2004 Dennis Gaitsgory Utökade beviset för det geometriska Langlands-programmet till att omfatta GL( n ) över C. Detta gör det möjligt att betrakta kurvor över C istället för över ändliga fält i det geometriska Langlands-programmet.
2004 Mario Caccamo Formell kategoriteoretisk utökad λ-kalkyl för kategorier.
2004 Francis Borceux-Dominique Bourn Homologiska kategorier
2004 Samson Abramsky och Bob Coecke Paper En kategorisk semantik av kvantprotokoll publicerad som startar Oxford School of Categorical Quantum Mechanics , baserad på teorin om kompakta slutna kategorier.
2004 William Dwyer-Philips Hirschhorn- Daniel Kan -Jeffrey Smith Introducerar i boken Homotopy limit functors på modellkategorier och homotopiska kategorier en formalism av homotopiska kategorier och homotopiska funktorer (svaga ekvivalensbevarande funktorer) som generaliserar modellkategorin formalism av Daniel Quillen . En homotopisk kategori har bara en distingerad klass av morfismer (som innehåller alla isomorfismer) som kallas svaga ekvivalenser och uppfyller de två av sex axiomen. Detta gör det möjligt att definiera homotopiska versioner av initiala och terminala objekt , limit- och colimit -funktioner (som beräknas av lokala konstruktioner i boken), fullständighet och co-kompletthet , adjunktioner , Kan-tillägg och universella egenskaper .
2004 Dominic Verity Bevisar Street-Roberts gissningar.
2004 Ross Street Definition av nedstigningssvag ω-kategori för en cosimpliciell svag ω-kategori.
2004 Ross Street Karakteriseringssats för kosmos : En bikategori M är ett kosmos om det finns en basbikategori W så att M är biekvivalent med Mod W. W kan anses vara vilken som helst fullständig underkategori av M vars objekt bildar en liten Cauchy-generator .
2004 Ross Street - Brian Day Kvantkategorier och kvantgruppoider : En kvantkategori över en flätad monoidal kategori V är ett objekt R med en opmorfism h : R op ⊗ R → A till en pseudomonoid A så att h * är stark monoidal (bevarar tensorprodukt och enhet upp till koherent naturliga isomorfismer) och alla R, h och A ligger i den autonoma monoida bikategorin Comod( V ) co av sammonoider. Comod( V ) = Mod( V op ) coop . Kvantkategorier introducerades för att generalisera Hopf-algebroider och groupoider. En kvantgruppoid är en Hopf-algebra med flera objekt.
2004 Stephan Stolz- Peter Teichner Definition av nD QFT av grad p parametriserad av ett grenrör.
2004 Stephan Stolz- Peter Teichner Graeme Segal föreslog på 1980-talet att tillhandahålla en geometrisk konstruktion av elliptisk kohomologi (föregångaren till tmf ) som något slags modulrum för CFT. Stephan Stolz och Peter Teichner fortsatte och utökade dessa idéer i ett program för att konstruera TMF som ett modulrum av supersymmetriska euklidiska fältteorier. De antog en Stolz-Teichner-bild (analogi) mellan klassificering av utrymmen för kohomologiteorier i kromatisk filtrering (de Rham-kohomologi, K-teori, Morava K-teorier) och modulrum för supersymmetriska QFT parametriserade av ett mångfaldigt (bevisat i 0D och 1D) ).
2005 Peter Selinger Myntade termen dolkkategorier och dolkfunktioner . Dolkkategorier verkar vara en del av ett större ramverk som involverar n-kategorier med dualer.
2005 Peter Ozsváth - Zoltán Szabó Knot Floer homologi
2006 P. Carrasco-AR Garzon-EM Vitale Kategoriska korsade moduler
2006 Aslak Bakke Buan–Robert Marsh–Markus Reineke– Idun Reiten – Gordana Todorov Klusterkategorier: Klusterkategorier är ett specialfall av triangulerade Calabi–Yau-kategorier av Calabi–Yau-dimension 2 och en generalisering av klusteralgebror .
2006 Jacob Lurie Monumental bok: Högre topos-teori : På sina 940 sidor generaliserar Jacob Lurie de vanligaste begreppen kategoriteori till högre kategorier och definierar n-toposer, ∞-toposer , kärvar av n-typer, ∞-platser, ∞- Yoneda lemma och bevisar Lurie karakteriseringssats för högre dimensionella toposer. Luries teori om högre toposer kan tolkas som att den ger en bra teori om att skivor tar värden i ∞-kategorier. En ∞-topos är ungefär en ∞-kategori som ser ut som ∞-kategorin för alla homotopityper . I en topos kan matematik göras. I en högre topos kan inte bara matematik göras utan också " n -geometri", vilket är högre homotopi teori. Topos-hypotesen är att ( n +1)-kategorin n Cat är en Grothendieck ( n +1)-topos. Högre topos teori kan också användas på ett rent algebro-geometriskt sätt för att lösa olika modulproblem i denna miljö.
2007 Bernhard Keller-Thomas Hugh d-klusterkategorier
2007 Dennis Gaitsgory - Jacob Lurie Presenterar en härledd version av den geometriska Satake-ekvivalensen och formulerar en geometrisk Langlands-dualitet för kvantgrupper .

Den geometriska Satake-ekvivalensen realiserade kategorin representationer av Langlands dubbla grupp L G i termer av sfäriska perversa skivor (eller D-moduler ) på den affina Grassmannian Gr G = G (( t ))/ G [[t]] av ursprunglig grupp G .

2008 Ieke Moerdijk -Clemens Berger Utökar och förbättrade definitionen av Reedy-kategorin för att bli invariant under likvärdighet mellan kategorier .
2008 Michael J. Hopkins – Jacob Lurie Skiss av bevis för Baez-Dolan- trasselhypotesen och Baez-Dolan- kobordismhypotesen som klassificerar utökad TQFT i alla dimensioner.
2019 Brendan Fong – David Spivak Första lärobok för det framväxande fältet som identifierar sig som tillämpad kategoriteori , där kategoriteori tillämpas utanför ren matematik: An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality

Se även

Anteckningar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics&oldid=1129502734 "