Lokalisering av ett topologiskt utrymme

I matematik kan väluppförda topologiska utrymmen lokaliseras till primtal, på ett liknande sätt som lokaliseringen av en ring i primtal. Denna konstruktion beskrevs av Dennis Sullivan 1970 föreläsningsanteckningar som slutligen publicerades i ( Sullivan 2005 ) .

Anledningen till att göra detta var i linje med en idé om att göra topologi , närmare bestämt algebraisk topologi , mer geometrisk. Lokalisering av ett utrymme X är en geometrisk form av den algebraiska anordningen för att välja 'koefficienter' för att förenkla algebra i ett givet problem. Istället för det kan lokaliseringen appliceras på utrymmet X direkt, vilket ger ett andra utrymme Y .

Definitioner

Vi låter A vara en subring av de rationella talen och låter X vara ett enkelt sammankopplat CW-komplex . Sedan finns det ett enkelt kopplat CW-komplex Y tillsammans med en karta från X till Y så att

Y är A -lokal; detta betyder att alla dess homologigrupper är moduler över A
Kartan från X till Y är universell för (homotopiklasser av) kartor från X till A -lokala CW-komplex.

Detta utrymme Y är unikt upp till homotopi -ekvivalens , och kallas lokaliseringen av X vid A.

Om A är lokaliseringen av Z vid ett primtal p , så kallas mellanrummet Y lokaliseringen av X vid p

Kartan från X till Y inducerar isomorfismer från A -lokaliseringarna av homologi- och homotopigrupperna hos X till homologi- och homotopigrupperna hos Y.

Se även

Kategori:Lokalisering (matematik)

Adams, Frank (1978), Infinite loop spaces , Princeton, NJ: Princeton University Press, s. 74–95, ISBN 0-691-08206-5
Sullivan, Dennis P. (2005), Ranicki, Andrew (red.), Geometric Topology: Localization, Periodicity and Galois Symmetry: The 1970 MIT Notes (PDF) , K-Monographs in Mathematics, Dordrecht: Springer, ISBN 1-4020- 3511-X