Injektiv modul

Inom matematiken , särskilt inom området för abstrakt algebra som kallas modulteori , är en injektiv modul en modul Q som delar vissa önskvärda egenskaper med Z - modulen Q för alla rationella tal . Specifikt, om Q är en undermodul till någon annan modul, så är den redan en direkt summa av den modulen; också, givet en undermodul av en modul Y , då kan vilken modulhomomorfism som helst från denna undermodul till Q utökas till en homomorfism från hela Y till Q. Detta koncept är dubbelt mot det för projektiva moduler . Injektiva moduler introducerades i ( Baer 1940 ) och diskuteras i detalj i läroboken ( Lam 1999 , §3).

Injektiva moduler har studerats hårt, och en mängd ytterligare begrepp definieras i termer av dem: Injektiva samgeneratorer är injektionsmoduler som troget representerar hela kategorin av moduler. Injektiva upplösningar mäter hur långt från injektiv en modul är när det gäller den injektiva dimensionen och representerar moduler i den härledda kategorin . Injektiva skrov är maximalt väsentliga förlängningar , och visar sig vara minimala injektiva förlängningar. Över en Noetherian ring är varje injektiv modul unikt en direkt summa av oupplösliga moduler, och deras struktur är väl förstådd. En injektionsmodul över en ring kanske inte är injektiv över en annan, men det finns välkända metoder för att byta ringar som hanterar speciella fall. Ringar som i sig är injektionsmoduler har ett antal intressanta egenskaper och inkluderar ringar som gruppringar av ändliga grupper över fält . Injektiva moduler inkluderar delbara grupper och generaliseras av begreppet injektiva objekt i kategoriteorin .

Definition

En vänster modul Q över ringen R är injektiv om den uppfyller ett (och därför alla) av följande ekvivalenta villkor:

• Om Q är en undermodul till någon annan vänster R -modul M , så finns det en annan undermodul K av M så att M är den interna direkta summan av Q och K , dvs Q + K = M och Q ∩ K = {0}.
• Vilken kort exakt sekvens 0 → Q → M → K → 0 av vänster R -moduler delar upp sig .
• Om X och Y är kvar R -moduler, f : X → Y är en injektiv modulhomomorfism och g : X → Q är en godtycklig modulhomomorfism, så finns det en modulhomomorfism h : Y → Q så att hf = g , dvs. så att följande diagram pendlar :

• Den kontravarierande Hom-funktorn Hom(-, Q ) från kategorin vänster R -moduler till kategorin abelska grupper är exakt .

Injektiv höger R -moduler definieras i fullständig analogi.

Exempel

Första exemplen

Trivialt är nollmodulen {0} injektiv.

Givet ett fält k är varje k - vektorrum Q en injektiv k -modul. Anledning: om Q är ett delrum av V , kan vi hitta en bas för Q och utöka den till en bas av V . De nya utsträckande basvektorerna spänner över ett delrum K av V och V är den interna direkta summan av Q och K . Notera att det direkta komplementet K till Q inte bestäms unikt av Q , och likaså är den utsträckande kartan h i definitionen ovan typiskt inte unik.

Rationalerna Q (med addition) bildar en injektiv abelisk grupp (dvs en injektiv Z -modul). Faktorgruppen Q / Z och cirkelgruppen är också injektiva Z -moduler . Faktorgruppen Z / n Z för n > 1 är injektiv som en Z / n Z -modul, men inte injektiv som en abelsk grupp.

Kommutativa exempel

Mer generellt, för vilken integral domän R som helst med fält av fraktioner K , är R - modulen K en injektiv R -modul, och faktiskt den minsta injektiva R -modulen som innehåller R. För alla Dedekind - domäner är kvotmodulen K / R också injektiv, och dess oupplösliga summeringar är lokaliseringarna $R_{\mathfrak {p}}/R$ för de icke- nollprimära idealen ${ \mathfrak {p}}$ . Nollidealet motsvarar injektivet K . På så sätt finns det en 1-1 överensstämmelse mellan primideal och oupplösliga injektionsmoduler.

En särskilt rik teori finns tillgänglig för kommutativa noetherska ringar på grund av Eben Matlis , ( Lam 1999, §3I). Varje injektionsmodul är unikt en direkt summa av oupplösliga injektionsmoduler, och de oupplösliga injektionsmodulerna identifieras unikt som injektionsskalen för kvoterna R / P där P varierar över ringens primära spektrum . Det injektiva skrovet av R / P som en R -modul är kanoniskt en RP _- modul, och är det RP _- injektiva skrovet av R / P . Det räcker med andra ord att ta hänsyn till lokala ringar . Endomorfismringen i det injektiva skrovet av R / P är kompletteringen $\displaystyle {\hat {R}}_{P}}$ { av R vid P .

Två exempel är det injektiva skrovet för Z -modulen Z / p Z ( Prüfer-gruppen ), och det injektiva skrovet för k [ x ]-modulen k (ringen av inversa polynom). Det senare kan lätt beskrivas som k [ x , x ⁻¹ ]/ xk [ x ]. Denna modul har en bas som består av "inversa monomialer", det vill säga x ^{− n} för n = 0, 1, 2, …. Multiplikation med skalärer är som förväntat, och multiplikation med x beter sig normalt förutom att x ·1 = 0. Endomorfismringen är helt enkelt ringen av formella potensserier .

Artiniska exempel

Om G är en finit grupp och k ett fält med karakteristiken 0, så visar man i teorin om grupprepresentationer att varje underrepresentation av en given redan är en direkt summa av den givna. Översatt till modulspråk betyder detta att alla moduler över gruppen algebra kG är injektiva. Om egenskapen för k inte är noll kan följande exempel vara till hjälp.

Om A är en enhetlig associativ algebra över fältet k med ändlig dimension över k , så är Hom _k (−, k ) en dualitet mellan ändligt genererade vänster A -moduler och ändligt genererade höger A -moduler. Därför är de ändligt genererade injektiva vänster A -modulerna just modulerna av formen Homk ₍ P , k ) där P är en ändligt genererad projektiv höger A -modul. För symmetriska algebror är dualiteten särskilt väluppfostrad och projektiva moduler och injektionsmoduler sammanfaller.

För vilken artinisk ring som helst , precis som för kommutativa ringar , finns det en 1-1 överensstämmelse mellan primära ideal och oupplösliga injektionsmoduler. Korrespondensen i det här fallet är kanske till och med enklare: ett främsta ideal är en förintare av en unik enkel modul, och den motsvarande oupplösliga injicerande modulen är dess injicerande skrov . För finita dimensionella algebror över fält är dessa injicerande skrov ändligt genererade moduler ( Lam 1999 , §3G, §3J).

Beräkning av injektiva skrov

Om $R$ är en Noetherian ring och ${\mathfrak {p}}$ är ett primideal, sätt $E=E(R/{\mathfrak {p}})$ som det injicerande skrovet. Det injektiva skrovet för $R/{\mathfrak {p}}$ över Artinian-ringen $R/{\mathfrak {p}}^{k}$ kan beräknas som modul $(0:_{E}{\mathfrak {p}}^{k})$ . Det är en modul av samma längd som $R/{\mathfrak {p}}^{k}$ . Speciellt för den standardklassade ringen $R_{\bullet }=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{\bullet }$ och ${\mathfrak {p}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , $E=\oplus _{i}{\text{Hom}}(R_{i},k)$ är en injektiv modul som ger verktygen för att beräkna de oupplösliga injektivmodulerna för artiniska ringar över ${\ displaystil k}$ .

Självinjektivitet

En Artin lokal ring $(R,{\mathfrak {m}},K)$ är injektiv över sig själv om och endast om $soc(R)$ är ett 1-dimensionellt vektorrum över $K$ . Detta innebär att varje lokal Gorenstein-ring som också är Artin är injektiv över sig själv eftersom den har en 1-dimensionell sockel. Ett enkelt icke-exempel är ringen $R=\mathbb {C} [x,y]/(x^{2}, xy,y^{2})$ som har maximal ideal $(x,y)$ och restfält $\mathbb {C}$ . Dess sokle är ${\displaystyle \mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y} ,$ som är tvådimensionell. Restfältet har det injektiva skrovet ${\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} \cdot x\oplus \ mathbb {C} \cdot y,\mathbb {C} )$ .

Moduler över Lie-algebror

För en Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ över ett fält $k$ med karakteristik 0, kategorin av moduler ${\mathcal {M}}({\ mathfrak {g}})$ har en relativt enkel beskrivning av sina injektivmoduler. Genom att använda den universella enveloping algebra kan vilken som helst injektiv ${\mathfrak {g}}$ -modul konstrueras från ${\mathfrak {g}}$ -modulen

${\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$

för vissa $k$ -vektorutrymme $V$ . Observera att detta vektorutrymme har en ${\mathfrak {g}}$ -modulstruktur från injektionen

${\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})$

Faktum är att varje ${\mathfrak {g}}$ -modul har en injektion i någon ${\text{Hom}}_{k}(U( {\mathfrak {g}}),V)$ och varje injektiv ${\mathfrak {g}}$ -modul är en direkt summa av någon ${\ text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$ .

Teori

Struktursats för kommutativa Noether-ringar

Över en kommutativ Noetherian ring $R$ är varje injektionsmodul en direkt summa av oupplösliga injektionsmoduler och varje oupplöslig injektionsmodul är restfältets injektionsskal vid ett primtal ${\mathfrak {p}}$ . Det vill säga, för ett injektiv $I\in {\text{Mod}}(R)$ finns det en isomorfism

$I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})$

där $E(R/{\mathfrak {p}}_{i})$ är de injektiva skroven för modulerna $R/{\mathfrak {p} }_{i}$ . Dessutom, om $I$ är det injektiva skrovet för någon modul $M$ så är ${\mathfrak {p}}_{i}$ de associerade primtal av ${\ displaystil M}$ .

Undermoduler, kvoter, produkter och summor

Varje produkt av (även oändligt många) injektionsmoduler är injektiv; omvänt, om en direkt produkt av moduler är injektiv, så är varje modul injektiv ( Lam 1999 , s. 61). Varje direkt summa av ändligt många injektionsmoduler är injektiv. I allmänhet behöver undermoduler, faktormoduler eller oändliga direkta summor av injektiva moduler inte vara injektiva. Varje undermodul i varje injektiv modul är injektiv om och endast om ringen är artinisk halvenkel ( Golan & Head 1991, s. 152); varje faktormodul i varje injektionsmodul är injektiv om och endast om ringen är ärftlig , ( Lam 1999 , Th. 3.22); varje oändlig direkt summa av injektiva moduler är injektiv om och endast om ringen är Noetherian , ( Lam 1999 , Th 3.46).

Baers kriterium

I Baers originalartikel visade han ett användbart resultat, vanligtvis känt som Baers kriterium, för att kontrollera om en modul är injektiv: en vänster R -modul Q är injektiv om och endast om någon homomorfism g : I → Q definieras på ett vänsterideal I av R kan utvidgas till alla R .

Med detta kriterium kan man visa att Q är en injektiv abelisk grupp (dvs en injektiv modul över Z ). Mer generellt är en abelisk grupp injektiv om och endast om den är delbar . Mer allmänt fortfarande: en modul över en principiell idealdomän är injektiv om och endast om den är delbar (fallet med vektorrum är ett exempel på detta teorem, eftersom varje fält är en principiell idealdomän och varje vektorrum är delbart). Över en allmän integral domän har vi fortfarande en implikation: varje injektiv modul över en integral domän är delbar.

Baers kriterium har förfinats på många sätt ( Golan & Head 1991 , s. 119), inklusive ett resultat av ( Smith 1981 ) och ( Vamos 1983 ) att för en kommutativ Noetherian ring, det Det räcker för att endast betrakta främsta ideal I . Dual av Baers kriterium, som skulle ge ett test för projektivitet, är i allmänhet falskt. Till exempel Z -modulen Q det dubbla av Baers kriterium men är inte projektiv.

Injektiva samgeneratorer

Huvudartikel: injektiv samgenerator

Den kanske viktigaste injektionsmodulen är den abelska gruppen Q / Z . Det är en injektiv samgenerator i kategorin abelska grupper , vilket betyder att den är injektiv och vilken annan modul som helst finns i en lagom stor produkt av kopior av Q / Z . Så i synnerhet är varje abelsk grupp en undergrupp till en injektiv. Det är ganska betydelsefullt att detta också är sant över vilken ring som helst: varje modul är en undermodul till en injektiv, eller "kategorin av vänster R -moduler har tillräckligt med injektioner." För att bevisa detta använder man de säregna egenskaperna hos den abelska gruppen Q / Z för att konstruera en injektiv samgenerator i kategorin vänster R -moduler.

För en vänster R -modul M är den så kallade "teckenmodulen" M ⁺ = Hom _Z ( M , Q / Z ) en höger R -modul som uppvisar en intressant dualitet, inte mellan injektivmoduler och projektiva moduler , utan mellan injektionsmoduler och platta moduler ( Enochs & Jenda 2001 , s. 78–80) . För varje ring R är en vänster R -modul platt om och endast om dess teckenmodul är injektiv. Om R lämnas nothersk, då är en vänster R -modul injektiv om och endast om dess teckenmodul är platt.

Injektiva skrov

Huvudartikel: injektiv skrov

En moduls injicerande skrov är den minsta injektionsmodulen som innehåller den givna och beskrevs i ( Eckmann & Shopf 1953 ) .

Man kan använda injektiva skrov för att definiera en minimal injektiv upplösning (se nedan). Om varje term i den injektiva upplösningen är det injektiva skrovet av kokkärnan i den föregående kartan, så har den injektiva upplösningen minimal längd.

Injektiva resolutioner

Varje modul M har också en injektiv upplösning : en exakt sekvens av formuläret

⁰ 0 → M → I → I ¹ → I ² → ...

där I ^j är injektiva moduler. Injektiva upplösningar kan användas för att definiera härledda funktorer såsom Ext-funktorn .

⁰ Längden av en finit injektionsupplösning är det första indexet n så att I ⁿ är icke-noll och I ⁱ = 0 för i större än n . Om en modul M tillåter en finit injektionsupplösning kallas den minimala längden bland alla finita injektivupplösningar av M dess injektiva dimension och betecknas id( M ). Om M inte medger en finit injektionsupplösning, sägs enligt konvention den injektiva dimensionen vara oändlig. ( Lam 1999 , §5C) Som ett exempel, betrakta en modul M så att id( M ) = 0. I denna situation indikerar exaktheten av sekvensen 0 → M → I → 0 att pilen i mitten är en isomorfism , och därför är M själv injektiv.

På motsvarande sätt är den injektiva dimensionen av M det minimala heltal (om det finns ett sådant, annars ∞) n så att Ext
^N _A (–, M ) = 0 för alla N > n .

Oupplösbara

Varje injektiv undermodul i en injektiv modul är en direkt summa, så det är viktigt att förstå oupplösliga injektivmoduler, ( Lam 1999 , §3F).

Varje oupplöslig injektionsmodul har en lokal endomorfismring . En modul kallas en enhetlig modul om varannan submodul som inte är noll har en skärningspunkt som inte är noll. För en injektionsmodul M är följande likvärdiga:

• M är oupplöslig
• M är icke-noll och är det injektiva skrovet för varje icke-noll-undermodul
• M är enhetlig
• M är det injicerande skrovet av en enhetlig modul
• M är det injicerande skrovet av en enhetlig cyklisk modul
• M har en lokal endomorfismring

Över en Noether-ring är varje injektionsmodul den direkta summan av (unikt bestämda) oupplösliga injektionsmoduler. Över en kommutativ Noether-ring ger detta en särskilt fin förståelse av alla injektiva moduler, beskrivna i ( Matlis 1958) . De oupplösliga injicerande modulerna är de injicerande skroven av modulerna R / p för p ett främsta ideal för ringen R. Dessutom har det injektiva skrovet M av R / p en ökande _filtrering ^av modulerna Mn som ges av förintarna av idealen pn , och Mn _{( +1} / Mn är isomorft som _ändligt dimensionellt vektorrum över kvotfältet k p ) av R / p till Hom _{R / p} ( pn ^/ pn ^{+ 1} , k ( p )) .

Byte av ringar

Det är viktigt att kunna överväga moduler över subringar eller kvotringar , speciellt till exempel polynomringar . I allmänhet är detta svårt, men ett antal resultat är kända, ( Lam 1999 , s. 62).

Låt S och R vara ringar och P vara en vänster- R , höger- S bimodul som är platt som en vänster- R -modul. För varje injektiv höger S -modul M är uppsättningen av modulhomomorfismer Hom _S ( P , M ) en injektiv höger R -modul. Samma påstående gäller naturligtvis efter att ha bytt vänster- och högerattribut.

Till exempel, om R är en subring av S så att S är en platt R -modul, så är varje injektiv S -modul en injektiv R -modul. I synnerhet, om R är en integral domän och S dess fält av bråk , då är varje vektorrum över S en injektiv R -modul. På liknande sätt är varje injektiv R [ x ]-modul en injektiv R -modul.

gör en ringhomomorfism $f:S\to R$ R till en vänster- R , höger- S bimodul, genom vänster och höger multiplikation. Att vara fri över sig själv R är också platt som en vänster R -modul. Specialiserat påståendet ovan för P = R , säger det att när M är en injektiv höger S -modul den koinducerade modulen $f_{*}M=\mathrm {Hom } _{S}(R,M)$ är en injektiv höger R -modul. Sålunda producerar koinduktion över f injektiva R -moduler från injektiva S -moduler.

För kvotringar R / I är bytet av ringar också mycket tydligt. En R -modul är en R / I -modul just när den förintas av I . Undermodulen ann _I ( M ) = { m i M : im = 0 för alla i i I } är en vänster undermodul till den vänstra R -modulen M , och är den största undermodulen av M som är en R / I -modul. Om M är en injektiv vänster R -modul, så är ann _I ( M ) en injektiv vänster R / I -modul. Om man applicerar detta på R = Z , I = n Z och M = Q / Z , får man det välbekanta faktum att Z / n Z är injektiv som en modul över sig själv. Även om det är lätt att konvertera injektiva R -moduler till injektiva R / I -moduler, omvandlar denna process inte injektiva R -upplösningar till injektiva R / I -upplösningar, och homologin för det resulterande komplexet är ett av de tidiga och grundläggande områdena studier av relativ homologisk algebra.

Läroboken ( Rotman 1979 , s. 103) har ett felaktigt bevis på att lokalisering bevarar injektiver, men ett motexempel gavs i ( Dade 1981 ).

Självinjicerande ringar

Varje ring med enhet är en fri modul och är därför en projektiv som en modul över sig själv, men det är mer sällsynt att en ring är injektiv som en modul över sig själv ( Lam 1999 , §3B). Om en ring är injektiv över sig själv som en högermodul, så kallas den en höger självinjektiv ring . Varje Frobenius algebra är självinjektiv, men ingen integral domän som inte är ett fält är självinjektiv. Varje korrekt kvot av en Dedekind-domän är självinjektiv.

En höger Noetherisk , höger självinjektiv ring kallas en kvasi-Frobenius-ring , och är tvåsidig artinisk och tvåsidig injektiv, ( Lam 1999 , Th. 15.1). En viktig modulteoretisk egenskap hos kvasi-Frobenius-ringar är att de projektiva modulerna är exakt de injektiva modulerna.

Generaliseringar och specialiseringar

Injektiva föremål

Huvudartikel: injektivt objekt

Man talar också om injektiva objekt i kategorier mer generella än modulkategorier, till exempel i funktionskategorier eller i kategorier av skivor av O _X -moduler över något ringmärkt utrymme ( X ,O _X ). Följande allmänna definition används: ett objekt Q i kategorin C är injektivt om det för någon monomorfism f : X → Y i C och någon morfism g : X → Q finns en morfism h : Y → Q med hf = g .

Delbara grupper

Huvudartikel: delbar grupp

Begreppet injektivt objekt i kategorin abelska grupper studerades något oberoende av injektionsmoduler under termen delbar grupp . Här är en Z -modul M injektiv om och endast om n ⋅ M = M för varje heltal som inte är noll n . Här är förhållandet mellan platta moduler , rena submoduler och injektiva moduler tydligare, eftersom det helt enkelt hänvisar till vissa delbarhetsegenskaper hos modulelement med heltal.

Rena injektioner

Huvudartikel: ren injektionsmodul

I relativ homologisk algebra kan förlängningsegenskapen för homomorfismer krävas endast för vissa undermoduler, snarare än för alla. Till exempel är en ren injektionsmodul en modul där en homomorfism från en ren submodul kan utökas till hela modulen.

Läroböcker

•   Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Rings and Categories of Modules , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1 , hämtad 30 juli 2016
•    Enochs, Edgar E.; Jenda, Overtoun MG (2000), Relativ homologisk algebra , de Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 30, Berlin: Walter de Gruyter & Co., doi : 10.1515/9783110803662 , ISBN 978-3-11-016633-0 , MR 1753146
•    Golan, Jonathan S.; Head, Tom (1991), Modules and the structure of rings , Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, vol. 147, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8555-0 , MR 1201818
•    Lam, Tsit-Yuen (1999), Föreläsningar om moduler och ringar , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0 -387-98428-5 , MR 1653294
•    Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra , Pure and Applied Mathematics, vol. 85, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-599250-3 , MR 0538169

Primära källor

•    Baer, ​​Reinhold (1940), "Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group", Bulletin of the American Mathematical Society, 46 ( 10): 800–807, doi : 10.1090/S0002-9904-1940-07306-9 , MR 0002886 , Zbl 0024.14902
•    Chase, Stephen U. (1960), "Direct products of modules", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, Vol. 97, nr 3, 97 (3): 457–473, doi : 10.2307/1993382 , JSTOR 1993382 , MR 0120260
•   Dade, Everett C. (1981), "Localization of injective modules", Journal of Algebra , 69 (2): 416–425, doi : 10.1016/0021-8693(81)90213-1 , MR 0617087
•   Eckmann, B .; Schopf, A. (1953), "Über injektiv Moduln", Archiv der Mathematik , 4 (2): 75–78, doi : 10.1007/BF01899665 , MR 0055978
•    Lambek, Joachim (1963), "On Utumi's ring of quotients" , Canadian Journal of Mathematics , 15 : 363–370, doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 , ISSN 0008-4014X 4 75MR 901
•    Matlis, Eben (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511–528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , MR 009936
•    Osofsky, BL (1964), "On ring properties of injective hulls", Canadian Mathematical Bulletin , 7 : 405–413, doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 , ISSN 0008-4395 , MR 01666
•    Papp, Zoltán (1959), "Om algebraiskt slutna moduler", Publicationes Mathematicae Debrecen , 6 : 311–327, ISSN 0033-3883 , MR 0121390
•   Smith, PF (1981), "Injective modules and prime ideals", Communications in Algebra , 9 (9): 989–999, doi : 10.1080/00927878108822627 , MR 0614468
•    Utumi, Yuzo (1956), "On quotient rings", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN 0030-6126 , MR 0078966
•   Vámos, P. (1983), "Ideals and modules testing injectivity", Communications in Algebra , 11 (22): 2495–2505, doi : 10.1080/00927878308822975 , MR 0733337