Gerbe

I matematik är en gerbe ( / dʒ ɜːr b / ; franska: [ʒɛʁb] ) en konstruktion inom homologisk algebra och topologi . Gerbes introducerades av Jean Giraud ( Giraud 1971 ) efter idéer om Alexandre Grothendieck som ett verktyg för icke-kommutativ kohomologi i grad 2. De kan ses som en analog till fiberknippen där fibern är den klassificerande stapeln i en grupp. Gerbes tillhandahåller ett bekvämt, om än mycket abstrakt, språk för att hantera många typer av deformationsfrågor , särskilt i modern algebraisk geometri . Dessutom har speciella fall av gerber använts på senare tid i differentiell topologi och differentialgeometri för att ge alternativa beskrivningar till vissa kohomologiklasser och ytterligare strukturer kopplade till dem.

" är ett franskt (och ålderdomligt engelskt) ord som bokstavligen betyder vetekärve .

Definitioner

Gerbes på ett topologiskt utrymme

En gerbe på ett topologiskt utrymme $S$ är en stack ${\mathcal {X}}$ av groupoider över $S$ som är lokalt icke-tom ( varje punkt ${\ displaystyle p\in S}$ har en öppen stadsdel $U_{p}$ över vilken sektionskategorin ${\mathcal {X}}(U_{p})$ i gerben är inte tom) och transitiv (för vilka två objekt som helst $a$ och $b$ av ${\mathcal {X}}(U)$ för alla öppna uppsättningar ${\ displaystyle U}$ , det finns en öppen täckning ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ av $U$ så att begränsningarna för $a$ och $b$ till varje $U_{i}$ är sammankopplade med minst en morfism).

Ett kanoniskt exempel är gerben $BH$ för huvudbuntar med en fast strukturgrupp $H$ : sektionskategorin över en öppen uppsättning $U$ är kategorin för principal $H$ -buntar på $U$ med isomorfism som morfismer (således är kategorin en groupoid). Eftersom huvudbuntar limmas ihop (tillfredsställer nedstigningsvillkoret), bildar dessa gruppoider en stapel. Den triviala bunten $X\ gånger H\till X$ visar att det lokala icke-tomhetsvillkoret är uppfyllt, och slutligen eftersom huvudbuntarna är lokalt triviala, blir de isomorfa när de begränsas till tillräckligt små öppna uppsättningar; sålunda är även transitivitetsvillkoret uppfyllt.

Gerbes på en sajt

Den mest allmänna definitionen av gerber definieras över en webbplats . Med tanke på en webbplats ${\mathcal {C}}$ en ${\mathcal {C}}$ -gerbe $G$ är en kategori som består av gruppoider $G\ till {\mathcal {C}}$ så att

Det finns en förfining ${\mathcal {C}}'$ av ${\mathcal {C}}$ så att för varje objekt $S\in { \text{Ob}}({\mathcal {C}}')$ den associerade fiberkategorin $G_{S}$ är inte tom
För varje $S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})$ är två objekt i fiberkategorin $G_{S}$ lokalt isomorf

Observera att för en webbplats ${\mathcal {C}}$ med ett slutobjekt ${\displaystyle e} ,$ en kategori som består av gruppoider $G\to {\mathcal {C}}$ är en ${\mathcal {C}}$ -gerbe medger en lokal sektion, vilket betyder uppfyller det första axiomet, om ${\text{Ob}}(G_{e} )\neq \varnothing$ .

Motivation för gerbes på en webbplats

En av huvudmotivationerna för att överväga gerber på en webbplats är att överväga följande naiva fråga: om Cech-kohomologigruppen $H^{1}({\mathcal {U}},G)$ för en lämplig täckning ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ av ett mellanslag $X$ ger isomorfismklasserna för principal $G$ -buntar över $X$ , vad betyder den itererade kohomologin $H^{1}( -,H^{1}(-,G))$ representerar? Det betyder att vi limmar ihop grupperna $H^{1}(U_{i},G)$ via någon samcykel. Gerber är ett tekniskt svar på denna fråga: de ger geometriska representationer av element i den högre kohomologigruppen $H^{2}({\mathcal {U}},G)$ . Det förväntas att denna intuition ska hålla för högre gerber.

Kohomologisk klassificering

En av huvudsatserna om gerber är deras kohomologiska klassificering närhelst de har automorfismgrupper som ges av en fast bunt av abelska grupper ${\displaystyle {\underline {L}}} ,$ kallat ett band. För en gerbe ${\mathcal {X}}$ på en webbplats ${\mathcal {C}}$ , ett objekt $U\in {\text{Ob }}({\mathcal {C}})$ , och ett objekt $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}}(U))$ , automorfismgruppen för en gerbe definieras som automorfismgruppen $L={\underline {\text{Aut}}}_{{\mathcal {X}} (U)}(x)$ . Observera att detta är väl definierat när automorfismgruppen alltid är densamma. Givet ett täckande ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\to X\}_{i\in I}} finns det$ en tillhörande klass

$c({\underline {L}})\in H^{3}(X,{\underline {L}})$

representerar isomorfismklassen för gerben ${\mathcal {X}}$ bandad av $L$ . Till exempel, inom topologi, kan många exempel på gerber konstrueras genom att betrakta gerber bandade av gruppen $U(1)$ . Som klassificeringsutrymmet $är {\displaystyle B(U(1))=K(\mathbb {Z} ,2)}$ det andra Eilenberg-Maclane- utrymmet för heltalen , en bunt gerbe bandad av $U(1)$ på ett topologiskt utrymme $X$ är konstruerad från en homotopiklass av kartor i

$[X,B^{2}(U(1))]=[X,K(\mathbb { Z} ,3)]$

vilket är exakt den tredje singularhomologigruppen $H^{3}(X,\mathbb {Z} )$ . Det har visat sig att alla gerber som representerar torsionskohomologiklasser i $H^{3}(X,\mathbb {Z} )$ representeras av ett knippe av finita dimensionella algebror ${\text{End}}(V)$ för ett fast komplext vektorrum $V$ . Dessutom representeras icke-torsionsklasserna som oändligt dimensionella huvudbuntar $PU({\mathcal {H}})$ den projektiva gruppen av enhetliga operatorer på ett fast oändligt dimensionellt separerbart Hilbert-rum ${\mathcal {H}}$ . Observera att detta är väldefinierat eftersom alla separerbara Hilbert-utrymmen är isomorfa till rymden av kvadratsammanställbara sekvenser $\ell ^{2}$ . Den homotopi-teoretiska tolkningen av gerbes kommer från att titta på homotopifiberkvadret

${\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &B^{2}U(1)\end{matris}}$

analogt med hur en linjebunt kommer från homotopifiberkvadret

${\begin{matrix}L&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &BU(1)\end{matris }}$

där $BU(1)\simeq K(\mathbb {Z} ,2)$ , vilket ger $H^{2} (S,\mathbb {Z} )$ som gruppen av isomorfismklasser av linjebuntar på $S$ .

Exempel

C*-algebror

Det finns naturliga exempel på Gerbes som uppstår genom att studera algebra av kompakt stödda komplexa värderade funktioner på ett parakompakt utrymme $X$ ^{pg 3} . Givet ett omslag ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}$ av $X$ finns Cech-gruppen definierad som

${\mathcal {G}}=\left\{\coprod _{i,j}U_{ij}\rightarrows \coprod U_{i} \höger\}$

med käll- och målkartor givna av inneslutningarna

${\begin{aligned}s:U_{ij}\hookrightarrow U_{j}\\t:U_{ij}\hookrightarrow U_{i }\end{aligned}}$

och utrymmet för komponerbara pilar är bara

$\coprod _{i,j,k}U_{ijk}$

Då är en grad 2 kohomologiklass $\sigma \in H^{2}(X;U(1))$ bara en karta

$\sigma :\coprod U_{ijk}\to U(1)$

Vi kan sedan bilda en icke-kommutativ C*-algebra $C_{c}({\mathcal {G}}(\sigma ))$ som är associerad med den uppsättning kompakta stöds komplexa värderade funktioner i rummet

${\mathcal {G}}_{1}=\coprod _{i,j}U_{ij}$

Den har en icke-kommutativ produkt som ges av

$a*b(x,i ,k):=\summa _{j}a(x,i,j)b(x,j,k)\sigma (x,i,j,k)$

där kohomologiklassen $\sigma$ vrider multiplikationen av standardprodukten $C^{*}$ -algebra.

Algebraisk geometri

Låt $M$ vara en variation över ett algebraiskt stängt fält $k$ , $G$ en algebraisk grupp , till exempel $\mathbb {G} _{m}$ . Kom ihåg att en G -torsor över $M$ är ett algebraiskt mellanrum $P$ med åtgärden $G$ och en karta $\pi :P\to M$ , så att lokalt på $M$ (i étale topology eller fppf topology ) är $\pi$ en direkt produkt $\pi |_{U}:G\times U\to U$ . En G -gerbe över M kan definieras på liknande sätt. Det är en Artin-stack ${\mathcal {M}}$ med en karta ${\displaystyle \pi \colon {\mathcal {M}}\to M} ,$ så att lokalt på M ( i étale eller fppf topologi) $\pi$ är en direkt produkt $\pi |_{U}\colon \mathrm {B} G\times U\to U$ . Här betecknar $BG$ klassificeringsstacken av $G$ , dvs en kvot $[*/G]$ av en punkt med en trivial $G$ - handling. Det finns inget behov av att påtvinga kompatibiliteten med koncernstrukturen i så fall eftersom den omfattas av definitionen av en stack. De underliggande topologiska utrymmena för ${\mathcal {M}}$ och $M$ är desamma, men i ${\mathcal {M}}$ är varje punkt utrustad med en stabilisatorgrupp isomorf till $G$ .

Från tvåtidskomplex av sammanhängande skivor

Varje tvåtermskomplex av sammanhängande skivor

${\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {E}}^{-1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E }}^{0}]$

på ett schema $X\in {\text{Sch}}$ har en kanonisk bunt av groupoids associerad till sig, där det på en öppen delmängd $U\subseteq X$ finns en två -termkomplex av $X(U)$ -moduler

${\mathcal {E}}^{-1}(U)\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}(U)$

ger en groupoid. Den har objekt som ges av elementen $x\in {\mathcal {E}}^{0}(U)$ och en morfism $x\to x'$ är ges av ett element $y\in {\mathcal {E}}^{-1}(U)$ så att

$dy+x=x'$

För att denna stack ska vara en gerbe måste kohomologikärven ${\mathcal {H}}^{0}({\mathcal {E}})$ alltid ha en sektion. Denna hypotes antyder att kategorin som konstruerats ovan alltid har objekt. Observera att detta kan appliceras på situationen med komoduler över Hopf-algebroider för att konstruera algebraiska modeller av gerber över affina eller projektiva stackar (projektivitet om en graderad Hopf-algebroid används). Dessutom tvåtermsspektra från stabiliseringen av den härledda kategorin av komoduler av Hopf-algebroider $(A,\Gamma )$ med $\Gamma$ platt över $A$ ge ytterligare modeller av gerber som inte är strikta .

Modulstapel av stabila buntar på en kurva

Betrakta en jämn projektiv kurva $C$ över $k$ av släktet $g>1$ . Låt ${\mathcal {M}}_{r,d}^{s}$ vara modulstapeln av stabila vektorbuntar på $C$ av rang $r$ och grad $d$ . Den har ett grovt modulrum ${\displaystyle M_{r,d}^{s}} ,$ vilket är en kvasiprojektiv variant . Dessa två modulproblem parametriserar samma objekt, men den staplade versionen minns automorfismer av vektorbuntar. För varje stabil vektorbunt ${\displaystyle E} består$ automorfismgruppen $Aut(E)$ endast av skalära multiplikationer, så varje punkt i en modulstapel har en stabilisator som är isomorf till ${\ displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ . Det visar sig att kartan ${\mathcal {M}}_{r,d}^{s}\to M_{r,d}^{s}$ är verkligen en $\mathbb {G} _{m}$ -gerbe i meningen ovan. Det är en trivial gerbe om och bara om $r$ och $d$ är coprime .

Rotstaplar

En annan klass av gerber kan hittas med konstruktionen av rotstaplar. Informellt är den $r$ -:te rotstacken av en radbunt $L\to S$ över ett schema ett mellanslag som representerar den ${\displaystyle r} -:$ e roten av $L$ och betecknas

${\sqrt[{r}]{L/S}}.\,$ ^{sid 52}

Den $r$ -te rotstacken av $L$ har egenskapen

$\bigotimes ^{r}{\sqrt[{r}]{L/S}}\cong L$

som gerbes. Den är konstruerad som stapeln

${\sqrt[{r}]{L/S}}:(\operatörsnamn {Sch} /S)^{op}\to \operatörsnamn {Grpd}$

skicka ett $S$ -schema $T\to S$ till kategorin vars objekt är linjebuntar av formuläret

$\left\{(M\to T,\alpha _{M}):\alpha _{M} :M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\right\}$

och morfismer är kommutativa diagram som är kompatibla med isomorfismerna $\alpha _{M}$ . Denna gerbe är bandad av den algebraiska gruppen av enhetsrötter $\mu _{r}$ , där den på ett omslag $T\to S$ verkar på en punkt $(M\to T,\alpha _{M})$ genom att cykliskt permutera faktorerna för $M$ i $M^{\otimes r}$ . Geometriskt är dessa staplar utformade som fiberprodukten av staplar

${\begin{matrix}X\times _{B\mathbb {G} _{m}}B\mathbb {G} _{m}&\to &B\mathbb {G} _{m}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &B\mathbb {G} _{m}\end{matrix}}$

där den vertikala kartan av $B\mathbb {G} _{m}\to B\mathbb {G} _{m}$ kommer från Kummer-sekvensen

$1\xrightarrow {} \mu _{r}\xrightarrow {} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {(\cdot ) ^{r}} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {} 1$

Detta beror på att $B\mathbb {G} _{m}$ är modulutrymmet för linjebuntar, så linjebunten $L\to S$ motsvarar ett objekt i kategorin $B\mathbb {G} _{m}(S)$ (betraktas som en punkt i modulutrymmet).

Rotstaplar med sektioner

Det finns en annan relaterad konstruktion av rotstaplar med sektioner. Givet data ovan, låt $s:S\to L$ vara ett avsnitt. Sedan definieras den $r$ -te rotstacken av paret ${\displaystyle (L\to S,s)} som den slappa 2-funktion$

${\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}:(\operatörsnamn {Sch} /S) ^{op}\to \operatörsnamn {Grpd}$

skicka ett $S$ -schema $T\to S$ till kategorin vars objekt radar buntar av formuläret

$\left\{( M\to T,\alpha _{M},t):{\begin{aligned}&\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T \\&t\i \Gamma (T,M)\\&\alpha _{M}(t^{\otimes r})=s\end{aligned}}\right\}$

och morfismer ges på liknande sätt. Dessa stackar kan konstrueras mycket explicit och är väl kända för affina scheman. Faktum är att dessa bildar de affina modellerna för rotstackar med sektioner. Givet ett affint schema $S={\text{Spec}}(A)$ är alla radbuntar triviala, därför $L\cong {\mathcal {O} }_{S}$ och alla avsnitt $s$ motsvarar att ta ett element $s\in A$ . Sedan ges stacken av stapelkvoten

${\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}=[{\text{Spec}}(B )/\mu _{r}]$

med

$B={\frac {A[x]}{x^{r}-s}}$

Om $s=0$ ger detta en oändlig förlängning av $[{\text{Spec}}(A)/\mu _{r}]$ .

Exempel genom algebraisk geometri

Dessa och mer allmänna typer av gerber uppstår i flera sammanhang som både geometriska rum och som formella bokföringsverktyg:

Azumaya algebror
Deformationer av oändliga förtjockningar
Vridna former av projektiva varianter
Fiberfunktioner för motiv

Differentialgeometri

$H^{3}(X,\mathbb {Z} )$ och ${\mathcal {O}}_{X}^{*}$ -gerbes : Jean-Luc Brylinskis tillvägagångssätt

Historia

Gerbes dök först upp i samband med algebraisk geometri . De utvecklades därefter i ett mer traditionellt geometriskt ramverk av Brylinski ( Brylinski 1993) . Man kan tänka sig gerber som ett naturligt steg i en hierarki av matematiska objekt som ger geometriska realiseringar av integrerade kohomologiklasser .

En mer specialiserad uppfattning om gerbe introducerades av Murray och kallades buntgerbes . I grund och botten är de en smidig version av abelska gerber som mer tillhör hierarkin som börjar med huvudbuntar än kärvar. Bundle gerber har använts i gauge teori och även strängteori . Aktuellt arbete av andra är att utveckla en teori om icke-abelska buntgerbes.