Överkategori

Inom matematik, specifikt kategoriteori , är en överkategori (och underkategori) en framstående klass av kategorier som används i flera sammanhang, till exempel med täckande utrymmen (espace etale) . De introducerades som en mekanism för att hålla reda på data kring ett fast objekt $X$ i någon kategori ${\mathcal {C}}$ . Det finns en dubbel uppfattning om underkategori, som definieras på liknande sätt.

Definition

Låt ${\mathcal {C}}$ vara en kategori och $X$ ett fast objekt av ${\mathcal {C}}$ ^{pg 59} . Överkategorin (även kallad segmentkategori ) ${\mathcal {C}}/X$ är en associerad kategori vars objekt är par ${\displaystyle (A,\pi )$ } där $\pi :A\to X$ är en morfism i ${\mathcal {C}}$ . Sedan ges en morfism mellan objekt $f:(A,\pi )\to (A',\pi ')$ av en morfism $f:A\to A'$ i kategorin ${\mathcal {C}}$ så att följande diagram pendlar

${\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &A'\\\pi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}& {\text{ }}\downarrow \pi '\\X&=&X\end{matris}}$

Det finns en dubbel begrepp som kallas underkategorin (även kallad en coslice-kategori) $X/{\mathcal {C}}$ vars objekt är par $(B,\psi )$ där $\psi :X\to B$ är en morfism i ${\mathcal {C}}$ . Sedan ges morfismer i $X/{\mathcal {C}}$ av morfismer $g:B\to B'$ i ${\mathcal { C}}$ så att följande diagram pendlar

${\begin{matrix}X&=&X\\\psi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ } }\downarrow \psi '\\B&\xrightarrow {g} &B'\end{matris}}$

Dessa två begrepp har generaliseringar i 2-kategoriteori och högre kategoriteori ^{pg 43} , med definitioner antingen analoga eller väsentligen desamma.

Egenskaper

Många kategoriska egenskaper hos ${\mathcal {C}}$ ärvs av de associerade över- och underkategorierna för ett objekt $X$ . Till exempel, om ${\mathcal {C}}$ har ändliga produkter och samprodukter , är det omedelbart kategorierna ${\mathcal {C}}/X$ och $X/{\mathcal {C}}$ har dessa egenskaper eftersom produkten och samprodukten kan konstrueras i ${\displaystyle {\mathcal {C}}} ,$ och genom universella egenskaper finns det en unik morfism antingen till ${\ displaystyle X}$ eller från $X$ . Dessutom gäller detta för limits och colimits också.

Exempel

Överkategorier på en webbplats

Kom ihåg att en webbplats ${\mathcal {C}}$ är en kategorisk generalisering av ett topologiskt utrymme som först introducerades av Grothendieck . Ett av de kanoniska exemplen kommer direkt från topologi, där kategorin ${\text{Open}}(X)$ vars objekt är öppna delmängder $U$ av något topologiskt utrymme $X$ , och morfismerna ges av inklusionskartor. Sedan, för en fast öppen delmängd $U$ , är överkategorin ${\text{Open}}(X)/U$ kanoniskt ekvivalent med kategorin ${\ displaystyle {\text{Open}}(U)}$ för den inducerade topologin på $U\subseteq X$ . Detta beror på att varje objekt i ${\text{Open}}}(X)/U$ är en öppen delmängd $V$ som finns i $U$ .

Kategori av algebror som en underkategori

Kategorin av kommutativ $A$ - algebras motsvarar underkategorin $A/{\text{CRing}}$ för kategorin kommutativa ringar. Detta beror på att strukturen för en $A$ -algebra på en kommutativ ring $B$ är direkt kodad av en ringmorfism $A\to B$ . Om vi ​​betraktar den motsatta kategorin är det en överkategori av affina scheman, ${\displaystyle {\text{Aff}}/{\text{Spec}}(A)} ,$ eller bara ${\ displaystyle {\text{Aff}}_{A}}$ .

Överkategorier av utrymmen

En annan vanlig överkategori som tas upp i litteraturen är överkategorier av utrymmen, såsom scheman, jämna grenrör eller topologiska utrymmen. Dessa kategorier kodar objekt i förhållande till ett fast objekt, till exempel kategorin av scheman över $S$ , ${\text{Sch}}/S$ . Fiberprodukter i dessa kategorier kan betraktas som korsningar, eftersom objekten är underobjekt till det fasta objektet.

Se även

• Kommakategori