Hilberts syzygyteorem

I matematik är Hilberts syzygyteorem en av de tre grundläggande satserna om polynomringar över fält , först bevisade av David Hilbert 1890, som introducerades för att lösa viktiga öppna frågor inom invariant teori och ligger till grund för modern algebraisk geometri . De två andra satserna är Hilberts grundsats som hävdar att alla ideal för polynomringar över ett fält genereras ändligt, och Hilberts Nullstellensatz , som etablerar en bijektiv överensstämmelse mellan affina algebraiska varianter och prime ideal för polynomringar.

Hilberts syzygyteorem handlar om relationerna , eller syzygierna i Hilberts terminologi, mellan generatorerna av ett ideal , eller mer allmänt, en modul . Eftersom relationerna bildar en modul kan man betrakta relationerna mellan relationerna; satsen hävdar att, om man fortsätter på detta sätt, börjar med en modul över en polynomring i $n$ obestämda över ett fält, så finner man till slut en nollmodul av relationer, efter högst $n$ steg.

Hilberts syzygyteorem anses nu vara ett tidigt resultat av homologisk algebra . Det är utgångspunkten för användningen av homologiska metoder i kommutativ algebra och algebraisk geometri.

Historia

Syzygyteoremet dök upp först i Hilberts nyskapande artikel "Über die Theorie der algebraischen Formen" (1890). Uppsatsen är uppdelad i fem delar: del I bevisar Hilberts grundsats över ett fält, medan del II bevisar det över heltalen. Del III innehåller syzygisatsen (sats III), som används i del IV för att diskutera Hilbertpolynomet. Den sista delen, del V, bevisar ändlig generering av vissa ringar av invarianter . Del III innehåller för övrigt också ett specialfall av Hilbert–Burch-satsen .

Syzygier (relationer)

Ursprungligen definierade Hilbert syzygier för ideal i polynomringar , men konceptet generaliserar trivialt till (vänster) moduler över vilken ring som helst .

Givet en genereringsmängd $g_{1},\ldots ,g_{k}$ av en modul $M$ över en ring $R$ , är en relation eller första syzygy mellan generatorerna en $k$ -tupel $(a_{1},\ldots ,a_{k})$ av element i $R$ så att

a_{1}g_{1}+\cdots +a_{k}g_{k}=0.

Låt $L_{0}$ vara en fri modul med bas $\displaystyle (G_{1},\ldots ,G_{k}).}$ { $K$ - tuppeln $(a_{1},\ldots ,a_{k})$ kan identifieras med elementet

a_{1}G_{1}+\cdots +a_{k}G_{k},

och relationerna bildar kärnan $R_{1}$ av den linjära kartan $L_{0}\to M$ definierad av $G_{i}\mapsto g_{i}.$ Med andra ord har man en exakt sekvens

0\to R_{1}\to L_{0}\to M\to 0.

Denna första syzygy-modul $R_{1}$ beror på valet av en generatoruppsättning, men om $S_{1}$ är den modul som erhålls med en annan generatorset, finns det två fria moduler $F_{1}$ och $F_{2}$ så att

R_{1}\oplus F_{1}\cong S_{1}\oplus F_{2}

där $\oplus$ anger den direkta summan av moduler .

Den andra syzygymodulen är modulen för relationerna mellan generatorer av den första syzygymodulen. Genom att fortsätta på detta sätt kan man definiera den $k:$ te syzygymodulen för varje positivt heltal $k$ .

Om den $k:$ te syzygymodulen är ledig för en del $k$ , så är nästa syzygymodul (och varje efterföljande) nollmodulen genom att ta en bas som en genereringsuppsättning . Om man inte tar en bas som en generator, är alla efterföljande syzygy-moduler gratis.

Låt $n$ vara det minsta heltal, om något, så att den $n$ :te syzygymodulen i en modul $M$ är ledig eller projektiv . Ovanstående invariansegenskap, upp till summan direkt med fria moduler, innebär att $n$ inte beror på valet av genereringsmängder. Den projektiva dimensionen av $M$ är detta heltal, om det finns, eller $\infty$ om inte. Detta är likvärdigt med förekomsten av en exakt sekvens

0\longrightarrow R_{n}\longrightarrow L_{n-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0 ,

där modulerna $L_{i}$ är fria och $R_{n}$ är projektiv. Det kan visas att man alltid kan välja att genereringsmängderna för $R_{n}$ är fri, det vill säga att ovanstående exakta sekvens ska vara en fri upplösning .

Påstående

Hilberts syzygyteorem säger att om $M$ är en ändligt genererad modul över en polynomring $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ i $n$ är obestämd över ett fält $k$ , då är den $n:$ te syzygymodulen i $M$ alltid en ledig modul .

I modernt språk innebär detta att den projektiva dimensionen av $M$ är högst $n$ , och att det således finns en fri upplösning

0\longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0

av längden $k \leq n$ .

Denna övre gräns för den projektiva dimensionen är skarp, det vill säga det finns moduler med projektiv dimension exakt $n$ . Standardexemplet är fältet $k$ , som kan betraktas som en $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ -modul genom att sätta $x_{i}c=0$ för varje $i$ och varje $c \in k$ . För denna modul är den $n$ :e syzygymodulen gratis, men inte den $(n - 1)$ den (för ett bevis, se § Koszul-komplexet nedan).

Teoremet gäller även för moduler som inte är ändligt genererade. Eftersom den globala dimensionen av en ring är det högsta av de projektiva dimensionerna för alla moduler, kan Hilberts syzygyteorem återställas som: den globala dimensionen av $k[x_{1}, \ldots ,x_{n}]$ är $n$ .

Låg dimension

I fallet med noll obestämda är Hilberts syzygyteorem helt enkelt det faktum att varje vektorrum har en bas .

I fallet med en enda obestämd, är Hilberts syzygy-sats ett exempel på satsen som hävdar att över en principiell idealring är varje submodul av en fri modul i sig själv fri.

Koszul komplex

Koszul -komplexet , även kallat "komplex av yttre algebra", tillåter i vissa fall en explicit beskrivning av alla syzygy-moduler.

Låt $g_{1},\ldots ,g_{k}$ vara ett genereringssystem för ett ideal $I$ i en polynomring ${\ displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ , och låt $L_{1}$ vara en fri modul av basen $G_{1},\ldots ,G_{k}.$ Den yttre algebra för $L_{1}$ är den direkta summan

\Lambda (L_{1})=\bigoplus _{t=0}^{k}L_{t},

där ${\displaystyle L_{t}} är den fria modulen, som har$ exteriörprodukterna som bas

G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}},

så att $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{t}.$ I synnerhet har man $L_{0}=R$ (på grund av definitionen av den tomma produkten ) , de två definitionerna av $L_{1}$ sammanfaller, och $L_{t}=0$ för $t > k$ . För varje positivt $t$ kan man definiera en linjär karta $L_{t}\to L_{t-1}$ med

G_{i_{1 }}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}}\mapsto \sum _{j=1}^{t}(-1)^{j+1}g_{i_{j}}G_{i_{ 1}}\wedge \cdots \wedge {\widehat {G}}_{i_{j}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}},

där hatten betyder att faktorn utelämnas. En enkel beräkning visar att sammansättningen av två på varandra följande sådana kartor är noll, och att den ena har ett komplex

0\to L_{t}\to L_{t-1}\to \cdots \to L_{1}\to L_{0}\to R/I.

Detta är Koszul-komplexet . I allmänhet är Koszul-komplexet inte en exakt sekvens , men det är en exakt sekvens om man arbetar med en polynomring $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ och ett ideal som genereras av en regelbunden sekvens av homogena polynom .

I synnerhet är sekvensen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ regelbunden, och Koszul-komplexet är således en projektiv upplösning av $k=R/\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle .$ I detta fall är den $n$ :e syzygymodulen fri från dimension ett (genererad av produkten av alla ${\ displaystyle G_{i}}$ ); den $(n - 1):$ e syzygymodulen är alltså kvoten av en fri modul med dimensionen $n$ av submodulen genererad av $(x_{1},-x_{2},\ldots ,\pm x_{n}).$ Denna kvot kanske inte är en projektiv modul , eftersom det annars skulle finnas polynom $p_{ i}$ så att $p_{1}x_{1}+\cdots +p_{n}x_{n}=1,$ vilket är omöjligt ( att ersätta ${\displaystyle x_{i}} med 0$ i den senare likheten ger $1 = 0$ ). Detta bevisar att den projektiva dimensionen av $k=R/\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle$ är exakt $n$ .

Samma bevis gäller för att bevisa att den projektiva dimensionen av $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/ \langle g_{1},\ldots ,g_{t}\rangle$ är exakt $t$ om $g_{i}$ bildar en regelbunden sekvens av homogena polynom.

Beräkning

På Hilberts tid fanns det ingen metod tillgänglig för att beräkna syzygier. Det var bara känt att en algoritm kan härledas från vilken övre gräns som helst av graden av generatorerna i modulen av syzygier. Faktum är att koefficienterna för syzygierna är okända polynom. Om graden av dessa polynom är begränsad, är antalet av deras monomer också begränsat. Att uttrycka att man har en syzygy ger ett system av linjära ekvationer vars okända är koefficienterna för dessa monomialer. Därför innebär vilken algoritm som helst för linjära system en algoritm för syzygier, så snart en gräns för graderna är känd.

Den första gränsen för syzygies (liksom för idealisk medlemskap problem ) gavs 1926 av Grete Hermann : Låt $M$ en submodul av en fri modul $k[x_{1},\ldots ,x_{n}];$ $av$ dimensionen $t$ över om koefficienterna över en bas av $L$ i ett genererande system av $M$ har en total grad som högst $d$ , så finns det en konstant $c$ så att graderna $(td)^{2^{cn}}.$ den första syzygymodulen är som Samma gräns gäller för att testa medlemskapet till $M$ av ett element av $L$ .

Å andra sidan finns det exempel där en dubbel exponentiell grad nödvändigtvis förekommer. Sådana exempel är dock extremt sällsynta, och detta ställer frågan om en algoritm som är effektiv när utmatningen inte är för stor. För närvarande är de bästa algoritmerna för att beräkna syzygier Gröbner-baserade algoritmer. De tillåter beräkning av den första syzygy-modulen, och även, nästan utan extra kostnad, alla syzygy-moduler.

Syzygier och regelbundenhet

Man kan undra vilken ringteoretisk egenskap hos $A=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ som gör att Hilberts syzygy-sats håller. Det visar sig att detta är regularitet , vilket är en algebraisk formulering av det faktum att affint $n$ -rum är en varietet utan singulariteter . I själva verket gäller följande generalisering: Låt $A$ vara en Noetherian ring. Då $A$ finit global dimension om och bara om $A$ är regelbunden och Krull-dimensionen för $A$ är finit; i så fall är den globala dimensionen av $A$ lika med Krull-dimensionen. Detta resultat kan bevisas med Serres sats på vanliga lokala ringar .

Se även

David Eisenbud , kommutativ algebra. Med sikte på algebraisk geometri . Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 s. ISBN 0-387-94268-8 ; ISBN 0-387-94269-6 MR 1322960
"Hilbert theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]