Grothendieck förbindelse

I algebraisk geometri och syntetisk differentialgeometri är en Grothendieck-anslutning ett sätt att se kopplingar i termer av nedstigningsdata från infinitesimala kvarter i diagonalen.

Introduktion och motivation

Grothendieck-kopplingen är en generalisering av Gauss-Manin-kopplingen konstruerad på ett sätt som är analogt med det där Ehresmann-kopplingen generaliserar Koszul-kopplingen . Själva konstruktionen måste uppfylla ett krav på geometrisk invarians , vilket kan betraktas som analogen av kovarians för en bredare klass av strukturer inklusive scheman för algebraisk geometri. Således måste sambandet i en viss mening leva i en naturlig kärve på en Grothendieck-topologi . I det här avsnittet diskuterar vi hur man kan beskriva en Ehresmann-koppling i kärveteoretiska termer som en Grothendieck-koppling.

Låt $M$ vara ett grenrör och $\pi :E\to M$ en surjektiv nedsänkning , så att $E$ är ett grenrör fibret över $M.$ Låt $J^{1}(M,E)$ vara den första ordningens jetbunt av sektioner av $E.$ Detta kan betraktas som en bunt över $M$ eller en bunt över det totala utrymmet av $E.$ Med den senare tolkningen är en Ehresmann-koppling en sektion av bunten (över $E$ ) $J^{1}(M,E)\to E.$ Problemet är alltså att få en inneboende beskrivning av bunten av sektioner av denna vektorbunt.

Grothendiecks lösning är att betrakta den diagonala inbäddningen $\Delta :M\to M\times M.$ Bärven $I$ av idealen för $\Delta$ i $M\times M$ består av funktioner på $M\times M$ som försvinner längs diagonalen. Mycket av den infinitesimala geometrin hos $M$ kan realiseras i termer av $I.$ Till exempel, $\Delta ^{*}\left(I,I^{2}\right)$ är bunten av sektioner av cotangensbunten . Man kan definiera en första ordningens infinitesimal grannskap $M^{(2)}$ av $\Delta$ i $M\times M$ för att vara det delschema som motsvarar idealkärven $I^{2}.$ (Se nedan för en koordinatbeskrivning.)

Det finns ett par projektioner $p_{1},p_{2}:M\times M\to M$ givna genom projektion de respektive faktorerna för den kartesiska produkten, som begränsa för att ge projektioner $p_{1},p_{2}:M^{(2)}\to M.$ Man kan nu bilda tillbakadragningen av fiberutrymmet $E$ längs den ena eller den andra av ${ \displaystyle p_{1}}$ eller $p_{2}.$ I allmänhet finns det inget kanoniskt sätt att identifiera $p_{1}^{*}E$ och $p_{2}^{ *}E$ med varandra. En Grothendieck-koppling är en specificerad isomorfism mellan dessa två utrymmen. Man kan fortsätta att definiera krökning och p-krökning för en förbindelse på samma språk.

Se även

• Anslutning (matematik) – Funktion som berättar hur en viss variabel förändras när den rör sig längs vissa punkter i rymden

1. Osserman, B., "Connections, curvature, and p-curvature", förtryck .
2. Katz, N., "Nilpotent connections and the monodromy theorem", IHES Publ. Matematik. 39 (1970) 175-232.