Högstrukturerat ringspektrum
I matematik är ett mycket strukturerat ringspektrum eller -ring ett objekt i homotopi teori som kodar en förfining av en multiplikativ struktur på en kohomologiteori . En kommutativ version av en -ring kallas en -ring. Även om de ursprungligen motiverades av frågor om geometrisk topologi och buntteori , används de idag oftast inom stabil homotopi-teori .
Bakgrund
Högstrukturerade ringspektra har bättre formella egenskaper än multiplikativa kohomologiteorier – en punkt som används till exempel vid konstruktionen av topologiska modulära former , och som har tillåtit även nya konstruktioner av mer klassiska objekt som Morava K-teori . Förutom deras formella egenskaper -strukturer också viktiga i beräkningar, eftersom de tillåter operationer i den underliggande kohomologiteorin, analogt med (och generaliserande) de välkända Steenrod-operationerna inom vanlig kohomologi . Eftersom inte varje kohomologiteori tillåter sådana operationer, kanske inte varje multiplikativ struktur förfinas till en -struktur och även i fall där detta är möjligt kan det vara en formidabel uppgift att bevisa det.
Den grova idén med högstrukturerade ringspektra är följande: Om multiplikation i en kohomologiteori (analog med multiplikationen i singular kohomologi, framkallande av koppprodukten) uppfyller associativitet (och kommutativitet) endast upp till homotopi, är detta för slappt för många konstruktioner (t.ex. för limits och colimits i betydelsen kategoriteori). Å andra sidan, att kräva strikt associativitet (eller kommutativitet) på ett naivt sätt är för restriktivt för många av de eftersökta exemplen. En grundtanke är att relationerna bara behöver hålla för homotopi, men dessa homotopier bör återigen uppfylla vissa homotopiförhållanden, vars homotopier återigen uppfyller ytterligare homotopivillkor; och så vidare. Det klassiska tillvägagångssättet organiserar denna struktur via operads , medan Jacob Luries senaste tillvägagångssätt hanterar det med -operads i -kategorier. De mest använda metoderna idag använder språket i modellkategorier . [ citat behövs ]
Alla dessa tillvägagångssätt är beroende av att noggrant bygga en underliggande kategori av spektra .
Tillvägagångssätt för definitionen
Operad
Teorin om operader motiveras av studiet av looprum . Ett looprum ΩX har en multiplikation
genom sammansättning av slingor. Här snabbas de två slingorna upp med en faktor 2 och den första tar intervallet [0,1/2] och den andra [1/2,1]. Denna produkt är inte associativ eftersom skalningarna inte är kompatibla, men den är associativ upp till homotopi och homotopierna är koherenta upp till högre homotopier och så vidare. Denna situation kan göras exakt genom att säga att ΩX är en algebra över det lilla intervallet operad . Detta är ett exempel på en -operad, dvs en operad av topologiska rum som är homotopi ekvivalent med den associativa operad men som har lämplig "frihet" för att tillåta saker att bara hålla upp till homotopi (kortfattat: varje kofibrantersättning av den associativa operad). Ett -ringspektrum kan nu föreställas som en algebra över en -opererad i en lämplig kategori av spektra och lämpliga kompatibilitetsförhållanden (se maj 1977).
För definitionen av -ringspektra fungerar i huvudsak samma tillvägagångssätt, där man ersätter -opererad med en -operad, dvs en operad av sammandragbara topologiska rum med analoga "freeness"-villkor. Ett exempel på en sådan operad kan återigen motiveras av studiet av slingutrymmen. Produkten av dubbelslingutrymmet är redan kommutativ upp till homotopi, men denna homotopi uppfyller inga högre villkor. För att få full koherens av högre homotopier måste man anta att utrymmet är (motsvarande) ett n -faldigt looputrymme för alla n . Detta leder till in -kubopererad av oändligt dimensionella kuber i oändligt dimensionellt utrymme, vilket är ett exempel på en -operad.
Ovanstående tillvägagångssätt var pionjärer av J. Peter May . Tillsammans med Elmendorf, Kriz och Mandell utvecklade han på 90-talet en variant av sin äldre definition av spektra, så kallade S-moduler (se Elmendorf et al., 2007). S-moduler har en modellstruktur , vars homotopikategori är den stabila homotopikategorin . I S-moduler är kategorin moduler över en -operad och kategorin monoider Quillen - ekvivalenta och likaså kategorin moduler över en -operad och kategorin kommutativa monoider. Därför är det möjligt att definiera -ringspektra och -ringspektra som (kommutativa) monoider i kategorin S-moduler, så kallas (kommutativa) S-algebror . Eftersom (kommutativa) monoider är lättare att hantera än algebror över komplicerade operader, är detta nya tillvägagångssätt för många ändamål mer bekvämt. Det bör dock noteras att själva konstruktionen av kategorin S-moduler är tekniskt ganska komplicerad.
Diagramspektra
Ett annat tillvägagångssätt för målet att se högstrukturerade ringspektra som monoider i en lämplig kategori av spektra är kategorier av diagramspektra. Den förmodligen mest kända av dessa är kategorin symmetriska spektra, pionjär av Jeff Smith. Dess grundläggande idé är följande:
I den mest naiva bemärkelsen är ett spektrum en sekvens av (spetsiga) mellanrum tillsammans med kartor , där ΣX anger upphängningen . En annan synvinkel är följande: man betraktar kategorin av sekvenser av utrymmen tillsammans med den monoidala strukturen som ges av en smash-produkt . Då har sfärsekvensen strukturen av en monoid och spektra är bara moduler över denna monoid. Om denna monoid var kommutativ, skulle en monoidal struktur på kategorin moduler över den uppstå (som i algebra har modulerna över en kommutativ ring en tensorprodukt). Men den monoida strukturen för sfärsekvensen är inte kommutativ på grund av olika ordningsföljder av koordinaterna.
Tanken är nu att man kan bygga in koordinatförändringarna i definitionen av en sekvens: en symmetrisk sekvens är en sekvens av mellanslag tillsammans med en åtgärd av den n :e symmetriska gruppen på . Om man utrustar denna med en lämplig monoidal produkt får man att sfärsekvensen är en kommutativ monoid. Nu symmetriska spektra moduler över sfärsekvensen, dvs en sekvens av mellanslag tillsammans med en åtgärd av n -te symmetrisk grupp på och kartor som uppfyller lämpliga ekvivariansvillkor. Kategorin symmetriska spektra har en monoidal produkt betecknad med . Ett högstrukturerat (kommutativt) ringspektrum definieras nu som en (kommutativ) monoid i symmetriska spektrum, kallat ett (kommutativt) symmetriskt ringspektrum . Det handlar om att ge kartor
som uppfyller lämpliga villkor för ekvivarians, enhetlighet och associativitet (och kommutativitet) (se Schwede 2007).
Det finns flera modellstrukturer på symmetriska spektra, som har den stabila homotopikategorin som homotopi. Även här är det sant att kategorin av moduler över en -operad och kategorin monoider är Quillen-ekvivalenta och likaså kategorin av moduler över en -operad och kategorin kommutativa monoider.
En variant av symmetriska spektra är ortogonala spektra , där man ersätter den symmetriska gruppen med den ortogonala gruppen (se Mandell et al., 2001). De har fördelen att de naivt definierade homotopigrupperna sammanfaller med de i kategorin stabil homotopi, vilket inte är fallet för symmetriska spektra. (Dvs. sfärspektrumet är nu kofibrant.) Å andra sidan har symmetriska spektra fördelen att de också kan definieras för enkla uppsättningar . Symmetriska och ortogonala spektra är utan tvekan de enklaste sätten att konstruera en vettig symmetrisk monoidal kategori av spektra.
Infinity-kategorier
Infinity-kategorier är en variant av klassiska kategorier där sammansättningen av morfismer inte är unikt definierad, utan endast upp till sammandragningsbara val. Generellt sett är det inte vettigt att säga att ett diagram strikt pendlar i en oändlighetskategori, utan bara att det pendlar upp till koherent homotopi. Man kan definiera en oändlighetskategori av spektra (som gjort av Lurie ). Man kan också definiera infinity-versioner av (kommutativa) monoider och sedan definiera -ringspektra som monoider i spektra och -ringspektra som kommutativa monoider i spektra. Detta utarbetas i Luries bok Högre algebra .
Jämförelse
Kategorierna av S-moduler, symmetriska och ortogonala spektra och deras kategorier av (kommutativa) monoider tillåter jämförelser via Quillen-ekvivalenser på grund av arbete av flera matematiker (inklusive Schwede). Trots detta har modellkategorin S-moduler och modellkategorin symmetriska spektra helt olika beteende: i S-moduler är varje objekt fibrant (vilket inte är sant i symmetriska spektra), medan sfärspektrumet är kofibrant i symmetriska spektra. (vilket inte är sant i S-moduler). Genom ett Lewis-teorem är det inte möjligt att konstruera en kategori av spektra, som har alla önskade egenskaper. En jämförelse av infinity-kategorin till spektra med den mer klassiska modellkategorin för symmetriska spektra kan hittas i Luries Higher Algebra 4.4.4.9.
Exempel
Det är lättast att skriva ner konkreta exempel på -ringspektra i symmetriska/ortogonala spektra. Det mest grundläggande exemplet är sfärspektrumet med den (kanoniska) multiplikationskartan . Det är inte heller svårt att skriva ner multiplikationskartor för Eilenberg-MacLane-spektra (som representerar vanlig kohomologi ) och vissa Thom-spektra (som representerar bordismteorier ). Topologisk (verklig eller komplex) K-teori är också ett exempel, men svårare att få fram: i symmetriska spektra använder man en C*-algebra- tolkning av K-teorin, i operad-ansatsen använder man en maskin med multiplikativ oändlig loop-rymdteori .
En nyare metod för att hitta -förfinningar av multiplikativ kohomologiteori är Goerss–Hopkins obstruktionsteori. Det lyckades hitta -ringstrukturer på Lubin–Tate-spektra och på elliptiska spektra . Med en liknande (men äldre) metod kunde det också visas att Morava K-teori och även andra varianter av Brown-Peterson kohomologi har en -ringstruktur (se t.ex. Baker och Jeanneret 2002). Basterra och Mandell har visat att Brown–Peterson kohomologi till och med har en -ringstruktur, där en -struktur definieras genom att ersätta operad av oändlig- dimensionella kuber i oändligt dimensionellt utrymme med 4-dimensionella kuber i 4-dimensionellt utrymme i definitionen av -ringspektra. Å andra sidan har Tyler Lawson visat att Brown–Peterson kohomologi inte har en struktur.
Konstruktioner
Högstrukturerade ringspektra tillåter många konstruktioner.
- De utgör en modellkategori, och därför finns det (homotopi)gränser och kogränser.
- Moduler över ett mycket strukturerat ringspektrum bildar en stabil modellkategori . I synnerhet är deras homotopikategori triangulerad . Om ringspektrumet har en -struktur, har kategorin av moduler en monoidal smash-produkt ; om det är åtminstone så har det en symmetrisk monoidal (smash) produkt.
- Man kan bilda gruppringspektra.
- Man kan definiera den algebraiska K-teorin , topologisk Hochschild-homologi , och så vidare, för ett mycket strukturerat ringspektrum.
- Man kan definiera utrymmet för enheter, vilket är avgörande för vissa frågor om orienterbarhet av buntar.
Se även
Referenser om E ∞ -ringspektra
- Elmendorf, AD; Kriz, I.; Mandell, MA; May, JP (2007). Ringar, moduler och algebror i stabil homotopi teori . AMS. ISBN 978-0-8218-4303-1 .
- May, J. Peter (1977). -ringmellanslag och -ringspektra . Springer.
- May, J. Peter (2009). "Vad exakt är ringmellanrum och ringspektra?". Monografier för geometri och topologi . 16 : 215–282. arXiv : 0903.2813 . doi : 10.2140/gtm.2009.16.215 .
Referenser om strukturen hos E ∞ -ringspektra
- Basterra, M.; Mandell, MA (2005). " Homology and Cohomology of E-infinity Ring Spectra " (PDF)
- Lawson, T. (2017). "Beräknar obstruktionsgrupper för -ringspektra". arXiv : 1709.09629 [ math.AT ].
Referenser om specifika exempel
- Baker, A.; Jeanneret, A. (2002). "Modiga nya Hopf-algebroider och förlängningar av MU -algebror" . Homologi, homotopi och tillämpningar . 4 (1): 163–173. doi : 10.4310/HHA.2002.v4.n1.a9 .
- Basterra, M.; Mandell, MA (juni 2013). "Multiplikationen på BP" (PDF) . Journal of Topology . 6 (2): 285–310. arXiv : 1101.0023 . doi : 10.1112/jtopol/jts032 . S2CID 119652118 . Arkiverad från originalet (PDF) 2015-02-06.
- Lurie, J. "Högre algebra" (PDF) . Arkiverad från originalet (PDF) 2015-02-06.
- Mandell, MA; May, JP; Schwede, S.; Shipley, B. (2001). "Modellkategorier av diagramspektra" (PDF) . Proc. London Math. Soc . 82 (2): 441–512. doi : 10.1112/S0024611501012692 .
- Richter, B. (2017). "Kommutativa ringspektra". arXiv : 1710.02328 [ math.AT ].
- Schwede, S. (2001). "S-moduler och symmetriska spektra" (PDF) . Matematik. Ann . 319 (3): 517–532. doi : 10.1007/PL00004446 . S2CID 6866612 .
- Schwede S. Schwede, S. (2007). "Ett namnlöst bokprojekt om symmetriska spektra" (PDF) .