Quillen adjunktion
Inom homotopiteorin , en gren av matematiken , är en Quillen-adjunktion mellan två slutna modellkategorier C och D en speciell typ av adjunktion mellan kategorier som inducerar en adjunktion mellan homotopikategorierna Ho( C ) och Ho( D ) via den totala härledda funktorn konstruktion. Quillen adjunktioner är namngivna för att hedra matematikern Daniel Quillen .
Formell definition
Givet två slutna modellkategorier C och D är en Quillen-adjunktion ett par
- ( F , G ): C D
av adjointfunktioner med F vänster adjoint till G så att F bevarar kofibreringar och triviala kofibreringar eller, ekvivalent med de slutna modellens axiom, så att G bevarar fibrationer och triviala fibrationer. I en sådan adjunktion kallas F den vänstra Quillen-funktorn och G kallas den högra Quillen-funktorn .
Egenskaper
Det är en konsekvens av axiomen att en vänster (höger) Quillen-funktion bevarar svaga ekvivalenser mellan kofibrant (fibrant) objekt. Quillens totala härledda funktorsats säger att den totala vänsterhärledda funktorn
- L F : Ho( C ) → Ho( D )
är en vänsteradjoint till den totala högerhärledda funktorn
- R G : Ho( D ) → Ho( C ).
Denna adjunktion ( L F , RG ) kallas den härledda adjunktionen .
Om ( F , G ) är en Quillen-adjunktion enligt ovan så att
- F ( c ) → d
med c cofibrant och d fibrant är en svag ekvivalens i D if och endast if
- c → G ( d )
är en svag ekvivalens i C kallas det en Quillen-ekvivalens av de slutna modellkategorierna C och D . I det här fallet är den härledda adjunktionen en adjunkt ekvivalens av kategorier så att
- L F ( c ) → d
är en isomorfism i Ho( D ) om och endast om
- c → R G ( d )
är en isomorfism i Ho( C ).
- Goerss, Paul G. [på tyska] ; Jardine, John F. (1999). Simplicial Homotopy Theory . Framsteg i matematik. Vol. 174. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1 .
- [1] [2]
- Philip S. Hirschhorn, Model Categories and Their Localizations, American Mathematical Soc., 24 augusti 2009 - Mathematics - 457 sidor