Sammanhängande dualitet

I matematik är koherent dualitet någon av ett antal generaliseringar av Serre-dualitet , som tillämpas på koherenta skivor , i algebraisk geometri och komplex mångfaldsteori , såväl som några aspekter av kommutativ algebra som är en del av den "lokala" teorin.

Teorins historiska rötter ligger i idén om det angränsande linjära systemet av ett linjärt system av divisorer i klassisk algebraisk geometri. Detta återuttrycktes, med tillkomsten av kärveteorin , på ett sätt som gjorde en analogi med Poincarés dualitet mer uppenbar. Sedan enligt en allmän princip, Grothendiecks relativa synvinkel , utvidgades teorin om Jean-Pierre Serre till en riktig morfism ; Serre dualitet återvanns som fallet med morfismen av en icke-singular projektiv varietet (eller fullständig variant ) till en punkt. Den resulterande teorin kallas nu ibland Serre–Grothendieck–Verdier-dualitet och är ett grundläggande verktyg inom algebraisk geometri. En behandling av denna teori, Residues and Duality (1966) av Robin Hartshorne , blev en referens. En konkret spin-off var Grothendieck-resten.

För att gå bortom riktiga morfismer, som för versionerna av Poincaré-dualitet som inte är för slutna grenrör , krävs någon version av det kompakta stödkonceptet . Detta togs upp i SGA2 i termer av lokal kohomologi och Grothendieck lokal dualitet ; och därefter. Dualiteten mellan Greenlees och May, som först formulerades 1976 av Ralf Strebel och 1978 av Eben Matlis , är en del av det fortsatta övervägandet av detta område.

Adjoint functionors synvinkel

Medan Serre-dualiteten använder en linjebunt eller inverterbar kärve som en dualiserande kärve , kan den allmänna teorin (visar det sig) inte vara fullt så enkel. (Närmare bestämt kan det, men till priset av att införa Gorenstein-ringvillkoret .) I en karakteristisk vändning omformulerade Grothendieck allmän koherent dualitet som existensen av en högra adjoint funktiontor $f^{!}$ , kallad tvinnad eller exceptionell $Rf_{!}$ bildfunktion , till en högre direktbild med kompakt stödfunktion .

Högre direkta bilder är en sköljformad form av kärvkohomologi i detta fall med rätt (kompakt) stöd; de buntas ihop till en enda funktion med hjälp av den härledda kategoriformuleringen av homologisk algebra (introducerad med detta fall i åtanke). Om $f$ är korrekt, då $Rf_{!}=Rf_{\ast }$ är en högeradjoint till den inversa bildfunktorn f $\displaystyle f^{\ast }}$ . Existenssatsen för den vridna inversa bilden är namnet på beviset för existensen för vad som skulle vara enheten för komonaden för den eftersökta adjunktionen, nämligen en naturlig transformation

$Rf_{!}f^{!}\rightarrow id$ ,

som betecknas med $Tr_{f}$ (Hartshorne) eller $\int _{f}$ (Verdier). Det är den aspekt av teorin som ligger närmast den klassiska betydelsen, som notationen antyder, att dualitet definieras av integration.

För att vara mer exakt, $f^{!}$ existerar som en exakt funktion från en härledd kategori av kvasi-koherenta skivor på $Y$ , till den analoga kategorin på $X$ , närhelst

$f:X\högerpil Y$

är en riktig eller kvasiprojektiv morfism av noetherska scheman, av ändlig Krull-dimension . Från detta kan resten av teorin härledas: dualiserande komplex drar sig tillbaka via $f^{!}$ , Grothendieck-restsymbolen, den dualiserande kärven i Cohen–Macaulay- fallet.

För att få ett uttalande på ett mer klassiskt språk, men ändå bredare än Serre-dualiteten, använder Hartshorne ( Algebraisk Geometri ) den Ext-funktorn av skivor; detta är ett slags språngbräda till den härledda kategorin.

Det klassiska uttalandet om Grothendieck-dualitet för en projektiv eller riktig morfism $f:X\rightarrow Y$ av notherska scheman med ändlig dimension, som finns i Hartshorne ( Rester och dualitet ) är följande kvasi-isomorfism

$Rf_{\ast }RHom_{X}(F^{\ bullet },f^{!}G^{\bullet })\to RHom_{Y}(Rf_{\ast }F^{\bullet},G^{\bullet })$

för $F^{\bullet }$ ett avgränsat ovan komplex av $O_{X}$ -moduler med kvasikoherent kohomologi och $G^{\bullet }$ en avgränsad nedan komplex av $O_{Y}$ -moduler med koherent kohomologi. Här $Hom$ kärvar av homomorfismer.

Konstruktion av f ^! pseudofunktor som använder stela dualiserande komplex

Under åren har flera metoder för att konstruera $f^{!}$ pseudofunctor dök upp. Ett ganska nyligen framgångsrikt tillvägagångssätt bygger på föreställningen om ett stelbent dualiserande komplex. Denna uppfattning definierades först av Van den Bergh i ett icke-kommutativt sammanhang. Konstruktionen bygger på en variant av härledd Hochschild-kohomologi (Shukla-kohomologi): Låt $k$ vara en kommutativ ring, och låt $A$ vara en kommutativ $k-$ algebra. Det finns en funktion $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k} ^{L}M)$ som tar ett cochain-komplex $M$ till ett objekt $RHom_{A\otimes _{k }^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ i den härledda kategorin över $A$ .

Om man antar att $A$ är noetersk, är ett stel dualiserande komplex över $A$ relativt $k$ per definition ett par $(R,\rho )$ där $R$ är ett dualiserande komplex över $A$ som har en ändlig platt dimension över $k$ , och där ${\displaystyle \rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)} är en isomorfism$ i härledd kategori $D(A)$ . Om ett sådant stelbent dualiserande komplex existerar, så är det unikt i stark bemärkelse.

Om vi ​​antar att $A$ är en lokalisering av en finit typ $k$ -algebra, bevisades förekomsten av ett rigid dualiserande komplex över $A$ relativt ${\displaystyle k} först av$ Yekutieli och Zhang antar att $k$ är en regelbunden noethersk ring med ändlig Krull-dimension, och av Avramov , Iyengar och Lipman antar att $k$ är en Gorenstein-ring med ändlig Krull-dimension och $A$ är ändlig platt dimension över $k$ .

Om $X$ är ett schema av ändlig typ över $k$ , kan man limma fast de styva dualiserande komplexen som dess affina bitar har, och få ett styvt dualiserande komplex $R_{X}$ . När man väl etablerar en global existens av ett rigid dualiserande komplex, givet en karta $f:X\to Y$ av scheman över $k$ , kan man definiera ${\displaystyle f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}} ,$ där för ett schema $X$ , vi sätter $D_{X}:=RHom_{{\mathcal {O}}_{X}}(-,R_{X})$ .

Dualiserande komplexa exempel

Dualiserande komplex för en projektiv variation

Dualiseringskomplexet för en projektiv varietet $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ ges av komplexet

$\omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^ {n}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{n}}[+n])$

Plan som skär en linje

Tänk på den projektiva sorten

$X={ \text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x)(y,z)}}\right)={\text{Proj}} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,xz)}}\höger)$

Vi kan beräkna $\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {O}}_ {X},\omega _{\mathbb {P} ^{3}}[+3])$ med en upplösning ${\mathcal {L}}^{\bullet }\to { \mathcal {O}}_{X}$ av lokalt fria skivor. Detta ges av komplexet

$0\to {\mathcal {O}}(- 3){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z\\-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy&xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0$

Eftersom $\omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)$ har vi det

$\ omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet },{\mathcal {O}}( -4)[+3])=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet }\otimes {\mathcal {O}}(4 )[-3],{\mathcal {O}})$

Det här är komplexet

$[{\mathcal {O} }(-4){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy\\xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){ \xrightarrow {\begin{bmatrix}z&-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-1)][-3]$

Se även

• Verier dualitet

Anteckningar

•    Greenlees, JPC; May, J. Peter (1992), "Derived functors of I -adic completion and local homology", Journal of Algebra , 149 (2): 438–453, doi : 10.1016/0021-8693(92)90026-I , ISSN 0021-8693 , MR 1172439
• Hartshorne, Robin (1966), Residuals and Duality , Lecture Notes in Mathematics 20 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 20–48, doi : 10.1007/BFb0080482
•    Neeman, Amnon (1996), "The Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability", Journal of the American Mathematical Society , 9 ( 1): 205–236, doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 , ISSN 0894-0347 , MR 1308405
•   Verdier, Jean-Louis (1969), "Base change for twisted inverse image of coherent sheaves", Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) , Oxford University Press , s. 393– 408, MR 0274464
• Hopkins, Glenn, An Algebraic Approach to Grothendieck's Residue Symbol (PDF)