Härlett schema

I algebraisk geometri är ett härlett schema ett par $(X,{\mathcal {O}})$ bestående av ett topologiskt utrymme X och en bunt ${\mathcal {O}}$ antingen av enkla kommutativa ringar eller av kommutativa ringspektra på X så att (1) paret $(X,\pi _{0}{\mathcal {O}})$ är ett schema och (2) $\pi _{k}{\mathcal {O}}$ är en kvasi-koherent $\pi _{0}{\mathcal {O}}$ - modul . Begreppet ger en homotopi -teoretisk generalisering av ett schema.

En härledd stack är en stackig generalisering av ett härlett schema.

Differentialgradigt schema

Över ett fält med karakteristisk noll är teorin nära relaterad till den för ett differentiellt graderat schema. Per definition erhålls ett differentiellt graderat schema genom att limma affina differentiellt graderade scheman, med avseende på étale-topologi . Det introducerades av Maxim Kontsevich "som det första tillvägagångssättet för härledd algebraisk geometri." och utvecklades vidare av Mikhail Kapranov och Ionut Ciocan-Fontanine.

Anslutning med differentiellt graderade ringar och exempel

Precis som affin algebraisk geometri är likvärdig (i kategorisk mening ) med teorin om kommutativa ringar (vanligtvis kallad kommutativ algebra ), är affin härledd algebraisk geometri över karakteristisk noll likvärdig med teorin om kommutativa differentialgraderade ringar . Ett av huvudexemplen på härledda scheman kommer från den härledda skärningspunkten av underscheman i ett schema, vilket ger Koszul-komplexet . Låt till exempel $f_{1},\ldots ,f_{k}\in \mathbb {C} [x_{1 },\ldots ,x_{n}]=R$ , då kan vi få ett härlett schema

(X,{\mathcal {O}}_{\bullet })=\mathbf {RSpec} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R /(f_{k})\right)

var

{\textbf {RSpec}}:({\textbf {dga}}_{\mathbb {C} })^{op}\to {\textbf {DerSch} }

är etale-spektrumet . ^{[ citat behövs ]} Eftersom vi kan konstruera en resolution

{\begin{matrix}0\to &R&{\xrightarrow {\cdot f_{i}}}&R&\to 0\\ &\downarrow &&\downarrow &\\0\to &0&\to &R/(f_{i})&\to 0\end{matris}}

den härledda ringen $R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \ ibland är _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})$ koszulkomplexet $K_{R}(f_{1}, \ldots ,f_{k})$ . Trunkeringen av detta härledda schema till amplitud $[-1,0]$ ger en klassisk modell som motiverar härledd algebraisk geometri. Lägg märke till att om vi har ett projektivt schema

\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)

där $\deg(f_{i})=d_{i}$ kan vi konstruera det härledda schemat $(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {E}}^{\bullet },(f_{1},\ldots ,f_{k}))$ där

{\mathcal {E}}^{\bullet }=[ {\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-d_{k}){\xrightarrow {(\cdot f_{1},\ldots ,\ cdot f_{k})}}{\mathcal {O}}]

med amplitud $[-1,0]$

Cotangenskomplex

Konstruktion

Låt $(A_{\bullet },d)$ vara en fast differentiell graderad algebra definierad över ett fält med karakteristiken $0$ . Då kallas en $A_{\bullet }}$ displaystyle -differentiell graderad algebra $(R_{\bullet },d_{R})$ halvfri om följande villkor gäller :

Den underliggande graderade algebra $R_{\bullet }$ är en polynomalgebra över $A_{\bullet }$ , vilket betyder att den är isomorf till ${\ displaystil A_{\bullet [\{x_{i}\}_{i\in I}]}$
Det finns en filtrering $\varnothing =I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots$ på indexeringsuppsättningen $I$ där $\cup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=I$ och ${\displaystyle s(x_ {i})\in A_{\bullet }[\{x_{j}\}_{j\in I_{n}}]} för alla x i ∈$ I ${i}\in I_{n+1}}$ .

Det visar sig att varje $A_{\bullet }$ differentiell graderad algebra medger en surjektiv kvasi-isomorfism från en semi-fri $(A_{\bullet },d)$ differential graderad algebra, kallad halvfri upplösning. Dessa är unika upp till homotopi-ekvivalens i en lämplig modellkategori. Det (relativa) cotangenskomplexet för en $(A_{\bullet },d)$ -differentiell graderad algebra $(B_{\bullet },d_{ B})$ kan konstrueras med en halvfri upplösning $(R_{\bullet },d_{R})\to (B_{\bullet },d_{B})$ : det definieras som

\mathbb {L} _{B_{\bullet }/A_{\bullet }}:=\Omega _{R_{\ bullet }/A_{\bullet }}\otimes _{R_{\bullet }}B_{\bullet }

Många exempel kan konstrueras genom att ta algebra $B$ som representerar en variation över ett fält med karakteristik 0, hitta en presentation av $R$ som en kvot av en polynomalgebra och ta Koszul-komplexet som är associerat med detta presentation. Koszul-komplexet fungerar som en halvfri upplösning av den differentiellt graderade algebra $(B_{\bullet },0)$ där $B_{\bullet }$ är den graderade algebra med den icke-triviala graderade biten i grad 0.

Exempel

Det cotangenta komplexet för en hyperyta $X=\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}$ kan lätt beräknas: eftersom vi har dga $K_{R}(f)$ som representerar den härledda förbättringen av $X$ , kan vi beräkna cotangenskomplexet som

0\to R\cdot ds{\xrightarrow {\Phi }}\bigoplus _{i}R\cdot dx_{i}\to 0

där $\Phi (gds)=g\cdot df$ och $d$ är den vanliga universella härledningen. Om vi tar en fullständig korsning, då koszul-komplexet

R^{\bullet }={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1})}}\ ibland _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{k})}}

är kvasi-isomorf till komplexet

{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots,f_{k})}}[+0].

Detta innebär att vi kan konstruera cotangenskomplexet för den härledda ringen $R^{\bullet }$ som tensorprodukten av cotangenskomplexet ovan för varje $f_{i}$ .

Anmärkningar

Observera att cotangenskomplexet i sammanhanget av härledd geometri skiljer sig från cotangenskomplexet i klassiska scheman. Nämligen, om det fanns en singularitet i hyperytan definierad av $f$ så skulle cotangenskomplexet ha oändlig amplitud. Dessa observationer ger motivation för den dolda jämnhetsfilosofin för härledd geometri eftersom vi nu arbetar med ett komplex av ändlig längd.

Tangentkomplex

Polynomfunktioner

Givet en polynomfunktion $f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m},$ betrakta sedan (homotopi) pullback-diagrammet

{\begin{matrix}Z&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\downarrow f\\\{pt\ }&{\xrightarrow {0}}&\mathbb {A} ^{m}\end{matrix}}

där den nedre pilen är införandet av en punkt vid origo. Sedan har det härledda schemat $Z$ tangentkomplex vid $x\in Z$ ges av morfismen

\mathbf {T} _{x}=T_{x}\mathbb {A} ^{n}{\xrightarrow {df_{x}}} T_{0}\mathbb {A} ^{m}

där komplexet har amplitud $[-1,0]$ . Lägg märke till att tangentrymden kan återställas med $H^{0}$ och $H^{-1}$ mäter hur långt bort $x\in Z$ är från att vara en jämn punkt.

Stack kvoter

Givet en stack $[X/G]$ finns det en bra beskrivning för tangentkomplexet:

\mathbf {T} _{x}={\mathfrak {g}}_{x}\to T_{x}X

Om morfismen inte är injektiv, mäter $H^{-1}$ igen hur singulart mellanrummet är. Dessutom ger Euler-egenskapen för detta komplex den korrekta (virtuella) dimensionen av kvotstapeln. I synnerhet, om vi tittar på modulstapeln av principal $G$ -buntar, så är tangentkomplexet bara ${\mathfrak {g}}[+1]$ .

Härledda scheman i komplex morseteori

Härledda scheman kan användas för att analysera topologiska egenskaper hos affina sorter. Tänk till exempel en jämn affin variant $M\subset \mathbb {A} ^{n}$ . Om vi tar en vanlig funktion $f:M\to \mathbb {C}$ och betraktar sektionen av $\Omega _{M}$

{\begin{cases}\Gamma _{df}:M\to \Omega _{M}\\x\mapsto (x,df(x))\end{cases}}

Sedan kan vi ta det härledda pullback-diagrammet

{\begin{matrix}X&\to &M\\\downarrow &&\downarrow 0\\M&{\xrightarrow {\Gamma _{df}}}&\ Omega _{M}\end{matris}}

där $0$ är nollsektionen, som konstruerar en härledd kritisk lokus för den vanliga funktionen $f$ .

Exempel

Tänk på den affina sorten

M=\operatörsnamn {Spec} (\mathbb {C} [x,y])

och den vanliga funktionen som ges av $f(x,y)=x^{2}+y^{3}$ . Sedan,

\Gamma _{df}(a,b)=(a,b,2a,3b^{2})

där vi behandlar de två sista koordinaterna som $dx,dy$ . Det härledda kritiska stället är då det härledda schemat

{\textbf {RSpec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(dx,dy) }}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{( 2x-dx,3y^{2}-dy)}}\right)

Observera att eftersom den vänstra termen i den härledda skärningspunkten är en fullständig skärningspunkt, kan vi beräkna ett komplex som representerar den härledda ringen som

K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])\otimes _{\mathbb {C} [x ,y,dx,dy]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2-dx,3y^{2}-dy)}}

där $K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy ])$ är koszulkomplexet.

Härledd kritiskt locus

Betrakta en jämn funktion $f:M\to \mathbb {C}$ där $M$ är jämn. Den härledda förbättringen av $\operatorname {Crit} (f)$ , det härledda kritiska lokuset , ges av det differentiella graderade schemat $(M,{\ mathcal {A}}^{\bullet },Q)$ där den underliggande graderade ringen är polyvektorfälten