Satake isomorfism

Inom matematik identifierar Satake-isomorfismen , introducerad av Ichirō Satake ( 1963 ), Hecke-algebra för en reduktiv grupp över ett lokalt fält med en ring av invarianter av Weyl-gruppen . Den geometriska Satake-ekvivalensen är en geometrisk version av Satake-isomorfismen, bevisad av Ivan Mirković och Kari Vilonen ( 2007 ).

Påstående

Klassisk Satake-isomorfism . Låt $G$ vara en halvenkel algebraisk grupp , $K$ vara ett icke-arkimediskt lokalt fält och $O$ vara dess ring av heltal. Det är lätt att se att $Gr=G(K)/G(O)$ är gräsmansk . För enkelhetens skull kan vi tro att $K=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((x))$ och $O=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} [[x]]$ , $p$ ett primtal; i detta fall $Gr$ en oändlig dimensionell algebraisk variant ( Ginzburg 2000) . En betecknar kategorin för alla kompaktt stödda sfäriska funktioner på $G(K)$ biinvariant under verkan av $G(O)$ som ${\displaystyle \mathbb {C} _{c}[G(O)\backslash G(K)/G(O)]} , C {\$ displaystyle $mathbb {C} }$ fältet för komplexa tal, som är en Hecke-algebra och kan också behandlas som ett gruppschema över $\mathbb {C}$ . Låt $T(\mathbb {C} )$ vara den maximala torusen för ${\displaystyle G(\mathbb {C} )} ,$ W $\displaystyle W}$ vara Weyl-gruppen av $G$ . man kan associera en samkaraktervariant $\mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))$ till $T(\mathbb { C} )$ . Låt $X_{*}(T(\mathbb {C} ))$ vara mängden av alla kotecken i $T(\mathbb {C} )$ , dvs $X_{*}(T(\mathbb {C} ))=\mathrm {Hom} (\mathbb { C} ^{*},T(\mathbb {C} ))$ . Samteckenvarianten $\mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))$ är i grunden det gruppschema som skapas genom att lägga till elementen i $X_{*}(T(\mathbb {C} ))$ som variabler till $\mathbb {C}$ , dvs $\mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))=\mathbb {C} [X_{*}(T(\mathbb {C} ))]$ . Det finns en naturlig verkan av $W$ på co-karaktervarianten ${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))} ,$ inducerad av den naturliga verkan av $W$ på $T$ . Då är Satake-isomorfismen en algebra-isomorfism från kategorin sfäriska funktioner till den $W$ -invarianta delen av den tidigare nämnda samkaraktervarianten. I formler:

$\mathbb {C} _{c}[G(O)\backslash G( K)/G(O)]\quad \xrightarrow {\sim } \quad \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))^{W}$ .

Geometrisk Satake-isomorfism . Som Ginzburg sa ( Ginzburg 2000 ) står "geometric" för sheaf theoretic. För att erhålla den geometriska versionen av Satake-isomorfismen måste man ändra den vänstra delen av isomorfismen, genom att använda Grothendieck-gruppen av kategorin perversa skivor på $Gr$ för att ersätta kategorin sfäriska funktioner ; ersättningen är de facto en algebra-isomorfism över $\mathbb {C}$ ( Ginzburg 2000) . Man måste också ersätta den högra sidan av isomorfismen med Grothendieck-gruppen av finita dimensionella komplexa representationer av Langlands dubbla ${}^{L}G$ av $G$ ; ersättningen är också en algebra-isomorfism över $\mathbb {C}$ ( Ginzburg 2000) . Låt $\mathrm {Perv} (Gr)$ beteckna kategorin pervers kärve på $Gr$ . Då är den geometriska Satake-isomorfismen

$K(\mathrm {Perv} (Gr))\otimes _{\mathbb { Z} }\mathbb {C} \quad \xrightarrow {\sim } \quad K(\mathrm {Rep} ({}^{L}G))\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}$ ,

där $K$ i $K(\mathrm {Rep} ({}^{L}G))$ står för Grothendieck-gruppen . Detta kan uppenbarligen förenklas till

$\mathrm {Perv} (Gr)\quad \xrightarrow {\sim } \quad \mathrm {Rep} ({}^{L} G)$ ,

vilket är a fortiori en motsvarighet av Tannakianska kategorier ( Ginzburg 2000) .

Anteckningar

•    Gross, Benedict H. (1998), "On the Satake isomorphism", Galois representationer i aritmetisk algebraisk geometri (Durham, 1996) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 254, Cambridge University Press , s. 223–237, doi : 10.1017/CBO9780511662010.006 , ISBN 9780521644198 , MR 1696481
•     Mirković, Ivan; Vilonen, Kari (2007), "Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings", Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95–143, arXiv : math/0401222 , doi : 10.40207.607.607/annals. .95 , ISSN 0003-486X , MR 2342692 , S2CID 14127684
•     Satake, Ichirō (1963), "Theory of sfäriska funktioner på reduktiva algebraiska grupper över p-adiska fält" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 18 ( 18): 5–69, doi : 10.1007 /BF02684781 , ISSN 1911 8, ISSN 1911 8 MR 0195863 , S2CID 4666554
• Ginzburg, Victor (2000). "Perversa skivor på en loopgrupp och Langlands dualitet". arXiv : alg-geom/9511007 .