Hopf algebroid

Inom matematiken, enligt teorin om Hopf-algebror , är en Hopf-algebroid en generalisering av svaga Hopf-algebror, vissa snedställda Hopf-algebror och kommutativa Hopf k -algebroider. Om k är ett fält, är en kommutativ k -algebroid ett samgruppoidt objekt i kategorin k -algebror; kategorin av sådana är därför dubbel till kategorin av groupoid k -scheman. Denna kommutativa version har använts på 1970-talet i algebraisk geometri och stabil homotopi teori . Generaliseringen av Hopf-algebroider och dess huvuddel av strukturen, associativa bialgebroider , till den icke-kommutativa basalgebran introducerades av J.-H. Lu 1996 som ett resultat av arbete på groupoider i Poisson-geometri (senare visat likvärdigt på ett icke-trivialt sätt med en konstruktion av Takeuchi från 1970-talet och en annan av Xu runt år 2000). De kan löst betraktas som Hopf-algebror över en icke-kommutativ basring, där svaga Hopf-algebror blir Hopf-algebror över en separerbar algebra . Det är ett teorem att en Hopf-algebroid som uppfyller ett ändligt projektivitetsvillkor över en separerbar algebra är en svag Hopf-algebra, och omvänt är en svag Hopf-algebra H en Hopf -algebroid över sin separerbara subalgebra H ^L . Antipodaxiomen har ändrats av G. Böhm och K. Szlachányi (J. Algebra) 2004 av kategoriska tensorskäl och för att ta emot exempel associerade med två Frobenius algebraförlängningar på djupet.

Definition

Huvudmotivet bakom definitionen av en Hopf-algebroid ^pg301-302 är dess en kommutativ algebraisk representation av en algebraisk stack som kan presenteras som affina scheman . Mer allmänt kodar Hopf-algebroider data från preheaves av groupoider i kategorin ${\text{Aff}}$ av affina scheman. Det vill säga om vi har ett groupoidobjekt av affina scheman

$s,t:X_{1}\högerpilar X_{0}$

med en identitetskarta $\iota :X_{0}\to X_{1}$ som ger en inbäddning av objekt i pilarna, kan vi ta som vår definition av en Hopf-algebroid som de dubbla objekten i kommutativa ringar ${\text{CRing}}$ som kodar denna struktur. Observera att denna process i huvudsak är en tillämpning av Yoneda-lemmat på definitionen av groupoid-scheman i kategorin ${\text{Aff}}$ av affine-scheman. Eftersom vi kanske vill fixa en basring kommer vi istället att överväga kategorin ${\text{CRing}}_{k}$ av kommutativa $k$ -algebras.

Schema-teoretisk definition

Algebraiska objekt i definitionen

En Hopf-algebroid över en kommutativ ring $k$ är ett par $k$ -algebror $(A,\Gamma )$ i ${\text{ CRing}}_{k}$ så att deras funktion av poäng

${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightrightarrows {\text{Hom}}_{k}(A ,-)$

kodar en groupoid i ${\text{Aff}}$ . Om vi fixar $B$ som något objekt i ${\text{CRing}}_{k}$ , då ${\text{Hom}}_ {k}(A,B)$ är mängden objekt i gruppoiden och ${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,B)$ är mängden av pilar. Detta översätts till att ha kartor

${\begin{aligned}\eta _{L}&:A\to \Gamma &{\text{ left unit/ source map}}\\\eta _{R}&:A\to \ Gamma &{\text{ höger enhet/ målkarta}}\\\Delta &:\Gamma \to \Gamma \otimes _{A}\Gamma &{\text{ samprodukt/ kompositionskarta}}\\\varepsilon &: \Gamma \to A&{\text{ count/ identity map }}\\c&:\Gamma \to \Gamma &{\text{ conjugation/ inverse map}}\end{aligned}}$

där texten på vänster sida av snedstrecket är det traditionella ordet som används för kartan över algebror som ger Hopf algebroid struktur och texten på höger sida av snedstrecket är vilken motsvarande struktur på groupoiden

${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightrightarrows {\text{Hom}}_{k}(A ,-)$

dessa kartor motsvarar, vilket betyder att deras dubbla kartor från Yoneda-inbäddningen ger strukturen av en groupoid. Till exempel,

$\eta _{L}^{*}:{\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-) \rightarrow {\text{Hom}}_{k}(A,-)$

motsvarar källkartan $s$ .

Axiom som dessa kartor måste uppfylla

Förutom dessa kartor uppfyller de en mängd axiom dubbla till axiomen för en groupoid. Observera att vi kommer att fixa $B$ som något objekt i ${\text{CRing}}_{k}$ som ger

${\displaystyle \varepsilon \eta _{L}=\varepsilon \eta _{R}={\text{Id}}_{A}}, vilket betyder kartan med dubbla$ enheter $\varepsilon ^{*}$ fungerar som en dubbelsidig identitet för objekten i ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$
${\displaystyle ({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \varepsilon )\Delta =(\varepsilon \otimes {\text {Id}}_{\Gamma })\Delta ={\text{Id}}_{\Gamma }} , vilket$ betyder att komponera en pil med identiteten lämnar den pilen oförändrad
$({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \Delta )\Delta =(\Delta \otimes {\text {Id}}_{\Gamma })\Delta ={\text{Id}}_{\Gamma }$ motsvarar associativiteten för sammansättningen av morfismer
$c\eta _{R}=\eta _{L}$ och $c\eta _{L}=\eta _{R}$ , översätts till att invertera en morfism byter källa och mål
${\displaystyle cc={\text{Id}}_{\Gamma }} ,$ vilket betyder att inversen av inversen är den ursprungliga kartan
Dessa existerande kartor $\Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightarrows \Gamma$ som kodar sammansättningen av en morfism med dess invers på vardera sidan ger identitetsmorfismen. Detta kan kodas av det kommutativa diagrammet nedan där de streckade pilarna representerar existensen av dessa två pilar

där $c\cdot \Gamma$ är kartan $c\cdot \Gamma (\gamma _{1}\ ibland \gamma _{2})=c(\gamma _{1})\gamma _{2}$ och $\Gamma \ cdot c(\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=\gamma _{1}c(\gamma _{2})$ .

Ytterligare strukturer

Utöver standarddefinitionen av en Hopf-algebroid finns det också graderade kommutativa Hopf-algebroider som är par av graderade kommutativa algebror $(A,\Gamma )$ med graderade kommutativa strukturkartor som anges ovan.

En graderad Hopf algebroid $(A,\Gamma )$ sägs också vara ansluten om höger och vänster sub $A$ -moduler $\Gamma _{ 0}\hookrightarrow \Gamma$ är båda isomorfa till $A$

En annan definition

En vänster Hopf algebroid ( H , R ) är en vänster bialgebroid tillsammans med en antipod: bialgebroiden ( H , R ) består av en total algebra H och en basalgebra R och två avbildningar, en algebrahomomorfism s : R → H kallas en källkarta, en algebra-anti-homomorfism t : R → H kallas en målkarta, så att kommutativitetsvillkoret s ( r ₁ ) t ( r ₂ ) = t ( r ₂ ) s ( r ₁ ) är uppfyllt för alla r ₁ r2∈R . _ _{_} _ _ Axiomen liknar de för en Hopf-algebra men kompliceras av möjligheten att R är en icke-kommutativ algebra eller att dess bilder under s och t inte är i mitten av H . I synnerhet en vänster bialgebroid ( H , R ) har en R - R - bimodulstruktur på H som föredrar den vänstra sidan enligt följande: r ₁ ⋅ h ⋅ r ₂ = s ( r ₁ ) t ( r ₂ ) h för alla h i H , rl , r2∈R . _{_}_{_} _ _ Det finns en samprodukt Δ: H → H ⊗ _R H och enhet ε: H → R som gör ( H , R , Δ, ε) en R -kärna (med axiom som för en koalgebra så att alla mappningar är R - R -bimodulhomomorfismer och alla tensorer över R ). Dessutom måste bialgebroiden ( H , R ) uppfylla Δ( ab ) = Δ( a )Δ( b ) för alla a , b i H , och ett villkor för att säkerställa att detta sista villkor är vettigt: varje bildpunkt Δ( a ) uppfyller a ₍₁₎ t ( r ) ⊗ a ₍₂₎ = a ₍₁₎ ⊗ a ₍₂₎ s ( r ) för alla r i R . Även Δ(1) = 1 ⊗ 1. Mängden krävs för att uppfylla ε(1 _H ) = 1 _R och villkoret ε( ab ) = ε( as (ε( b ))) = ε( vid (ε( b) ))).

Antipoden S : H → H tas vanligtvis för att vara en algebra-anti-automorfism som uppfyller villkoren för utbyte av käll- och målkartor och uppfyller två axiom som Hopf-algebra-antipodaxiom; se referenserna i Lu eller i Böhm-Szlachányi för en mer exempelkategorivänlig, men något mer komplicerad uppsättning axiom för antipoden S . Den senare uppsättningen av axiom beror också på axiomen för en höger bialgebroid, som är en enkel växling av vänster till höger, s med t , för axiomen för en vänster bialgebroid som ges ovan.

Exempel

Från algebraisk topologi

Ett av de främsta motiverande exemplen på en Hopf-algebroid är paret $(\pi _{*}(E),E_{*}(E))$ för ett spektrum $E$ . Till exempel, Hopf-algebroiderna $(\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*} ({\text{MU}}))$ , $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP }}_{*}({\text{BP}}))$ , för spektra som representerar komplex kobordism och Brown-Peterson-homologi , och trunkationer av dem studeras allmänt i algebraisk topologi. Detta beror på deras användning i Adams-Novikovs spektralsekvens för att beräkna de stabila homotopigrupperna av sfärer.

Hopf algebroid kärnpresenterande stapel av formella grupplagar

Det finns en Hopf-algebroid som kärnan representerar stapeln av formella grupplagar ${\mathcal {M}}_{FG}$ som är konstruerad med hjälp av algebraisk topologi. Om vi låter ${\text{MP}}$ beteckna spektrumet

${\text{MP}}=\bigvee _{m\in \mathbb {Z} }\Sigma ^{2m}{\text{MU}}$

det finns en Hopf-algebroid

${\text{MP}}_{0}\rightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})$

kärnpresenterar stacken ${\mathcal {M}}_{FG}$ . Detta betyder att det finns en isomorfism av funktioner

${\mathcal {M}}_{FG}(-)\cong [{\text{MP}}_{0}\ högerpilar {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})](-)$

där funktorn till höger skickar en kommutativ ring $B$ till groupoiden

${\text{MP}}_{0}(B)\rightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}} )(B)$

Andra exempel

Som ett exempel på vänster bialgebroid, ta R som valfri algebra över ett fält k . Låt H vara dess algebra för linjära självavbildningar. Låt s(r) lämnas multiplikation med r på R ; låt t ( r ) vara rätt multiplikation med r på R. H är en vänster bialgebroid över R , vilket kan ses enligt följande. Från det faktum att H ⊗ _R H ≅ Hom _k ( R ⊗ R , R ) kan man definiera en samprodukt med Δ( f )( r ⊗ u ) = f ( ru ) för varje linjär transformation f från R till sig själv och alla r , u i R . Koassociativitet för samprodukten följer av produktens associativitet på R. En enhet ges av ε( f ) = f (1). En kärnans enhetsaxiom följer av identitetselementets villkor vid multiplikation i R . Läsaren kommer att bli road, eller åtminstone uppbyggd, för att kontrollera att ( H , R ) är en vänster bialgebroid. I fallet R är en Azumaya-algebra , i vilket fall H är isomorf till R ⊗ R , kommer en antipod från att transponera tensorer, vilket gör H en Hopf-algebroid över R . En annan klass av exempel kommer från att låta R vara markfältet; i detta fall är Hopf-algebroiden ( H , R ) en Hopf-algebra.

Se även

Cotensor produkt
Förlängning av Hopf algebroider
Comodul över en Hopf algebroid

^ Ravenel, Douglas C. (1986). Komplex kobordism och stabila homotopigrupper av sfärer . Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1 . OCLC 316566772 .
^ Hovey, Mark (2001-05-16). "Morita teori för Hopf algebroider och preheaves of groupoids". arXiv : math/0105137 .
^ Hopkins. "Komplext orienterade kohomologiteorier och stackarnas språk" ( PDF) . {{ citera webben }} : CS1 underhåll: url-status ( länk )
^ Douglas, Christopher L.; Francis, John; Henriques, André G.; Hill, Michael A. "4. Landwebers exakta funktorsats". Topologiska modulära former (PDF) . Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-1884-7 . OCLC 884782304 .

Vidare läsning

Böhm, Gabriella (2005). "En alternativ föreställning om Hopf algebroid". I Caenepeel, Stefaan (red.). Hopf algebror i icke-kommutativ geometri och fysik. Handlingar från konferensen om Hopf-algebror och kvantgrupper, Bryssel, Belgien, 28 maj–1 juni 2002 . Föreläsningsanteckningar i ren och tillämpad matematik. Vol. 239. New York, NY: Marcel Dekker. s. 31–53. ISBN 978-0-8247-5759-5 . Zbl 1080.16034 .
Böhm, Gabriella; Szlachányi, Kornél (2004). "Hopf algebroid symmetri av abstrakt Frobenius förlängningar av djup 2". Commun. Algebra . 32 (11): 4433–4464. arXiv : math/0305136 . doi : 10.1081/AGB-200034171 . S2CID 119162795 . Zbl 1080.16036 .
Jiang-Hua Lu, "Hopf algebroids and quantum groupoids", Int. J. Math. 7, n. 1 (1996) s. 47–70, https://arxiv.org/abs/q-alg/9505024 , http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=95e:16037 , https:// dx.doi.org/10.1142/S0129167X96000050

[Ravenel-1] Ravenel, Douglas C. (1986). Komplex kobordism och stabila homotopigrupper av sfärer . Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1 . OCLC 316566772 .

[2] Hovey, Mark (2001-05-16). "Morita teori för Hopf algebroider och preheaves of groupoids". arXiv : math/0105137 .

[3] Hopkins. "Komplext orienterade kohomologiteorier och stackarnas språk" ( PDF) . {{ citera webben }} : CS1 underhåll: url-status ( länk )

[4] Douglas, Christopher L.; Francis, John; Henriques, André G.; Hill, Michael A. "4. Landwebers exakta funktorsats". Topologiska modulära former (PDF) . Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-1884-7 . OCLC 884782304 .