Korsad modul

Inom matematik , och speciellt inom homotopiteorin , består en korsad modul av grupperna $G$ och $H$ , där $G$ verkar på $H$ genom automorfismer (vilket vi kommer att skriv till vänster, $(g,h)\mapsto g\cdot h$ , och en homomorfism av grupper

$d\colon H\longrightarrow G,$

som är ekvivariant med avseende på konjugationsverkan av $G$ på sig själv:

$d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}$

och uppfyller även den så kallade Peiffer-identiteten:

$d(h_{1})\cdot h_{2}=h_{1}h_{2}h_{1}^{-1 }$

Ursprung

Det första omnämnandet av den andra identiteten för en korsad modul verkar finnas i fotnot 25 på sid. 422 i JHC Whiteheads papper från 1941 som citeras nedan, medan termen "korsad modul" introduceras i hans papper från 1946 som citeras nedan. Dessa idéer var väl genomarbetade i hans 1949 uppsats 'Combinatorial homotopy II', som också introducerade den viktiga idén med en fri korsad modul. Whiteheads idéer om korsade moduler och deras applikationer utvecklas och förklaras i boken av Brown, Higgins, Sivera som listas nedan. Vissa generaliseringar av idén om en korsad modul förklaras i Janelidzes artikel.

Exempel

Låt $N$ vara en normal undergrupp till en grupp $G$ . Sedan, inkluderingen

$d\colon N\longrightarrow G$

är en korsad modul med konjugationen av $G$ på $N$ .

För vilken grupp G som helst , är moduler över gruppringen korsade G -moduler med d = 0.

För vilken grupp H som helst är homomorfismen från H till Aut( H ) som skickar ett element av H till motsvarande inre automorfism en korsad modul.

Med tanke på eventuell central utvidgning av grupper

$1\to A\to H\to G\to 1\!$

den surjektiva homomorfismen

$d\colon H\to G\!$

tillsammans med åtgärden av $G$ på $H$ en korsad modul. Därmed kan centrala utbyggnader ses som speciella korsade moduler. Omvänt definierar en korsad modul med surjektiv gräns en central förlängning.

If ( X , A , x ) är ett spetsigt par av topologiska rum (dvs. $A$ är ett delrum till $X$ och $x$ är en punkt i $A$ ), sedan homotopigränsen

$d\colon \pi _{2}(X,A,x)\högerpil \pi _{1}(A,x )\!$

från den andra relativa homotopigruppen till den fundamentala gruppen , kan ges strukturen för korsad modul. Funktionären

$\Pi \colon ({\text{par med spetsiga mellanslag}})\högerpil ({\text{korsade moduler}})$

uppfyller en form av van Kampens sats , genom att den bevarar vissa kolimiter.

Resultatet på den korsade modulen i ett par kan också formuleras som: om

$F\rightarrow E\rightarrow B\!$

är en spetsig fibrering av utrymmen, sedan den inducerade kartan över fundamentala grupper

$d\colon \pi _{1}(F)\högerpil \pi _{1}(E)\!$

kan ges strukturen av korsad modul. Det här exemplet är användbart i algebraisk K-teori . Det finns högre dimensionella versioner av detta faktum som använder n -kuber av utrymmen.

Dessa exempel tyder på att korsade moduler kan ses som "2-dimensionella grupper". Faktum är att denna idé kan göras exakt med hjälp av kategoriteori . Det kan visas att en korsad modul i huvudsak är detsamma som en kategorisk grupp eller 2-grupp : det vill säga ett gruppobjekt i kategorin kategorier, eller motsvarande ett kategoriobjekt i kategorin grupper. Detta betyder att begreppet korsad modul är en version av resultatet av att blanda begreppen "grupp" och "kategori". Denna ekvivalens är viktig för högre dimensionella versioner av grupper.

Klassificering av utrymme

Vilken korsad modul som helst

$M=(d\kolon H\longrightarrow G)\!$

har ett klassificeringsutrymme BM med egenskapen att dess homotopigrupper är Coker d, i dimension 1, Ker d i dimension 2 och 0 i dimensioner över 2. Det är möjligt att beskriva homotopiklasserna av kartor från ett CW- komplex till BM . Detta gör att man kan bevisa att (spetsade, svaga) homotopi 2-typer beskrivs fullständigt av korsade moduler.

externa länkar

• Baez, J.; Lauda, ​​A. (2003). "Högre dimensionell algebra V: 2-grupper". arXiv : math.QA/0307200 .
• Brown, R. (1999). "Groupoider och korsade objekt i algebraisk topologi" (PDF) . Homologi, homotopi och tillämpningar . 1 (1): 1–78. doi : 10.4310/HHA.1999.v1.n1.a1 .
•   Brown, R. (1982). "Högre-dimensionell gruppteori". Lågdimensionell topologi . London Mathematical Society föreläsningsanteckningsserie. Vol. 48. Cambridge University Press. s. 215–240. ISBN 978-0-521-28146-1 .
•   Brown, R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011). Nonabelsk algebraisk topologi: filtrerade utrymmen, korsade komplex, kubiska homotopi-groupoider . EMS Tracts in Mathematics. Vol. 15. arXiv : math/0407275 . doi : 10.4171/083 . ISBN 978-3-03719-583-3 .
• Forrester-Barker, M. (2002). "Gruppobjekt och interna kategorier". arXiv : math/0212065 .
•   Noohi, Behrang (2007). "Anteckningar om 2-gruppoider, 2-grupper och korsade moduler". Homologi, homotopi och tillämpningar . 9 (1): 75–106. arXiv : math.CT/0512106 . doi : 10.4310/HHA.2007.v9.n1.a3 . S2CID 13604037 .
• korsad modul på n Lab

•   Whitehead, JHC (1941). "Om att lägga till relationer till homotopigrupper". Ann. av matte . 42 (2): 409–428. doi : 10.2307/1968907 . JSTOR 1968907 .
•   Whitehead, JHC (1946). "Anteckning om en tidigare artikel med titeln "Om att lägga till relationer till homotopigrupper" " . Ann. av matte . 47 (2): 806–810. doi : 10.2307/1969237 . JSTOR 1969237 .
• Whitehead, JHC (1949). "Kombinatorisk homotopi. II" . Tjur. Amer. Matematik. Soc . 55 (5): 453–496. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09213-3 .
•   Janelidze, G. (2003). "Interna korsade moduler". georgisk matematik. J . 10 (1): 99–114. doi : 10.1515/GMJ.2003.99 . S2CID 125311722 .