A¹ homotopi teori

I algebraisk geometri och algebraisk topologi , grenar av matematik , A ¹ homotopy teori eller motivic homotopy theory är ett sätt att tillämpa teknikerna för algebraisk topologi, specifikt homotopi , till algebraiska varianter och, mer allmänt, till scheman . Teorin beror på Fabien Morel och Vladimir Voevodsky . Den bakomliggande tanken är att det ska vara möjligt att utveckla ett rent algebraiskt förhållningssätt till homotopi-teori genom att ersätta enhetsintervallet [ 0, 1] , som inte är en algebraisk variant, med den affina linjen A ¹ , vilket är. Teorin har sett spektakulära tillämpningar som Voevodskys konstruktion av den härledda kategorin av blandade motiv och beviset för Milnor och Bloch-Kato-förmodan .

Konstruktion

En ^1- homotopi-teori bygger på en kategori som kallas A ¹ -homotopikategorin ${\mathcal {H}}(S)$ . Enkelt uttryckt är A ^1- homotopikategorin, eller snarare den kanoniska funktorn ${\displaystyle Sm_{S}\to {\mathcal {H}}(S)} ,$ den universella funktorn från kategorin $Sm_{S}$ av jämna $S$ -scheman mot en oändlighetskategori som uppfyller Nisnevichs härkomst , så att den affina linjen A ¹ blir sammandragbar. Här $S$ något förvalt basschema (t.ex. spektrumet för de komplexa talen ${\displaystyle Spec(\mathbb {C} )} )$ .

Denna definition i termer av en universell egenskap är inte möjlig utan oändlighetskategorier. Dessa var inte tillgängliga på 90-talet och den ursprungliga definitionen övergår till Quillens teori om modellkategorier . Ett annat sätt att se situationen är att Morel-Voevodskys ursprungliga definition producerar en konkret modell för (homotopikategorin av) oändlighetskategorin ${\mathcal {H}}(S)$ .

Denna mer konkreta konstruktion skissas nedan.

Steg 0

Välj ett basschema $S$ . Klassiskt $S$ ombedd att vara Noetherian, men många moderna författare som Marc Hoyois arbetar med kvasikompakta kvasi-separerade basscheman. I vilket fall som helst, många viktiga resultat är bara kända över ett perfekt basfält, som de komplexa talen, det är helt okej att bara överväga detta fall.

Steg 1

Steg 1a: Nisnevich-skivor . Klassiskt börjar konstruktionen med kategorin $Shv(Sm_{S})_{Nis}$ av Nisnevich-skivor på kategorin $Sm_{S}$ av jämna scheman över $S$ . Heuristiskt sett bör detta betraktas som (och i en exakt teknisk mening är ) den universella förstoringen av $Sm_{S}$ som erhålls genom att angränsa alla kogränser och tvinga Nisnevich-nedstigningen att vara tillfredsställd.

Steg 1b: enkla skivor . För att lättare kunna utföra vanliga homotopi-teoretiska procedurer såsom homotopi-kogränser och homotopigränser, $Shv_{Nis}(Sm_{S})$ med följande kategori av simplicial kärvar.

Låt Δ vara simplexkategorin , det vill säga kategorin vars objekt är mängderna

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...,

och vars morfismer är ordningsbevarande funktioner. Vi låter $\Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}$ beteckna kategorin av funktorer $\Delta ^{op}\to Shv(Sm_{S})_{Nis}$ . Det vill säga, $\Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}$ är kategorin för enkla objekt på $Shv(Sm_{S})_{Nis}$ . Ett sådant objekt kallas också en enkel kärve på $Sm_{S}$ .

Steg 1c: fiberfunktioner . För alla jämna $S$ -schema $X$ , valfri punkt ${\displaystyle x\in X} ,$ och valfri bunt $F$ , låt oss skriva $x^{*}F$ för stjälken på begränsningen $F|_{X_{Nis}}$ av $F$ till den lilla Nisnevich-platsen för $X$ . Explicit, $x^{*}F=colim_{x\to V\to X}F(V)$ där colimiten är över faktoriseringar $x\to V\to X$ av den kanoniska inkluderingen $x\to X$ via en étale morfism $V\to X$ . Samlingen $\{x^{*}\}$ är en konservativ familj av fiberfunktioner för $Shv(Sm_{S})_{ Nis}$ .

Steg 1d: den slutna modellens struktur . Vi kommer att definiera en sluten modellstruktur på $\Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}$ i termer av fiberfunktioner. Låt $f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ vara en morfism av enkla kärvar. Vi säger att:

• f är en svag ekvivalens om, för någon fiberfunktion x av T , morfismen för enkla mängder $x^{*}f:x^{*}{\mathcal { X}}\to x^{*}{\mathcal {Y}}$ är en svag ekvivalens.
• f är en kofibrering om det är en monomorfism.
• f är en fibrering om den har rätt lyftegenskaper med avseende på någon samfibrering som är en svag ekvivalens.

Homotopikategorin för denna modellstruktur betecknas ${\mathcal {H}}_{s}(T)$ .

Steg 2

Denna modellstruktur har Nisnevich-härkomst, men den drar inte ihop den affina linjen. En enkel kärve ${\mathcal {X}}$ kallas $\mathbb {A} ^{1}$ -local om för någon enkel kärva ${\mathcal {Y}}$ kartan

${\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}( T)}({\mathcal {Y}}\times \mathbb {A} ^{1},{\mathcal {X}})\till {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_ {s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {X}})$

inducerad av $i_{0}:\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}$ är en bijektion. Här betraktar vi $\mathbb {A} ^{1}$ som en kärve via Yoneda-inbäddningen och den konstanta förenklade objektsfunktionen $Shv(Sm_{S})_{Nis}\to \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}$ .

En morfism ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}} är$ en $\mathbb {A} ^{1}$ -svag ekvivalens om för valfri $\mathbb {A} ^{1}$ -local ${\mathcal {Z}}$ , den inducerade kartan

${\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)} ({\mathcal {Y}},{\mathcal {Z}})\till {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {X} },{\mathcal {Z}})$

är en bijektion. A $\mathbb {A} ^{1}$ -lokal modellstruktur är lokaliseringen av ovanstående modell med avseende på $\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ -svaga ekvivalenser.

Formell definition

Slutligen kan vi definiera A ¹ -homotopikategorin.

Definition. Låt S vara ett ändligt dimensionellt noeteriskt schema (till exempel $S=Spec(\mathbb {C} )$ spektrumet för de komplexa talen), och låt Sm _{/ S} beteckna kategori av smidiga system över S . Utrusta Sm _{/ S} med Nisnevich-topologin för att få plats ( Sm _{/ S} ) _Nis . Homotopikategorin (eller oändlighetskategorin) som är associerad med $} ^{1}}$$\ Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}$ -lokal modellstruktur på ) kallas A ¹ - homotopikategorin . Den betecknas ${\mathcal {H}}_{s}$ . På liknande sätt, för de spetsiga enkla skivorna $\Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}$ finns en associerad spetsig homotopi kategori ${\mathcal {H}}_{s,*}$ .

Observera att genom konstruktion, för vilket X i Sm _{/ S} , det finns en isomorfism

X × _S A
¹ _S ≅ X ,

i kategorin homotopi.

Teorins egenskaper

Kila och krossa produkter av enkla (för)skärvor

Eftersom vi började med en enkel modellkategori för att konstruera kategorin $\mathbf {A} ^{1}$ -homotopi, finns det ett antal strukturer som ärvts från den abstrakta teorin om kategorier för enkla modeller. Speciellt för ${\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}$ spetsiga enkla skivor i $\Delta ^{ op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}$ kan vi bilda kilprodukten som colimit

${\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}={\underset {\to }{\text{colim}}}\left \{{\begin{matrix}*&\to &{\mathcal {X}}\\\downarrow &&\\{\mathcal {Y}}\end{matrix}}\right\}$

och smash-produkten definieras som

${\mathcal {X}}\wedge {\mathcal {Y}}={\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}/{\ mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}$

återvinna några av de klassiska konstruktionerna inom homotopi-teorin. Det finns dessutom en kon av en enkel (för)kärve och en kon av en morfism, men att definiera dessa kräver definitionen av de enkla sfärerna.

Enkla sfärer

Från det faktum att vi börjar med en enkel modellkategori betyder detta att det finns en cosimpliciell funktion

$\Delta ^{\bullet }:\Delta \to \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*} ({\text{Sm}}/S)_{nis}$

definiera förenklingarna i $\Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{ nis}$ . Kom ihåg att det algebraiska n-simplexet ges av $S$ -schemat

$\Delta ^{n}={\text{Spec}}\ vänster({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}]}{(t_{0}+t_{1}+\ cdots +t_{n}-1)}}\right)$

Att bädda in dessa scheman som konstanta preheaves och sheafifying ger objekt i $\Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm }}/S)_{nis}$ , som vi betecknar med $\Delta ^{n}$ . Dessa är objekten i bilden av $\Delta ^{\bullet }([n])$ , dvs $\Delta ^{ \bullet }([n])=\Delta ^{n}$ . Sedan med hjälp av abstrakt enkel homotopi-teori får vi de förenklade sfärerna

$S^{n}=\Delta ^{n}/\partial \Delta ^{n}$

Vi kan då bilda konen av en enkel (för)kärve som

$C({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge \Delta ^{1}$

och bildar konen av en morfism $f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ som kogräns för diagrammet

$C(f)={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matris }{\mathcal {X}}&\xrightarrow {f} &{\mathcal {Y}}\\\downarrow &&\\C({\mathcal {X}})\end{matrix}}\right\}$

Dessutom är kofibern för ${\mathcal {Y}}\to C(f)$ helt enkelt upphängningen ${\mathcal {X}} \wedge S^{1}=\Sigma {\mathcal {X}}$ . I kategorin spetsig homotopi finns dessutom upphängningsfunktionen

${\displaystyle \Sigma :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm /S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}} ges av Σ ( X ) =$ X ${ \mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge S^{1}}$

och dess högra angränsning

$\Omega :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm /S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}$

kallas slingrymdsfunktionen .

Anmärkningar

Uppställningen, särskilt Nisnevich-topologin , är vald för att göra algebraisk K-teori representerad av ett spektrum, och i vissa aspekter för att göra ett bevis på Bloch-Kato-förmodan möjligt.

Efter Morel-Voevodsky-konstruktionen har det funnits flera olika tillvägagångssätt för A ^1- homotopi-teorin genom att använda andra modellkategoristrukturer eller genom att använda andra skivor än Nisnevich-skivor (till exempel Zariski-skivor eller bara alla förskivor). Var och en av dessa konstruktioner ger samma homotopikategori.

Det finns två typer av sfärer i teorin: de som kommer från den multiplikativa gruppen som spelar rollen som 1 -sfären i topologi, och de som kommer från den enkla sfären (betraktas som konstant förenklad bunt). Detta leder till en teori om motiviska sfärer Sp ^{. , q} med två index Att beräkna homotopigrupperna för motiviska sfärer skulle också ge de klassiska stabila homotopigrupperna för sfärerna, så i detta avseende är A ¹ homotopi-teori minst lika komplicerad som klassisk homotopi-teori.

Motiviska analogier

Eilenberg-Maclane utrymmen

För en abelsk grupp $A$ ges $(p,q)$ -motivisk kohomologi för ett jämnt schema $X$ av kärvhyperkohomologigrupperna

$H^{p,q}(X,A):=\mathbb {H} ^{p} (X_{nis},A(q))$

för $A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A$ . Representerar denna kohomologi är en enkel abelsk kärve betecknad $K(p,q,A)$ motsvarande $A(q)[+p]$ som anses vara ett objekt i den spetsiga motiviska homotopikategorin $H_{\bullet }(k)$ . Sedan, för ett jämnt schema $X$ har vi ekvivalensen

${\text{Hom}}_{H_{\bullet }(k)} (X_{+},K(p,q,A))=H^{p,q}(X,A)$

som visar dessa skivor representerar motiviska Eilenberg-Maclane utrymmen ^{pg 3} .

Den stabila homotopikategorin

En ytterligare konstruktion i A ¹ -homotopi-teorin är kategorin SH( S ), som erhålls från ovanstående instabila kategori genom att tvinga smash-produkten med G _m att bli inverterbar. Denna process kan utföras antingen med modellkategoriska konstruktioner med så kallade Gm _- spektra eller alternativt med infinity-kategorier.

För S = Spec ( R ), spektrumet för fältet av reella tal, finns det en funktor

$SH(\mathbf {R} )\to SH$

till kategorin stabil homotopi från algebraisk topologi. Funktionen kännetecknas av att skicka ett smidigt schema X / R till det verkliga grenröret som är associerat med X. Denna funktion har egenskapen att den skickar kartan

$\rho :S^{0}\to \mathbf {G} _{m},dvs.\{-1, 1\}\to Spec\mathbf {R} [x,x^{-1}]$

till en ekvivalens, eftersom $\mathbf {R} ^{\times }$ är homotopi ekvivalent med en tvåpunktsmängd. Bachmann (2018) har visat att den resulterande funktionen

$SH(\mathbf {R} )[\rho ^{-1}]\to SH$

är en likvärdighet.

Enkätartiklar och föreläsningar

• Morel (2002) An Introduction to A ¹ -homotopy theory
• Antieau, Benjamin; Elmanto, Elden (2016), A primer for instable motivic homotopy theory , arXiv : 1605.00929 , Bibcode : 2016arXiv160500929A

Motivisk homotopi

Grunder

• Motiviska stabila homotopigrupper
•    Morel, Fabien; Voevodsky, Vladimir (1999), " A ¹ -homotopy theory of schemes" (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 90 (90): 45–143, doi : 10.1007/BF02698831 , MR 4422C retved 81422C18122C18122C181 , 901 maj 2008
•    Voevodsky, Vladimir (1998), " A ¹ -homotopy theory" (PDF) , Documenta Mathematica , Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998): 579–604, ISSN 1431-0635 , MR 1648048
• Voevodsky, Vladimir (2008) " Instabila motiviska homotopikategorier i Nisnevich och cdh-topologier "

Motivisk Steenrod algebra

• Voevodsky, Vladimir (2001) " Reduced power operations in motivic cohomology "
• Voevodsky, Vladimir (2008) " Motiviska Eilenberg-Maclane utrymmen "

Motivisk Adams spektralsekvens

• Den motiviska Adams spektralsekvens
• Motivisk kromatisk homotopi teori

Spectra

• Jardine. (1999) Motivic Symmetric Spectra

Bloch-Kato

• Gerstens gissning för Milnor K-teorin
• Tate vändningar och kohomologi av P ¹

Ansökningar

• Den motiviska Steenrod-algebra i positiv egenskap
• Motiviska stabila homotopigrupper
• På Motivic $\pi _{0}$ i sfärspektrumet (Springer)
• De första stabila homotopigrupperna i den motiviska sfären
• På nolldelen av sfärspektrumet
• Försvinner i stabila motiviska homotopiskivor

Referenser

•   Bachmann, Tom (2018), "Motivic and Real Etale Stable Homotopy Theory", Compositio Mathematica , 154 (5): 883–917, arXiv : 1608.08855 , doi : 10.1112/S0010477X101 , S0010477X101 01C