Kvotientutrymme (topologi)

För kvotutrymmen i linjär algebra, se kvotutrymme (linjär algebra) .

Illustration av konstruktionen av en topologisk sfär som kvotutrymmet för en skiva , genom att limma ihop till en enda punkt punkterna (i blått) av skivans gräns.

Inom topologi och relaterade områden av matematik är kvotutrymmet för ett topologiskt utrymme under ett givet ekvivalensförhållande ett nytt topologiskt utrymme konstruerat genom att förse kvotuppsättningen av det ursprungliga topologiska rummet med kvottopologin , det vill säga med den finaste topologin som gör kontinuerlig den kanoniska projektionskartan (funktionen som mappar pekar på deras ekvivalensklasser ). Med andra ord, en delmängd av ett kvotutrymme är öppet om och endast om dess förbild under den kanoniska projektionskartan är öppen i det ursprungliga topologiska rummet.

identifieras eller "limmas" punkterna för varje ekvivalensklass för att bilda ett nytt topologiskt utrymme. Till exempel, identifiering av punkterna i en sfär som tillhör samma diameter producerar det projektiva planet som ett kvotutrymme.

Definition

Låt $\left(X,\tau _{X}\right)$ vara ett topologiskt rum , och låt $\,\sim \,$ vara en ekvivalensrelation på $X.$ Kvotientmängden , $Y=X/\sim \,$$X.$ uppsättningen av ekvivalensklasser av element i . Ekvivalensklassen för $x\in X$ betecknas $[x].$ Kvotienten , kanonisk , projektionskarta associerad med $,}$ \ hänvisar till följande surjektiva karta:

$${\begin{alignedat}{4}q:\;&&X&&~\to &~X/{\sim }\\[0.3ex]&&x&&~\mapsto &~[x].\end{alignedat}}$$

För varje delmängd $S\subseteq X/{\sim }$ (så i synnerhet $s\subseteq X$ för varje $s\in S$ ) gäller följande:

$$q^{-1}(S)=\{x\in X:[x]\in S\}=\bigcup _{s\in S}q^{-1}(s).$$

Kvotutrymmet under $\,\sim \,$ är kvotmängden $Y$ utrustad med kvottopologin , som är topologin vars öppna mängder är delmängderna ${\ displaystyle U\subseteq Y=X/{\sim }}$ så att $\{x\in X:[x]\in U\} =\cup _{u\in U}u$ är en öppen delmängd av $\left(X,\tau _{X}\right);$ det vill säga $U\subseteq X/{\sim }$ är öppen i kvottopologin på $X/{\sim }$ om och endast om $\{x\in X:[x]\in U\}\in \tau _{X}.$ Således,

$$\tau _{Y}=\left\{U\subseteq Y:\{x\in X:[x]\in U\}\in \tau _{X}\right\}.$$

På motsvarande sätt är de öppna uppsättningarna av kvottopologin delmängderna av $Y$ som har en öppen förbild under den kanoniska kartan $q:X\to X/{\sim }$ (vilket definieras av $q(x)=[x]$ ). På liknande sätt stängs en delmängd $\sim }}$ { i $X/{\sim }$ om och endast om $\{x\in X:[x]\in S\}$ är en sluten delmängd av $\left(X,\tau _{X}\right).$

Kvottopologin är den slutliga topologin på kvotmängden, med avseende på kartan $x\mapsto [x].$

Kvotientkarta

En karta $f:X\to Y$ är en kvotkarta (kallas ibland en identifieringskarta ) om den är surjektiv , och en delmängd $V\subseteq Y$ är öppen om och endast om $f^{-1}(V)$ är öppen. På motsvarande sätt är en surjektion $f:X\to Y$ en kvotkarta om och endast om för varje delmängd $D\subseteq Y,$$D$ är stängd i $Y$ om och endast om $f^{-1}(D)$ är stängd i $X.$

Slutlig topologidefinition

Alternativt är $f$ en kvotmapp om den är på och $Y$ är utrustad med den slutliga topologin med avseende på $f.$

Mättade set och kvotkartor

En delmängd $S$ av $X$ kallas mättad (med avseende på $f$ ) om den har formen $S=f^ {-1}(T)$ för någon uppsättning $T,$ vilket är sant om och endast om $f^{-1}(f(S))=S.$ Tilldelningen $T\mapsto f^{-1}(T)$ upprättar en ett-till -en överensstämmelse (vars invers är $S\mapsto f(S)$ ) mellan delmängder $T$ av $Y=f(X)$ och mättade delmängder av $X.$ Med denna terminologi är en surjektion $f:X\to Y$ en kvotkarta om och endast om för varje mättad delmängd $S$ av ${\ displaystyle X,}$$S$ är öppen i $X$ om och endast om $f(S)$ är öppen i $Y.$ Särskilt öppna delmängder av $X$ som inte är mättade har ingen inverkan på huruvida funktionen $f$ är en kvotmapp eller inte; icke-mättade delmängder är irrelevanta för definitionen av "kvotmapp" precis som de är irrelevanta för den öppna uppsättningsdefinitionen av kontinuitet (eftersom en funktion $f:X\to Y$ är kontinuerlig om och endast om för varje mättad delmängd $S$ av $\displaystyle X,}$$) {\displaystyle f(X)}$$f(S)$ är öppen i innebär $S$ är öppen i $X$ ). Om $\tau$ är en topologi på $X$ och $f:X\to Y$ är vilken karta som helst, ställ in $\tau _{ f}$ av alla $U\in \tau$ som är mättade delmängder av $X$ bildar en topologi på $X.$ Om $Y$ också är ett topologiskt utrymme så är $f:(X,\tau )\to Y$ en kvotkarta (respektive, kontinuerlig ) om och endast om detsamma gäller $f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.$

Varje kvotkarta är kontinuerlig men inte varje kontinuerlig karta är en kvotkarta. En kontinuerlig surjection $f:X\to Y$ misslyckas med att vara en kvotkarta om och endast om $X$ har någon mättad öppen delmängd $S$ så att $f(S)$ är inte öppen i $Y$ (detta påstående förblir sant om båda instanserna av ordet "öppen" ersätts med "stängd").

Karakterisering av kvotutrymme av fibrer

Givet en ekvivalensrelation $\,\sim \,$ på $X,$ betecknar för en punkt $x\in X$ med $[x]:=\{z\in X:z\sim x\}$ och låt $X/ {\sim }:=\{[x]:x\in X\}$ anger uppsättningen av ekvivalensklasser. Kartan $q:X\to X/{\sim }$ som skickar punkter till deras ekvivalensklasser (det vill säga den definieras av ${\ displaystyle q(x):=[x]}$ för varje $x\in X$ ) kallas den kanoniska kartan . Det är en surjektiv karta och för alla $a,b\in X,$$a\,\sim \,b$ om och endast om $q(a)=q(b);$ följaktligen, $q(x)=q^{-1}(q(x))$ för alla $x\in X.$ Detta visar speciellt att mängden av ekvivalensklass $X/{\sim }$ är exakt mängden fibrer i den kanoniska kartan $q.$ Om $X$ är ett topologiskt utrymme då ger $X/{\sim }$ kvottopologin inducerad av $q$ att det blir ett kvotutrymme och gör $q:X\to X/{\sim }$ till en kvotmapp. Fram till en homeomorfism är denna konstruktion representativ för alla kvotutrymmen; den exakta innebörden av detta förklaras nu.

Låt $f:X\to Y$ vara en surjektion mellan topologiska rum (ännu inte antagna vara kontinuerliga eller en kvotkarta) och deklarera för alla a , $a,b\ i X}$ att $a\,\sim \,b$ om och endast om $f(a)=f(b).$ Då är $\,\sim \,$ en ekvivalensrelation på $X$ så att för varje $x\ i X,$$[x]=f^{-1}(f(x)),$ vilket antyder att ${\ displaystyle f([x])}$ (definierad av $f([x])=\{\,f(z)\, :z\in [x]\}$ ) är en singleton-uppsättning ; beteckna det unika elementet i $f([x])$ med ${\hat {f}}([x])$ (så per definition, ${\displaystyle f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}})$ . Tilldelningen $[x]\mapsto {\hat {f}}([x])$ definierar en bijektion ${\ hat {f}}:X/{\sim }\;\;\to \;Y$ mellan fibrerna i $f$ och punkterna i $Y.$ Definiera kartan $q:X\to X/{\sim }$ enligt ovan (med $q(x ):=[x]$ ) och ge $X/\sim$ kvottopologin inducerad av $q$ (vilket gör $q$ till en kvotkarta). Dessa kartor är relaterade av:

$$f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ och }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.$$

Av detta och det faktum att $q:X\to X/\sim$ är en kvotmappning, följer att $f:X\to Y$ är kontinuerlig om och endast om detta är sant för ${\displaystyle {\hat {f}}:X/\sim \;\;\to \;Y.} Dessutom är$ f $\displaystyle f:X\to Y}$ en kvotkarta om och endast om ${\hat {f}}:X/\sim \;\;\to \;Y$ är en homeomorfism (eller motsvarande, om och endast om båda ${\ displaystyle {\hat {f}}}$ och dess invers är kontinuerliga).

Relaterade definitioner

En ärftlig kvotkarta är en surjektiv karta $f:X\to Y$ med egenskapen att för varje delmängd $T\subseteq Y,$ begränsningen $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\ till T$ är också en kvotkarta. Det finns kvotkartor som inte är ärftligt kvoterade.

Exempel

• Limning . Topologer talar om att limma ihop punkter. Om $X$ är ett topologiskt utrymme, innebär limning av punkterna $x$ och $y$ i $X$ att man beaktar kvotutrymmet som erhålls från ekvivalensrelationen ${\ displaystyle a\sim b}$ om och endast om $a=b$ eller $a=x,b=y$ (eller ${\ displaystil a=y,b=x}$ ).
• Betrakta enhetskvadraten $I^{2}=[0,1]\ gånger [0,1]$ och ekvivalensrelationen ~ som genereras av kravet att alla gränsar poäng vara ekvivalenta, vilket identifierar alla gränspunkter till en enda ekvivalensklass. Då är $I^{2}/\sim$ homeomorf till sfären $S^{2}.$

Till exempel är $[0,1]/\{0,1\}$ homeomorf till cirkeln $S^{1}.$

• Adjunktionsutrymme . Mer generellt, anta att $X$ är ett mellanslag och $A$ är ett delrum till $X.$ Man kan identifiera alla punkter i $A$ till en enstaka ekvivalensklass och lämna punkter utanför $A$ motsvarande endast sig själva. Det resulterande kvotutrymmet betecknas $X/A.$ 2-sfären är sedan homeomorf till en sluten skiva med dess gräns identifierad till en enda punkt: $D^{2}/\partial {D^{2}}.$
• Betrakta mängden $\mathbb {R}$ av reella tal med den vanliga topologin, och skriv $x\sim y$ om och endast om $xy$ är ett heltal . Då är kvotutrymmet $X/\sim$ homeomorft till enhetscirkeln $S^{1}$ via homeomorfismen som skickar ekvivalensklassen för $x$ till $\exp(2\pi ix).$
• En generalisering av föregående exempel är följande: Antag att en topologisk grupp $G$ verkar kontinuerligt på ett mellanslag $X.$ Man kan bilda en ekvivalensrelation på $X$ genom att säga att punkter är ekvivalenta om och bara om de ligger i samma bana . Kvotutrymmet under denna relation kallas omloppsutrymmet , betecknat $X/G.$ I föregående exempel verkar ${\displaystyle G=\mathbb {Z} } på$$\mathbb {R}$ genom översättning. Banutrymmet $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ är homeomorft till $S^{1}.$
  • Obs : Notationen $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ är något tvetydig. Om $\mathbb {Z}$ förstås vara en grupp som verkar på $\mathbb {R}$ via addition, så är kvoten cirkeln. Men om $\mathbb {Z}$ betraktas som ett topologiskt delrum av $\mathbb {R}$ (som identifieras som en enda punkt) då är kvoten $\{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}$ (som är identifierbar med mängden ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )} ) är$ en räkningsbar oändlig $\mathbb {Z} .$ av cirklar sammanfogade i en enda punkt
• Detta nästa exempel visar att det i allmänhet inte är sant att om $q:X\to Y$ är en kvotmapp, så är varje konvergent sekvens (respektive varje konvergent netto ) i $Y$ har ett lyft (med $q$ ) till en konvergent sekvens (eller konvergent netto ) i $X.$ Låt $X=[0,1]$ och $\,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\ höger\}.$ Låt $Y:=X/\,\sim \,$ och låt $q:X\to X/\sim \,$ vara kvotmappen $q(x):=[x],$ så att $q(0 )=q(1)=\{0,1\}$ och $q(x)=\{x\}$ för varje $x\in (0,1).$ Kartan $h:X/\,\sim \,\to S^{1}\subseteq \mathbb { C}$ definierad av $h([x]):=e^{2\pi ix}$ är väldefinierad (eftersom ${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}})$ och en homeomorfism . Låt $I=\mathbb {N}$ och låt $a_{\bullet }:= \left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ och }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}$ vara alla sekvenser (eller mer allmänt, alla nät) värderade i $(0,1)$ så att $a_{\bullet }\to 0{\text{ och }}b_{\bullet }\to 1$ i $X=[0,1].$ Sedan sekvensen
  $$y_{1}:= q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{ 4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots$$
  konvergerar till $[0]=[1]$ i $X/\sim \,$ men det finns inget konvergent lyft av denna sekvens av kvotmappen ${ \displaystyle q}$ (det vill säga det finns ingen sekvens $s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}$ i $X$ som både konvergerar till några $x\in X$ och uppfyller $y_{i}=q\left(s_{i}\right )$ för varje $i\in I$ ). Detta motexempel kan generaliseras till nät genom att låta $(A,\leq )$ vara valfri riktad uppsättning och göra $I:=A\times \{1,2\}$ till ett nät genom att deklarera att för alla $(a,m),(b,n)\in I,$$(m,a)\;\leq \;(n,b)$ gäller om och endast om både (1) $a\leq b ,$ och (2) om $a=b{\text{ sedan }}m\leq n;$ sedan det $A$ -indexerade nätet definierat genom att låta $y_{(a,m)}$ lika med $a_{i}{\text{ if }}m=1$ och lika med $b_{i}{\text{ if }}m =2$ har inget lyft (med $q$ ) till ett konvergent ${\displaystyle A} -indexerat$$X=[0,1].$ i

Egenskaper

Kvotientkartor $q:X\to Y$ karakteriseras bland surjektiva kartor av följande egenskap: om $Z$ är vilket topologiskt utrymme som helst och $f:Y \till Z$ är vilken funktion som helst, då är $f$ kontinuerlig om och endast om $f\circ q$ är kontinuerlig.

Kvotutrymmet $X/{\sim }$ tillsammans med kvotmappen $q:X\to X/{\sim }$ kännetecknas av följande universella egenskap : if $g:X\to Z$ är en kontinuerlig karta så att $a\sim b$ antyder $g(a) )=g(b)$ för alla $a,b\in X,$ så finns det en unik kontinuerlig karta $f:X/{\sim }\till Z$ så att $g=f\circ q.$ Med andra ord, följande diagram pendlar:

Man säger att $g$ sjunker till kvoten för att uttrycka detta, det vill säga att den faktoriseras genom kvotutrymmet. De kontinuerliga kartorna som definieras på $X/{\sim }$ är därför just de kartor som härrör från kontinuerliga kartor definierade på $X$ som respekterar ekvivalensrelationen (i den meningen att de skickar element som motsvarar samma bild). Detta kriterium används flitigt när man studerar kvotutrymmen.

Givet en kontinuerlig surjection $q:X\to Y$ är det användbart att ha kriterier som man kan använda för att avgöra om $q$ är en kvotkarta. Två tillräckliga kriterier är att $q$ är öppen eller stängd . Observera att dessa villkor endast är tillräckliga , inte nödvändiga . Det är lätt att konstruera exempel på kvotkartor som varken är öppna eller slutna. För topologiska grupper är kvotkartan öppen.

Kompatibilitet med andra topologiska föreställningar

Separation

• I allmänhet är kvotutrymmen dåligt uppförda med avseende på separationsaxiom. Separationsegenskaperna för $X$ behöver inte ärvas av $X/\sim ,$ och $X/\sim$ kan ha separationsegenskaper som inte delas av $X.$
• $X/\sim$ är ett T1-mellanslag om och endast om varje ekvivalensklass av $\,\sim \,$ är stängd i $X.$
• Om kvotmappen är öppen är $X/\sim$ ett Hausdorff-utrymme om och endast om ~ är en sluten delmängd av produktutrymmet $X\ gånger X.$

Samhörighet

• Om ett utrymme är anslutet eller sökväg anslutet , så är alla dess kvotutrymmen också det.
• Ett kvotutrymme för ett enkelt anslutet eller sammandragbart utrymme behöver inte dela dessa egenskaper.

Kompakthet

• Om ett utrymme är kompakt, så är alla dess kvotutrymmen det också.
• Ett kvotutrymme av ett lokalt kompakt utrymme behöver inte vara lokalt kompakt.

Dimensionera

• Den topologiska dimensionen av ett kvotutrymme kan vara mer (likväl som mindre) än dimensionen för det ursprungliga rummet; utrymmesfyllande kurvor ger sådana exempel.

Se även

Topologi

• Täckande utrymme – typ av kontinuerlig karta i topologi Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Disjoint union (topologi) – utrymme som bildas genom att utrusta den disjunkta föreningen av de underliggande uppsättningarna med en naturlig topologi som kallas disjoint union topology Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Slutlig topologi – Finaste topologin som gör vissa funktioner kontinuerliga
• Kartläggningskon (topologi) – topologisk konstruktion Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Produktutrymme – Topologi på kartesiska produkter av topologiska utrymmen Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Delrum (topologi)
• Topologiskt rum – Matematiskt rum med en föreställning om närhet

Algebra

• Kvotientkategori
• Kvotientgrupp – Grupp som erhålls genom att aggregera liknande element i en större grupp
• Kvotientrymd (linjär algebra) – Vektorutrymme som består av affina delmängder
• Kartläggningskon (homologisk algebra) – Verktyg i homologisk algebra

Anteckningar

•    Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Allmän topologi: Kapitel 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1 . OCLC 18588129 .
•    Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. Allmän topologi 2: Kapitel 5–10 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Vol. 4. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4 . OCLC 246032063 .
•   Brown, Ronald (2006), Topology and Groupoids , Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
•    Dixmier, Jacques (1984). Allmän topologi . Grundutbildningstexter i matematik. Översatt av Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1 . OCLC 10277303 .
•    Dugundji, James (1966). Topologi . Boston: Allyn och Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
•    Kelley, John L. (1975). Allmän topologi . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1 . OCLC 338047 .
•    Munkres, James R. (2000). Topologi (andra upplagan). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .
•    Willard, Stephen (2004) [1970]. Allmän topologi . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .
•   Willard, Stephen (1970). Allmän topologi . Reading, MA: Addison-Wesley . ISBN 0-486-43479-6 .