Sammanhängande kärve

I matematik, särskilt i algebraisk geometri och teorin om komplexa grenrör , är koherenta skivor en klass av skivor som är nära kopplade till de geometriska egenskaperna hos det underliggande utrymmet. Definitionen av koherenta skivor görs med hänvisning till en bunt av ringar som kodifierar denna geometriska information.

Koherenta skivor kan ses som en generalisering av vektorbuntar . Till skillnad från vektorbuntar bildar de en abelsk kategori , och därför stängs de under operationer som att ta kärnor , bilder och kokkärnor . De kvasikoherenta skivorna är en generalisering av koherenta skivor och inkluderar de lokalt fria skivorna av oändlig rang.

Koherent kärvekohomologi är en kraftfull teknik, särskilt för att studera sektionerna av en given koherent kärve.

Definitioner

En kvasi-koherent kärve på ett ringmärkt utrymme $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ är en kärve ${\mathcal {F}}$ av ${\mathcal {O}}_{X}$ - moduler som har en lokal presentation, det vill säga varje punkt i $X$ har ett öppet område $U$ där det finns är en exakt sekvens

${\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U }\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0$

för vissa (möjligen oändliga) uppsättningar $I$ och $J$ .

En sammanhängande kärve på ett ringmärkt utrymme $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ är en kärve ${\mathcal {F}}$ som uppfyller följande två fastigheter:

1. ${\mathcal {F}}$ är av finit typ över ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} ,$ det vill säga varje punkt i $X$ har en öppen grannskap $U$ i $X$ så att det finns en surjektiv morfism ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}} för något naturligt tal n {\$ displaystyle $}$ ;
2. för alla öppna mängder $U\subseteq X$ , alla naturliga tal $n$ , och alla morfism ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}} av O X {$ \ $\ matematiska {O}}_{X}}$ -moduler, är kärnan i $\varphi$ av finit typ.

Morfismer mellan (kvasi-)koherenta skivor är desamma som morfismer av skivor av ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler.

Fallet med system

När $X$ är ett schema, är de allmänna definitionerna ovan likvärdiga med mer explicita. En bunt ${\mathcal {F}}$ av ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler är kvasi-koherent om och endast om över varje öppet affint delschema $U=\operatörsnamn {Spec} A$ begränsningen ${\mathcal {F}}|_{U}$ är isomorf till kärven ${\tilde {M}}$ associerad med modulen $M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})$ över $A$ . När $X$ är ett lokalt Noetherian-schema, är ${\mathcal {F}}$ koherent om och endast om det är kvasi-koherent och modulerna $M$ ovan kan tas till vara ändligt genererad .

På ett affint schema $U=\operatörsnamn {Spec} A$ finns det en ekvivalens av kategorier från $A$ -moduler till kvasikoherenta skivor, med en modul $M$ till den tillhörande kärven ${\tilde {M}}$ . Den inversa ekvivalensen tar en kvasi-koherent bunt ${\mathcal {F}}$ på $U$ till $A$ -modulen ${\mathcal {F }}(U)$ av globala sektioner av ${\mathcal {F}}$ .

Här är flera ytterligare karakteriseringar av kvasikoherenta skivor på ett schema.

Teorem — Låt $X$ vara ett schema och ${\mathcal {F}}$ en ${\mathcal {O}}_{X}$ -modul på den. Då är följande likvärdiga.

• ${\mathcal {F}}$ är quasi-koherent.
• För varje öppet affint underschema $U$ av $X$ , ${\mathcal {F}}|_{U}$ är isomorf som en ${\mathcal {O}}_{U}$ -modul till kärven ${\ tilde {M}}$ associerad med någon ${\mathcal {O}}(U)$ -modul $M$ .
• Det finns ett öppet affint omslag $\{U_{\alpha }\}$ av $X$ så att för varje $U_{\alpha }$ på omslaget, ${\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}$ är isomorf till kärven som är associerad med något ${\mathcal {O}}(U_{\alpha })$ -modul.
• För varje par öppna affina underscheman $V\subseteq U$ av $X$ , den naturliga homomorfismen

  ${\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V ),\,f\otimes s\mapsto f\cdot s|_{V}$

är en isomorfism.

• För varje öppet affint underschema $U=\operatorname {Spec} A$ av $X$ och varje $f\in A$ , skriv $U_ {f}$ för det öppna underschemat av $U$ där $f$ inte är noll, den naturliga homomorfismen

  ${\displaystyle {\mathcal { F}}(U){\bigg [}{\frac {1}{f}}{\bigg ]}\to {\mathcal {F}}(U_{f})} är en isomorfism$

. Homomorfismen kommer från den universella egenskapen lokalisering .

Egenskaper

På ett godtyckligt ringmärkt utrymme bildar kvasikoherenta kärvar inte nödvändigtvis en abelsk kategori. Å andra sidan bildar de kvasikoherenta skivorna på vilket schema som helst en abelsk kategori, och de är extremt användbara i det sammanhanget.

På valfritt ringmärkt utrymme $X$ bildar de koherenta skivorna en abelsk kategori, en fullständig underkategori av kategorin ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler. (Analogiskt är kategorin av koherenta moduler över valfri ring $A$ en fullständig abelsk underkategori av kategorin för alla $A$ -moduler.) Så kärnan, bilden och cokernelen för vilken karta som helst av koherent kärvar är sammanhängande. Den direkta summan av två koherenta skivor är koherent; mer allmänt är en ${\mathcal {O}}_{X}$ -modul som är en förlängning av två koherenta skivor koherent.

En undermodul av en koherent bunt är koherent om den är av finit typ. En koherent bunt är alltid en ${\mathcal {O}}_{X}$ -modul av finit presentation , vilket betyder att varje punkt $x$ i $X$ har en öppen grannskap $U$ så att begränsningen ${\mathcal {F}}|_{U}$ av ${\mathcal {F}}$ till $U$ är isomorf till kokkärnan i en morfism ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}} för vissa$ naturliga nummer $n$ och $m$ . Om ${\mathcal {O}}_{X}$ är koherent, så är omvänt varje bunt av ändlig presentation över ${\mathcal {O}}_{X}$ koherent .

Ringskivan ${\mathcal {O}}_{X}$ kallas koherent om den är koherent betraktad som en bunt av moduler över sig själv. Speciellt Oka koherenssatsen att bunten av holomorfa funktioner på ett komplext analytiskt utrymme $X$ är en koherent bunt av ringar. Huvuddelen av beviset är fallet $X=\mathbf {C} ^{n}$ . På samma sätt, på ett lokalt Noetherian schema $X$ , är strukturkärven ${\mathcal {O}}_{X}$ en sammanhängande bunt av ringar.

Grundläggande konstruktioner av sammanhängande skivor

• En ${\mathcal {O}}_{X}$ -modul ${\mathcal {F}}$ på ett ringmärkt utrymme $X$ kallas lokalt fri från finit rang , eller en vektorbunt , om varje punkt i $X$ har ett öppet område $U$ så att begränsningen ${\mathcal {F}}|_{U}$ är isomorf till en ändlig direkt summa av kopior av ${\mathcal {O}}_{X}|_{U}$ . Om ${\mathcal {F}}$ är fri från samma rang $n$ nära varje punkt i $X$ , då vektorbunten ${\mathcal {F} }$ sägs vara av rang $n$ .

Vektorbuntar i denna skövteoretiska mening över ett schema $X$ är ekvivalenta med vektorbuntar definierade på ett mer geometriskt sätt, som ett schema $E$ med en morfism $\ pi :E\to X$ och med en täckning av $X$ av öppna mängder $\displaystyle U_{\alpha }}$${\ displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }} över U α {\displaystyle U_{\alpha }$ med givna isomorfismer } $de$ två isomorfismer över en skärningspunkt $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ skiljer sig med en linjär automorfism. (Den analoga ekvivalensen gäller även för komplexa analytiska utrymmen.) Till exempel, givet en vektorbunt ${\displaystyle E} i denna geometriska betydelse,$ definieras motsvarande bunt ${\displaystyle {\mathcal {F}}} av: över$ en öppen uppsättning $U$ av $X$ , ${\mathcal {O}}(U)$ -modul ${\mathcal {F }}(U)$ är uppsättningen av sektioner av morfismen $\pi ^{-1}(U)\to U$ . Den kärvteoretiska tolkningen av vektorbuntar har fördelen att vektorbuntar (på ett lokalt Noetherian-schema) ingår i den abelska kategorin av koherenta kärvar.

• Lokalt fria skivor är utrustade med standard ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduloperationer, men dessa ger tillbaka lokalt fria skivor.

• Låt $X=\operatörsnamn {Spec} (R)$ , $R$ en Noetherian ring. Sedan är vektorbuntar på $X$ exakt de skivor som är associerade med ändligt genererade projektiva moduler över ${\displaystyle R} ,$ eller (motsvarande) till ändligt genererade platta moduler över $R$ .

• Låt $X=\operatörsnamn {Proj} (R)$ , $R$ en Noetherian $\mathbb {N}$ -graderad ring, vara ett projektivt schema över en Noetherian ring $R_{0}$ . Sedan bestämmer varje $\mathbb {Z}$ -graded $R$ -modul $M$ en kvasi-koherent bunt ${\mathcal {F}}$ på ${\ displaystil X}$ så att ${\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}$ är kärven som är associerad med $R[f^{-1} ]_{0}$ -modul $M[f^{-1}]_{0}$ , där $f$ är ett homogent element av $R$ av positiv grad och $\{f\neq 0\}=\operatörsnamn {Spec} R[f^{-1}]_{0}$ är locus där $f$ inte försvinner.

• Till exempel, för varje heltal $n$ , låt $R(n)$ beteckna den graderade $R$ -modulen som ges av ${ \displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}$ . Sedan bestämmer varje $R(n)$ den kvasi-koherenta bunten ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ på $X$ . Om $R$ genereras som $R_{0}$ -algebra av $R_{1}$ , då ${\mathcal {O}}_ {X}(n)$ är en linjebunt (inverterbar bunt) på $X$ och ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ är ${ \displaystyle n}$ -th tensorpotensen av ${\mathcal {O}}_{X}(1)$ . Speciellt ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$ kallas den tautologiska linjebunten på den projektiva $n$ -mellanslag.

• Ett enkelt exempel på en koherent bunt på $\mathbb {P} ^{2}$ som inte är en vektorbunt ges av kokkärnan i följande sekvens

${\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}- yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\ till 0$

detta beror på att ${\mathcal {E}}$ begränsad till försvinnande lokus för de två polynomen har tvådimensionella fibrer och har endimensionella fibrer någon annanstans.

• Idealiska skivor : Om $Z$ är ett slutet delschema av ett lokalt Noetherian schema $X$ , kärven ${\mathcal {I}}_{Z/X}$ av alla vanliga funktioner som försvinner på $Z$ är koherenta. På samma sätt, om $Z$ är ett slutet analytiskt delrum av ett komplext analytiskt utrymme $X$ , den ideala bunten ${\mathcal {I}}_{Z/X}$ är sammanhängande.

• Strukturblocket ${\mathcal {O}}_{Z}$ för ett slutet delschema $Z$ i ett lokalt Noetherian schema $X$ kan ses som en koherent bunt på $X$ . För att vara exakt är detta den direkta bildbunten ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}} ,$ där $i:Z\to X$ är inkluderingen. Likaså för ett slutet analytiskt delrum av ett komplext analytiskt rum. Bärven $i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ har fiber (definierad nedan) med dimension noll vid punkter i den öppna uppsättningen $XZ$ , och fiber med dimension 1 vid punkter i $Z$ . Det finns en kort exakt sekvens av koherenta skivor på $X$ :

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/ X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.} De flesta operationer av linjär algebra bevarar$

• koherenta skivor . Speciellt för koherenta skivor ${\mathcal {F}}$ och ${\mathcal {G}}$ på ett ringat utrymme ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}} och bunten$$\displaystyle X}$ , tensorprodukten ⊗ av homomorfismer ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})} är koherenta$ .

• Ett enkelt icke-exempel på en kvasikoherent sträng ges av förlängningen med nollfunktion. Tänk till exempel $i_{!}{\mathcal {O}}_{X}$ för

${\ displaystyle X=\operatörsnamn {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatörsnamn {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}$

Eftersom denna kärve har icke-triviala stjälkar, men noll globala sektioner, kan detta inte vara en kvasikoherent kärve. Detta beror på att kvasikoherenta skivor på ett affint schema är ekvivalenta med kategorin moduler över den underliggande ringen, och tillägget kommer från att ta globala sektioner.

Funktionalitet

Låt $f:X\to Y$ vara en morfism av ringade utrymmen (till exempel en morfism av scheman ). Om ${\mathcal {F}}$ är en kvasi-koherent bunt på $Y$ , då den omvända bilden ${\mathcal {O}}_{X}$ -modul (eller pullback ) $f^{*}{\mathcal {F}}$ är quasi-koherent på $X$ . För en morfism av scheman $f:X\to Y$ och en koherent bunt ${\mathcal {F}}$ på $Y$ , tillbakadragningen ${ \displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$ är inte koherent i sin helhet (till exempel ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y }={\mathcal {O}}_{X}} ,$ som kanske inte är koherent), men tillbakadragningar av koherenta skivor är koherenta om $X$ är lokalt Noetherian. Ett viktigt specialfall är tillbakadragandet av en vektorbunt, som är en vektorbunt.

Om $f:X\to Y$ är en kvasikompakt kvasi-separerad morfism av scheman och ${\mathcal {F}}$ är en kvasi-koherent bunt på ${\ displaystyle X}$ , då är den direkta bildbunten (eller pushforward ) $f_{*}{\mathcal {F}}$ kvasi-koherent på $Y$ .

Den direkta bilden av en sammanhängande kärve är ofta inte sammanhängande. Till exempel, för ett fält $k$ , låt $X$ vara den affina linjen över $k$ och betrakta morfismen $f: X\till \operatörsnamn {Spec} (k)$ ; då är den direkta bilden $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ bunten på $\operatorname {Spec} (k)$ kopplad till polynomringen ${\displaystyle k[x]} ,$ som inte är koherent eftersom $k[x]$ har oändlig dimension som ett $k$ -vektorutrymme. Å andra sidan är den direkta bilden av en koherent kärve under en riktig morfism koherent, enligt resultaten av Grauert och Grothendieck .

Lokalt beteende hos koherenta kärvar

En viktig egenskap hos koherenta skivor ${\mathcal {F}}$ är att egenskaperna hos ${\mathcal {F}}$ i en punkt $x$ styr beteendet hos ${ \displaystyle {\mathcal {F}}}$ i en omgivning av $x$ , mer än vad som skulle vara sant för en godtycklig bunt. Till exempel Nakayamas lemma (på geometriskt språk) att om ${\mathcal {F}}$ är en koherent bunt på ett schema $X$ , då fibern ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)} av F {\displaystyle F$ } $en$ punkt $x$ (ett vektorrum över restfältet $k(x)$ ) är noll om och endast om bunten ${\mathcal {F}}$ är noll på något öppet område av $x$ . Ett relaterat faktum är att dimensionen av fibrerna i en koherent bunt är övre halvkontinuerlig . Således har en koherent kärva konstant rang på en öppen uppsättning, medan rangordningen kan hoppa upp på en lägre dimensionell sluten delmängd.

I samma anda: en koherent bunt ${\mathcal {F}}$ på ett schema $X$ är en vektorbunt om och endast om dess stjälk ${\mathcal {F} }_{x}$ är en fri modul över den lokala ringen ${\mathcal {O}}_{X,x}$ för varje punkt $x$ i $X$ .

På ett allmänt schema kan man inte avgöra om en koherent kärve är en vektorbunt bara från dess fibrer (i motsats till dess stjälkar). På ett reducerat lokalt Noetheriskt schema är emellertid en koherent bunt en vektorbunt om och endast om dess rang är lokalt konstant.

Exempel på vektorbuntar

För en morfism av scheman $X\to Y$ , låt $\Delta :X\to X\times _{Y}X$ vara den diagonala morfismen , som är en sluten nedsänkning om $X$ separeras över $\displaystyle Y}$ { . Låt ${\mathcal {I}}$ vara den ideala bunten av $X$ i $X\times _{Y}X$ . Sedan kan bunten av differentialer $\Omega _{X/Y}^{1}$ definieras som pullbacken $\Delta ^{*}{\mathcal {I} }$ av ${\mathcal {I}}$ till $X$ . Sektioner av denna bunt kallas 1-former på $X$ över $Y$ , och de kan skrivas lokalt på $X$ som ändliga summor $\ textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}$ för vanliga funktioner $f_{j}$ och $g_{j}$ . Om $X$ lokalt är av ändlig typ över ett fält $k$ , så är $\Omega _{X/k}^{1}$ en koherent bunt på $X$ .

Om $X$ är jämn över $k$ , då $\Omega ^{1}$ (vilket betyder $\Omega _{X/k}^{ 1}$ ) är en vektorbunt över $X$ , kallad cotangensbunten av $X$ . Då definieras tangentbunten ${\displaystyle TX} till att vara den dubbla bunten$$(\Omega ^{1})^{*}$ . För $X$ jämna över $k$ av dimensionen $n$ överallt, har tangentbunten rang $n$ .

Om $Y$ är ett jämnt stängt delschema av ett jämnt schema $X$ över $k$ , så finns det en kort exakt sekvens av vektorbuntar på $Y$ :

$0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,$

som kan användas som en definition av den normala bunten $N_{Y/X}$ till $Y$ i $X$ .

För ett jämnt schema $X$ över ett fält $k$ och ett naturligt tal ${\displaystyle i} ,$ bildas vektorbunten $\Omega ^{i}$ av i - på $X$ definieras som ${\displaystyle i} -:$ e yttre styrkan av cotangensknippet, $\Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}$ . För en jämn variation $X$ av dimension $n$ över $k$ , betyder det kanoniska paketet $K_{X}$ linjebunten $\Omega ^{n}$ . Således är sektioner av den kanoniska bunten algebro-geometriska analoger av volymformer på $X$ . Till exempel kan en sektion av den kanoniska bunten av affina rymd $\mathbb {A} ^{n}$ över $k$ skrivas som

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},$

där $f$ är ett polynom med koefficienter i $k$ .

Låt $R$ vara en kommutativ ring och $n$ ett naturligt tal. För varje heltal $j$ finns det ett viktigt exempel på en linjebunt på projektivt utrymme $\mathbb {P} ^{n}$ över $R$ , kallat ${\mathcal {O}}(j)$ . För att definiera detta, överväg morfismen hos $R$ -scheman

$\pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}$

ges i koordinater av $(x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_ {n}]$ . (Det vill säga, om man tänker på projektivt rum som rymden av 1-dimensionella linjära delrum av affint rymd, skickar man en punkt som inte är noll i affint rymd till linjen som det spänner över.) Sedan en sektion av O ( j ) { $mathcal {O}}(j)}$ över en öppen delmängd $U$ av $\mathbb {P} ^{n}$ definieras som en vanlig funktion $f$ på $\pi ^{-1}(U)$ som är homogen med graden $j$ , vilket betyder att

$f(ax)=a^{j}f(x)$

som vanliga funktioner på ( $\mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)$ . För alla heltal $i$ och $j$ finns det en isomorfism ${\displaystyle {\mathcal {O}}(i) \otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)} av radbuntar$ på $\mathbb {P} ^{n}$ .

I synnerhet kan varje homogent polynom i $x_{0},\ldots ,x_{n}$ av graden $j$ över $R$ ses som en global sektion av ${\mathcal {O}}(j)$ över $\mathbb {P} ^{n}$ . Observera att varje stängt delschema av projektivt utrymme kan definieras som nolluppsättningen av någon samling homogena polynom, därav som nolluppsättningen för vissa sektioner av linjebuntarna O ( j ) {\ ${O}}(j )}$ . Detta står i kontrast till det enklare fallet med affint utrymme, där ett slutet delschema helt enkelt är nolluppsättningen av en samling vanliga funktioner. De vanliga funktionerna på projektivt utrymme $\mathbb {P} ^{n}$ över $R$ är bara "konstanterna" (ringen ${\displaystyle R} )$ , och därför är det viktigt att arbeta med linjebuntarna ${\mathcal {O}}(j)$ .

Serre gav en algebraisk beskrivning av alla sammanhängande skivor på projektivt utrymme, mer subtilt än vad som händer för affint utrymme. Låt nämligen $R$ vara en noeterisk ring (till exempel ett fält), och betrakta polynomringen $S=R[x_{0},\ ldots ,x_{n}]$ som en graderad ring där varje $x_{i}$ har grad 1. Sedan har varje ändligt genererad graderad $S$ -modul $M$ en tillhörande koherent kärve ${\tilde {M}}$ på $\mathbb {P} ^{n}$ över $R$ . Varje koherent bunt på $\mathbb {P} ^{n}$ uppstår på detta sätt från en ändligt genererad graderad $S$ -modul $M$ . (Till exempel är linjebunten ${\mathcal {O}}(j)$ kärven som är associerad med $S$ -modulen $S$ med dess gradering sänkt med $j$ .) Men $S$ -modulen $M$ som ger en given koherent bunt på $\mathbb {P} ^{n}$ är inte unik; det är bara unikt upp till att ändra $M$ genom graderade moduler som är likt noll i endast ändligt många grader. Närmare bestämt är den abelska kategorin av koherenta skivor på $\mathbb {P} ^{n}$ kvoten för kategorin av ändligt genererade graderade $S$ -moduler av Serre-underkategorin av moduler som är icke-noll i endast ändligt många grader.

Tangentbunten av projektivt utrymme $\mathbb {P} ^{n}$ över ett fält $k$ kan beskrivas i termer av linjebunten ${\mathcal { O}}(1)$ . Det finns nämligen en kort exakt sekvens, Euler-sekvensen :

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.$

Det följer att den kanoniska bunten $K_{\mathbb {P} ^{n}}$ (dualen av tangentbuntens determinantlinje ) är isomorf till ${\ displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$ . Detta är en grundläggande beräkning för algebraisk geometri. Till exempel, det faktum att den kanoniska bunten är en negativ multipel av den rikliga linjebunten ${\mathcal {O}}(1)$ betyder att projektivt utrymme är en Fano-variant . Över de komplexa talen betyder detta att det projektiva rummet har en Kähler-metrik med positiv Ricci-kurvatur .

Vektorbuntar på en hyperyta

Betrakta en jämn grad- $d$ hyperyta $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ definierad av det homogena polynomet $f$ av grad $d$ . Sedan finns det en exakt sekvens

$0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\ mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0$

där den andra kartan är tillbakadragningen av differentialformer, och den första kartan skickar

$\phi \mapsto d(f\cdot \phi )$

Observera att den här sekvensen talar om för oss att ${\mathcal {O}}}(-d)$ är den konormala bunten av $X$ i $\mathbb {P} ^ {n}$ . Dualisering av detta ger den exakta sekvensen

$0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal { O}}(d)\till 0$

därför är ${\mathcal {O}}(d)$ den normala bunten av $X$ i $\mathbb {P} ^{n}$ . Om vi ​​använder det faktum att givet en exakt sekvens

$0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_ {3}\till 0$

av vektorbuntar med rangorden $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ , det finns en isomorfism

$\Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1} }{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}$

av linjebuntar, så ser vi att det finns isomorfismen

$i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)$

visar det

$\omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(dn-1)$

Serre konstruktion och vektor buntar

En användbar teknik för att konstruera rank 2 vektorbuntar är Serre-konstruktionen ^{pg 3} som upprättar en överensstämmelse mellan rank 2 vektorbuntar ${\mathcal {E}}$ på en jämn projektiv variant $X$ och codimension 2 undervarianter $Y$ med en viss ${\text{Ext}}^{1}$ -grupp beräknad på $X$ . Detta ges av ett kohomologiskt tillstånd på linjebunten $\wedge ^{2}{\mathcal {E}}$ (se nedan).

Korrespondensen i en riktning ges enligt följande: för en sektion $s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})$ kan vi associera det försvinnande stället $V(s)\subset X$ . Om $V(s)$ är en samdimension 2 undervarietet, då

1. Det är en lokal komplett skärningspunkt, vilket betyder att om vi tar ett affint diagram $U_{i}\delmängd X$ då ${\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})} kan$ representeras som en funktion $s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}$ , där $s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))$ och $V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})$
2. Linjeknippet ${\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}} är isomorft$ till den kanoniska bunten ${\ displaystyle \omega _{V(s)}}$ på $V(s)$

I den andra riktningen, för en samdimension 2 undervarietet $Y\subset X$ och en linjebunt ${\mathcal {L}}\to X$ så att

1. $H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L} })=0$
2. $\omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}$

det finns en kanonisk isomorfism

${\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal { L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L} },{\mathcal {O}}_{X})$

vilket är funktionellt med avseende på inkludering av undervarieteter av kodimension ${\displaystyle 2} .$ Dessutom motsvarar varje isomorfism som ges till vänster en lokalt fri kärve i mitten av förlängningen till höger. Det vill säga för $s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}} )|_{Y},\omega _{Y})$ som är en isomorfism det finns en motsvarande lokalt fri kärve ${\mathcal {E}}$ av rang 2 som passar in i en kort exakt sekvens

$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y} \otimes {\mathcal {L}}\to 0$

Denna vektorbunt kan sedan studeras ytterligare med hjälp av kohomologiska invarianter för att avgöra om den är stabil eller inte. Detta utgör grunden för att studera moduler av stabila vektorbuntar i många specifika fall, såsom på huvudsakligen polariserade abeliska varianter och K3-ytor .

Chern-klasser och algebraisk K -teori

En vektorbunt $E$ på en jämn variant $X$ över ett fält har Chern-klasser i Chow-ringen av ${\displaystyle X} ,$ c $\displaystyle c_{i}( E)}$ i $CH^{i}(X)$ för ${\displaystyle i\geq 0$ . Dessa uppfyller samma formella egenskaper som Chern-klasser i topologi. Till exempel för en kort exakt sekvens

$0\to A\to B\to C\to 0$

av vektorbuntar på $X$ ges Chern-klasserna för ${\displaystyle B} av$

$c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{ 1}(C)+c_{i}(C).$

Det följer att Chern-klasserna för en vektorbunt $E$ endast beror på klassen $E$ i Grothendieck-gruppen $K_{0}(X)$ . Per definition, för ett schema $X$ , är $K_{0}(X)$ kvoten för den fria abelska gruppen på uppsättningen av isomorfismklasser av vektorbuntar på $X$ med förhållandet att $[B]=[A]+[C]$ för en kort exakt sekvens enligt ovan. Även om $K_{0}(X)$ är svår att beräkna generellt, ger algebraisk K-teori många verktyg för att studera den, inklusive en sekvens av relaterade grupper $K_{ i}(X)$ för heltal $i>0$ .

En variant är gruppen $G_{0}(X)$ (eller $K_{0}'(X)$ ), Grothendieck-gruppen av koherenta skivor på ${ \displaystyle X}$ . (I topologiska termer G -teori de formella egenskaperna hos en Borel–Moore-homologiteori för scheman, medan K -teori är motsvarande kohomologiteori .) Den naturliga homomorfismen $K_{ 0}(X)\till G_{0}(X)$ är en isomorfism om $X$ är ett regelbundet separerat Noetherian-schema, som använder att varje koherent sträng har en ändlig upplösning av vektorbuntar i det fallet. Det ger till exempel en definition av Chern-klasserna för en koherent kärve på en jämn sort över ett fält.

sägs ett Noetherian-schema ${\displaystyle X} ha$ upplösningsegenskapen om varje koherent bunt på $X$ har en avbildning från någon vektorbunt på $X$ . Till exempel har varje kvasiprojektivt schema över en Noether-ring egenskapen resolution.

Tillämpningar av resolutionsegendom

Eftersom upplösningsegenskapen anger att en koherent sträng ${\mathcal {E}}$${ \displaystyle {\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}} kan vi beräkna den totala$ ett Noetherian-schema är kvasi-isomorf i den härledda kategorin till komplexet av vektorbuntar: Chern klass av ${\mathcal {E}}$ med

$c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E$

Till exempel är den här formeln användbar för att hitta Chern-klasserna för kärven som representerar ett underschema av $X$ . Om vi ​​tar det projektiva schemat $Z$ associerat med idealet $(xy,xz)\subset \mathbb {C} [ x,y,z,w]$ , sedan

$c({\mathcal {O}}_{Z})= {\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O }}(-2))}}$

eftersom det finns upplösningen

$0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}} (-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0$

över $\mathbb {CP} ^{3}$ .

Bundle homomorphism vs sheaf homomorphism

När vektorknippen och lokalt fria skivor av finit konstant rang används omväxlande, måste man vara noga med att skilja mellan bunthomomorfismer och kärvhomomorfismer. Specifikt, givna vektorbuntar $p:E\to X,\,q:F\to X$ , per definition, en bunthomomorfism $\varphi :E\to F$ är en schemamorfism över $X$ (dvs $p=q\circ \varphi$ ) så att för varje geometrisk punkt $x$ i $X$ , $\varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{ -1}(x)$ är en linjär karta av rang oberoende av $x$ . Således inducerar den kärvhomomorfismen ${\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}$ av konstant rang mellan motsvarande lokalt fria ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler (skivor med dubbla sektioner). Men det kan finnas en ${\mathcal {O}}_{X}$ -modulhomomorfism som inte uppstår på detta sätt; nämligen de som inte har konstant rang.

I synnerhet är ett underpaket $E\subset F$ en underlist (dvs. ${\mathcal {E}}$ är en underlist av ${\mathcal {F}}$ ). Men det omvända kan misslyckas; till exempel, för en effektiv Cartier divisor $D$ på $X$ , ${\mathcal {O}}_{X}(-D)\ delmängd {\mathcal {O}}_{X}$ är ett underpaket men vanligtvis inte ett underpaket (eftersom varje linjepaket bara har två underpaket).

Kategorin av kvasikoherenta skivor

De kvasi-koherenta skivorna på vilket fast schema som helst bildar en abelsk kategori. Gabber visade att de kvasikoherenta skivorna på vilket schema som helst bildar en särskilt väluppfostrad abelsk kategori, en Grothendieck-kategori . Ett kvasikompakt kvasi-separerat schema $X$ (som en algebraisk variation över ett fält) bestäms fram till isomorfism av den abelska kategorin av kvasi-koherenta skivor på ${\displaystyle X} ,$ av Rosenberg, generaliserande ett resultat av Gabriel .

Koherent kohomologi

Huvudartikel: Coherent sheaf cohomology

Det grundläggande tekniska verktyget i algebraisk geometri är kohomologiteorin om koherenta remsor. Även om det introducerades först på 1950-talet, förtydligas många tidigare tekniker för algebraisk geometri av språket för kärvekohomologi som tillämpas på koherenta kärvar. I stort sett kan koherent kärvkohomologi ses som ett verktyg för att producera funktioner med specificerade egenskaper; sektioner av linbuntar eller av mer generella skivor kan ses som generaliserade funktioner. I komplex analytisk geometri spelar koherent kärvkohomologi också en grundläggande roll.

Bland kärnresultaten för koherent kärvkohomologi finns resultat om kohomologis ändliga dimensionalitet, resultat om kohomologins försvinnande i olika fall, dualitetsteorem som Serre- dualitet , relationer mellan topologi och algebraisk geometri som Hodge-teorin och formler för Euler-egenskaper av sammanhängande skivor som Riemann-Roch-satsen .

Se även

• Picard-gruppen
• Divisor (algebraisk geometri)
• Reflexiv kärve
• Offertschema
• Vriden kärve
• I huvudsak ändlig vektorbunt
• Paket med huvuddelar
• Gabriel–Rosenbergs rekonstruktionssats
• Pseudokoherent kärve
• Kvasikoherent kärve på en algebraisk stack

Anteckningar

•   Antieau, Benjamin (2016), "A reconstruction theorem for abelian categories of twisted sheaves", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 712 : 175–188, arXiv : 1305.2541 , doi : 10.1515/crelle-5015/crelle-4109 , 6-3109 , 6-3109
• Danilov, VI (2001) [1994], "Coherent algebraic sheaf" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Grauert, Hans ; Remmert, Reinhold (1984), Coherent Analytic Sheaves , Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-69582-7 , ISBN 3-540-13178-7 , MR 0755331
•    Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View to Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1 , MR 1322960
•    Fulton, William (1998), Intersection Theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-0-387-98549-7 , MR 1644323
• Avsnitt 0.5.3 och 0.5.4 i   Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . MR 0217083 .
•    Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
•    Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and their Jacobians (2nd ed.). Springer-Verlag . doi : 10.1007/b62130 . ISBN 354063293X . MR 1748380 .
• Onishchik, AL (2001) [1994], "Coherent analytic sheaf" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Onishchik, AL (2001) [1994], "Coherent sheaf" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 : 197–278, doi : 10.2307/1969915 , MR 0068874

externa länkar

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project
• Del V av Vakil, Ravi , The Rising Sea