Exakt sekvens

Illustration av en exakt sekvens av grupper $G_{i}$ med hjälp av Venn-diagram . Varje grupp homomorfism $\displaystyle f_{i}:G_{i-1}\to G_{i}}$ mappar $\displaystyle G_{i-1}}$ till kärnan i nästa homomorfism . Detta avbildas genom reduktionen av undergrupperna från vänster till höger.

En exakt sekvens är en sekvens av morfismer mellan objekt (till exempel grupper , ringar , moduler och, mer allmänt, objekt av en abelsk kategori ) så att bilden av en morfism är lika med kärnan i nästa.

Definition

I gruppteorisammanhang, en sekvens

$G_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;G_{1}\;{ \xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;G_{2}\;{\xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\ ;G_{n}$

av grupper och grupphomomorfismer sägs vara exakt vid $G_{i}$ om $\operatorname {im} (f_{i} )=\ker(f_{i+1})$ . Sekvensen kallas exakt om den är exakt vid varje $G_{i}$ för alla ${\displaystyle 1\leq i<n} ,$ dvs om bilden av varje homomorfism är lika med kärnan i nästa.

Sekvensen av grupper och homomorfismer kan vara antingen ändlig eller oändlig.

En liknande definition kan göras för andra algebraiska strukturer . Till exempel kan man ha en exakt sekvens av vektorrum och linjära kartor , eller av moduler och modulhomomorfismer . Mer generellt är begreppet en exakt sekvens meningsfullt i alla kategorier med kärnor och kokkärnor , och mer speciellt i abelska kategorier , där det används flitigt.

Enkla fall

För att förstå definitionen är det bra att överväga relativt enkla fall där sekvensen är av grupphomomorfismer, är finit och börjar eller slutar med den triviala gruppen . Traditionellt betecknas detta, tillsammans med det enkla identitetselementet, 0 (additiv notation, vanligtvis när grupperna är abelska), eller betecknad 1 (multiplikativ notation).

• Betrakta sekvensen 0 → A → B . Bilden av kartan längst till vänster är 0. Därför är sekvensen exakt om och endast om kartan längst till höger (från A till B ) har kärnan {0}; det vill säga om och bara om kartan är en monomorfism (injektiv eller en-till-en).
• Betrakta den dubbla sekvensen B → C → 0. Kärnan på kartan längst till höger är C . Därför är sekvensen exakt om och endast om bilden av kartan längst till vänster (från B till C ) är helt av C ; det vill säga om och bara om den kartan är en epimorfism (surjektiv eller på).
• Därför är sekvensen 0 → X → Y → 0 exakt om och endast om kartan från X till Y är både en monomorfism och epimorfism (det vill säga en bimorfism ), och därför vanligtvis en isomorfism från X till Y (detta gäller alltid i exakta kategorier som Set ).

Kort exakt sekvens

Korta exakta sekvenser är exakta sekvenser av formen

$0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0.$

Som fastställts ovan, för varje sådan kort exakt sekvens, är f en monomorfism och g är en epimorfism. Dessutom är bilden av f lika med kärnan av g . Det är till hjälp att tänka på A som ett subobjekt till B med f inbäddat A i B , och på C som motsvarande faktorobjekt (eller kvot ), B / A , där g inducerar en isomorfism

$C\cong B/\operatörsnamn {im} (f)=B/\operatörsnamn {ker} (g)$

Den korta exakta sekvensen

$0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0\,$

kallas split om det finns en homomorfism h : C → B så att sammansättningen g ∘ h är identitetskartan på C . Det följer att om dessa är abelska grupper , är B isomorf till den direkta summan av A och C :

$B\cong A\oplus C.$

Lång exakt sekvens

En allmän exakt sekvens kallas ibland en lång exakt sekvens , för att skilja från specialfallet med en kort exakt sekvens.

En lång exakt sekvens motsvarar en familj av korta exakta sekvenser i följande betydelse: Givet en lång sekvens

${\displaystyle A_{0}\;\xrightarrow {\ f_{1}\ } \;A_{1}\;\$ (1)

med n ≥ 2 kan vi dela upp det i korta sekvenser

${\displaystyle {\begin{aligned}0\rightarrow K_{1}\högerpil {}&A_{1}\högerpil K_{2}\högerpil 0,\\0\högerpil K_{2}\högerpil {}&A_{2}\högerpil K_{3}\högerpil 0,\ \&\ \,\vdots \\0\högerpil K_{n-1}\högerpil {}&A_{n-1}\högerpil K_{n}\högerpil 0,\\\end{justerad}}} (2$ )

där $K_{i}=\operatörsnamn {im} (f_{i})$ varje $i$ . Genom konstruktion är sekvenserna (2) exakta vid $K_{i}$ :s (oavsett exaktheten av (1) ). Dessutom (1) en lång exakt sekvens om och endast om (2) alla är korta exakta sekvenser.

Exempel

Heltal modulo två

Tänk på följande sekvens av abelska grupper:

$\mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\,\hookrightarrow }} \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\ mathbf {Z}$

Den första homomorfismen mappar varje element i i mängden heltal Z till elementet 2i i Z . Den andra homomorfismen mappar varje element i i Z till ett element j i kvotgruppen; det vill säga j = i mod 2 . Här indikerar krokpilen $\hookrightarrow$ att kartan 2× från Z till Z är en monomorfism, och den tvåhövdade pilen $\twoheadrightarrow$ indikerar en epimorfism (kartan mod 2). Detta är en exakt sekvens eftersom bilden 2 Z av monomorfismen är kärnan i epimorfismen. I huvudsak "samma" sekvens kan också skrivas som

$2\mathbf {Z} \mathrel {\,\hookrightarrow } \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$

I det här fallet är monomorfismen 2 n ↦ 2 n och även om den ser ut som en identitetsfunktion är den inte på (det vill säga inte en epimorfism) eftersom de udda talen inte tillhör 2 Z . Bilden av 2 Z genom denna monomorfism är emellertid exakt samma delmängd av Z som bilden av Z till n ↦ 2 n som användes i föregående sekvens. Denna senare sekvens skiljer sig i den konkreta karaktären av dess första objekt från det föregående eftersom 2 Z inte är samma mängd som Z även om de två är isomorfa som grupper.

Den första sekvensen kan också skrivas utan att använda speciella symboler för monomorfism och epimorfism:

$0\to \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\longrightarrow }} \mathbf {Z} \longrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \till 0$

Här betecknar 0 den triviala gruppen, kartan från Z till Z är multiplikation med 2, och kartan från Z till faktorgruppen Z /2 Z ges genom att reducera heltal modulo 2. Detta är verkligen en exakt sekvens:

• bilden av kartan 0 → Z är {0}, och kärnan av multiplikation med 2 är också {0}, så sekvensen är exakt vid det första Z .
• bilden av multiplikation med 2 är 2 Z , och kärnan av reducerande modulo 2 är också 2 Z , så sekvensen är exakt vid den andra Z.
• bilden av reducerande modulo 2 är Z /2Z , och kärnan i nollkartan är också Z / 2Z , så sekvensen är exakt vid positionen Z / 2Z .

De första och tredje sekvenserna är något av ett specialfall på grund av Zs oändliga natur . Det är inte möjligt för en finit grupp att kartläggas genom inklusion (det vill säga genom en monomorfism) som en riktig undergrupp av sig själv. Istället är sekvensen som kommer fram från den första isomorfismsatsen

$1\to N\to G\to G/N\to 1$

Som ett mer konkret exempel på en exakt sekvens på ändliga grupper:

$1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1$

där $C_{n}$ är den cykliska gruppen av ordningen n och $D_{2n}$ är den dihedriska gruppen av ordningen 2 n , som är en icke-abelsk grupp.

Skärning och summa av moduler

Låt I och J vara två ideal för en ring R . Sedan

$0\to I\cap J\to I\oplus J\to I+J\to 0$

är en exakt sekvens av R -moduler, där modulen homomorfism $I\cap J\to I\oplus J$ mappar varje element x av $I\cap J$ till elementet $(x,x)$ av den direkta summan $I\oplus J$ , och homomorfismen $I\oplus J \to I+J$ mappar varje element $(x,y)$ av $I\oplus J$ till $xy$ .

Dessa homomorfismer är restriktioner för liknande definierade homomorfismer som bildar den korta exakta sekvensen

$0\to R\to R\oplus R\to R\to 0$

Övergång till kvotmoduler ger en annan exakt sekvens

$0\to R/(I\cap J)\to R/I\oplus R/J\ till R/(I+J)\till 0$

Grad, curl och div i differentialgeometri

Ett annat exempel kan härledas från differentialgeometri , särskilt relevant för arbete med Maxwells ekvationer .

Betrakta Hilbert-utrymmet $L^{2}$ av skalärvärdade kvadratintegrerbara funktioner på tre dimensioner $\left\lbrace f:\mathbb {R} ^{ 3}\to \mathbb {R} \right\rbrace$ . Om vi ​​tar gradienten för en funktion $f\in \mathbb {H} _{1}$ flyttas vi till en delmängd av ${\displaystyle \mathbb {H} _{3}} ,$ mellanrummet av vektorvärderade, fortfarande kvadratintegrerbara funktioner på samma domän $\left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3 }\right\rbrace$ — specifikt uppsättningen av sådana funktioner som representerar konservativa vektorfält. (Den generaliserade Stokes teorem har bevarat integrerbarheten.)

Observera först att krullen för alla sådana fält är noll - sedan

$\operatörsnamn {curl} (\operatörsnamn {grad} f)\equiv \nabla \times (\nabla f)=0$

för alla sådana f . Detta bevisar dock bara att bilden av gradienten är en delmängd av krullens kärna. För att bevisa att de faktiskt är samma mängd, bevisa det omvända: att om krullen för ett vektorfält ${\vec {F}}$ är 0, då ${\vec {F }}$ är gradienten för någon skalär funktion. Detta följer nästan omedelbart av Stokes teorem (se beviset vid konservativ kraft .) Bilden av gradienten är då just kärnan i krullen, och så kan vi då ta krullen för att vara vår nästa morfism, vilket tar oss igen till en (annan) delmängd av $\mathbb {H} _{3}$ .

På samma sätt noterar vi det

$\operatorname {div} \left(\operatörsnamn {curl} {\vec {v}}\right)\equiv \nabla \cdot \ nabla \times {\vec {v}}=0,$

så bilden av krullen är en delmängd av kärnan i divergensen . Det omvända är något inblandat:

Bevis på att $\operatorname {div} {\vec {F}}$ = 0 antyder ${\vec {F}}=\operatörsnamn {curl} {\ vec {A}}$ för vissa ${\vec {A}}$

Vi ska gå vidare med konstruktion: givet ett vektorfält ${\displaystyle {\vec {F}}=F_{x}{\hat {i}}+ F_{y}{\hat {j}}+F_{z}{\hat {k}}} så att$ ∇ $\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}=0} ,$ vi skapa ett fält ${\vec {A}}$ så att ${\begin{aligned}\nabla \times {\vec {A }}&=\left(\partial _{y}A_{z}-\partial _{z}A_{y}\right){\hat {i}}+\left(\partial _{z}A_{ x}-\partial _{x}A_{z}\right){\hat {j}}+\left(\partial _{x}A_{y}-\partial _{y}A_{x}\right ){\hat {k}}\\&=F_{x}{\hat {i}}+F_{y}{\hat {j}}+F_{z}{\hat {k}}={\ vec {F}}\end{aligned}}$ Observera först att eftersom ${\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)=0} ,$ kan vi lägga till gradienten för vilken skalär funktion som helst till ${\ displaystyle {\vec {A}}}$ utan att ändra krullen. Vi kan använda den här mätarens frihet för att nollställa vilken komponent som helst av ${\vec {A}}$ utan att ändra dess kurva; genom att godtyckligt välja z -komponenten kräver vi alltså helt enkelt det $-\partial _ {z}A_{y}{\hat {i}}+\partial _{z}A_{x}{\hat {j}}+\left(\partial _{x}A_{y}-\partial _ {y}A_{x}\right){\hat {k}}=F_{x}{\hat {i}}+F_{y}{\hat {j}}+F_{z}{\hat { k}}$ Sedan genom att helt enkelt integrera de två första komponenterna och notera att integrationens 'konstant' fortfarande kan bero på vilken variabel som helst som inte är integrerad över, finner vi att ${\begin{aligned}A_{x}&= \int F_{y}dz+{\vec {C_{1}}}(x,y)\\A_{y}&=-\int F_{x}dz+{\vec {C_{2}}}(x ,y)\end{aligned}}$ Observera att eftersom de två integreringstermerna ${\vec {C_{1}}},{\vec {C_{2}}}$ båda bara beror på x och y och inte på z , då kan vi lägga till ytterligare en gradient av någon funktion $f(x,y)$ som inte heller beror på z . Detta tillåter oss att eliminera endera av termerna till förmån för den andra, utan att förstöra vårt tidigare arbete som satte $A_{z}$ till noll. Genom att välja att eliminera ${\vec {C_{2}}}$ och tillämpa den sista komponenten som en begränsning, har vi ${\begin{aligned}-\partial _{x}\int F_{x}dz+\partial _{x}{\vec {C_{1}}}(x ,y)-\partial _{y}\int F_{y}dz&=F_{z}\\-\int \left(\partial _{x}F_{x}+\partial _{y}F_{y }\right)dz+\partial _{x}{\vec {C_{1}}}(x,y)&=F_{z}\end{aligned}}$ Genom antagande, ${\displaystyle \operatornamn {div} {\vec {F}}=\partial _{x}F_{x}+ \partial _{y}F_{y}+\partial _{z}F_{z}=0} ,$ och så $\int \partial _{z}F_{z}dz+\partial _{x}{\vec {C_{1 }}}(x,y)=F_{z}$ Eftersom kalkylens grundsats kräver att den första termen ovan är exakt $F_{z}$ plus en konstant i z , finns det garanterat en lösning på ovanstående ekvationssystem.

Efter att ha bevisat att bilden av krullen är just kärnan i divergensen, tar denna morfism oss i sin tur tillbaka till det utrymme vi utgick från $L^{2}$ . Eftersom vi definitionsmässigt har landat på ett utrymme av integrerbara funktioner, kan vilken funktion som helst (åtminstone formellt) integreras för att producera ett vektorfält vars divergens är den funktionen — så bilden av divergensen är hela L $\ displaystyle L^{2}}$ , och vi kan slutföra vår sekvens:

$0\to L^{2}\mathrel {\xrightarrow {\operatörsnamn {grad} } } \mathbb {H} _{3}\ mathrel {\xrightarrow {\operatörsnamn {curl} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatörsnamn {div} } } L^{2}\to 0$

På motsvarande sätt kunde vi ha resonerat omvänt: i ett enkelt sammankopplat utrymme kan ett krullfritt vektorfält (ett fält i krullens kärna) alltid skrivas som en gradient av en skalär funktion (och är alltså i bilden av gradienten). På liknande sätt kan ett divergenslöst fält skrivas som en krullning av ett annat fält. (Resonemang i denna riktning använder sig alltså av det faktum att det tredimensionella rummet är topologiskt trivialt.)

Denna korta exakta sekvens tillåter också ett mycket kortare bevis på giltigheten av Helmholtz-nedbrytningen som inte förlitar sig på brute-force vektorkalkyl. Tänk på efterföljden

$0\to L^{2}\mathrel {\xrightarrow {\operatörsnamn {grad} } } \mathbb {H} _{3} \mathrel {\xrightarrow {\operatörsnamn {curl} } } \operatörsnamn {im} (\operatörsnamn {curl} )\till 0.$

Eftersom divergensen av gradienten är laplacianen , och eftersom Hilbert-rummet av kvadratintegrerbara funktioner kan spännas över av laplacians egenfunktioner, ser vi redan att viss invers avbildning ∇ $\displaystyle \ nabla ^{-1}:\mathbb {H} _{3}\to L^{2}}$ måste finnas. För att uttryckligen konstruera en sådan invers kan vi utgå från definitionen av vektorn Laplacian

$\nabla ^{2}{\vec {A}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)+\nabla \times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)$

Eftersom vi försöker konstruera en identitetskartläggning genom att komponera någon funktion med gradienten vet vi att i vårt fall $\nabla \times {\vec {A}}= \operatörsnamn {curl} \left({\vec {A}}\right)=0$ . Sedan om vi tar avvikelsen från båda sidor

${\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla ^{2}{\vec {A} }&=\nabla \cdot \nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)\\&=\nabla ^{2}\left(\nabla \cdot {\vec {A}} \right)\\\end{aligned}}$

vi ser att om en funktion är en egenfunktion till vektorn Laplacian, måste dess divergens vara en egenfunktion till den skalära Laplacian med samma egenvärde. Sedan kan vi bygga vår inversa funktion $\nabla ^{-1}$ helt enkelt genom att bryta valfri funktion i $\mathbb {H} _{3}$ till den vektor-laplaciska egenbasen, skala var och en genom inversen av deras egenvärde och tar divergensen; handlingen av $\nabla ^{-1}\circ \nabla$ är alltså tydligt identiteten. Alltså genom det splittrande lemmat ,

$\mathbb {H} _{3}\cong L^{2}\oplus \operatorname {im} (\operatörsnamn {curl} )$ ,

eller motsvarande, vilket kvadratintegrerbart vektorfält som helst på $\mathbb {R} ^{3}$ kan delas upp i summan av en gradient och en curl — vilket är vad vi försökte bevisa.

Egenskaper

Delningslemmat säger att om den korta exakta sekvensen

$0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0$

erkänner en morfism t : B → A så att t ∘ f är identiteten på A eller en morfism u : C → B så att g ∘ u är identiteten på C , då är B en direkt summa av A och C (för icke -kommutativa grupper, detta är en halvdirekt produkt ). Man säger att en så kort exakt sekvens delar sig .

Ormlemma visar hur ett kommutativt diagram med två exakta rader ger upphov till en längre exakt följd . De nio lemma är ett specialfall.

De fem lemma ger förutsättningar under vilka den mellersta kartan i ett kommutativt diagram med exakta rader med längden 5 är en isomorfism; det korta fem-lemmat är ett specialfall därav som gäller korta exakta sekvenser.

Vikten av korta exakta sekvenser understryks av det faktum att varje exakt sekvens är ett resultat av att "väva ihop" flera överlappande korta exakta sekvenser. Tänk till exempel på den exakta sekvensen

$A_{1}\to A_{2}\to A_{3}\to A_{4}\to A_{5}\to A_{6}$

vilket innebär att det finns objekt C _k i kategorin sådan att

$C_{k}\cong \ker(A_{k}\to A_{k+1} )\cong \operatörsnamn {im} (A_{k-1}\to A_{k})$ .

Antag dessutom att kokkärnan för varje morfism existerar och är isomorf till bilden av nästa morfism i sekvensen:

$C_{k}\cong \operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})$

(Detta är sant för ett antal intressanta kategorier, inklusive alla abelska kategorier som de abelska grupperna, men det är inte sant för alla kategorier som tillåter exakta sekvenser, och i synnerhet inte sant för kategorin grupper , där coker ( f ) : G → H är inte H /im( f ) utan $H/{\left\langle \operatorname {im} f\right\rangle }^{H}$ , kvoten av H genom den konjugerade stängningen av im( f ).) Då får vi ett kommutativt diagram där alla diagonalerna är korta exakta sekvenser:

Den enda delen av detta diagram som beror på kokkärnens tillstånd är objektet ${\textstyle C_{7}}$ och det sista paret av morfismer ${\textstyle A_{6}\to C_{7} \till 0}$ . Om det finns något objekt $A_{k+1}$ och morfism $A_{k}\to A_{k+1}$ så att $A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}$ är exakt, då exaktheten av $0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0$ är säkerställd. Återigen ta exemplet med kategorin grupper, det faktum att im( f ) är kärnan i någon homomorfism på H antyder att det är en normal undergrupp , som sammanfaller med dess konjugerade stängning; sålunda är coker( f ) isomorf till bilden H /im( f ) av nästa morfism.

Omvänt, givet en lista med överlappande korta exakta sekvenser, bildar deras mellantermer en exakt sekvens på samma sätt.

Tillämpningar av exakta sekvenser

I teorin om abelska kategorier används ofta korta exakta sekvenser som ett bekvämt språk för att prata om subobjekt och faktorobjekt.

Förlängningsproblemet är i huvudsak frågan "Med tanke på sluttermerna A och C i en kort exakt följd , vilka möjligheter finns det för mellanterm B ?" I kategorin grupper motsvarar detta frågan, vilka grupper B har A som normal undergrupp och C som motsvarande faktorgrupp? Detta problem är viktigt vid klassificeringen av grupper . Se även Yttre automorfismgrupp .

_i Lägg märke till att i en exakt sekvens mappar sammansättningen _{i fi} +1 ∘ _{fi +1} A i till _i to 0 in A, so every exact sequence is a chain complex. Furthermore, only f_i-images of elements of A_i are mapped to 0 by f_i+1, so the homology of this chain complex is trivial. More succinctly:

Exakta sekvenser är just de kedjekomplex som är acykliska .

Med tanke på vilket kedjekomplex som helst kan dess homologi därför ses som ett mått på i vilken grad den inte är exakt.

Om vi ​​tar en serie korta exakta sekvenser länkade av kedjekomplex (det vill säga en kort exakt sekvens av kedjekomplex, eller ur en annan synvinkel, ett kedjekomplex av korta exakta sekvenser), så kan vi härleda en lång exakt sekvens av detta sekvens (det vill säga en exakt sekvens indexerad av de naturliga talen) på homologi genom tillämpning av sicksack-lemma . Det kommer upp i algebraisk topologi i studiet av relativ homologi ; Mayer –Vietoris-sekvensen är ett annat exempel. Långa exakta sekvenser inducerade av korta exakta sekvenser är också karakteristiska för härledda funktorer .

Exakta funktorer är funktorer som omvandlar exakta sekvenser till exakta sekvenser.

Citationskällor

_

•   Spanier, Edwin Henry (1995). Algebraisk topologi . Berlin: Springer. sid. 179 . ISBN 0-387-94426-5 .
•   Eisenbud, David (1995). Kommutativ algebra: med sikte på algebraisk geometri . Springer-Verlag New York. sid. 785 . ISBN 0-387-94269-6 .