Kvantfältteori

Inom teoretisk fysik är kvantfältteori ( QFT ) ett teoretiskt ramverk som kombinerar klassisk fältteori , speciell relativitetsteori och kvantmekanik . QFT används i partikelfysik för att konstruera fysikaliska modeller av subatomära partiklar och i kondenserad materiens fysik för att konstruera modeller av kvasipartiklar .

QFT behandlar partiklar som exciterade tillstånd (även kallade kvanta ) av deras underliggande kvantfält , som är mer fundamentala än partiklarna. Partikelns rörelseekvation bestäms genom minimering av Lagrangian, en funktion av fält som är associerade med partikeln . Interaktioner mellan partiklar beskrivs av interaktionstermer i Lagrangian som involverar deras motsvarande kvantfält. Varje interaktion kan visuellt representeras av Feynman-diagram enligt störningsteori inom kvantmekanik .

Historia

Huvudartikel: History of quantum field theory

Kvantfältteorin uppstod ur arbetet av generationer av teoretiska fysiker som spänner över stora delar av 1900-talet. Dess utveckling började på 1920-talet med en beskrivning av interaktioner mellan ljus och elektroner , som kulminerade i den första kvantfältteorin - kvantelektrodynamik . Ett stort teoretiskt hinder följde snart med uppkomsten och beständigheten av olika oändligheter i störande beräkningar, ett problem som löstes först på 1950-talet med uppfinningen av renormaliseringsproceduren . En andra stor barriär kom med QFT:s uppenbara oförmåga att beskriva de svaga och starka interaktionerna , till den punkt där vissa teoretiker uppmanade till att överge det fältteoretiska tillvägagångssättet. Utvecklingen av mätteorin och färdigställandet av standardmodellen på 1970-talet ledde till en renässans för kvantfältteorin.

Teoretisk bakgrund

Magnetiska fältlinjer visualiserade med järnspån . När ett papper beströs med järnspån och placeras ovanför en stångmagnet, riktar sig filarna i linje med magnetfältets riktning, och bildar bågar som gör det möjligt för tittare att tydligt se magnetens poler och se det magnetiska fältet som genereras.

Kvantfältteori är resultatet av kombinationen av klassisk fältteori , kvantmekanik och speciell relativitetsteori . En kort översikt över dessa teoretiska föregångare följer.

Den tidigaste framgångsrika klassiska fältteorin är en som kom från Newtons lag om universell gravitation, trots den fullständiga frånvaron av begreppet fält från hans avhandling från 1687 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . Tyngdkraften som beskrivits av Newton är en " handling på avstånd " - dess effekter på avlägsna föremål är ögonblickliga, oavsett avstånd. I en brevväxling med Richard Bentley uttalade Newton emellertid att "det är otänkbart att livlös rå materia skulle, utan förmedling av något annat som inte är materiellt, operera på och påverka annan materia utan ömsesidig kontakt." Det var inte förrän på 1700-talet som matematiska fysiker upptäckte en bekväm beskrivning av gravitationen baserad på fält - en numerisk storhet (en vektor i fallet med gravitationsfält ) tilldelad varje punkt i rymden som indikerar gravitationens inverkan på någon partikel vid den punkten . Detta ansågs dock bara vara ett matematiskt trick.

Fälten började anta en egen existens i och med elektromagnetismens utveckling på 1800-talet. Michael Faraday myntade den engelska termen "fält" 1845. Han introducerade fält som egenskaper hos rymden (även när det saknar materia) med fysiska effekter. Han argumenterade mot "handling på avstånd", och föreslog att interaktioner mellan objekt sker via rymdfyllande "kraftlinjer". Denna beskrivning av fält finns kvar till denna dag.

Teorin om klassisk elektromagnetism avslutades 1864 med Maxwells ekvationer , som beskrev förhållandet mellan det elektriska fältet , magnetfältet , elektrisk ström och elektrisk laddning . Maxwells ekvationer antydde förekomsten av elektromagnetiska vågor , ett fenomen där elektriska och magnetiska fält fortplantar sig från en rumslig punkt till en annan med en begränsad hastighet, vilket visar sig vara ljusets hastighet . Action-at-a-distans motbevisades alltså slutgiltigt.

Trots den enorma framgången med klassisk elektromagnetism, kunde den inte redogöra för de diskreta linjerna i atomspektra , inte heller för fördelningen av svartkroppsstrålning i olika våglängder. Max Plancks studie av svartkroppsstrålning markerade början av kvantmekaniken. Han behandlade atomer, som absorberar och avger elektromagnetisk strålning , som små oscillatorer med den avgörande egenskapen att deras energier bara kan anta en serie diskreta, snarare än kontinuerliga, värden. Dessa är kända som kvantharmoniska oscillatorer . Denna process att begränsa energier till diskreta värden kallas kvantisering. Byggande på denna idé Albert Einstein 1905 en förklaring till den fotoelektriska effekten , att ljus är sammansatt av individuella energipaket som kallas fotoner (ljusets kvanta). Detta innebar att den elektromagnetiska strålningen, samtidigt som den är vågor i det klassiska elektromagnetiska fältet, även existerar i form av partiklar.

År 1913 introducerade Niels Bohr Bohr-modellen för atomstruktur, där elektroner inom atomer bara kan ta på sig en serie diskreta, snarare än kontinuerliga, energier. Detta är ytterligare ett exempel på kvantisering. Bohr-modellen förklarade framgångsrikt den diskreta naturen hos atomära spektrallinjer. 1924 Louis de Broglie hypotesen om våg-partikeldualitet , att mikroskopiska partiklar uppvisar både vågliknande och partikelliknande egenskaper under olika omständigheter. Genom att förena dessa spridda idéer formulerades en sammanhängande disciplin, kvantmekanik , mellan 1925 och 1926, med viktiga bidrag från Max Planck , Louis de Broglie , Werner Heisenberg , Max Born , Erwin Schrödinger , Paul Dirac och Wolfgang Pauli .

Samma år som sin artikel om den fotoelektriska effekten publicerade Einstein sin speciella relativitetsteori , byggd på Maxwells elektromagnetism. Nya regler, kallade Lorentz-transformationer , gavs för hur tid och rumskoordinater för en händelse förändras under förändringar i observatörens hastighet, och distinktionen mellan tid och rum blev suddig. Det föreslogs att alla fysiska lagar måste vara lika för observatörer vid olika hastigheter, dvs att fysiska lagar är invarianta under Lorentz-transformationer.

Två svårigheter återstod. Observationsmässigt Schrödinger-ekvationen som ligger till grund för kvantmekaniken förklara den stimulerade emissionen av strålning från atomer, där en elektron sänder ut en ny foton under inverkan av ett externt elektromagnetiskt fält, men den kunde inte förklara spontan emission , där en elektron spontant minskar i energi och avger en foton även utan inverkan av ett externt elektromagnetiskt fält. Teoretiskt sett kunde Schrödinger-ekvationen inte beskriva fotoner och var oförenlig med principerna för speciell relativitet - den behandlar tid som ett vanligt tal samtidigt som den främjar rumsliga koordinater till linjära operatorer .

Kvantelektrodynamik

Kvantfältteorin började naturligtvis med studiet av elektromagnetiska interaktioner, eftersom det elektromagnetiska fältet var det enda kända klassiska fältet på 1920-talet.

Genom verk av Born, Heisenberg och Pascual Jordan 1925–1926 utvecklades en kvantteori om det fria elektromagnetiska fältet (en utan interaktion med materia) via kanonisk kvantisering genom att behandla det elektromagnetiska fältet som en uppsättning kvantharmoniska oscillatorer . Med undantag för interaktioner var dock en sådan teori ännu oförmögen att göra kvantitativa förutsägelser om den verkliga världen.

I sin framträdande uppsats 1927 The quantum theory of the emission and absorption of radiation, myntade Dirac termen quantum electrodynamics (QED), en teori som lägger till termerna som beskriver det fria elektromagnetiska fältet en ytterligare interaktionsterm mellan den elektriska strömtätheten och den elektromagnetiska vektorn. potential . Med hjälp av första ordningens störningsteori förklarade han framgångsrikt fenomenet spontan emission. Enligt osäkerhetsprincipen inom kvantmekaniken kan kvantharmoniska oscillatorer inte förbli stationära, men de har en minimienergi som inte är noll och måste alltid svänga, även i det lägsta energitillståndet (grundtillståndet ) . Därför, även i ett perfekt vakuum , kvarstår ett oscillerande elektromagnetiskt fält med nollpunktsenergi . Det är denna kvantfluktuation av elektromagnetiska fält i vakuumet som "stimulerar" den spontana strålningen från elektroner i atomer. Diracs teori var enormt framgångsrik i att förklara både emission och absorption av strålning från atomer; genom att tillämpa andra ordningens störningsteori kunde den redogöra för spridningen av fotoner, resonansfluorescens och icke-relativistisk Compton-spridning . Icke desto mindre plågades tillämpningen av störningsteori av högre ordning av problematiska oändligheter i beräkningar.

1928 skrev Dirac ner en vågekvation som beskrev relativistiska elektroner - Dirac-ekvationen . Det fick följande viktiga konsekvenser: en elektrons spinn är 1/2; elektronen g -faktor är 2; det ledde till den korrekta Sommerfeld-formeln för väteatomens fina struktur ; och den skulle kunna användas för att härleda Klein-Nishina-formeln för relativistisk Compton-spridning. Även om resultaten var fruktbara, antydde teorin också förekomsten av negativa energitillstånd, vilket skulle få atomer att vara instabila, eftersom de alltid kunde sönderfalla till lägre energitillstånd genom utsläpp av strålning.

Den rådande uppfattningen på den tiden var att världen var sammansatt av två mycket olika ingredienser: materialpartiklar (som elektroner) och kvantfält (som fotoner). Materialpartiklar ansågs vara eviga, med deras fysiska tillstånd beskrivet av sannolikheterna att hitta varje partikel i ett givet område av rymden eller hastighetsområde. Å andra sidan ansågs fotoner bara vara exciterade tillstånd av det underliggande kvantiserade elektromagnetiska fältet och kunde fritt skapas eller förstöras. Det var mellan 1928 och 1930 som Jordan, Eugene Wigner , Heisenberg, Pauli och Enrico Fermi upptäckte att materialpartiklar också kunde ses som exciterade tillstånd av kvantfält. Precis som fotoner är exciterade tillstånd av det kvantiserade elektromagnetiska fältet, så hade varje typ av partikel sitt motsvarande kvantfält: ett elektronfält, ett protonfält, etc. Givet tillräckligt med energi skulle det nu vara möjligt att skapa materialpartiklar. Byggande på denna idé, föreslog Fermi 1932 en förklaring till beta-förfall känd som Fermis interaktion . Atomkärnor innehåller inga elektroner i sig , men i sönderfallsprocessen skapas en elektron ur det omgivande elektronfältet, analogt med fotonen som skapas från det omgivande elektromagnetiska fältet i det strålande sönderfallet av en exciterad atom.

Det insågs 1929 av Dirac och andra att negativa energitillstånd antydda av Dirac-ekvationen kunde tas bort genom att anta att det fanns partiklar med samma massa som elektroner men motsatt elektrisk laddning. Detta säkerställde inte bara atomernas stabilitet, utan det var också det första förslaget om existensen av antimateria . Faktum är att bevisen för positroner upptäcktes 1932 av Carl David Anderson i kosmiska strålar . Med tillräckligt med energi, till exempel genom att absorbera en foton, kan ett elektron-positronpar skapas, en process som kallas parproduktion ; den omvända processen, annihilation, kan också inträffa med emission av en foton. Detta visade att partikelantal inte behöver fixeras under en interaktion. Historiskt sett var dock positroner först tänkt som "hål" i ett oändligt elektronhav, snarare än en ny sorts partikel, och denna teori kallades för Dirac- hålteorin . QFT inkorporerade naturligt antipartiklar i sin formalism.

Oändligheter och renormalisering

Robert Oppenheimer visade 1930 att störande beräkningar av högre ordning i QED alltid resulterade i oändliga kvantiteter, såsom elektronsjälvenergin och vakuumnollpunktsenergin i elektron- och fotonfälten, vilket tyder på att dåtidens beräkningsmetoder inte kunde korrekt hantera interaktioner som involverar fotoner med extremt hög momenta. Det var inte förrän 20 år senare som ett systematiskt tillvägagångssätt för att ta bort sådana oändligheter utvecklades.

En serie artiklar publicerades mellan 1934 och 1938 av Ernst Stueckelberg som etablerade en relativistiskt oföränderlig formulering av QFT. 1947 utvecklade Stueckelberg också självständigt en fullständig renormaliseringsprocedur. Tyvärr förstods och erkändes inte sådana prestationer av det teoretiska samfundet.

Inför dessa oändligheter föreslog John Archibald Wheeler och Heisenberg, 1937 respektive 1943, att ersätta den problematiska QFT med den så kallade S-matristeorin . Eftersom de specifika detaljerna i mikroskopiska interaktioner är otillgängliga för observationer, bör teorin endast försöka beskriva relationerna mellan ett litet antal observerbara ( t.ex. energin hos en atom) i en interaktion, snarare än att bekymra sig om de mikroskopiska detaljerna i interaktionen . 1945 Richard Feynman och Wheeler vågat att överge QFT helt och hållet och föreslog action-på-distans som mekanismen för partikelinteraktioner.

1947 mätte Willis Lamb och Robert Retherford minutskillnaden i ² S _1/2 och ² P _1/2 energinivåerna för väteatomen, även kallad Lamb shift . Genom att ignorera bidraget från fotoner vars energi överstiger elektronmassan, Hans Bethe framgångsrikt det numeriska värdet av Lamb-skiftet. Därefter Norman Myles Kroll , Lamb, James Bruce French och Victor Weisskopf återigen detta värde genom att använda ett tillvägagångssätt där oändligheter upphävde andra oändligheter för att resultera i ändliga kvantiteter. Denna metod var dock klumpig och opålitlig och kunde inte generaliseras till andra beräkningar.

Genombrottet kom så småningom runt 1950 när en mer robust metod för att eliminera oändligheter utvecklades av Julian Schwinger , Richard Feynman , Freeman Dyson och Shinichiro Tomonaga . Huvudidén är att ersätta de beräknade värdena för massa och laddning, hur oändliga de än är, med deras ändliga uppmätta värden. Denna systematiska beräkningsprocedur är känd som renormalisering och kan tillämpas på godtycklig ordning i störningsteori. Som Tomonaga sa i sin Nobelföreläsning:

Eftersom de delar av den modifierade massan och laddningen på grund av fältreaktioner [blir oändliga], är det omöjligt att beräkna dem med teorin. Massan och laddningen som observeras i experiment är dock inte den ursprungliga massan och laddningen utan massan och laddningen som modifierats av fältreaktioner, och de är ändliga. Å andra sidan är massan och laddningen som förekommer i teorin... de värden som modifierats av fältreaktioner. Eftersom detta är så, och särskilt eftersom teorin inte kan beräkna den modifierade massan och laddningen, kan vi anta proceduren att ersätta experimentella värden för dem fenomenologiskt... Denna procedur kallas renormalisering av massa och laddning... Efter lång, mödosam beräkningar, mindre skickliga än Schwingers, fick vi ett resultat... som överensstämde med [amerikanernas].

Genom att tillämpa renormaliseringsproceduren gjordes slutligen beräkningar för att förklara elektronens anomala magnetiska moment (elektronens g -faktors avvikelse från 2) och vakuumpolarisation . Dessa resultat stämde överens med experimentella mätningar i en anmärkningsvärd grad, och markerade därmed slutet på ett "krig mot oändligheter".

Samtidigt introducerade Feynman vägintegralformuleringen av kvantmekanik och Feynman-diagram . Den senare kan användas för att visuellt och intuitivt organisera och hjälpa till att beräkna termer i den störande expansionen. Varje diagram kan tolkas som banor för partiklar i en interaktion, där varje vertex och linje har ett motsvarande matematiskt uttryck, och produkten av dessa uttryck ger spridningsamplituden för interaktionen som representeras av diagrammet.

Det var med uppfinningen av renormaliseringsproceduren och Feynman-diagram som QFT slutligen uppstod som ett komplett teoretiskt ramverk.

Icke-renormaliserbarhet

Med tanke på QED:s enorma framgång trodde många teoretiker, under några år efter 1949, att QFT snart kunde ge en förståelse för alla mikroskopiska fenomen, inte bara interaktionerna mellan fotoner, elektroner och positroner. I motsats till denna optimism gick QFT in i ännu en period av depression som varade i nästan två decennier.

Det första hindret var den begränsade tillämpligheten av renormaliseringsproceduren. I störande beräkningar i QED kunde alla oändliga storheter elimineras genom att omdefiniera ett litet (ändligt) antal fysikaliska storheter (nämligen elektronens massa och laddning). Dyson bevisade 1949 att detta bara är möjligt för en liten klass av teorier som kallas "renormaliserbara teorier", som QED är ett exempel på. Men de flesta teorier, inklusive Fermi-teorin om den svaga interaktionen , är "icke-renormaliserbara". Varje störande beräkning i dessa teorier bortom den första ordningen skulle resultera i oändligheter som inte kunde tas bort genom att omdefiniera ett ändligt antal fysiska storheter.

Det andra stora problemet härrörde från den begränsade giltigheten av Feynman-diagrammetoden, som är baserad på en serieexpansion inom störningsteorin. För att serien ska konvergera och beräkningar av låg ordning ska vara en bra approximation kopplingskonstanten , i vilken serien expanderas, vara ett tillräckligt litet tal. Kopplingskonstanten i QED är finstrukturkonstanten α ≈ 1/137 , som är tillräckligt liten för att endast de enklaste Feynman-diagrammen av lägsta ordningen behöver beaktas i realistiska beräkningar. Däremot är kopplingskonstanten i den starka interaktionen ungefär i storleksordningen ett, vilket gör komplicerade Feynman-diagram av högre ordning lika viktiga som enkla. Det fanns således inget sätt att härleda tillförlitliga kvantitativa förutsägelser för den starka interaktionen med hjälp av störande QFT-metoder.

Med dessa svårigheter hotande började många teoretiker att vända sig bort från QFT. Vissa fokuserade på symmetriprinciper och bevarandelagar , medan andra tog upp den gamla S-matristeorin från Wheeler och Heisenberg. QFT användes heuristiskt som vägledande principer, men inte som underlag för kvantitativa beräkningar.

Schwinger tog dock en annan väg. I mer än ett decennium hade han och hans elever varit nästan de enda exponenterna för fältteori, men 1966 hittade han en väg runt problemet med oändligheten med en ny metod som han kallade källteori. Utvecklingen inom pionfysik, där den nya synvinkeln tillämpades mest framgångsrikt, övertygade honom om de stora fördelarna med matematisk enkelhet och begreppsmässig klarhet som dess användning gav.

I källteorin finns inga avvikelser och ingen renormalisering. Det kan ses som fältteorins beräkningsverktyg, men det är mer generellt. Med hjälp av källteori kunde Schwinger beräkna elektronens avvikande magnetiska moment, vilket han hade gjort 1947, men den här gången utan några "störande kommentarer" om oändliga mängder.

Schwinger tillämpade också källteori på sin QFT-teori om gravitation, och kunde reproducera alla fyra av Einsteins klassiska resultat: gravitationsröd skiftning, avböjning och långsammare av ljus genom gravitation, och perihelionprecessionen av Merkurius. Fysikgemenskapens försummelse av källteori var en stor besvikelse för Schwinger:

Bristen på uppskattning av dessa fakta av andra var deprimerande, men förståeligt. -J. Schwinger

Standard-modell

Elementarpartiklar av standardmodellen : sex typer av kvarkar , sex typer av leptoner , fyra typer av gauge-bosoner som bär grundläggande interaktioner , såväl som Higgs-bosonen , som förser elementarpartiklar med massa.

År 1954 generaliserade Yang Chen-Ning och Robert Mills den lokala symmetrin hos QED, vilket ledde till icke-Abeliska mätteorier (även kända som Yang-Mills teorier), som är baserade på mer komplicerade lokala symmetrigrupper . I QED interagerar (elektriskt) laddade partiklar via utbyte av fotoner, medan i icke-abelian gauge-teori interagerar partiklar som bär en ny typ av " laddning " via utbyte av masslösa gauge-bosoner . Till skillnad från fotoner bär dessa mätbosoner själva laddning.

Sheldon Glashow utvecklade en icke-abelsk mätteori som förenade de elektromagnetiska och svaga interaktionerna 1960. 1964 kom Abdus Salam och John Clive Ward fram till samma teori genom en annan väg. Denna teori var dock icke-renormaliserbar.

Peter Higgs , Robert Brout , François Englert , Gerald Guralnik , Carl Hagen och Tom Kibble föreslog i sina berömda Physical Review Letters- artiklar att mätsymmetrin i Yang-Mills teorier skulle kunna brytas av en mekanism som kallas spontan symmetribrytning , genom vilken ursprungligen masslös gauge bosoner kunde få massa.

Genom att kombinera den tidigare teorin om Glashow, Salam och Ward med idén om spontant symmetribrott, skrev Steven Weinberg 1967 ner en teori som beskrev elektrosvaga interaktioner mellan alla leptoner och effekterna av Higgs-bosonen . Hans teori ignorerades till en början mestadels, tills den fördes tillbaka till ljuset 1971 av Gerard 't Hoofts bevis på att icke-abelska mätteorier är renormaliserbara. Den elektrosvaga teorin om Weinberg och Salam utvidgades från leptoner till kvarkar 1970 av Glashow, John Iliopoulos och Luciano Maiani , vilket markerar dess fullbordande.

Harald Fritzsch , Murray Gell-Mann och Heinrich Leutwyler upptäckte 1971 att vissa fenomen som involverade den starka växelverkan också kunde förklaras av icke-abelian gauge-teori. Quantum chromodynamik (QCD) föddes. År 1973 David Gross , Frank Wilczek och Hugh David Politzer att icke-abelska gauge-teorier är " asymptotiskt fria ", vilket betyder att under renormalisering minskar kopplingskonstanten för den starka interaktionen när interaktionsenergin ökar. (Liknande upptäckter hade gjorts många gånger tidigare, men de hade i stort sett ignorerats.) Därför, åtminstone i högenergiinteraktioner, blir kopplingskonstanten i QCD tillräckligt liten för att motivera en störande serieexpansion, vilket gör kvantitativa förutsägelser för den starka interaktionen möjlig.

Dessa teoretiska genombrott ledde till en renässans inom QFT. Den fullständiga teorin, som inkluderar den elektrosvaga teorin och kromodynamiken, kallas idag standardmodellen för elementarpartiklar. Standardmodellen beskriver framgångsrikt alla grundläggande interaktioner utom gravitation , och dess många förutsägelser har mötts med anmärkningsvärd experimentell bekräftelse under efterföljande decennier. Higgs -bosonen , central för mekanismen för spontan symmetribrytning, upptäcktes slutligen 2012 vid CERN , vilket markerar den fullständiga verifieringen av existensen av alla beståndsdelar i standardmodellen.

Annan utveckling

På 1970-talet utvecklades icke-perturbativa metoder i icke-abelska mätteorier. ' t Hooft–Polyakov-monopolen upptäcktes teoretiskt av 't Hooft och Alexander Polyakov , flussrör av Holger Bech Nielsen och Poul Olesen, och instantons av Polyakov och medförfattare. Dessa objekt är otillgängliga genom störningsteori.

Supersymmetri dök också upp under samma period. Den första supersymmetriska QFT i fyra dimensioner byggdes av Yuri Golfand och Evgeny Likhtman 1970, men deras resultat lyckades inte få ett brett intresse på grund av järnridån . Supersymmetri tog fart i den teoretiska gemenskapen först efter Julius Wess och Bruno Zuminos arbete 1973.

Bland de fyra grundläggande interaktionerna är gravitationen fortfarande den enda som saknar en konsekvent QFT-beskrivning. Olika försök till en teori om kvantgravitation ledde till utvecklingen av strängteorin , i sig en typ av tvådimensionell QFT med konform symmetri . Joël Scherk och John Schwarz föreslog först 1974 att strängteorin skulle kunna vara kvantteorin om gravitation.

Kondenserad-materia-fysik

Även om kvantfältteori uppstod från studiet av interaktioner mellan elementarpartiklar, har den framgångsrikt tillämpats på andra fysiska system, särskilt på många kroppssystem i fysik för kondenserad materia .

Historiskt sett var Higgs-mekanismen för spontan symmetribrott ett resultat av Yoichiro Nambus tillämpning av supraledareteori på elementarpartiklar, medan begreppet renormalisering kom från studiet av andra ordningens fasövergångar i materia.

Strax efter introduktionen av fotoner utförde Einstein kvantiseringsproceduren på vibrationer i en kristall, vilket ledde till den första kvasipartikeln - fononer . Lev Landau hävdade att lågenergiexcitationer i många system av kondenserad materia kunde beskrivas i termer av interaktioner mellan en uppsättning kvasipartiklar. Feynman-diagrammet för QFT lämpade sig naturligtvis väl för analys av olika fenomen i system med kondenserad materia.

Gauge-teori används för att beskriva kvantiseringen av magnetiskt flöde i supraledare, resistiviteten i kvant-Hall-effekten , samt förhållandet mellan frekvens och spänning i AC Josephson-effekten .

Principer

För enkelhetens skull används naturliga enheter i följande avsnitt, där den reducerade Planck-konstanten ħ och ljusets hastighet c båda är inställda på ett.

Klassiska fält

Se även: Klassisk fältteori

Ett klassiskt fält är en funktion av rumsliga och tidskoordinater. Exempel inkluderar gravitationsfältet i Newtonsk gravitation g ( x , t ) och det elektriska fältet E ( x , t ) och magnetfältet B ( x , t ) i klassisk elektromagnetism . Ett klassiskt fält kan ses som en numerisk kvantitet som tilldelas varje punkt i rummet som förändras med tiden. Därför har den oändligt många frihetsgrader .

Många fenomen som uppvisar kvantmekaniska egenskaper kan inte förklaras enbart av klassiska fält. Fenomen som den fotoelektriska effekten förklaras bäst av diskreta partiklar ( fotoner ), snarare än ett rumsligt kontinuerligt fält. Målet med kvantfältteorin är att beskriva olika kvantmekaniska fenomen med hjälp av ett modifierat fältbegrepp.

Kanonisk kvantisering och vägintegraler är två vanliga formuleringar av QFT. För att motivera grunderna för QFT följer en översikt över klassisk fältteori.

Det enklaste klassiska fältet är ett verkligt skalärt fält - ett reellt tal vid varje punkt i rummet som förändras med tiden. Den betecknas som ϕ ( x , t ) , där x är positionsvektorn och t är tiden. Antag att fältets lagrangian , $L$ , är

$L=\int d^{3}x\, {\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1} {2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],$

där ${\mathcal {L}}$ är lagrangisk densitet, ${\dot {\phi }}$ är fältets tidsderivata, ∇ är gradientoperatorn och m är en verklig parameter (fältets "massa"). Att tillämpa Euler-Lagrange-ekvationen på Lagrangian:

$_ frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\summa _ {i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \ phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,}$

vi får fram rörelseekvationerna för fältet, som beskriver hur det varierar i tid och rum:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2 }+m^{2}\right)\phi =0.$

Detta är känt som Klein–Gordon-ekvationen .

Klein–Gordon-ekvationen är en vågekvation , så dess lösningar kan uttryckas som en summa av normala moder (erhållna via Fouriertransform ) enligt följande:

$\phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt { 2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p}}t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }ti\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right) ,$

där a är ett komplext tal (normaliserat enligt konventionen), * betecknar komplex konjugation och ω _p är frekvensen för normalläget:

$\omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.$

Således kan varje normalmod som motsvarar ett enda p ses som en klassisk övertonsoscillator med frekvensen ω _p .

Kanonisk kvantisering

Huvudartikel: Kanonisk kvantisering

Kvantiseringsproceduren för ovanstående klassiska fält till ett kvantoperatorfält är analogt med främjandet av en klassisk övertonsoscillator till en kvantövertonsoscillator .

Förskjutningen av en klassisk harmonisk oscillator beskrivs av

$x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae ^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},$

där a är ett komplext tal (normaliserat enligt konventionen), och ω är oscillatorns frekvens. Observera att x är förskjutningen av en partikel i enkel harmonisk rörelse från jämviktspositionen, inte att förväxla med den rumsliga beteckningen x för ett kvantfält.

För en kvantharmonisk oscillator befordras x ( t ) till en linjär operator ${\hat {x}}(t)$ :

${\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dolk }e^{i\omega t}.$

Komplexa tal a och a ^* ersätts av annihilationsoperatorn ${\hat {a}}$ respektive skapelseoperatorn a $\displaystyle {\hat {a}}^{\dolk }}$ . , där † betecknar hermitisk konjugation . Kommuteringsrelationen mellan de två är

$\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dolk }\right]=1.$

Hamiltonian för den enkla harmoniska oscillatorn kan skrivas som

${\hat {H}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dolk }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\hbar \omega .$

Vakuumtillståndet ${\displaystyle |0\rangle } ,$ _ som är det lägsta energitillståndet, definieras av

${\hat {a}}|0\rangle =0$

och har energi ${\frac {1}{2}}\hbar \omega$ Man kan enkelt kontrollera att ${\displaystyle [{\hat { H}},{\hat {a}}^{\dolk }]=\hbar \omega ,} vilket$ antyder att ${\hat {a}}^{\dolk }$ ökar energin i den enkla harmoniska oscillatorn med $\hbar \omega$ . Till exempel, tillståndet ${\hat {a}}^{\dolk }|0\rangle$ är ett egentillstånd av energi $3\hbar \omega /2$ . Vilket energiegentillstånd som helst för en enkel övertonsoscillator kan erhållas från $|0\rangle$ genom att successivt tillämpa skapelseoperatorn ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dolk }} :$ och alla tillstånd i systemet kan uttryckas som en linjär kombination av stater

$|n\rangle \propto \left({\hat {en}}^{\dolk }\right)^{n}|0\rangle .$

En liknande procedur kan tillämpas på det verkliga skalära fältet ϕ , genom att främja det till en kvantfältsoperator ${\hat {\phi }}$ , medan annihilationsoperatorn ${\hat { a}}_{\mathbf {p} }$ , skapelseoperatorn ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dolk }$ och vinkelfrekvensen $w_{\mathbf {p} }$ är nu för ett visst p :

${\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac { 1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf { p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dolk }e^{i\omega _{\mathbf {p} }ti\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).$

Deras kommuteringsrelationer är:

$\ vänster[{\hat {a}}_{\mathbf {p}},{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dolk }\right]=(2\pi )^{3 }\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf { q} }\right]=\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p}}^{\dolk },{\hat {a}}_{\mathbf {q}}^{\dolk }\right]=0,$

där δ är Dirac delta-funktionen . Vakuumtillståndet $|0\rangle$ definieras av

${\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{för alla }}\mathbf {p} .$

Alla kvanttillstånd i fältet kan erhållas från $|0\rangle$ genom att successivt tillämpa skapelseoperatorer ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dolk }} ($ eller genom en linjär kombination av sådana stater), t.ex

$\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dolk }\right)^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p } _{2}}^{\dolk }\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dolk }\right)^{2}|0\rangle .$

Medan tillståndsutrymmet för en enskild kvantharmonisk oscillator innehåller alla diskreta energitillstånd för en oscillerande partikel, innehåller tillståndsrummet för ett kvantfält de diskreta energinivåerna för ett godtyckligt antal partiklar. Det senare utrymmet är känt som ett Fock-utrymme , vilket kan förklara det faktum att partikelantal inte är fixerade i relativistiska kvantsystem. Processen att kvantisera ett godtyckligt antal partiklar istället för en enda partikel kallas ofta också för andra kvantisering .

Ovanstående procedur är en direkt tillämpning av icke-relativistisk kvantmekanik och kan användas för att kvantisera (komplexa) skalära fält, Dirac-fält , vektorfält ( t.ex. det elektromagnetiska fältet) och jämna strängar . Emellertid är skapelse- och förintelseoperatorer endast väldefinierade i de enklaste teorierna som inte innehåller några interaktioner (så kallad fri teori). När det gäller det verkliga skalära fältet var förekomsten av dessa operatorer en konsekvens av nedbrytningen av lösningar av de klassiska rörelseekvationerna till en summa av normala moder. För att utföra beräkningar på någon realistisk interagerande teori störningsteori vara nödvändig.

Lagrangian av vilket kvantfält som helst i naturen skulle innehålla interaktionstermer utöver de fria teoritermerna. Till exempel kan en kvartisk interaktionsterm introduceras till lagrangian för det verkliga skalära fältet:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )\left(\partial ^{\mu }\phi \right) -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},$

där μ är ett rumtidsindex, $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial / \partial x^{1}$ , etc. Summeringen över indexet μ har utelämnats efter Einstein-notationen . Om parametern λ är tillräckligt liten, kan den interagerande teorin som beskrivs av ovanstående Lagrangian betraktas som en liten störning från den fria teorin.

Bana integraler

Huvudartikel: Path integral formulering

Banintegralformuleringen av QFT handlar om direkt beräkning av spridningsamplituden för en viss interaktionsprocess, snarare än upprättandet av operatörer och tillståndsutrymmen . För att beräkna sannolikhetsamplituden för att ett system ska utvecklas från något initialt tillstånd $|\phi _{I}\rangle$ vid tidpunkten t = 0 till något sluttillstånd $|\phi _{F}\rangle$ vid t = T , den totala tiden T är uppdelad i N små intervall. Den totala amplituden är produkten av evolutionens amplitud inom varje intervall, integrerad över alla mellanliggande tillstånd. Låt H vara Hamiltonian ( dvs generator av tidsevolution ), då

$\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}| e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .$

Om man tar gränsen N → ∞ , blir produkten ovan av integraler Feynman-vägintegralen:

$\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\ int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},$

där L är Lagrangian som involverar ϕ och dess derivator med avseende på rumsliga och tidskoordinater, erhållen från Hamiltonian H via Legendre-transformation . De initiala och slutliga förhållandena för vägintegralen är respektive

$\phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.$

Med andra ord är den totala amplituden summan över amplituden för varje möjlig väg mellan initial- och sluttillståndet, där amplituden för en väg ges av exponentialen i integranden.

Tvåpunktskorrelationsfunktion

Huvudartikel: Korrelationsfunktion (kvantfältteori)

I beräkningar stöter man ofta på uttryck som

$$\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{eller}}\quad \langle \Omega |T\{\phi ( x)\phi (y)\}|\Omega \rangle$$

i den fria respektive interagerande teorin. Här $x$ och $y$ positionsfyra -vektorer , $T$ är den tidsordningsoperator som blandar sina operander så att tidskomponenterna $x^{0}$ och $y^{0}$ ökar från höger till vänster, och $|\Omega \rangle$ är grundtillståndet (vakuumtillstånd) för den interagerande teorin, skild från det fria grundtillståndet $|0\rangle$ . Detta uttryck representerar sannolikhetsamplituden för fältet att fortplanta sig från y till x , och går under flera namn , som tvåpunktsförökningsfunktionen , tvåpunktskorrelationsfunktionen , tvåpunkts Greens funktion eller tvåpunktsfunktionen för kort.

Den fria tvåpunktsfunktionen, även känd som Feynman propagator , kan hittas för det verkliga skalära fältet genom antingen kanonisk kvantisering eller vägintegraler för att vara

$\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(xy)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\ frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu}-m^{2}+i\epsilon } }e^{-ip_{\mu}(x^{\mu}-y^{\mu})}.$

I en interagerande teori, där Lagrangian eller Hamiltonian innehåller termer $L_{I}(t)$ eller $H_{I}(t)$ som beskriver interaktioner, tvåpunktsfunktion är svårare att definiera. Men genom både den kanoniska kvantiseringsformuleringen och vägintegralformuleringen är det möjligt att uttrycka det genom en oändlig störningsserie av den fria tvåpunktsfunktionen.

I kanonisk kvantisering kan tvåpunktskorrelationsfunktionen skrivas som:

$\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\ frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T }dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},$

där ε är ett infinitesimalt tal och ϕ _I är fältoperatorn under den fria teorin. Här exponentialen förstås som dess potensserieexpansion . Till exempel, i $\phi ^{4}$ -teori, är den interagerande termen för Hamiltonian ${\textstil H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{ 4}}$ , och expansionen av tvåpunktskorrelatorn i termer av $\lambda$ blir

$$\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\ frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n} \langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}( z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4 !)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{ 1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}.$$

Denna störningsexpansion uttrycker den interagerande tvåpunktsfunktionen i termer av kvantiteter $\langle 0|\cdots |0\rangle$ som utvärderas i den fria teorin.

I vägintegralformuleringen kan tvåpunktskorrelationsfunktionen skrivas

$\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )} {\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z \,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z \,{\mathcal {L}}\right]}},$

där ${\mathcal {L}}$ är densiteten i lagrangen. Som i föregående stycke kan exponentialen utökas som en serie i λ , vilket reducerar den interagerande tvåpunktsfunktionen till kvantiteter i den fria teorin.

Wicks sats reducerar ytterligare varje n -punktskorrelationsfunktion i den fria teorin till en summa av produkter av tvåpunktskorrelationsfunktioner. Till exempel,

${\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\} |0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3}) \phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0 |T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{ 4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}$

Eftersom interagerande korrelationsfunktioner kan uttryckas i termer av fria korrelationsfunktioner, behöver endast de senare utvärderas för att kunna beräkna alla fysiska storheter i den (perturbativa) interagerande teorin. Detta gör Feynman-propagatorn till en av de viktigaste kvantiteterna inom kvantfältteorin.

Feynman diagram

Huvudartikel: Feynman-diagram

Korrelationsfunktioner i den interagerande teorin kan skrivas som en störningsserie. Varje term i serien är en produkt av Feynman-propagatorer i den fria teorin och kan representeras visuellt av ett Feynman-diagram . Till exempel λ ^1- termen i tvåpunktskorrelationsfunktionen i ϕ ⁴ -teorin

${\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\ phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .$

Efter att ha tillämpat Wicks teorem är en av termerna

$12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(xz)D_{F}(yz)D_{F}(zz ).$

Denna term kan istället hämtas från Feynman-diagrammet

.

Diagrammet består av

• externa hörn sammankopplade med en kant och representerade av punkter (här märkta $x$ och ${\displaystyle y} )$ .
• interna hörn sammankopplade med fyra kanter och representerade av punkter (här märkt ${\displaystyle z} )$ .
• kanter som förbinder hörnen och representeras av linjer.

Varje vertex motsvarar en enda $\phi$ fältfaktor vid motsvarande punkt i rumtiden, medan kanterna motsvarar propagatorerna mellan rumtidspunkterna. Termen i störningsserien som motsvarar diagrammet erhålls genom att skriva ner uttrycket som följer av de så kallade Feynman-reglerna:

1. För varje inre vertex $z_{i}$ , skriv ner en faktor ${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$ .
2. För varje kant som förbinder två hörn $z_{i}$ och $z_{j}$ , skriv ner en faktor $D_{F}( z_{i}-z_{j})$ .
3. Dividera med symmetrifaktorn i diagrammet.

Med symmetrifaktorn $2$ ger efterföljande av dessa regler exakt uttrycket ovan. Genom att Fourier transformera propagatorn kan Feynman-reglerna omformuleras från positionsrymd till momentumrum.

För att beräkna n -punktskorrelationsfunktionen till k -:te ordningen, lista alla giltiga Feynman-diagram med n externa punkter och k eller färre hörn, och använd sedan Feynman-regler för att få uttrycket för varje term. Att vara precis,

$\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle$

är lika med summan av (uttryck som motsvarar) alla sammankopplade diagram med n yttre punkter. (Anslutna diagram är de där varje vertex är anslutet till en extern punkt genom linjer. Komponenter som är helt bortkopplade från externa linjer kallas ibland "vakuumbubblor".) I ϕ 4-interaktionsteorin som diskuterats ovan måste varje vertex ha ^fyra ben .

I realistiska tillämpningar kan spridningsamplituden för en viss interaktion eller sönderfallshastigheten för en partikel beräknas från S-matrisen , som i sig kan hittas med hjälp av Feynman-diagrammet.

Feynman-diagram som saknar "slingor" kallas trädnivådiagram, som beskriver de lägsta ordningens interaktionsprocesser; de som innehåller n slingor hänvisas till som n -loopdiagram, som beskriver bidrag av högre ordning, eller strålningskorrigeringar, till interaktionen. Linjer vars ändpunkter är hörn kan ses som utbredning av virtuella partiklar .

Renormalisering

Huvudartikel: Renormalisering

Feynman-regler kan användas för att direkt utvärdera diagram på trädnivå. Men naiv beräkning av slingdiagram som det som visas ovan kommer att resultera i divergerande momentumintegraler, vilket verkar antyda att nästan alla termer i den störande expansionen är oändliga. Renormaliseringsproceduren är en systematisk process för att ta bort sådana oändligheter .

Parametrar som förekommer i lagrangian, såsom massan m och kopplingskonstanten λ , har ingen fysisk betydelse - m , λ och fältstyrkan ϕ är inte experimentellt mätbara storheter och hänvisas till här som den blotta massan, bar kopplingskonstant, respektive barfält. Den fysiska massan och kopplingskonstanten mäts i någon interaktionsprocess och skiljer sig i allmänhet från de blotta kvantiteterna. Medan man beräknar fysikaliska storheter från denna interaktionsprocess kan man begränsa domänen av divergerande momentumintegraler till att ligga under någon momentum cut-off Λ , erhålla uttryck för de fysiska storheterna och sedan ta gränsen Λ → ∞ . Detta är ett exempel på regularisering , en klass av metoder för att behandla divergenser i QFT, där Λ är regulatorn.

Tillvägagångssättet som illustreras ovan kallas bar perturbation theory, eftersom beräkningar endast involverar de kala kvantiteterna såsom massa och kopplingskonstant. Ett annat tillvägagångssätt, som kallas renormaliserad störningsteori, är att använda fysiskt meningsfulla storheter från allra första början. I fallet med ϕ ⁴ -teori omdefinieras först fältstyrkan:

$\phi =Z^{1/2}\phi _{r$

där ϕ är det blotta fältet, ϕ _r är det renormaliserade fältet och Z är en konstant som ska bestämmas. Den lagrangiska densiteten blir:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!} }\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4 !}}\phi _{r}^{4},$

där m _r och λ _r är den experimentellt mätbara, renormaliserade massan respektive kopplingskonstanten, och

$\delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}= m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}$

är konstanter som ska bestämmas. De första tre termerna är den ϕ ⁴ lagrangiska densiteten skriven i termer av de renormaliserade kvantiteterna, medan de tre senare termerna hänvisas till som "mottermer". Eftersom Lagrangian nu innehåller fler termer, så bör Feynman-diagrammen inkludera ytterligare element, var och en med sina egna Feynman-regler. Förfarandet beskrivs enligt följande. Välj först ett regulariseringsschema (såsom cut-off-regulariseringen som introducerades ovan eller dimensionell regularisering ); ring regulatorn Λ . Beräkna Feynman-diagram, där divergerande termer kommer att bero på Λ . Definiera sedan δ _Z , δ _m , och δ _λ så att Feynman-diagram för mottermerna exakt tar bort de divergerande termerna i de normala Feynman-diagrammen när gränsen Λ → ∞ tas. På så sätt erhålls meningsfulla ändliga kvantiteter.

Det är bara möjligt att eliminera alla oändligheter för att få ett ändligt resultat i renormaliserbara teorier, medan i icke-renormaliserbara teorier inte oändligheter kan tas bort genom omdefiniering av ett litet antal parametrar. Standardmodellen av elementarpartiklar är en renormaliserbar QFT, medan kvantgravitationen är icke-renormaliserbar .

Renormaliseringsgrupp

Huvudartikel: Renormaliseringsgrupp

Renormaliseringsgruppen , utvecklad av Kenneth Wilson , är en matematisk apparat som används för att studera förändringar i fysiska parametrar (koefficienter i lagrangian) när systemet ses i olika skalor . Sättet på vilket varje parameter ändras med skalan beskrivs av dess β -funktion . Korrelationsfunktioner, som ligger till grund för kvantitativa fysiska förutsägelser, förändras med skalan enligt Callan-Symanzik-ekvationen .

Som ett exempel har kopplingskonstanten i QED, nämligen den elementära laddningen e , följande β- funktion:

$\beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de }{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O{\mathord {\left(e^{5}\right)}},$

där Λ är energiskalan under vilken mätningen av e utförs. Denna differentialekvation innebär att den observerade elementära laddningen ökar när skalan ökar. Den renormaliserade kopplingskonstanten, som ändras med energiskalan, kallas också för löpande kopplingskonstanten.

Kopplingskonstanten g i kvantkromodynamik , en icke-Abelsk mätteori baserad på symmetrigruppen SU(3) , har följande β- funktion:

$\beta (g)\equiv {\frac {1}{ \Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{ 3}}N_{f}\right)+O{\mathord {\left(g^{5}\right)}},$

där Nf _{_} är antalet kvargsmakämnen . Nf _I = 6 fallet där Nf _. ≤ 16 (standardmodellen har ), minskar kopplingskonstanten g när energiskalan ökar Därför, medan den starka interaktionen är stark vid låga energier, blir den mycket svag i högenergiinteraktioner, ett fenomen som kallas asymptotisk frihet .

Konforma fältteorier (CFT) är speciella QFT:er som medger konform symmetri . De är okänsliga för förändringar i skalan, eftersom alla deras kopplingskonstanter har försvinnande β -funktion. (Det motsatta är dock inte sant - försvinnandet av alla β- funktioner innebär inte konform symmetri av teorin.) Exempel inkluderar strängteori och N = 4 supersymmetrisk Yang–Mills teori .

Enligt Wilsons bild åtföljs varje QFT i grunden av sin energiavskärning Λ , dvs att teorin inte längre är giltig vid energier högre än Λ , och alla frihetsgrader över skalan Λ ska utelämnas. Till exempel kan cut-off vara det omvända till atomavståndet i ett system med kondenserad materia, och i elementär partikelfysik kan det vara associerat med den fundamentala "kornighet" av rumtiden som orsakas av kvantfluktuationer i gravitationen. Avgränsningsskalan för teorier om partikelinteraktioner ligger långt bortom nuvarande experiment. Även om teorin var mycket komplicerad i den skalan, så länge dess kopplingar är tillräckligt svaga, måste den beskrivas vid låga energier av en renormaliserbar effektiv fältteori . Skillnaden mellan renormaliserbara och icke-renormaliserbara teorier är att de förra är okänsliga för detaljer vid höga energier, medan de senare är beroende av dem. Enligt detta synsätt är icke-renormaliserbara teorier att se som lågenergieffektiva teorier av en mer fundamental teori. Misslyckandet med att ta bort cut-off Λ från beräkningar i en sådan teori indikerar bara att nya fysikaliska fenomen dyker upp på skalor över Λ , där en ny teori är nödvändig.

Andra teorier

Kvantiserings- och renormaliseringsprocedurerna som beskrivs i de föregående avsnitten utförs för den fria teorin och ϕ ⁴ -teorin för det verkliga skalära fältet. En liknande process kan göras för andra typer av fält, inklusive det komplexa skalära fältet, vektorfältet och Dirac-fältet , såväl som andra typer av interaktionstermer, inklusive den elektromagnetiska interaktionen och Yukawa-interaktionen .

Som ett exempel innehåller kvantelektrodynamik ett Dirac-fält ψ som representerar elektronfältet och ett vektorfält A ^μ som representerar det elektromagnetiska fältet ( fotonfält ). (Trots sitt namn motsvarar det kvantelektromagnetiska "fältet" faktiskt den klassiska elektromagnetiska fyrpotentialen , snarare än de klassiska elektriska och magnetiska fälten.) Den fullständiga QED Lagrangian-densiteten är:

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}-m\right)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },$

där γ ^μ är Dirac-matriser , ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dolk }\gamma ^{0}$ och ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu}-\partial _{\nu }A_{\mu }} är den$ elektromagnetiska fältstyrkan . Parametrarna i den här teorin är den (bara) elektronmassan m och den (bara) elementära laddningen e . De första och andra termerna i den lagrangiska tätheten motsvarar det fria Dirac-fältet respektive fria vektorfält. Den sista termen beskriver interaktionen mellan elektron- och fotonfälten, vilket behandlas som en störning från de fria teorierna.

Ovan visas ett exempel på ett Feynman-diagram på trädnivå i QED. Den beskriver en elektron och en positron som utplånar, skapar en off-shell foton och sönderfaller sedan till ett nytt par av elektron och positron. Tiden går från vänster till höger. Pilar som pekar framåt i tiden representerar utbredningen av positroner, medan de som pekar bakåt i tiden representerar utbredningen av elektroner. En vågig linje representerar utbredningen av en foton. Varje vertex i QED Feynman-diagram måste ha ett inkommande och ett utgående fermionben (positron/elektron) samt ett fotonben.

Mätare symmetri

Huvudartikel: Gauge theory

Om följande transformation till fälten utförs vid varje rumstidpunkt x (en lokal transformation), förblir QED Lagrangian oförändrad eller invariant:

${\ displaystil \psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu}(x)\to A_{\mu}(x)+ie^{-1 }e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},}$

där α ( x ) är vilken funktion som helst av rumtidskoordinater. Om en teoris Lagrangian (eller mer exakt handlingen ) är oföränderlig under en viss lokal transformation, så hänvisas transformationen till som en mätsymmetri av teorin. Gaugesymmetrier bildar en grupp vid varje rumstidpunkt. I fallet med QED, den successiva tillämpningen av två olika lokala symmetritransformationer $e^{i\alpha (x)}$ och $e^{i \alpha '(x)}$ är ännu en symmetritransformation $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ . För alla α ( x ) , är $e^{i\alpha (x)}$ ett element i U(1) -gruppen, så QED sägs ha U(1) gaugesymmetri . Fotonfältet A _μ kan hänvisas till som U(1) gauge boson .

U(1) är en Abelisk grupp , vilket betyder att resultatet är detsamma oavsett i vilken ordning dess element tillämpas. QFTs kan också byggas på icke-Abeliska grupper , vilket ger upphov till icke-Abeliska mätteorier (även kända som Yang-Mills-teorier). Quantum chromodynamik , som beskriver den starka växelverkan, är en icke-abelian gauge teori med en SU(3) gauge symmetri. Den innehåller tre Dirac-fält ψ ⁱ , i = 1,2,3 som representerar kvarkfält samt åtta vektorfält A ^a,μ , a = 1,...,8 som representerar gluonfält , som är SU(3) -mätaren bosoner. QCD Lagrangian-densiteten är:

${\mathcal {L}}=i{\ bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu}(D_{\mu})^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \ nu }^{a}F^{a,\mu \nu}-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},$

där D _μ är gauge -kovariantderivatan :

$D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},$

där g är kopplingskonstanten, t ^a är de åtta generatorerna av SU(3) i grundrepresentationen ( 3×3 matriser),

$F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu}A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c },$

och f ^abc är strukturkonstanterna för SU(3) . Upprepade index i , j , a summeras implicit över efter Einstein-notation. Denna Lagrangian är invariant under transformationen:

$\psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x) t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu}\right]U^ {\dolk }(x),$

där U ( x ) är ett element av SU(3) vid varje rumstidpunkt x :

$U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}.$

Den föregående diskussionen om symmetrier är på nivån med Lagrangian. Det är med andra ord "klassiska" symmetrier. Efter kvantisering kommer vissa teorier inte längre att uppvisa sina klassiska symmetrier, ett fenomen som kallas anomali . Till exempel, i vägintegralformuleringen, trots invariansen av den lagrangiska densiteten ${\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]$ under en viss lokal transformation av fälten kan måttet ${\textstyle \int {\mathcal {D}}\phi }$ för vägintegralen ändras. För att en teori som beskriver naturen ska vara konsekvent, får den inte innehålla någon anomali i sin mätsymmetri. Standardmodellen för elementarpartiklar är en mätteori baserad på gruppen SU(3) × SU(2) × U(1) , där alla anomalier exakt upphäver.

Den teoretiska grunden för allmän relativitet , ekvivalensprincipen , kan också förstås som en form av mätsymmetri, vilket gör allmän relativitet till en mätteori baserad på Lorentz- gruppen .

Noethers teorem säger att varje kontinuerlig symmetri, dvs. parametern i symmetritransformationen som är kontinuerlig snarare än diskret, leder till en motsvarande bevarandelag . Till exempel U(1) -symmetrin för QED laddningskonservering .

Gauge-transformationer relaterar inte distinkta kvanttillstånd. Snarare relaterar den två ekvivalenta matematiska beskrivningar av samma kvanttillstånd. Som ett exempel har fotonfältet A ^μ , som är en fyrvektor , fyra skenbara frihetsgrader, men det faktiska tillståndet för en foton beskrivs av dess två frihetsgrader som motsvarar polarisationen . De återstående två frihetsgraderna sägs vara "redundanta" — uppenbarligen kan olika sätt att skriva A ^μ relateras till varandra genom en mättransformation och i själva verket beskriva samma tillstånd i fotonfältet. I denna mening är mätinvarians inte en "riktig" symmetri, utan en återspegling av "redundansen" i den valda matematiska beskrivningen.

För att ta hänsyn till mätarredundansen i vägintegralformuleringen måste man utföra den så kallade Faddeev–Popov- mätarfixeringsproceduren . I icke-abeliska gauge-teorier introducerar en sådan procedur nya fält som kallas "spöken". Partiklar som motsvarar spökfälten kallas spökpartiklar, som inte kan detekteras externt. En mer rigorös generalisering av Faddeev-Popov-proceduren ges av BRST-kvantisering .

Spontant symmetribrytande

Huvudartikel: Spontant symmetribrott

Spontant symmetribrott är en mekanism där lagrangians symmetri kränks av systemet som beskrivs av den.

För att illustrera mekanismen, överväg en linjär sigmamodell som innehåller N verkliga skalära fält, beskrivna av den lagrangiska densiteten:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu}\phi ^{i}\right)\left(\partial ^{\mu}\phi ^{i}\right)+{\frac { 1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\phi ^{i}\phi ^{i }\right)^{2},$

där μ och λ är verkliga parametrar. Teorin medger en O( N ) global symmetri:

$\phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N).$

Det lägsta energitillståndet (grundtillstånd eller vakuumtillstånd) i den klassiska teorin är vilket enhetligt fält som helst som ₀ uppfyller

$\phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.$

Utan förlust av generalitet, låt grundtillståndet vara i N -:e riktningen:

$\phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).$

De ursprungliga N- fälten kan skrivas om som:

$\phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right),$

och den ursprungliga lagrangiska densiteten som:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{ \mu }\pi ^{k}\right)\left(\partial ^{\mu}\pi ^{k}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\ mu }\sigma \right)\left(\partial ^{\mu}\sigma \right)-{\frac {1}{2}}\left(2\mu ^{2}\right)\sigma ^{ 2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\ lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\pi ^{k}\pi ^{k }\right)^{2},$

där k = 1, ..., N - 1 . Den ursprungliga O( N ) globala symmetrin är inte längre uppenbar, och lämnar endast undergruppen O( N −1) . Den större symmetrin före spontan symmetribrott sägs vara "dold" eller spontant bruten.

Goldstones teorem säger att under spontan symmetribrytning leder varje bruten kontinuerlig global symmetri till ett masslöst fält som kallas Goldstone-bosonen. I exemplet ovan har O( N ) N ( N − 1)/2 kontinuerliga symmetrier (dimensionen av dess Lie-algebra ), medan O( N − 1) har ( N ​​− 1)( N − 2)/2 . Antalet brutna symmetrier är deras skillnad, N − 1 , som motsvarar de N − 1 masslösa fälten π ^k .

Å andra sidan, när en mätare (i motsats till global) symmetri spontant bryts, "äts" den resulterande Goldstone-bosonen av motsvarande mätboson genom att bli en ytterligare frihetsgrad för mätarbosonen. Goldstone-bosonekvivalenssatsen säger att vid hög energi blir amplituden för emission eller absorption av en longitudinellt polariserad massiv gauge-boson lika med amplituden för emission eller absorption av Goldstone-bosonen som åts av gauge-bosonen.

ferromagnetismens QFT kan spontan symmetribrytning förklara inriktningen av magnetiska dipoler vid låga temperaturer. I standardmodellen av elementarpartiklar förvärvar W- och Z-bosonerna , som annars skulle vara masslösa som ett resultat av mätsymmetri, massa genom spontant symmetribrott av Higgs-bosonen , en process som kallas Higgs-mekanismen .

Supersymmetri

Huvudartikel: Supersymmetri

Alla experimentellt kända symmetrier i naturen relaterar bosoner till bosoner och fermioner till fermioner. Teoretiker har antagit förekomsten av en typ av symmetri, kallad supersymmetri , som relaterar bosoner och fermioner.

Standardmodellen lyder Poincarés symmetri , vars generatorer är rumtidsöversättningarna P μ ^och Lorentz -transformationerna J _μν . Utöver dessa generatorer inkluderar supersymmetri i (3+1)-dimensioner ytterligare generatorer Q _α , kallade superladdningar , som själva transformerar till Weyl-fermioner . Symmetrigruppen som genereras av alla dessa generatorer är känd som super-Poincaré-gruppen . I allmänhet kan det finnas mer än en uppsättning supersymmetrigeneratorer, QaI _. ^, , I = 1, ..., N som genererar motsvarande N = 1 supersymmetri, N = 2 supersymmetri, och så vidare Supersymmetri kan också konstrueras i andra dimensioner, framför allt i (1+1) dimensioner för dess tillämpning i supersträngteori .

Lagrangian av en supersymmetrisk teori måste vara invariant under inverkan av super-Poincaré-gruppen. Exempel på sådana teorier inkluderar: Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM), N = 4 supersymmetrisk Yang-Mills-teori och supersträngteori. I en supersymmetrisk teori har varje fermion en bosonisk superpartner och vice versa.

Om supersymmetri främjas till en lokal symmetri, är den resulterande gauge-teorin en förlängning av allmän relativitet som kallas supergravitation .

Supersymmetri är en potentiell lösning på många aktuella problem inom fysiken. Till exempel kan hierarkiproblemet med standardmodellen – varför Higgs-bosonens massa inte radiativt korrigeras (under renormalisering) till en mycket hög skala som den stora enhetliga skalan eller Planck-skalan – lösas genom att relatera Higgsfältet och dess superpartner, Higgsino . Strålningskorrigeringar på grund av Higgs bosonslingor i Feynman-diagram avbryts av motsvarande Higgsino-loopar. Supersymmetri erbjuder också svar på den stora föreningen av alla mätarkopplingskonstanter i standardmodellen såväl som på mörk materias natur .

Ändå, från och med 2018, har experiment ännu inte ge bevis för förekomsten av supersymmetriska partiklar. Om supersymmetri var en sann symmetri av naturen, så måste det vara en bruten symmetri, och energin för symmetribrott måste vara högre än de som kan uppnås med dagens experiment.

Andra rumstider

ϕ Minkowski ⁴ -teorin, QED, QCD, såväl som hela standardmodellen antar alla ett (3+1)-dimensionellt -rum (3 rumsliga och 1 tidsdimensioner) som bakgrund på vilken kvantfälten definieras. QFT sätter dock a priori ingen begränsning på antalet dimensioner eller rumtidens geometri.

Inom den kondenserade materiens fysik används QFT för att beskriva (2+1)-dimensionella elektrongaser . Inom högenergifysik är strängteori en typ av (1+1)-dimensionell QFT, medan Kaluza–Klein-teorin använder gravitation i extra dimensioner för att producera mätteorier i lägre dimensioner.

används det platta måttet η _{μν för att} höja och sänka rymdtidsindex i lagrangian, t.ex.

$A_{\mu }A_=^{\etamu} mu \nu }A^{\mu }A^{\nu},\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _ {\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,$

där η ^μν är inversen av η _μν som uppfyller η ^μρ η _ρν = δ ^μ _ν . För QFTs i krökt rumtid å andra sidan används ett allmänt mått (som Schwarzschild-måttet som beskriver ett svart hål ):

$A_{\mu }A^{\mu }=g nu }A^{\mu }A^{\nu},\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu}\phi =g^{\mu \nu}\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,$

där g ^μν är inversen av g _μν . För ett riktigt skalärt fält är den lagrangiska densiteten i en allmän rumtidsbakgrund

${\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1} {2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{ 2}\höger),$

där g = det( g _μν ) , och ∇ _μ anger den kovarianta derivatan . Lagrangian för en QFT, därav dess beräkningsresultat och fysiska förutsägelser, beror på geometrin hos rumtidsbakgrunden.

Topologisk kvantfältteori

Huvudartikel: Topologisk kvantfältteori

Korrelationsfunktionerna och fysiska förutsägelser av en QFT beror på rumtidsmåttet g _μν . För en speciell klass av QFT som kallas topologiska kvantfältteorier (TQFTs), är alla korrelationsfunktioner oberoende av kontinuerliga förändringar i rumtidsmetriken. QFTs i krökt rymdtid förändras i allmänhet enligt geometrin (lokal struktur) för rumtidsbakgrunden, medan TQFT:er är oföränderliga under rymdtidsdiffeomorfismer men är känsliga för topologin (global struktur) av rumstid. Detta betyder att alla beräkningsresultat av TQFTs är topologiska invarianter av den underliggande rumtiden. Chern-Simons teori är ett exempel på TQFT och har använts för att konstruera modeller av kvantgravitation. Tillämpningar av TQFT inkluderar fraktionerad kvant Hall-effekt och topologiska kvantdatorer . Världslinjebanan för fraktionaliserade partiklar (känd som anyons ) kan bilda en länkkonfiguration i rumtiden, som relaterar flätstatistiken för anyoner i fysiken till länkinvarianterna i matematik. Topologiska kvantfältteorier (TQFT) som är tillämpliga på frontlinjeforskningen av topologiska kvantämnen inkluderar Chern-Simons-Witten-mätteorier i 2+1 rumtidsdimensioner, andra nya exotiska TQFTs i 3+1 rumtidsdimensioner och längre fram.

Störande och icke-störande metoder

Med hjälp av störningsteori kan den totala effekten av en liten interaktionsterm approximeras ordning för ordning genom en serieexpansion i antalet virtuella partiklar som deltar i interaktionen. Varje term i expansionen kan förstås som ett möjligt sätt för (fysiska) partiklar att interagera med varandra via virtuella partiklar, uttryckt visuellt med hjälp av ett Feynman-diagram . Den elektromagnetiska kraften mellan två elektroner i QED representeras (till första ordningen i störningsteorin) av utbredningen av en virtuell foton. På liknande sätt W- och Z-bosonerna den svaga interaktionen, medan gluonerna bär den starka interaktionen. Tolkningen av en interaktion som en summa av mellanliggande tillstånd som involverar utbyte av olika virtuella partiklar är bara meningsfull inom ramen för störningsteorin. Däremot behandlar icke-perturbativa metoder i QFT den interagerande Lagrangian som en helhet utan någon serieexpansion. Istället för partiklar som bär interaktioner har dessa metoder gett upphov till sådana koncept som 't Hooft–Polyakov-monopol , domänvägg , fluxrör och instanton . Exempel på QFT:er som är helt lösbara utan störningar inkluderar minimala modeller av konform fältteori och Thirring-modellen .

Matematisk rigor

Trots sin överväldigande framgång inom partikelfysik och kondenserad materiens fysik, saknar QFT själv en formell matematisk grund. Till exempel, enligt Haags teorem , finns det inte en väldefinierad interaktionsbild för QFT, vilket innebär att störningsteorin för QFT, som ligger till grund för hela Feynman-diagrammet , är i grunden dåligt definierad.

Emellertid kan störande kvantfältteori, som bara kräver att storheter ska kunna beräknas som en formell potensserie utan några konvergenskrav, ges en rigorös matematisk behandling. Speciellt Kevin Costellos monografi Renormalization and Effective Field Theory en rigorös formulering av störande renormalisering som kombinerar båda de effektiva fältteoretiska tillvägagångssätten från Kadanoff , Wilson och Polchinski , tillsammans med Batalin-Vilkovisky- metoden för att kvantisera mätteorier. Dessutom kan störande vägintegralmetoder, vanligtvis förstås som formella beräkningsmetoder inspirerade från finitdimensionell integrationsteori, ges en sund matematisk tolkning från deras finitadimensionella analoger.

Sedan 1950-talet har teoretiska fysiker och matematiker försökt organisera alla QFTs i en uppsättning axiom , för att fastställa existensen av konkreta modeller av relativistisk QFT på ett matematiskt rigoröst sätt och för att studera deras egenskaper. Denna studielinje kallas konstruktiv kvantfältteori , ett underområde av matematisk fysik , vilket har lett till sådana resultat som CPT-sats , spin-statistiksats och Goldstones sats , och även till matematiskt rigorösa konstruktioner av många interagerande QFT:er i två och tre rumtidsdimensioner, t.ex. tvådimensionella skalära fältteorier med godtyckliga polynominteraktioner, de tredimensionella skalära fältteorierna med en kvartsinteraktion osv.

Jämfört med vanlig QFT stöds topologisk kvantfältteori och konformfältteori bättre matematiskt - båda kan klassificeras inom ramen för representationer av kobordismer .

Algebraisk kvantfältteori är ett annat tillvägagångssätt för axiomatisering av QFT, där de grundläggande objekten är lokala operatorer och de algebraiska relationerna mellan dem. Axiomatiska system som följer detta tillvägagångssätt inkluderar Wightman-axiom och Haag-Kastler-axiom . Ett sätt att konstruera teorier som tillfredsställer Wightmans axiom är att använda Osterwalder–Schrader axiom , som ger de nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för att en realtidsteori ska kunna erhållas från en imaginär tidsteori genom analytisk fortsättning ( Wick rotation ).

Yang–Mills existens och massklyfta , ett av Millennium Prize-problemen , rör den väldefinierade existensen av Yang–Mills teorier som anges av ovanstående axiom. Den fullständiga problembeskrivningen är som följer.

Bevisa att för vilken kompakt enkel gauge-grupp G som helst finns en icke-trivial kvant Yang–Mills teori på $\mathbb {R} ^{4}$ och har ett massgap Δ > 0 . Existensen inkluderar att etablera axiomatiska egenskaper som är minst lika starka som de som citeras i Streater & Wightman (1964) , Osterwalder & Schrader (1973) och Osterwalder & Schrader (1975) .

Se även

• Abraham–Lorentz styrka
• AdS/CFT-korrespondens
• Axiomatisk kvantfältteori
• Introduktion till kvantmekanik
• Vanliga integraler inom kvantfältteori
• Konform fältteori
• Konstruktiv kvantfältteori
• Diracs ekvation
• Formfaktor (kvantfältteori)
• Feynman diagram
• Grön-Kubo relationer
• Greens funktion (mångakroppsteori)
• Gruppfältteori
• Gitterfältteori
• Lista över kvantfältsteorier
• Lokal kvantfältteori
• Icke-kommutativ kvantfältteori
• Kvantisering av ett fält
• Kvantelektrodynamik
• Kvantfältteori i krökt rumtid
• Kvantkromodynamik
• Quantum smakdynamik
• Kvanthadrodynamik
• Kvanthydrodynamik
• Kvanttrivialitet
• Förhållandet mellan Schrödingers ekvation och kvantmekanikens vägintegralformulering
• Samband mellan strängteori och kvantfältteori
• Schwinger–Dyson ekvation
• Statiska krafter och virtuellt-partikelutbyte
• Symmetri i kvantmekanik
• Teoretisk och experimentell motivering för Schrödinger-ekvationen
• Topologisk kvantfältteori
• Ward–Takahashi identitet
• Wheeler–Feynman absorber teori
• Wigners klassificering
• Wigners teorem

Bibliografi

• Streater, R.; Wightman, A. (1964). PCT, Spin och statistik och allt det där . WA Benjamin.
•   Osterwalder, K.; Schrader, R. (1973). "Axiom för Euclidean Greens funktioner" . Kommunikationer i matematisk fysik . 31 (2): 83–112. Bibcode : 1973CMaPh..31...83O . doi : 10.1007/BF01645738 . S2CID 189829853 .
•   Osterwalder, K.; Schrader, R. (1975). "Axiom för Euclidean Greens funktioner II" . Kommunikationer i matematisk fysik . 42 (3): 281–305. Bibcode : 1975CMaPh..42..281O . doi : 10.1007/BF01608978 . S2CID 119389461 .

Vidare läsning

Allmänna läsare

•   Pais, A. (1994) [1986]. Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World (reprinted.). Oxford, New York, Toronto: Oxford University Press . ISBN 978-0198519973 .
•   Schweber, SS (1994). QED och männen som gjorde det: Dyson, Feynman, Schwinger och Tomonaga . Princeton University Press . ISBN 9780691033273 .
•   Feynman, RP (2001) [1964]. Fysisk lags karaktär . MIT Tryck på . ISBN 978-0-262-56003-0 .
•   Feynman, RP (2006) [1985]. QED: Den märkliga teorin om ljus och materia . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12575-6 .
•   Gribbin, J. (1998). Q är för Quantum: Partikelfysik från A till Ö . Weidenfeld & Nicolson . ISBN 978-0-297-81752-9 .

Inledande texter

•   McMahon, D. (2008). Kvantfältteori . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-154382-8 .
•   Bogolyubov, N .; Shirkov, D. (1982). Kvantfält . Benjamin Cummings . ISBN 978-0-8053-0983-6 .
• Frampton, PH (2000). Mätfältsteorier . Frontiers in Physics (2:a uppl.). Wiley .
•   Greiner, W.; Müller, B. (2000). Gauge Theory of Weak Interactions . Springer . ISBN 978-3-540-67672-0 .
•   Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1980). Kvantfältteori . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-032071-0 .
•   Kane, GL (1987). Modern elementarpartikelfysik . Perseus-gruppen . ISBN 978-0-201-11749-3 .
•   Kleinert, H .; Schulte-Frohlinde, Verena (2001). Kritiska egenskaper hos φ ⁴ -Teorier . World Scientific . ISBN 978-981-02-4658-7 .
•   Kleinert, H. (2008). Flervärdiga fält i kondenserad materia, elektrodynamik och gravitation (PDF) . World Scientific. ISBN 978-981-279-170-2 .
• Lancaster, T., & Blundell, SJ (2014). Kvantfältteori för den begåvade amatören . OUP Oxford. ISBN 9780199699339
•   Loudon, R (1983). Kvantteorin om ljus . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851155-7 .
•   Mandl, F.; Shaw, G. (1993). Kvantfältteori . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-94186-6 .
•   Ryder, LH (1985). Kvantfältteori . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-33859-2 .
•   Schwartz, MD (2014). Kvantfältteorin och standardmodellen . Cambridge University Press. ISBN 978-1107034730 . Arkiverad från originalet 2018-03-22 . Hämtad 2020-05-13 .
•   Ynduráin, FJ (1996). Relativistisk kvantmekanik och introduktion till fältteori . Relativistisk kvantmekanik och introduktion till fältteori (1:a uppl.). Springer. Bibcode : 1996rqmi.book.....Y . doi : 10.1007/978-3-642-61057-8 . ISBN 978-3-540-60453-2 .
•   Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996). Fältkvantisering . Springer. ISBN 978-3-540-59179-5 .
•   Peskin, M .; Schroeder, D. (1995). En introduktion till kvantfältteori . Westview Press . ISBN 978-0-201-50397-5 .
•   Scharf, Günter (2014) [1989]. Finite Quantum Electrodynamics: The Causal Approach (tredje upplagan). Dover Publikationer. ISBN 978-0486492735 .
•   Srednicki, M. (2007). Kvantfältteori . Cambridge University Press . ISBN 978-0521-8644-97 .
• Tong, David (2015). "Föreläsningar om kvantfältteori" . Hämtad 2016-02-09 .
•   Zee, Anthony (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell (2:a upplagan). Princeton University Press . ISBN 978-0691140346 .

Avancerade texter

•   Brown, Lowell S. (1994). Kvantfältteori . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46946-3 .
•   Bogoliubov, N.; Logunov, AA ; Oksak, AI; Todorov, IT (1990). Allmänna principer för kvantfältteorin . Kluwer Academic Publishers . ISBN 978-0-7923-0540-8 .
•   Weinberg, S. (1995). Fältens kvantteorin . Vol. 1. Cambridge University Press . ISBN 978-0521550017 .

externa länkar

• Media relaterade till kvantfältteori på Wikimedia Commons

• "Quantum field theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Stanford Encyclopedia of Philosophy : " Quantum Field Theory ", av Meinard Kuhlmann.
• Siegel, Warren, 2005. Fields. arXiv : hep-th/9912205 .
• Quantum Field Theory av PJ Mulders