Koherent kärvekohomologi

I matematik , särskilt i algebraisk geometri och teorin om komplexa grenrör , är koherent kärvkohomologi en teknik för att producera funktioner med specificerade egenskaper. Många geometriska frågor kan formuleras som frågor om förekomsten av sektioner av linjebuntar eller av mer allmänt sammanhängande skivor ; sådana avsnitt kan ses som generaliserade funktioner. Cohomology tillhandahåller beräkningsbara verktyg för att producera avsnitt eller förklara varför de inte finns. Det ger också invarianter för att skilja en algebraisk variant från en annan.

Mycket av algebraisk geometri och komplex analytisk geometri är formulerad i termer av koherenta skivor och deras kohomologi.

Sammanhängande kärvar

Huvudartikel: Koherent kärve

Koherenta skivor kan ses som en generalisering av vektorbuntar . Det finns en föreställning om en koherent analytisk bunt på ett komplext analytiskt utrymme , och en analog föreställning om en koherent algebraisk kärva på ett schema . I båda fallen kommer det givna utrymmet $X$ med en bunt av ringar ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} ,$ bunten av holomorfa funktioner eller reguljära funktioner , och koherenta remsor är definieras som en fullständig underkategori av kategorin ${\mathcal {O}}_{X}$ - moduler (det vill säga skivor av ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler).

Vektorbuntar som tangentbunten spelar en grundläggande roll i geometrin. Mer allmänt, för en sluten undervarietet $Y$ av $X$ med inkludering $i:Y\to X$ , en vektorbunt $E$ på ${ \displaystyle Y}$ bestämmer en koherent bunt på $X$ , den direkta bildbunten $i_{*}E$ , som är noll utanför $Y$ . På så sätt kan många frågor om subvarieteter av $X$ uttryckas i termer av koherenta skivor på $X$ .

Till skillnad från vektorbuntar bildar koherenta skivor (i det analytiska eller algebraiska fallet) en abelsk kategori , och därför stängs de under operationer som att ta kärnor , bilder och kokkärnor . På ett schema är de kvasi-koherenta skivorna en generalisering av koherenta skivor, inklusive de lokalt fria skivorna av oändlig rang.

Sheaf kohomologi

För en kärve ${\mathcal {F}}$ av abelska grupper på ett topologiskt utrymme $displaystyle X}$ \ , kärvekohomologigrupperna $H^{i}(X ,{\mathcal {F}})$ för heltal $i$ definieras som de högerhärledda funktorerna av funktorn för globala sektioner, ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)$ . Som ett resultat $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ noll för $i<0$ , och $H^{0}(X,{\mathcal {F}})$ kan identifieras med ${\mathcal {F}}(X)$ . För en kort exakt sekvens av skivor $0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}\to 0$ , det finns en lång exakt sekvens av kohomologigrupper:

$0\till H^{0}(X,{\mathcal {A}})\till H^{0}(X,{\mathcal {B}})\till H^{0}(X, {\mathcal {C}})\to H^{1}(X,{\mathcal {A}})\to \cdots .$

Om ${\mathcal {F}}$ är en bunt av ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler på ett schema $X$ , då grupperar kohomologin $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ (definierad med det underliggande topologiska utrymmet för ${\displaystyle X})$ är moduler över ringen ${\mathcal {O}}(X)$ av vanliga funktioner. Till exempel, om $X$ är ett schema över ett fält $k$ , då är kohomologigrupperna $H^{i}(X,{\mathcal {F }})$ är $k$ - vektorrum . Teorin blir kraftfull när ${\mathcal {F}}$ är en koherent eller kvasikoherent bunt, på grund av följande resultatsekvens.

Försvinnande satser i det affina fallet

Komplex analys revolutionerades av Cartans satser A och B 1953. Dessa resultat säger att om ${\mathcal {F}}$ är en koherent analytisk bunt på ett Stein-utrymme $X$ , då ${\ displaystyle {\mathcal {F}}}$ spänns av sina globala sektioner och $H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0$ för alla $i>0$ . (Ett komplext utrymme $X$ är Stein om och endast om det är isomorft till ett slutet analytiskt delrum av $\mathbb {C} ^{n}$ för några $n$ .) Dessa resultat generaliserar en stor mängd äldre arbeten om konstruktion av komplexa analytiska funktioner med givna singulariteter eller andra egenskaper.

1955 introducerade Serre koherenta skivor i algebraisk geometri (först över ett algebraiskt stängt fält , men den begränsningen togs bort av Grothendieck ). Analogerna till Cartans satser håller i stor allmänhet: om ${\mathcal {F}}$ är en kvasi-koherent bunt på ett affint schema $X$ , då ${\mathcal {F }}$ spänns av sina globala sektioner, och $H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0$ för $i>0$ . Detta är relaterat till det faktum att kategorin av kvasi-koherenta skivor på ett affint schema $X$ är ekvivalent med kategorin ${\mathcal {O}}(X)$ -moduler , med ekvivalensen som tar en bunt ${\mathcal {F}}$ till ${\mathcal {O}}(X)$ -modul $H^{0}(X,{\mathcal {F}})$ . Faktum är att affina scheman kännetecknas bland alla kvasikompakta scheman av att högre kohomologi försvinner för kvasikoherenta skivor.

Čech kohomologi och det projektiva rummets kohomologi

Som en konsekvens av att kohomologi försvinner för affina scheman: för ett separerat schema $X$ , en affin öppen täckning $\{U_{i}\}$ av $X$ , och en kvasikoherent bunt ${\mathcal {F}}$ på $X$ , kohomologigrupperna $H^{*}(X,{\ mathcal {F}})$ är isomorfa till Čech- kohomologigrupperna med avseende på det öppna höljet $\{U_{i}\}$ . Med andra ord, att känna till sektionerna av ${\mathcal {F}}$ på alla finita skärningspunkter för de affina öppna delschemana $U_{i}$ bestämmer kohomologin för $X$ med koefficienter i ${\mathcal {F}}$ .

Med hjälp av Čech kohomologi kan man beräkna kohomologin för projektivt utrymme med koefficienter i vilken linjebunt som helst. Nämligen, för ett fält $k$ , ett positivt heltal $n$ och vilket heltal som helst $j$ , kohomologin för projektivt utrymme $\mathbb {P} ^{n }$ över $k$ med koefficienter i linjebunten ${\mathcal {O}}(j)$ ges av:

$H^{i}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}} (j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\ ;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=0\\[6pt]0&i\neq 0,n\\[6pt]\bigoplus _ {a_{0},\ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\ cdots x_{n}^{a_{n}}&i=n\end{cases}}$

Speciellt visar denna beräkning att kohomologin av projektivt utrymme över $k$ med koefficienter i valfritt linjepaket har en ändlig dimension som ett $k$ -vektorutrymme.

Försvinnandet av dessa kohomologigrupper ovanför dimension $n$ är ett mycket speciellt fall av Grothendiecks försvinnande teorem : för varje bunt av abelska grupper ${\mathcal {F}}$ på ett Noetherskt topologiskt utrymme ${\ displaystyle X}$ av dimensionen $n<\infty$ , $H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0$ för alla $i>n$ . Detta är särskilt användbart för $X$ ett Noetherian-schema (till exempel en variation över ett fält) och ${\mathcal {F}}$ en kvasi-koherent bunt.

Sheaf cohomology of plane-curves

Givet en jämn projektiv plankurva $C$ av grad $d$ , kärvkohomologin $H^{*}(C,{\mathcal {O}} _{C})$ kan lätt beräknas med en lång exakt sekvens inom kohomologi. Observera först att för inbäddningen $i:C\to \mathbb {P} ^{2}$ finns det isomorfismen hos kohomologigrupper

$H^{*}(\mathbb {P} ^{2},i_{*}{\mathcal {O$

eftersom $i_{*}$ är exakt. Detta innebär att den korta exakta sekvensen av koherenta skivor

$0\to {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}\to i_{*}{\mathcal { O}}_{C}\to 0$

på ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} ,$ kallad idealsekvensen , användas för att beräkna kohomologi via den långa exakta sekvensen inom kohomologi. Sekvensen lyder som

${\begin{ justerad}0&\till H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\till H^{0}(\mathbb {P} ^{2} ,{\mathcal {O}})\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}( \mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{ \mathcal {O}}(-d))\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}$

vilket kan förenklas med hjälp av tidigare beräkningar på projektivt utrymme. För enkelhets skull, anta att basringen är $\mathbb {C}$ (eller något algebraiskt stängt fält). Sedan finns det isomorfismerna

${\displaystyle {\begin{aligned}H^$

vilket visar att $H^{1}$ i kurvan är ett ändligt dimensionellt vektorrum av rang

${d-1 \choose d-3}={\frac {(d-1)(d-2)}{ 2}}$ .

Kunneths sats

Det finns en analog av Kunneth-formeln i koherent kärvkohomologi för produkter av sorter. Givet kvasikompakta scheman $X,Y$ med affina diagonaler över ett fält ${\displaystyle k} ,$ (t.ex. separerade scheman), och låt ${\mathcal { F}}\in {\text{Coh}}(X)$ och ${\displaystyle {\mathcal {G}}\in {\text{Coh}}(Y)} ,$ då finns det en isomorfism

$H^{k}(X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y,\pi _{1}^{*}{\mathcal {F}}\otimes _{ {\mathcal {O}}_{X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {G}})\cong \bigoplus _{i+j=k}H^{i}(X,{\mathcal {F}})\otimes _{k}H^{j}(Y,{\mathcal {G}})$

där $\pi _{1},\pi _{2}$ är de kanoniska projektionerna av $X\times _{{\text{Spec}} (k)}Y$ till $X,Y$ .

Computing sheaf cohomology of curves

I ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}},$ ett generiskt avsnitt av ${\mathcal {O}}_{X}(a,b)=\pi _{1}^{*}{\ mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(a)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}\pi _{2}^{*}{\mathcal { O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(b)$ definierar en kurva $C$ , vilket ger den ideala sekvensen

$0\to {\mathcal {O}}_{X}(-a,-b)\to {\mathcal {O}} _{X}\to {\mathcal {O}}_{C}\to 0$

Sedan läses den långa exakta sekvensen som

$\displaystyle {\begin{ justerad}0&\till H^{0}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\till H^{0}(X,{\mathcal {O}})\till H^ {0}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\till H^ {1}(X,{\mathcal {O}})\till H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\till H^{2}(X,{ \mathcal {O}}(-a,-b))\till H^{2}(X,{\mathcal {O}})\till H^{2}(X,{\mathcal {O}}_ {C})\end{aligned}}}$

ger

$aligned}H^{0 }(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O }}_{C})&\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\end{aligned}}}$

Eftersom $H^{1}$ är släktet för kurvan, kan vi använda Kunneth-formeln för att beräkna dess Betti-tal. Detta är

$H^{2} (X,{\mathcal {O}}_{X}(-a,-b))\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-a ))\otimes _{k}H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-b))$

som är av rang

${\binom {a-1}{a- 2}}{\binom {b-1}{b-2}}=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1$

för $-a,-b\leq -2$ . I synnerhet, om $C$ definieras av försvinnande lokus för en generisk sektion av ${\displaystyle {\mathcal {O}}(2,k)},$ är den av släktet

$2k-2-k+1=k-1$

därför kan en kurva av vilket släkte som helst hittas inuti $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ .

Ändlig dimensionalitet

För ett korrekt schema $X$ över ett fält $k$ och varje koherent bunt ${\mathcal {F}}$ på $X$ , grupperar kohomologin $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ har en ändlig dimension som $k$ -vektormellanrum. I det speciella fallet där $X$ är projektiv över $k$ , bevisas detta genom att reducera till fallet med linjebuntar på projektivt utrymme, diskuterat ovan. I det allmänna fallet med ett korrekt schema över ett fält, bevisade Grothendieck ändligheten av kohomologi genom att reducera till det projektiva fallet, med hjälp av Chows lemma .

Kohomologins ändliga dimensionalitet gäller också i den analoga situationen med koherenta analytiska skivor på vilket kompakt komplext utrymme som helst, med ett helt annat argument. Cartan och Serre bevisade ändlig dimensionalitet i denna analytiska situation med hjälp av en sats av Schwartz om kompakta operatörer i Fréchet-utrymmen . Relativa versioner av detta resultat för en riktig morfism bevisades av Grothendieck (för lokalt Noetherian-scheman) och av Grauert (för komplexa analytiska utrymmen). Nämligen, för en riktig morfism $f:X\to Y$ (i den algebraiska eller analytiska inställningen) och en koherent bunt ${\mathcal {F}}$ på $X$ , de högre direkta bildskivorna R $\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$ är koherenta. När $Y$ är en punkt, ger denna sats kohomologins ändliga dimensionalitet.

Kohomologins ändliga dimensionalitet leder till många numeriska invarianter för projektiva varieteter. Till exempel $displaystyle$ om $X$ är en jämn projektiv kurva över ett algebraiskt stängt fält ${\displaystyle k} ,$ definieras släktet av X {\displaystyle X} som dimensionen för k { \ $}$ -vektorutrymme $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ . När $k$ är fältet för komplexa tal stämmer detta överens med släktet för rymden $X(\mathbb {C} )$ av komplexa punkter i dess klassiska (euklidiska) topologi. (I så fall är $X(\mathbb {C} )=X^{an}$ en sluten orienterad yta .) Bland många möjliga högredimensionella generaliseringar är det geometriska släktet av en jämn projektiv variant $X$ av dimension $n$ är dimensionen för $H^{n}(X,{\mathcal {O}}_{ X})$ , och det aritmetiska släktet (enligt en konvention) är den alternerande summan

$\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X, {\mathcal {O}}_{X})).$

Serre dualitet

Huvudartikel: Serre dualitet

Serre-dualitet är en analog till Poincaré-dualitet för koherent kärvekohomologi. I denna analogi spelar den kanoniska bunten $K_{X}$ rollen som orienteringskärven . För ett jämnt korrekt schema $X$ med dimension $n$ över ett fält $k$ finns det nämligen en naturlig spårkarta ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})\to k} ,$ vilket är en isomorfism om $X$ är geometriskt kopplad , vilket betyder att basen ändras av $X$ till en algebraisk stängning av $k$ är ansluten . Serre dualitet för en vektorbunt $E$ på $X$ säger att produkten

$H^{i}(X,E)\ gånger H^{ ni}(X,K_{X}\ibland E^{*})\till H^{n}(X,K_{X})\till k$

är en perfekt parning för varje heltal $i$ . Speciellt $k$ -vektorutrymmena $H^{i}(X,E)$ och ${\ displaystyle H^{ni}(X,K_{X}\otimes E^{*})}$ har samma (ändliga) dimension. (Serre bevisade också Serre-dualitet för holomorfa vektorbuntar på vilket kompakt komplext grenrör som helst.) Grothendiecks dualitetsteori inkluderar generaliseringar till vilken sammanhängande bunt som helst och vilken riktig morfism av scheman som helst, även om uttalandena blir mindre elementära.

Till exempel, för en jämn projektiv kurva $X$ över ett algebraiskt stängt fält $k$ , innebär Serre dualitet att rummets dimension $H^{0}(X,\Omega ^{1})=H^{0}(X,K_{X})$ av 1-former på $X$ är lika med släktet av $X$ (dimensionen för ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})})$ .

GAGA-satser

Huvudartikel: GAGA

GAGA-satser relaterar algebraiska varianter över de komplexa talen till motsvarande analytiska utrymmen. För ett schema X av finit typ över C finns det en funktion från koherenta algebraiska skivor på X till koherenta analytiska skivor på det associerade analytiska utrymmet X ^an . Den viktigaste GAGA-satsen (av Grothendieck, generaliserande Serres sats om det projektiva fallet) är att om X är korrekt över C , så är denna funktion en ekvivalens av kategorier. Dessutom, för varje koherent algebraisk bunt E på ett korrekt schema X över C , den naturliga kartan

$H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E^ {\text{an}})$

av (ändliga dimensionella) komplexa vektorrum är en isomorfism för alla i . (Den första gruppen här definieras med Zariski-topologin, och den andra med den klassiska (euklidiska) topologin.) Till exempel, ekvivalensen mellan algebraiska och analytiska koherenta skivor på projektivt rum antyder Chows teorem att varje slutet analytiskt delrum av CP ⁿ är algebraisk.

Försvinnande teorem

Serres försvinnande teorem säger att för varje riklig linjebunt $L$ på ett korrekt schema $X$ över en Noetherian ring , och vilken som helst koherent bunt ${\mathcal {F}}$ på ${ \displaystyle X}$ , det finns ett heltal $m_{0}$ så att för alla ${\displaystyle m\geq m_{0}} ,$ kärven ${\mathcal {F}}\otimes L^{\otimes m}$ spänns av sina globala sektioner och har ingen kohomologi i positiva grader.

Även om Serres försvinnande teorem är användbar, kan oförtydligheten i talet $m_{0}$ vara ett problem. Kodairas försvinnande teorem är ett viktigt explicit resultat. Nämligen, om $X$ är en jämn projektiv variation över ett fält med karakteristisk noll, är $L$ en riklig linjebunt på $X$ och $K_{X}$ ett kanoniskt paket , alltså

$H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0$

för alla $j>0$ . Observera att Serres teorem garanterar samma försvinnande för stora potenser av $L$ . Kodaira försvinnande och dess generaliseringar är grundläggande för klassificeringen av algebraiska varianter och det minimala modellprogrammet . Kodaira försvinner misslyckas över områden med positiva egenskaper.

Hodge teori

Huvudartikel: Hodge-teori

Hodge-satsen relaterar koherent kohomologi till singular kohomologi (eller de Rham kohomologi) . Nämligen, om $X$ är en jämn komplex projektiv variant, så finns det en kanonisk direktsummauppdelning av komplexa vektorrum:

$H^{a}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{b=0} ^{a}H^{ab}(X,\Omega ^{b}),$

för varje $a$ . Gruppen till vänster betyder den singulara kohomologin för $X(\mathbf {C} )$ i dess klassiska (euklidiska) topologi, medan grupperna till höger är kohomologigrupper av koherenta skivor, som (av GAGA) kan tas antingen i Zariski eller i den klassiska topologin. Samma slutsats gäller för varje smidigt korrekt schema $X$ över ${\displaystyle \mathbf {C} } ,$ eller för vilket kompakt Kähler-grenrör som helst .

Till exempel innebär Hodge-satsen att definitionen av släktet för en jämn projektiv kurva $X$ som dimensionen av $H^{1}(X,{\mathcal { O}})$ , vilket är vettigt över alla fält $k$ , överensstämmer med den topologiska definitionen (som hälften av det första Betti-talet ) när $k$ är de komplexa talen. Hodge-teorin har inspirerat en stor mängd arbete om de topologiska egenskaperna hos komplexa algebraiska varianter.

Riemann-Rochs satser

Huvudartikel: Grothendieck–Riemann–Rochs teorem

För ett korrekt schema X över ett fält k , är Euler-karakteristiken för en koherent sträng E på X heltal

$\chi (X,E)=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,E)).$

Euler-karakteristiken för en koherent kärve E kan beräknas från Chern-klasserna av E , enligt Riemann-Roch-satsen och dess generaliseringar, Hirzebruch-Riemann-Roch-satsen och Grothendieck-Riemann-Roch-satsen . Till exempel, om L är en linjebunt på en jämn korrekt geometriskt sammankopplad kurva X över ett fält k , då

$\chi (X,L)={\text{deg}}(L)-{\text{genus}}(X )+1,$

där deg( L ) anger graden av L .

När den kombineras med ett försvinnande teorem kan Riemann-Roch-satsen ofta användas för att bestämma dimensionen av vektorrummet för sektioner av en linjebunt. Att veta att en linjebunt på X har tillräckligt med sektioner kan i sin tur användas för att definiera en karta från X till projektivt utrymme, kanske en sluten nedsänkning. Detta tillvägagångssätt är viktigt för att klassificera algebraiska varianter.

Riemann-Roch-satsen gäller också för holomorfa vektorbuntar på ett kompakt komplext grenrör, av Atiyah-Singer-indexsatsen .

Tillväxt

Dimensioner av kohomologigrupper på ett schema med dimension n kan högst växa upp som ett polynom av grad n .

Låt X vara ett projektivt schema av dimension n och D en divisor på X . Om ${\mathcal {F}}$ är vilken koherent bunt som helst på X då

$h^{i}(X,{\mathcal {F}}(mD))=O(m^{n})$ för varje i .

För en högre kohomologi av nef divisor D på X ;

$h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD))=O(m ^{n-1})$

Ansökningar

Givet ett schema X över ett fält k , studerar deformationsteori deformationerna av X till infinitesimala grannskap. Det enklaste fallet, angående deformationer över ringen $R:=k[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$ av dubbla tal , undersöker om det finns ett schema X _R över Spec R så att den speciella fibern

$X_{R}\times _{\operatörsnamn {Spec} R}\operatörsnamn {Spec} k$

är isomorf till det givna X . Koherent strängkohomologi med koefficienter i tangentskiktet $T_{X}$ styr denna klass av deformationer av X , förutsatt att X är jämn. Nämligen,

• isomorfismklasser av deformationer av ovanstående typ parametriseras av den första koherenta kohomologin $H^{1}(X,T_{X})$ ,
• det finns ett element (kallad obstruktionsklassen) i $H^{2}(X,T_{X})$ som försvinner om och endast om en deformation av X över Spec R som ovan finns.

Anteckningar

•   Cartan, Henri; Serre, Jean-Pierre (1953). "Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques compactes" . Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 237 : 128–130. Zbl 0050.17701 .
•    Grauert, Hans ; Remmert, Reinhold (1984), Coherent Analytic Sheaves , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 265, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-69582-7 , ISBN 3-540-13178-7 , MR 0755331
•    Grothendieck, Alexandre ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1960–61 – Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (Documents Mathématiques ) , 3 Paris : Société Mathématique de France . 0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2 , MR 2017446
•   Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007/bf02684274 . MR 0217085 .
•    Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
•    Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR 1969915 , 8874006 , MR 874006
• Parshin, AN (2001) [1994], "Finiteness theorems" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (2004). "Ändhetssatsen". Teori om Stein Spaces . Klassiker i matematik. s. 186–203. doi : 10.1007/978-3-642-18921-0_8 . ISBN 978-3-540-00373-1 .

externa länkar

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project