Lokalt system

Inom matematik är ett lokalt system (eller ett system av lokala koefficienter ) på ett topologiskt utrymme X ett verktyg från algebraisk topologi som interpolerar mellan kohomologi med koefficienter i en fast abelisk grupp A , och allmän kohomologi där koefficienterna varierar från punkt till punkt . Lokala koefficientsystem introducerades av Norman Steenrod 1943.

Kategorin av perversa skivor på ett grenrör är ekvivalent med kategorin av lokala system på grenröret.

Definition

Låt X vara ett topologiskt rum . Ett lokalt system (av abelska grupper/moduler/...) på X är en lokalt konstant bunt (av abelska grupper / moduler ...) på X . Med andra ord, en bunt ${\mathcal {L}}$ är ett lokalt system om varje punkt har en öppen grannskap $U$ så att den begränsade kärven ${\mathcal {L}}|_{U}$ är isomorft till slingbildningen av någon konstant förskarv.

Stiganslutna utrymmen

Om X är vägkopplad , ett lokalt system ${\mathcal {L}}$ av abelska grupper har samma skaft L vid varje punkt. Det finns en bijektiv överensstämmelse mellan lokala system på X och grupphomomorfismer

$\rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}(L)$

och liknande för lokala modulsystem. Kartan $\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$ ger det lokala systemet ${ \mathcal {L}}$ kallas monodromi -representationen av ${\mathcal {L}}$ .

Bevis på likvärdighet

Ta det lokala systemet ${\mathcal {L}}$ och en slinga $\gamma$ vid x . Det är lätt att visa att alla lokala system på $[0,1]$ är konstanta Till exempel är $\gamma ^{*}{\mathcal {L}}$ konstant. Detta ger en isomorfism ${\displaystyle (\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{0}\simeq \Gamma ([0,1],{\mathcal {L}})\simeq (\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{1}} , dvs mellan$ L och sig själv. Omvänt, givet en homomorfism $\rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$ , betrakta den konstanta bunten ${\underline {L}}$ på universalhöljet ${\widetilde {X}}$ av X . Deck-transform-invariant sektionerna av ${\underline {L}}$ ger ett lokalt system på X . På liknande sätt ger de däck-transform- ρ -ekvivarianta sektionerna ett annat lokalt system på X : för en tillräckligt liten öppen uppsättning U definieras det som

${\ displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )_{U}\ =\ \left\{{\text{sektioner }}s\in {\underline {L}}_{\pi ^{-1}( U)}{\text{ med }}\theta \circ s=\rho (\theta )s{\text{ för alla }}\theta \in {\text{ Deck}}({\widetilde {X}} /X)=\pi _{1}(X,x)\höger\}}$

där $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ är den universella täckningen.

Detta visar att (för X -väganslutna) ett lokalt system är just en kärva vars tillbakadragning till det universella skyddet av X är en konstant kärv.

Starkare definition på icke sammankopplade utrymmen

En starkare icke-ekvivalent definition som fungerar för icke-ansluten X är: följande: ett lokalt system är en kovariansfunktion

${\mathcal {L}}\colon \Pi _{1}(X)\to {\textbf {Mod}}(R)$

från den fundamentala groupoiden av $X$ till kategorin av moduler över en kommutativ ring $R$ , där typiskt $R=\mathbb {Q} ,\mathbb { R} ,\mathbb {C}$ . Detta är motsvarande data för en tilldelning till varje punkt $x\in X$ en modul $M$ tillsammans med en grupprepresentation ${\displaystyle \rho _{x}:\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)} så att de olika ρ x {$ \ $rho _{x}}$ är kompatibla med ändring av baspunkt $x\to y$ och den inducerade kartan $\pi _{1} (X,x)\to \pi _{1}(X,y)$ på fundamentala grupper .

Exempel

• Konstanta skivor som ${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}$ . Detta är ett användbart verktyg för att beräkna kohomologi eftersom det i bra situationer finns en isomorfism mellan kärvkohomologi och singular kohomologi:

$$H^{k}(X,{\underline {\mathbb {Q}}}_{X})\cong H_{\ text{sing}}^{k}(X,\mathbb {Q} )$$

• Låt $X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ . Eftersom $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb { Z}$ , det finns en $S^{1}$ familj av lokala system på X som motsvarar kartorna $n\mapsto e^{in\theta }$ :

$$\rho _{\theta }:\pi _{1}(X;x_{0})\cong \mathbb {Z} \to {\text{Aut}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )$$

• Horisontella sektioner av vektorbuntar med en platt anslutning. Om $E\to X$ är en vektorbunt med platt anslutning $\nabla$ , så finns det ett lokalt system givet av
  $$E_{U}^{\nabla }=\left\{{\text{sektioner }}s\in \ Gamma (U,E){\text{ som är horisontella: }}\nabla s=0\right\}$$
  Ta till exempel $X=\mathbb {C} \setminus 0$ och $E=X\times \mathbb {C} .^{n}$ den triviala bunten. Sektioner av E är n -tuplar av funktioner på X , så $\nabla _{0}(f_{1}, \dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})$ definierar en platt anslutning på E , liksom $\nabla (f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_ {n})-\Theta (x)(f_{1},\dots ,f_{n})^{t}$ för valfri matris av enformiga $\Theta$ på X . De horisontella sektionerna är sedan
  $$E_{U}^ {\nabla }=\left\{(f_{1},\dots ,f_{n})\in E_{U}:(df_{1},\dots ,df_{n})=\Theta (f_{ 1},\dots ,f_{n})^{t}\right\}$$
  dvs lösningarna till den linjära differentialekvationen $df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}$ .

  0 Om $\Theta$ sträcker sig till en enform på $\mathbb {C}$ kommer ovanstående också att definiera ett lokalt system på $\mathbb {C}$ , så kommer det att vara trivialt eftersom $\pi _{1}(\mathbb {C} )=0$ . Så för att ge ett intressant exempel, välj en med en stång på :

  $$\Theta ={\begin{pmatrix}0&dx/x\\dx&e^{x}dx\end{pmatrix}$$
  i vilket fall för $\nabla =d+\Theta$ ,
  $$E_{U}^{\nabla }=\left \{f_{1},f_{2}:U\till \mathbb {C} \ \ {\text{ med }}f'_{1}=f_{2}/x\ \ f_{2}'= f_{1}+e^{x}f_{2}\right\}$$

• En n -ark täckande karta $X\to Y$ är ett lokalt system med fibrer som ges av mängden $\{1,\dots ,n\}$ . På liknande sätt är ett fiberknippe med diskret fiber ett lokalt system, eftersom varje bana lyfts unikt till en given hiss av sin baspunkt. (Definitionen justeras för att inkludera uppsättningsvärderade lokala system på det uppenbara sättet).

• Ett lokalt system av k -vektorrum på X är ekvivalent med en k -linjär representation av $\pi _{1}(X,x)$ .

• Om X är en variant är lokala system samma sak som D-moduler som dessutom är koherenta O_X -moduler (se O-moduler ) .

• Om anslutningen inte är platt (dvs dess krökning är icke-noll), kan parallell transport av en fiber F_x över x runt en sammandragbar slinga baserad på x_0 ge en icke-trivial automorfism av F_x , så lokalt konstanta skivor kan inte nödvändigtvis definieras för icke- platta anslutningar.

• Gauss -Manin-förbindelsen är ett framträdande exempel på en förbindelse vars horisontella sektioner studeras i förhållande till variation av Hodge-strukturer .

Generalisering

Lokala system har en mild generalisering till konstruerbara remsor -- en konstruktionsbar kärva på ett lokalt väganslutet topologiskt utrymme $X$ är en kärva ${\mathcal {L}}$ så att det finns en skiktning av

$X=\coprod X_{\lambda }$

där ${\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}$ är ett lokalt system. Dessa hittas vanligtvis genom att ta kohomologin för den härledda pushforwarden för någon kontinuerlig karta $f:X\to Y$ . Till exempel om vi tittar på morfismens komplexa punkter

$f:X={ \text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(stf(x,y,z))}}\right)\to { \text{Spec}}(\mathbb {C} [s,t])$

sedan fibrerna över

$\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$

är den jämna plankurvan som ges av $f$ , men fibrerna över $\mathbb {V}$ är $\mathbb {P} ^{2}$ . Om vi ​​tar den härledda pushforwarden ${\displaystyle \mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})} då får$ vi en konstruerbar kärve. Över $\mathbb {V}$ har vi de lokala systemen

${\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X })|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{2}f_ {!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb { V} (st)}\\\mathbf {R} ^{4}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)} &={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} } }_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {V} (st)}{\text{ annars}}\end{aligned} }$

medan vi över $\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$ har de lokala systemen

${\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\ understryka {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{1}f_{!}({\ understryka {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}^{\oplus 2g}\\\mathbf {R} ^{2}f_ {!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&= {\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_ {!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&= {\understryka {0}}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}{\text{ annars}}\end{aligned}}$

där $g$ är släktet för den plana kurvan (som är $g=(\deg(f) -1)(\deg(f)-2)/2$ ).

Ansökningar

Kohomologin med lokala koefficienter i modulen som motsvarar orienteringstäckningen kan användas för att formulera Poincaré-dualitet för icke-orienterbara grenrör: se Twisted Poincaré-dualitet .

Se även

• Leray spektralsekvens
• Gauss-Manin-förbindelse
• D-modul
• Intersektionshomologi
• Pervers kärve

externa länkar

• "Vad är det lokala systemet egentligen" . Stack Exchange .
• Schnell, Christian. "Computing Cohomology of Local Systems" (PDF) . Diskuterar beräkning av kohomologin med koefficienter i ett lokalt system genom att använda det vridna de Rham-komplexet.
• Williamson, Geordie . "En illustrerad guide till perversa kärvar" (PDF) .
• MacPherson, Robert (15 december 1990). "Skärningshomologi och perversa skivor" (PDF) .
• El Zein, Fouad; Snoussi, Jawad. "Lokala system och konstruerbara skivor" (PDF) .