Generator (kategoriteori)

Inom matematik , särskilt kategoriteori , är en familj av generatorer (eller familj av separatorer ) av en kategori ${\mathcal {C}}$ en samling ${\mathcal {G }}\subseteq Ob({\mathcal {C}})$ av objekt i ${\displaystyle {\mathcal {C}}} ,$ så att för två distinkta morfismer $f, g:X\to Y$ i ${\mathcal {C}}$ , det vill säga med $f\neq g$ , det finns något $G$ i ${\mathcal {G}}$ och viss morfism $h:G\to X$ så att $f\circ h\neq g\circ h.$ Om samlingen består av ett enda objekt $G$ säger vi att det är en generator (eller separator ).

Generatorer är centrala för definitionen av Grothendieck-kategorier .

Det dubbla konceptet kallas en kogenerator eller coseparator .

Exempel

• I kategorin abelska grupper är gruppen av heltal $\mathbf {Z}$ en generator: Om f och g är olika, så finns det ett element $x\in X$ , t.ex. att $f(x)\neq g(x)$ . Därför räcker kartan $\mathbf {Z} \rightarrow X,$${\displaystyle n\mapsto n\cdot x} .$
• På samma sätt är enpunktsuppsättningen en generator för kategorin uppsättningar . Faktum är att varje icke-tom set är en generator.
• I kategorin uppsättningar är varje uppsättning med minst två element en samgenerator.
• I kategorin moduler över en ring R innehåller en generator i en ändlig direkt summa med sig själv en isomorf kopia av R som en direkt summa. Följaktligen är en generatormodul trogen, dvs har noll annihilator .

•   Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2 , sid. 123, avsnitt V.7

externa länkar

• separator vid n Lab