Enkel homologi

I algebraisk topologi är enkel homologi sekvensen av homologigrupper i ett förenklat komplex . Det formaliserar idén om antalet hål av en given dimension i komplexet. Detta generaliserar antalet anslutna komponenter (fallet med dimension 0).

Enkel homologi uppstod som ett sätt att studera topologiska utrymmen vars byggstenar är n - simplicerade , de n -dimensionella analogerna av trianglar. Detta inkluderar en punkt (0-simplex), ett linjesegment (1-simplex), en triangel (2-simplex) och en tetraeder (3-simplex). Per definition är ett sådant utrymme homeomorft till ett förenklat komplex (mer exakt, det geometriska förverkligandet av ett abstrakt förenklat komplex ). En sådan homeomorfism kallas en triangulering av det givna utrymmet. Många topologiska utrymmen av intresse kan trianguleras, inklusive varje jämn grenrör (Cairns och Whitehead ).

Enkel homologi definieras av ett enkelt recept för vilket abstrakt förenklat komplex som helst. Det är ett anmärkningsvärt faktum att enkel homologi endast beror på det associerade topologiska rummet. Som ett resultat ger det ett beräkningsbart sätt att skilja ett utrymme från ett annat.

Definitioner

Gränsen för en gräns för en 2-simplex (vänster) och gränsen för en 1-kedja (höger) tas. Båda är 0, vilket är summor där både det positiva och negativa av en 0-simplex förekommer en gång. Gränsen för en gräns är alltid 0. En icke-trivial cykel är något som sluter sig som gränsen för en simplex, genom att dess gräns summeras till 0, men som faktiskt inte är gränsen för en simplex eller kedja. Eftersom triviala 1-cykler är ekvivalenta med 0 i

H_{1}

är 1-cykeln vid höger-mitten homolog med sin summa med gränsen för 2-simplex till vänster.

Inriktningar

Ett nyckelbegrepp för att definiera förenklad homologi är begreppet en orientering av en simplex. Per definition ges en orientering av ett k -simplex genom en ordning av hörnen, skriven som ( $0 v,..., v k$ ), med regeln att två ordningar definierar samma orientering om och endast om de skiljer sig åt med en jämn permutation . Således har varje simplex exakt två orienteringar, och om du byter ordningen på två hörn ändras en orientering till motsatt orientering. Till exempel, att välja en orientering av en 1-simplex motsvarar att välja en av de två möjliga riktningarna, och att välja en orientering av en 2-simplex motsvarar att välja vad "moturs" ska betyda.

Kedjor

Låt $S$ vara ett enkelt komplex. En enkel $k$ -kedja är en ändlig formell summa

\sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,

där varje $c i$ är ett heltal och $σ i$ är ett orienterat $k$ -simplex. I denna definition deklarerar vi att varje orienterad simplex är lika med det negativa av simplexet med motsatt orientering. Till exempel,

(v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).

Gruppen av $k$ -kedjor på $S$ skrivs $C k$ . Detta är en fri abelsk grupp som har en bas i en-till-en-korrespondens med uppsättningen $k$ -simplices i $S$ . För att definiera en grund explicit måste man välja en orientering för varje simplex. Ett standardsätt att göra detta är att välja en ordning av alla hörn och ge varje simplex den orientering som motsvarar den inducerade ordningen av dess hörn.

Gränser och kretslopp

Låt $0 σ = (v,..., v k)$ vara ett orienterat $k$ -simplex, betraktat som ett grundelement för $C k$ . Gränsoperatorn _

\partial _{k}:C_{k}\högerpil C_{k-1}

homomorfismen av :

\partial _{k}(\sigma )=\summa _{i= 0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),

där den orienterade simplexen

(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})

är den $i:te sidan$ av $σ$ , erhållen genom att ta bort dess $i: te$ vertex.

I $C k$ , element i undergruppen

Z_{k}:=\ker \partial _{k}

kallas cykler och undergruppen

B_{k}:=\operatörsnamn {im} \partial _{k+1}

sägs bestå av gränser .

Gränser för gränser

Eftersom ${\displaystyle (-1)^{i+j-1}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,{ \widehat {\widehat {v_{j}}}},\dots ,v_{k})=-(-1)^{i+j}(v_{0},\dots ,{\widehat {\widehat { v_{i}}}},\dots ,{\widehat {v_{j}}},\dots ,v_{k})} , där$ v $\displaystyle {\widehat {\widehat {v_{x }}}}}$ är det andra ansiktet borttaget, $\partial ^{2}=0$ . I geometriska termer säger detta att gränsen för någonting inte har någon gräns. Likaså de abelska grupperna

(C_{k},\partial _{k})

bilda ett kedjekomplex . $Zk Ett$ annat ekvivalent påstående är att $Bk .$ finns i

Som ett exempel, betrakta en tetraeder med hörn orienterade som $w,x,y,z$ . Per definition ges dess gräns av: $xyz - wyz + wxz - wxy$ . Gränsens gräns ges av: $(yz-xz+xy)-(yz-wz+wy)+(xz-wz+wx)-(xy-wy+wx) = 0$ .

Ett enkelt komplex med 2 1-hål

Homologigrupper

Den $k: homologigruppen$ $hos te$ Hk S $definieras$ som den abelska kvotgruppen

H_{k}(S)=Z_{k}/B_{k}\,.

Det följer att homologigruppen $Hk som (S)$ är lik noll exakt när det finns $k$ -cykler på $''S''$ inte är gränser. På sätt och vis betyder detta att det finns $k$ -dimensionella hål i komplexet. Tänk till exempel på det komplexa $S$ som erhålls genom att limma två trianglar (utan inredning) längs ena kanten, som visas i bilden. Kanterna på varje triangel kan orienteras så att de bildar en cykel. Dessa två cykler är genom konstruktion inte gränser (eftersom varje 2-kedja är noll). Man kan beräkna att homologigruppen $bas H1 (S)$ är isomorf till $Z2 , med en som$ ges av de två nämnda cyklerna. Detta preciserar den informella idén att $S$ har två "1-dimensionella hål".

Hål kan ha olika dimensioner. Rangen för den $k: te homologigruppen$ , numret

\beta _{k}=\operatörsnamn {rank} (H_{k}(S))\,

kallas det $k :te$ Betti-talet av $S$ . Det ger ett mått på antalet $k$ -dimensionella hål i $S$ .

Exempel

Homologigrupper i en triangel

Låt $S$ vara en triangel (utan dess inre), sedd som ett enkelt komplex. $S har$ alltså tre hörn, som vi kallar $0 v, v 1, v 2$ , och tre kanter, som är 1-dimensionella förenklingar. För $Ck att$ beräkna homologigrupperna för $S$ börjar vi med att beskriva kedjegrupperna :

$C 0$ är isomorf till $Z 3$ med bas $0 (v), (v 1), (v 2),$
$C 1$ är isomorf till $Z 3$ med en bas som ges av de orienterade 1-simplicerade $( v 1, v 2)$ $0 v, v 1),$ ( $0 v, v 2) och$ ( .
$C 2$ är den triviala gruppen, eftersom det inte finns någon simplex som $(v_{0},v_{1},v_{2})$ eftersom triangeln har antagits utan dess interiör. Så är kedjegrupperna i andra dimensioner.

Gränshomomorfismen $\partial$ : $C 1 : C 0$ → ges av

\partial (v_{0},v_{1})=(v_{1})-(v_{0})

\partial (v_{0},v_{2})=(v_{2})-(v_{0})

\partial (v_{1},v_{2})=(v_{2})-(v_{1})

Eftersom $C -1 = 0$ , är varje 0-kedja en cykel (dvs. $0 Z = C 0$ ); dessutom genereras gruppen $B 0$ av 0-gränserna av de tre elementen till höger om dessa ekvationer, vilket skapar en tvådimensionell undergrupp av $C 0$ . Så den 0:e homologigruppen $00 H (S) = Z / B 0$ är isomorf till $Z$ , med en bas som ges (till exempel) av bilden av 0-cykeln ( $v 0$ ). I själva verket blir alla tre hörn lika i kvotgruppen; detta uttrycker det faktum att $S$ är ansluten .

Därefter är gruppen av 1-cykler kärnan i homomorfismen ∂ ovan, som är isomorf till $Z$ , med en bas given (till exempel) av $00 (v, v 1) - (v, v 2) + (v 1, v 2)$ . (En bild avslöjar att denna 1-cykel går runt triangeln i en av de två möjliga riktningarna.) Eftersom $C 2 = 0$ är gruppen av 1-gränser noll, och därför är den första homologigruppen $H 1 (S)$ isomorf till $Z /0 Z.$ ≅ Detta preciserar tanken att triangeln har ett endimensionellt hål.

Sedan, eftersom det per definition inte finns några 2-cykler, är $C 2 = 0$ (den triviala gruppen ) . Därför är den andra homologigruppen $. H2 (S)$ noll Detsamma gäller för $H i (S)$ för alla $i som$ inte är lika med 0 eller 1. Därför är den homologiska kopplingen för triangeln 0 (det är den största $k$ för vilken de reducerade homologigrupperna upp till $k$ är triviala).

Homologigrupper av högredimensionella förenklingar

Låt $S$ vara en tetraeder (utan dess inre), sedd som ett enkelt komplex. Sålunda $S$ fyra 0-dimensionella hörn, sex 1-dimensionella kanter och fyra 2-dimensionella ytor. Konstruktionen av homologigrupperna för en tetraeder beskrivs i detalj här. Det visar sig att $0 H (S)$ är isomorft till $Z$ , $H 2 (S)$ är isomorft till $Z$ också, och alla andra grupper är triviala. Därför är den homologiska kopplingen för tetraedern 0.

Om tetraederet innehåller sitt inre är $H 2 (S)$ också trivialt.

I allmänhet, om $S$ är en $d$ -dimensionell simplex, gäller följande:

Om $S$ anses utan dess inre, då är $0 H (S) = Z$ och $H d -1 (S) = Z$ och alla andra homologier är triviala;
Om $S$ betraktas med dess inre, då är $0 H (S) = Z$ och alla andra homologier triviala.

Enkla kartor

Låt S och T vara enkla komplex . En enkel karta f från S till T är en funktion från toppmängden S till toppmängden T så att bilden av varje simplex i S (sett som en uppsättning av hörn) är en simplex i T . $. Hk (S En \to Hk (T)$ enkel karta f : $S \to T$ bestämmer en homomorfism av homologigrupper ) för varje heltal k Detta är homomorfismen associerad med en kedjekarta från kedjekomplexet av S till kedjekomplexet av T . Explicit ges denna kedjekarta på k -kedjor av

f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f( v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))

om $0 f (v), ..., f (v k)$ är alla distinkta, och annars $0 f ((v, ..., v k)) = 0$ .

Denna konstruktion gör enkel homologi till en funktion från enkla komplex till abelska grupper. Detta är väsentligt för tillämpningar av teorin, inklusive Brouwers fixpunktssats och den topologiska invariansen av enkel homologi.

Relaterade homologier

Singular homologi är en relaterad teori som är bättre anpassad till teori snarare än beräkning. Singular homologi definieras för alla topologiska utrymmen och beror endast på topologin, inte någon triangulering; och det överensstämmer med enkel homologi för utrymmen som kan trianguleras. Icke desto mindre, eftersom det är möjligt att beräkna den förenklade homologin för ett förenklat komplex automatiskt och effektivt, har enkel homologi blivit viktig för tillämpning på verkliga situationer, såsom bildanalys , medicinsk bildbehandling och dataanalys i allmänhet.

En annan relaterad teori är cellulär homologi .

Ansökningar

Ett standardscenario i många datorapplikationer är en samling punkter (mått, mörka pixlar i en bitkarta, etc.) där man vill hitta ett topologiskt drag. Homologi kan fungera som ett kvalitativt verktyg för att söka efter en sådan egenskap, eftersom den lätt kan beräknas från kombinatoriska data såsom ett enkelt komplex. Datapunkterna måste dock först trianguleras , vilket innebär att man ersätter data med en enkel komplex approximation. Beräkning av persistent homologi involverar analys av homologi vid olika upplösningar, registrering av homologiklasser (hål) som kvarstår när upplösningen ändras. Sådana egenskaper kan användas för att detektera strukturer av molekyler, tumörer i röntgenstrålar och klusterstrukturer i komplexa data.

Mer generellt spelar enkel homologi en central roll i topologisk dataanalys , en teknik inom datautvinningsområdet .

Genomföranden

En MATLAB- verktygslåda för beräkning av persistent homologi, Plex (Vin de Silva, Gunnar Carlsson ), finns tillgänglig på denna sida.
Fristående implementeringar i C++ är tillgängliga som en del av mjukvaruprojekten Perseus , Dionysus och PHAT .
För Python finns det bibliotek som scikit-tda , Persim , giotto-tda och GUDHI , det senare syftar till att generera topologiska funktioner för maskininlärning . Dessa kan hittas i PyPI- förvaret.

Se även

Enkel homotopi

externa länkar