Kategorisk kvantmekanik
Kategorisk kvantmekanik är studiet av kvantfundament och kvantinformation med hjälp av paradigm från matematik och datavetenskap , särskilt monoidal kategoriteori . De primitiva studieobjekten är fysiska processer och de olika sätt som dessa kan sammansättas på. Det skapades 2004 av Samson Abramsky och Bob Coecke . Kategorisk kvantmekanik är post 18M40 i MSC2020 .
Matematisk uppställning
Matematiskt fångas den grundläggande uppställningen av en dolksymmetrisk monoidal kategori : sammansättning av morfismer modellerar sekventiell sammansättning av processer, och tensorprodukten beskriver parallell sammansättning av processer. Dolkens roll är att tilldela varje stat ett motsvarande test. Dessa kan sedan prydas med mer struktur för att studera olika aspekter. Till exempel:
- En dolk kompakt-kategori gör att man kan skilja mellan en "input" och "output" av en process. I den schematiska kalkylen tillåter den att kablar böjas, vilket möjliggör en mindre begränsad överföring av information. I synnerhet tillåter det intrasslade tillstånd och mätningar, och ger eleganta beskrivningar av protokoll som kvantteleportering . I kvantteorin är det att vara kompakt stängt relaterat till Choi-Jamiołkowski-isomorfismen (även känd som process-state duality ), medan dolkstrukturen fångar förmågan att ta adjoints till linjära kartor.
- Med tanke på endast de morfismer som är helt positiva kartor , kan man också hantera blandade tillstånd , vilket möjliggör studie av kvantkanaler kategoriskt.
- Trådar är alltid tvåändade (och kan aldrig delas upp i ett Y), vilket återspeglar kvantmekanikens no-cloning och no-deleting satser .
- Speciell kommutativ dolk Frobenius algebras modellerar det faktum att vissa processer ger klassisk information, som kan klonas eller raderas, och därmed fånga klassisk kommunikation .
- I tidiga verk användes dolkbiprodukter för att studera både klassisk kommunikation och superpositionsprincipen . Senare har dessa två funktioner separerats.
- Komplementära Frobenius algebror förkroppsligar principen om komplementaritet , som används med stor effekt i kvantberäkningar, som i ZX-kalkylen .
En betydande del av den matematiska ryggraden i detta tillvägagångssätt hämtas från australisk kategoriteori, framför allt från arbete av Max Kelly och ML Laplaza, Andre Joyal och Ross Street , A. Carboni och RFC Walters och Steve Lack. Moderna läroböcker inkluderar kategorier för kvantteori och bildande av kvantprocesser .
Diagrammatisk kalkyl
En av de mest anmärkningsvärda egenskaperna hos den kategoriska kvantmekaniken är att kompositionsstrukturen troget kan fångas av strängdiagram .
Dessa schematiska språk kan spåras tillbaka till Penrose grafisk notation , utvecklad i början av 1970-talet. Diagrammatiska resonemang har använts tidigare inom kvantinformationsvetenskapen i kvantkretsmodellen , men inom kategorisk kvantmekanik uppstår primitiva grindar som CNOT-grinden som sammansättningar av mer grundläggande algebror, vilket resulterar i en mycket mer kompakt kalkyl. I synnerhet har ZX-kalkylen sprungit fram från kategorisk kvantmekanik som en schematisk motsvarighet till konventionella linjära algebraiska resonemang om kvantportar . ZX-kalkylen består av en uppsättning generatorer som representerar de vanliga Pauli-kvantportarna och Hadamard-porten utrustad med en uppsättning grafiska omskrivningsregler som styr deras interaktion. Även om en standarduppsättning av omskrivningsregler ännu inte har fastställts, har vissa versioner visat sig vara kompletta , vilket betyder att alla ekvationer som gäller mellan två kvantkretsar representerade som diagram kan bevisas med hjälp av omskrivningsreglerna. ZX-kalkylen har använts för att studera till exempel mätningsbaserad kvantberäkning .
Verksamhetsgrenar
Axiomatisering och nya modeller
En av de främsta framgångarna med det kategoriska kvantmekaniska forskningsprogrammet är att det från till synes svaga abstrakta begränsningar av kompositionsstrukturen visade sig vara möjligt att härleda många kvantmekaniska fenomen. I motsats till tidigare axiomatiska tillvägagångssätt, som syftade till att rekonstruera Hilberts rymdkvantteori från rimliga antaganden, kan denna inställning att inte sikta på en fullständig axiomatisering leda till nya intressanta modeller som beskriver kvantfenomen, som kan vara till nytta när man utformar framtida teorier.
Fullständighet och representation resultat
Det finns flera satser som relaterar den abstrakta miljön av kategorisk kvantmekanik till traditionella inställningar för kvantmekanik.
- Fullständighet av den schematiska kalkylen: en likhet mellan morfismer kan bevisas i kategorin ändligt dimensionella Hilbert-rum om och bara om det kan bevisas i det grafiska språket för dolkkompakta slutna kategorier.
- Dolk kommutativa Frobenius algebror i kategorin ändligt dimensionella Hilbert utrymmen motsvarar ortogonala baser . En version av denna korrespondens har också en godtycklig dimension.
- Vissa extra axiom garanterar att skalärerna bäddar in i fältet av komplexa tal , nämligen förekomsten av ändliga dolkbiprodukter och dolkutjämnare, välspetshet och en kardinalitetsbegränsning på skalärerna.
- Vissa extra axiom ovanpå den tidigare garanterar att en dolksymmetrisk monoidal kategori bäddas in i kategorin Hilbert-utrymmen, nämligen om varje dolkmonik är en dolkkärna. I så fall bildar skalärerna ett involutivt fält istället för att bara bäddas in i ett. Om kategorin är kompakt landar inbäddningen i ändligt dimensionella Hilbert-utrymmen.
- Sex axiom karakteriserar kategorin Hilbert-rum helt och hållet, och uppfyller rekonstruktionsprogrammet. Två av dessa axiom rör en dolk och en tensorprodukt, ett tredje gäller biprodukter.
- Speciella dolkkommutativa Frobenius-algebror i kategorin mängder och relationer motsvarar diskreta abelska groupoider .
- Att hitta komplementära grundstrukturer i kategorin mängder och relationer motsvarar att lösa kombinatoriska problem som involverar latinska kvadrater .
- Dolkkommutativa Frobenius-algebror på qubits måste vara antingen speciella eller antispeciella, relaterat till det faktum att maximalt intrasslade trepartstillstånd är SLOCC -ekvivalenta med antingen GHZ- eller W-tillståndet .
Kategorisk kvantmekanik som logik
Kategorisk kvantmekanik kan också ses som en typteoretisk form av kvantlogik som, i motsats till traditionell kvantlogik , stödjer formella deduktiva resonemang. Det finns programvara som stöder och automatiserar detta resonemang.
Det finns ett annat samband mellan kategorisk kvantmekanik och kvantlogik, eftersom subobjekt i dolkkärnkategorier och dolkkomplementerade biproduktkategorier bildar ortomodulära gitter . Faktum är att den tidigare inställningen tillåter logiska kvantifierare , vars existens aldrig behandlades på ett tillfredsställande sätt i traditionell kvantlogik.
Kategorisk kvantmekanik som grund för kvantmekanik
Kategorisk kvantmekanik tillåter en beskrivning av mer allmänna teorier än kvantteori. Detta gör det möjligt för en att studera vilka som särskiljer kvantteori i motsats till andra icke-fysiska teorier, vilket förhoppningsvis ger en viss inblick i kvantteorins natur. Ramverket tillåter till exempel en kortfattad kompositionsbeskrivning av Spekkens leksaksteori som gör att man kan peka ut vilken strukturell ingrediens som gör att den skiljer sig från kvantteorin.
Kategorisk kvantmekanik och DisCoCat
DisCoCat - ramverket tillämpar kategorisk kvantmekanik på naturlig språkbehandling . Typerna av en förgruppsgrammatik tolkas som kvantsystem, dvs som objekt av en dolkkompakt kategori . De grammatiska avledningarna tolkas som kvantprocesser, t.ex. tar ett transitivt verb sitt subjekt och objekt som input och producerar en mening som output. Funktionsord som bestämningsord, prepositioner, relativa pronomen, koordinatorer etc. kan modelleras med samma Frobenius-algebror som modellerar klassisk kommunikation. Detta kan förstås som en monoidal funktion från grammatik till kvantprocesser, en formell analogi som ledde till utvecklingen av kvantbearbetning av naturligt språk .