Fiberfunktion

I kategoriteori , en gren av matematiken, är en fiberfunktion en trogen k -linjär tensorfunktion från en tensorkategori till kategorin ändligt dimensionella k -vektorrum.

Definition

En fiberfunktion (eller fiberfunktion ) är ett löst begrepp som har flera definitioner beroende på vilken formalism som betraktas. En av de viktigaste inledande motiven för fiberfunktioner kommer från Topos teori . Recall a topos är kategorin kärvar över en webbplats. Om en webbplats bara är ett enstaka objekt, som med en punkt, så motsvarar punktens topos kategorin av uppsättningar, ${\mathfrak {Set}}$ . Om vi har toposerna av skivor på ett topologiskt utrymme $X$ , betecknad ${\mathfrak {T}}(X)$ , då för att ge en punkt $a$ i $X$ är ekvivalent med att definiera adjoint-funktioner

$a^{*}:{\mathfrak {T}}(X)\leftrightarrows {\mathfrak {Set}}:a_{*}$

Funktionen $a^{*}$ skickar en bunt ${\mathfrak {F}}$ på $X$ till sin fiber över punkten $a$ ; det vill säga dess stjälk.

Från att täcka utrymmen

Betrakta kategorin av täckande utrymmen över ett topologiskt utrymme $X$ , betecknad ${\mathfrak {Cov}}(X)$ . Sedan, från en punkt $x\in X$ finns det en fiberfunktion

${\text{Fib}}_{x}:{\mathfrak {Cov}}(X)\to {\mathfrak {Set}}$

skicka ett täckande utrymme $\pi :Y\to X$ till fibern $\pi ^{-1}(x)$ . Denna funktion har automorfismer som kommer från $\pi _{1}(X,x)$ eftersom den fundamentala gruppen verkar på att täcka utrymmen på ett topologiskt utrymme $X$ . I synnerhet verkar den på mängden $\pi ^{-1}(x)\delmängd Y$ . Faktum är att de enda automorfismerna av ${\text{Fib}}_{x}$ kommer från $\pi _{1}(X,x)$ .

Med etale topologier

Det finns en algebraisk analog av att täcka utrymmen som kommer från Étale-topologin på ett anslutet schema $S$ . Den underliggande platsen består av finita etale-höljen, som är finita platta surjektiva morfismer $X\to S$ så att fibern över varje geometrisk punkt $s\in S$ är spektrumet av en finit etale $\kappa (s)$ -algebra. För en fast geometrisk punkt ${\displaystyle {\overline {s}}:{\text{Spec}}(\Omega )\to S} ,$ betrakta den geometriska fibern $X\times _{S}{\text{Spec}}(\Omega )$ och låt ${\text{Fib}}_{\overline {s}} (X)$ vara den underliggande mängden $\Omega$ -punkter. Sedan,

${\text{Fib}}_{\overline {s}}:{\mathfrak {Fet}}_{S}\to {\mathfrak {Set }}$

är en fiberfunktion där ${\mathfrak {Fet}}_{S}$ är topos från den finita etale-topologin på $S$ . Faktum är att det är en sats från Grothendieck att automorfismerna av ${\text{Fib}}_{\overline {s}}$ en Profinit grupp , betecknad ${\ displaystyle \pi _{1}(S,{\overline {s}})} ,$ och inducera en kontinuerlig gruppaktion på dessa finita fiberuppsättningar, vilket ger en ekvivalens mellan covers och de finita uppsättningarna med sådana åtgärder.

Från Tannakian-kategorier

En annan klass av fiberfunktioner kommer från kohomologiska realiseringar av motiv i algebraisk geometri. Till exempel De Rham-kohomologifunktionen H $\displaystyle H_{dR}}$ ett motiv $M(X)$ till dess underliggande de-Rham-kohomologigrupper $H_{dR}^{*}(X)$ .

Se även

externa länkar

SGA 4 och SGA 4 IV
Motivic Galois group - https://web.archive.org/web/20200408142431/https://www.him.uni-bonn.de/fileadmin/him/Lecture_Notes/motivic_Galois_group.pdf