Donaldson–Thomas teori

I matematik, specifikt algebraisk geometri , är Donaldson–Thomas teori teorin om Donaldson–Thomas invarianter . Givet ett kompakt modulutrymme av skivor på en Calabi-Yau trefaldigt, är dess Donaldson-Thomas-invariant det virtuella antalet av dess punkter, dvs integralen av kohomologiklass 1 mot den virtuella fundamentalklassen . Donaldson-Thomas-invarianten är en holomorf analog till Casson-invarianten . Invarianterna introducerades av Simon Donaldson och Richard Thomas ( 1998) . Donaldson–Thomas invarianter har nära kopplingar till Gromov–Witten invarianter av algebraiska trefaldiga och teorin om stabila par på grund av Rahul Pandharipande och Thomas.

Donaldson–Thomas teori är fysiskt motiverad av vissa BPS-tillstånd som förekommer i sträng- och gauge-teori ^{pg 5} . Detta beror på det faktum att invarianterna är beroende av ett stabilitetstillstånd på den härledda kategorin $D^{b}({\mathcal {M}})$ av de modulrum som studeras. I huvudsak motsvarar dessa stabilitetsförhållanden punkter i Kahler-modulutrymmet för ett Calabi-Yau-grenrör, som betraktat i spegelsymmetri , och den resulterande underkategorin ${\mathcal {P}}\subset D ^{b}({\mathcal {M}})$ är kategorin av BPS-tillstånd för motsvarande SCFT .

Definition och exempel

Grundidén med Gromov-Witten invarianter är att undersöka geometrin i ett utrymme genom att studera pseudoholomorfa kartor från Riemann-ytor till ett jämnt mål. Modulstapeln för alla sådana kartor tillåter en virtuell fundamental klass, och skärningsteori på denna stack ger numeriska invarianter som ofta kan innehålla numerativ information. I liknande anda är Donaldson–Thomas teoris tillvägagångssätt att studera kurvor i en algebraisk trefaldig genom deras ekvationer. Mer exakt, genom att studera idealiska skivor på ett utrymme. Detta modulutrymme tillåter också en virtuell fundamental klass och ger vissa numeriska invarianter som är numerativa.

Medan i Gromov-Witten-teorin tillåts kartor vara flera omslag och kollapsade komponenter i domänkurvan, tillåter Donaldson-Thomas-teorin nilpotent information som finns i skivorna, men dessa är heltalsvärderade invarianter. Det finns djupa gissningar tack vare Davesh Maulik, Andrei Okounkov , Nikita Nekrasov och Rahul Pandharipande , bevisade i ökande allmänhet, att Gromov-Witten och Donaldson-Thomas teorier om algebraiska trefaldigheter faktiskt är likvärdiga. Mer konkret är deras genererande funktioner lika efter en lämplig förändring av variabler. För Calabi–Yau trefaldigt kan Donaldson–Thomas-invarianterna formuleras som vägd Euler-karaktäristik på modulutrymmet. Det har också funnits nyligen kopplingar mellan dessa invarianter, den motiviska Hall-algebra, och ringen av funktioner på quantum torus. ^{[ förtydligande behövs ]}

Modulutrymmet för linjer på den quintic trefaldiga är en diskret uppsättning av 2875 punkter. Det virtuella antalet poäng är det faktiska antalet poäng, och följaktligen är Donaldson–Thomas-invarianten för detta modulutrymme heltal 2875.
På liknande sätt är Donaldson-Thomas-invarianten av modulutrymmet för koner på quinticen 609250.

Definition

För en Calabi-Yau trefaldig $Y$ och en fast kohomologiklass $\alpha \in H^{\text{even}}(Y,\mathbb {Q} )$ det finns en associerad modulstapel ${\mathcal {M}}(Y,\alpha )$ av koherenta skivor med Chern-tecken $c({\ mathcal {E}})=\alpha$ . I allmänhet är detta en icke-separerad Artin-stack av oändlig typ som är svår att definiera numeriska invarianter på den. Istället finns det öppna delstackar ${\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )$ som parametriserar sådana koherenta skivor ${\mathcal {E}}$ som har ett stabilitetstillstånd $\sigma$ pålagt dem, dvs $\sigma$ -stabila skivor. Dessa modulstaplar har mycket trevligare egenskaper, som att de är separerade av finit typ. Den enda tekniska svårigheten är att de kan ha dåliga singulariteter på grund av förekomsten av hinder för deformationer av en fast bunt. Särskilt

${\begin{aligned}T_ {[{\mathcal {E}}]}{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E} },{\mathcal {E}})\\{\text{Ob}}_{[{\mathcal {E}}]}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ) )&\cong {\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\end{aligned}}$

Nu eftersom $Y$ är Calabi-Yau, innebär Serre dualitet

${\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}} ,{\mathcal {E}})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}\ ibland \omega _{Y})^{\ vee }\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})^{\vee }$

vilket ger en perfekt obstruktionsteori för dimension 0. Detta innebär i synnerhet den associerade virtuella fundamentala klassen

$[{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{ vir}\in H_{0}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ),\mathbb {Z} )$

är i homologisk grad $0$ . Vi kan sedan definiera DT-invarianten som

$\int _{[{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}}1$

vilket beror på stabilitetsvillkoret $\sigma$ och kohomologiklassen $\alpha$ . Det bevisades av Thomas att för en jämn familj $Y_{t}$ ändras inte den ovan definierade invarianten. I början valde forskarna Gieseker stabilitetstillstånd, men andra DT-invarianter under senare år har studerats baserat på andra stabilitetsförhållanden, vilket leder till väggkorsande formler.

Fakta

Donaldson–Thomas-invarianten för modulutrymmet M är lika med den viktade Euler-karakteristiken för M . Viktfunktionen associerar till varje punkt i M en analog till Milnor-talet för en hyperplanssingularitet.

Generaliseringar

Istället för modulrum av skivor, betraktar man modulrum för härledda kategoriobjekt . Det ger Pandharipande–Thomas invarianter som räknar stabila par av en Calabi–Yau 3 gånger.
Istället för heltalsvärderade invarianter betraktar man motiviska invarianter.

Se även

Donaldson, Simon K. ; Thomas, Richard P. (1998), "Gauge theory in higher dimensions", i Huggett, SA; Mason, LJ; Tod, KP; Tsou, ST; Woodhouse, NMJ (red.), The geometric universe (Oxford, 1996) , Oxford University Press , s. 31–47, ISBN 978-0-19-850059-9 , MR 1634503
Kontsevich, Maxim (2007), Donaldson–Thomas invarianter (PDF) , Mathematische Arbeitstagung, Bonn