Knut (matematik)
I matematik är en knut en inbäddning av cirkeln S 1 i tredimensionell euklidisk rymd , R 3 (även känd som E 3 ). Ofta anses två knutar vara ekvivalenta om de är isotopiska i omgivningen , det vill säga om det finns en kontinuerlig deformation av R 3 som tar en knut till den andra.
En avgörande skillnad mellan de vanliga matematiska och konventionella uppfattningarna om en knut är att matematiska knutar är stängda - det finns inga ändar att knyta eller lossa på en matematisk knut. Fysiska egenskaper som friktion och tjocklek gäller inte heller, även om det finns matematiska definitioner av en knut som tar hänsyn till sådana egenskaper. Termen knut tillämpas även på inbäddningar av Sj . i S n , speciellt i fallet j = n − 2 Den gren av matematiken som studerar knutar är känd som knutteori och har många kopplingar till grafteorin .
Formell definition
En knut är en inbäddning av cirkeln ( S 1 ) i det tredimensionella euklidiska rummet ( R 3 ), eller 3-sfären ( S 3 ), eftersom 3-sfären är kompakt . Två knutar definieras som ekvivalenta om det finns en omgivningsisotopi mellan dem.
Utsprång
En knut i ( R3 ( R2 eller alternativt i S2 3 -sfären , S3 . ), kan projiceras på ett plan respektive en sfär ) Denna projektion är nästan alltid regelbunden , vilket betyder att den är injektiv överallt, förutom vid ett ändligt antal korsningspunkter, som är projektioner av endast två punkter i knuten, och dessa punkter är inte kolinjära . I detta fall, genom att välja en projektionssida, kan man helt koda isotopiklass genom dess vanliga projektion genom att registrera en enkel över/underinformation vid dessa korsningar. I grafteoretiska termer är en vanlig projektion av en knut, eller knutdiagram, alltså en fyrvärdig plan graf med över/underdekorerade hörn. De lokala ändringarna av denna graf som gör det möjligt att gå från ett diagram till vilket annat diagram av samma knut (upp till omgivande isotopi av planet) kallas Reidemeister-rörelser .
Reidemeister drag 1
Reidemeister drag 2
Reidemeister drag 3
Typer av knutar
Den enklaste knuten, kallad unknoten eller triviala knuten, är en rund cirkel inbäddad i R 3 . I ordets vanliga bemärkelse är oknuten inte alls "knuten". De enklaste icke-triviala knutarna är trefoil-knuten ( 3 1 i tabellen), åtta-siffran ( 4 1 ) och cinquefoil-knuten ( 5 1 ).
Flera knutar, sammanlänkade eller trassliga, kallas länkar . Knutar är länkar med en enda komponent.
Tama vs vilda knutar
En polygonal knut är en knut vars bild i R 3 är föreningen av en ändlig uppsättning linjesegment . En tam knut är vilken knut som helst som motsvarar en polygonal knut. Knutar som inte är tama kallas vilda och kan ha patologiskt beteende. I knutteori och 3-manifold teori utelämnas ofta adjektivet "tam". Släta knutar är till exempel alltid tama.
Inramad knut
En inramad knut är förlängningen av en tam knut till en inbäddning av den solida torusen D 2 × S 1 i S 3 .
Inramningen av knuten är länknumret för bilden av bandet I × S 1 med knuten. En inramad knut kan ses som det inbäddade bandet och inramningen är det (signerade) antalet vridningar. Denna definition generaliserar till en analog för inramade länkar . Inramade länkar sägs vara likvärdiga om deras förlängningar till solid tori är omgivande isotop.
Inramade länkdiagram är länkdiagram med varje komponent markerad, för att indikera inramning, med ett heltal som representerar en lutning med avseende på meridianen och föredragen longitud. Ett standardsätt att visa ett länkdiagram utan markeringar som representerar en inramad länk är att använda svarta tavlans inramning . Denna inramning erhålls genom att omvandla varje komponent till ett band som ligger platt på planet. Ett Reidemeister-drag av typ I ändrar tydligt svarta tavlans inramning (det ändrar antalet vridningar i ett band), men de andra två dragen gör det inte. Att ersätta typen I-flyttning med en modifierad typ I-förflyttning ger ett resultat för länkdiagram med svart tavlanramning som liknar Reidemeister-satsen: Länkdiagram, med svart tavlanramning, representerar ekvivalenta inramade länkar om och endast om de är sammankopplade med en sekvens av (modifierad) ) drag av typ I, II och III. Med tanke på en knut kan man definiera oändligt många inramningar på den. Antag att vi får en knut med fast inramning. Man kan få en ny inramning från den befintliga genom att klippa ett band och vrida det en heltalsmultipel av 2π runt knuten och sedan limma tillbaka igen på den plats där vi klippte. På så sätt erhåller man en ny inramning från en gammal, upp till ekvivalensrelationen för inramade knutar och lämnar knuten fixerad. Inramningen i denna mening är associerad med antalet vridningar som vektorfältet utför runt knuten. Att veta hur många gånger vektorfältet vrids runt knuten gör att man kan bestämma vektorfältet upp till diffeomorfism, och ekvivalensklassen för inramningen bestäms helt av detta heltal som kallas inramningsheltalet.
Knutkomplement
Givet en knut i 3-sfären, är knutkomplementet alla punkter i 3-sfären som inte ingår i knuten. En storsats av Gordon och Luecke säger att högst två knutar har homeomorfa komplement (den ursprungliga knuten och dess spegelreflektion). Detta förvandlar i själva verket studiet av knutar till studiet av deras komplement, och i sin tur till 3-manifold teori .
JSJ nedbrytning
JSJ -sönderdelningen och Thurstons hyperboliseringsteorem reducerar studiet av knutar i 3-sfären till studiet av olika geometriska grenrör via skarvning eller satellitoperationer . I den avbildade knuten delar JSJ-sönderdelningen upp komplementet i föreningen av tre grenrör: två trefoilkomplement och komplementet av de borromeiska ringarna . Trefoil-komplementet har geometrin H 2 × R , medan det borromeiska ringkomplementet har geometrin H 3 .
Harmoniska knutar
Parametriska representationer av knutar kallas harmoniska knutar. Aaron Trautwein sammanställde parametriska representationer för alla knutar upp till och inklusive de med ett korsningstal på 8 i sin doktorsavhandling.
Tillämpningar på grafteori
Medial graf
En annan praktisk representation av knutdiagram introducerades av Peter Tait 1877.
Varje knutdiagram definierar en plan graf vars hörn är korsningarna och vars kanter är banor mellan på varandra följande korsningar. Exakt en sida av denna plana graf är obegränsad; var och en av de andra är homeomorfa till en 2-dimensionell skiva . Färglägg dessa ytor svarta eller vita så att det obegränsade ansiktet är svart och alla två ansikten som delar en gränskant har motsatta färger. Jordans kurvsats antyder att det finns exakt en sådan färg.
Vi konstruerar en ny plan graf vars hörn är de vita ytorna och vars kanter motsvarar korsningar. Vi kan märka varje kant i denna graf som en vänsterkant eller en högerkant, beroende på vilken tråd som verkar gå över den andra när vi ser motsvarande korsning från en av kantens ändpunkter. Vänster och höger kanter indikeras vanligtvis genom att markera vänsterkanter + och högerkanter – eller genom att rita vänsterkanter med heldragna linjer och högerkanter med streckade linjer.
Det ursprungliga knutdiagrammet är den mediala grafen för denna nya plana graf, med typen av varje korsning som bestäms av tecknet för motsvarande kant. Att byta tecken på varje kant motsvarar att reflektera knuten i en spegel .
Länklös och knutfri inbäddning
I två dimensioner kan endast de plana graferna vara inbäddade i det euklidiska planet utan korsningar, men i tre dimensioner kan vilken oriktad graf som helst vara inbäddad i rymden utan korsningar. Emellertid tillhandahålls en rumslig analog av de plana graferna av graferna med länklösa inbäddningar och knutlösa inbäddningar . En länklös inbäddning är en inbäddning av grafen med egenskapen att två valfria cykler är urkopplade ; en knutlös inbäddning är en inbäddning av grafen med egenskapen att varje enskild cykel är oknuten . Graferna som har länklösa inbäddningar har en förbjuden grafkarakterisering som involverar Petersen-familjen , en uppsättning av sju grafer som är inbyggt länkade: oavsett hur de är inbäddade, kommer två cykler att vara länkade med varandra. En fullständig karaktärisering av graferna med knutlösa inbäddningar är inte känd, men den fullständiga grafen K 7 är en av de minimalt förbjudna graferna för knutfri inbäddning: oavsett hur K 7 är inbäddad kommer den att innehålla en cykel som bildar en trefoilknuta .
Generalisering
används termen knut ibland för att beskriva ett mer allmänt fenomen relaterat till inbäddningar. Givet ett grenrör M med ett undergrenrör N , säger man ibland att N kan knytas i M om det finns en inbäddning av N i M som inte är isotopisk för N . Traditionella knutar bildar fallet där N = S 1 och M = R 3 eller M = S 3 .
Schoenflies -satsen säger att cirkeln inte knyter sig i 2-sfären: varje topologisk cirkel i 2-sfären är isotopisk till en geometrisk cirkel. Alexanders teorem säger att 2-sfären inte mjukt (eller PL eller tam topologiskt) knyter sig i 3-sfären. I den tama topologiska kategorin är det känt att n -sfären inte knyter sig i n + 1 -sfären för alla n . Detta är ett teorem av Morton Brown , Barry Mazur och Marston Morse . Alexanderhornsfären är ett exempel på en knuten 2-sfär i 3-sfären som inte är tam . I den jämna kategorin är det känt att n -sfären inte knyter sig i n + 1 -sfären förutsatt att n ≠ 3 . Fallet n = 3 är ett långvarigt problem som är nära relaterat till frågan: medger 4-bollen en exotisk slät struktur ?
André Haefliger bevisade att det inte finns några jämna j -dimensionella knutar i S n förutsatt 2 n − 3 j − 3 > 0 , och gav ytterligare exempel på knutna sfärer för alla n > j ≥ 1 så att 2 n − 3 j − 3 = 0 . n − j kallas för knutens kodimension . En intressant aspekt av Haefligers arbete är att isotopiklasserna av inbäddningar av Sj given i S n bildar en grupp, med gruppoperation av kopplingssumman, förutsatt att samdimensionen är större än två. Haefliger baserade sitt arbete på Stephen Smales h - kobordismteorem . En av Smales satser är att när man behandlar knutar i samdimension större än två, har till och med olikvärdiga knutar diffeomorfa komplement. Detta ger ämnet en annan smak än co-dimension 2 knot theory. Om man tillåter topologiska eller PL-isotopier, Christopher Zeeman att sfärer inte knyter sig när samdimensionen är större än 2. Se en generalisering till grenrör .
Se även
- Knutteori – Studie av matematiska knutar
- Knot invariant – Funktion av en knop som tar samma värde för ekvivalenta knop
- Lista över matematiska knutar och länkar
Anteckningar
- Adams, Colin C. (1994). The Knot Book: En elementär introduktion till den matematiska teorin om knutar . WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2393-6 .
- Armstrong, MA (1983) [1979]. Grundläggande topologi . Grundutbildningstexter i matematik . Springer. ISBN 0-387-90839-0 .
- Cromwell, Peter R. (2004). Knutar och länkar . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511809767 . ISBN 0-521-83947-5 . MR 2107964 .
- Farmer, David W.; Stanford, Theodore B. (1995). Knots and Surfaces: A Guide to Discovering Mathematics . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-7265-9 .
- Livingstone, Charles (1993). Knutteori . Mathematical Association of America läroböcker. Vol. 24. The Mathematical Association of America. ISBN 9780883850008 .
externa länkar
| Hyperbolisk |
|
|---|---|
| Satellit | |
| Torus |
|
| Invarianter | |
|
Notation och operationer |
|
| Övrig | |
