Vanlig kategori

I kategoriteorin är en vanlig kategori en kategori med ändliga gränser och coequalizers av ett par av morfismer som kallas kärnpar , som uppfyller vissa exakthetsvillkor . På det sättet återfångar vanliga kategorier många egenskaper hos abelska kategorier , som förekomsten av bilder , utan att kräva additivitet. Samtidigt ger vanliga kategorier en grund för studiet av ett fragment av första ordningens logik , känd som vanlig logik.

Definition

En kategori C kallas vanlig om den uppfyller följande tre egenskaper:

C är slutgiltigt komplett .
Om f : X → Y är en morfism i C , och

₀₀ är en pullback , då existerar samutjämnaren för p , p _{1 .} Paret ( p , p ₁ ) kallas kärnparet av f . Eftersom kärnparet är en pullback är det unikt upp till en unik isomorfism .

Om f : X → Y är en morfism i C , och

är en tillbakadragning, och om f är en vanlig epimorfism , så är g också en vanlig epimorfism. En vanlig epimorfism är en epimorfism som uppträder som en coequalizer av något par av morfismer.

Exempel

Exempel på vanliga kategorier inkluderar:

Set , kategorin av uppsättningar och funktioner mellan uppsättningarna
Mer allmänt, varje elementär topos
Grp , kategorin grupper och grupphomomorfismer
Kategorin av ringar och ringhomomorfismer
Mer generellt, kategorin modeller av vilken sort som helst
Varje avgränsat möte-semilattice , med morfismer som ges av ordningsrelationen
Varje abelsk kategori

Följande kategorier är inte vanliga:

Top , kategorin topologiska utrymmen och kontinuerliga funktioner
Cat , kategorin av små kategorier och funktioner

Epi-mono faktorisering

bildar de reguljära epimorfismerna och monomorfismerna ett faktoriseringssystem . Varje morfism f:X→Y kan faktoriseras till en vanlig epimorfism e:X→E följt av en monomorfism m:E→Y , så att f=me . Faktoriseringen är unik i den meningen att om e':X→E' är en annan vanlig epimorfism och m':E'→Y är en annan monomorfism så att f=m'e' , så finns det en isomorfism h:E→E ' så att he=e' och m'h=m . Monomorfismen m kallas bilden av f .

Exakta sekvenser och vanliga funktioner

sägs ett diagram av formen ${\displaystyle R\rightarrows X\to Y} vara en$ exakt sekvens om det är både en coequalizer och ett kärnpar. Terminologin är en generalisering av exakta sekvenser i homologisk algebra : i en abelsk kategori , ett diagram

R\;{\overset {r}{\underset {s}{\rightarrows }}}\;X\xrightarrow {f} Y

är exakt i denna mening om och endast om $0\to R{\xrightarrow {(r,s)}}X\oplus X{\xrightarrow {(f,-f)}}Y\till 0$ är en kort exakt följd i vanlig mening.

En funktion mellan reguljära kategorier kallas reguljär , om den bevarar ändliga gränser och coequalizers för kärnpar. En funktor är regelbunden om och bara om den bevarar ändliga gränser och exakta sekvenser. Av denna anledning kallas vanliga funktorer ibland för exakta funktorer . Funktioner som bevarar ändliga gränser sägs ofta lämnas exakta .

Vanlig logik och vanliga kategorier

Regelbunden logik är fragmentet av första ordningens logik som kan uttrycka påståenden av formen

\forall x(\phi (x)\to \psi (x))

,

där $\phi$ och $\psi$ är reguljära formler dvs formler uppbyggda av atomformler , sanningskonstanten, binära möten (konjunktion) och existentiell kvantifiering . Sådana formler kan tolkas i en vanlig kategori, och tolkningen är en modell av en sekventiell $\forall x(\phi (x)\to \psi (x) ))$ , om tolkningen av $\phi$ faktorer genom tolkningen av $\psi$ . Detta ger för varje teori (uppsättning av sekvenser) T och för varje vanlig kategori C en kategori Mod ( T ,C) av modeller av T i C. Denna konstruktion ger en funktor Mod ( T ,-): RegCat → Cat från kategorin RegCat av små vanliga kategorier och vanliga funktorer till små kategorier. Det är ett viktigt resultat att det för varje teori T finns en reguljär kategori R(T) , så att det för varje vanlig kategori C finns en ekvivalens

\mathbf {Mod} (T,C)\cong \mathbf {RegCat} (R(T),C )

,

vilket är naturligt i C . Här kallas R(T) klassificeringskategorin för den reguljära teorin T. Fram till ekvivalens uppstår varje liten reguljär kategori på detta sätt som klassificeringskategorin för någon reguljär teori.

Exakta (effektiva) kategorier

Teorin om ekvivalensrelationer är en vanlig teori. En ekvivalensrelation på ett objekt $X$ i en reguljär kategori är en monomorfism till $X\times X$ som uppfyller tolkningarna av villkoren för reflexivitet, symmetri och transitivitet.

Varje kärnpar $p_{0},p_{1}:R\rightarrow X$ definierar en ekvivalensrelation $R\rightarrow X\times X$ . Omvänt sägs en ekvivalensrelation vara effektiv om den uppstår som ett kärnpar. En ekvivalensrelation är effektiv om och endast om den har en coequalizer och den är kärnparet i denna.

En regelbunden kategori sägs vara exakt , eller exakt i betydelsen Barr , eller effektiv regelbunden , om varje ekvivalensrelation är effektiv. (Observera att termen "exakt kategori" också används på olika sätt, för de exakta kategorierna i betydelsen Quillen .)

Exempel på exakta kategorier

Kategorin av mängder är exakt i denna mening, och så är alla (elementära) toposer . Varje ekvivalensrelation har en koequalizer, som hittas genom att ta ekvivalensklasser .
Varje abelsk kategori är exakt.
Varje kategori som är monadisk över kategorin av uppsättningar är exakt.
Kategorien stenutrymmen är regelbunden, men inte exakt.

Se även

Barr, Michael ; Grillet, Pierre A.; van Osdol, Donovan H. (2006) [1971]. Exakta kategorier och kategorier av skivor . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 236. Springer. ISBN 978-3-540-36999-8 .
Borceux, Francis (1994). Handbok i kategorisk algebra . Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44179-X .
Lack, Stephen (1999). "En anteckning om den exakta kompletteringen av en vanlig kategori och dess oändliga generaliseringar" . Teori och tillämpningar av kategorier . 5 (3): 70–80.
van Oosten, Jaap (1995). "Grundläggande kategoriteori" (PDF) . Århus universitet. BRICS föreläsningsserie LS-95-1.
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, red. (2004). Kategoriska grunder. Särskilda ämnen i ordning, topologi, algebra och kärveteori . Encyclopedia of Mathematics och dess tillämpningar. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7 . Zbl 1034.18001 .