Massey produkt

Massey-produkten är en algebraisk generalisering av fenomenet borromeiska ringar .

I algebraisk topologi är Massey -produkten en kohomologioperation av högre ordning introducerad i ( Masse 1958 ), som generaliserar koppprodukten . Massey-produkten skapades av William S. Massey , en amerikansk algebraisk topolog.

Massey trippelprodukt

Låt $a,b,c$ vara element i kohomologialgebra $H^{*}(\Gamma )$ av en differentiell graderad algebra $\Gamma$ . Om ${\displaystyle ab=bc=0} är$ Massey-produkten $\langle a,b,c\rangle$ en delmängd av ${ \displaystyle H^{n}(\Gamma )}$ , där $n=\deg(a)+\deg(b) )+\deg(c)-1$ .

Massey-produkten definieras algebraiskt genom att lyfta elementen $a,b,c$ till ekvivalensklasser av elementen $u,v,w$ av $\ Gamma$ , tar Massey-produkterna av dessa och trycker sedan ner till kohomologi. Detta kan resultera i en väldefinierad kohomologiklass, eller kan resultera i obestämdhet.

Definiera ${\bar {u}}$ till $(-1)^{\deg(u)+1}u$ . Kohomologiklassen för ett element $u$ av $\Gamma$ kommer att betecknas med $[u]$ . Masseys trippelprodukt av tre kohomologiklasser definieras av

$\langle [u],[v],[w]\rangle =\{[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]\mid ds={\bar {u}} v,dt={\bar {v}}w\}.$

Massey-produkten av tre kohomologiklasser är inte ett element av $H^{*}(\Gamma )$ , utan en uppsättning element av $H^{*} (\Gamma )$ , möjligen tom och innehåller möjligen mer än ett element. Om $u,v,w$ har grader $i,j,k$ , så har Massey-produkten grad $i+ j+k-1$ , där $-1$ kommer från differentialen $d$ .

Massey-produkten är inte tom om produkterna $uv$ och $vw$ båda är exakta, i vilket fall alla dess element är i samma element i kvotgruppen

$\displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\Gamma )[w]).$

Så Massey-produkten kan betraktas som en funktion definierad på trippel av klasser så att produkten av de första eller sista två är noll, med värden i ovanstående kvotgrupp.

Mer slentrianmässigt, om de två parvisa produkterna $[u][v]$ och $[v][w]$ båda försvinner i homologi ( $[u][v]=[v][w]=0$ ), dvs $uv=ds$ och $vw=dt$ för vissa kedjor $s$ och $t$ , sedan trippelprodukten $[u][v][w]$ försvinner "av två olika anledningar" — det är gränsen för $sw$ och $ut$ (eftersom $d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,$ och $[dw]=0$ eftersom element av homologi är cykler). De gränsande kedjorna $s$ och $t$ har obestämdhet, som försvinner när man går över till homologi, och eftersom $sw$ och $ut$ har samma gräns, subtraherande dem (teckenkonventionen är att korrekt hantera graderingen) ger en samcykel (gränsen för skillnaden försvinner), och man får därmed ett väldefinierat element av kohomologi — detta steg är analogt med att definiera n + 1 $n +1}$ st homotopi eller homologigrupp i termer av obestämdhet i nollhomotoper/nollhomologier av n -dimensionella kartor/kedjor.

Geometriskt, i singulär kohomologi av ett grenrör, kan man tolka produkten dubbelt i termer av avgränsande grenrör och korsningar, efter Poincaré-dualitet : dubbla till samcykler är cykler, ofta representerade som slutna grenrör (utan gräns), dubbla till produkt är skärningspunkter, och dubbla till subtraktionen av de gränsande produkterna är att limma ihop de två begränsningsgrenrören längs gränsen, vilket erhåller ett slutet grenrör som representerar homologiklassdualen för Massey-produkten. I verkligheten kan homologiklasser av grenrör inte alltid representeras av grenrör – en representerande cykel kan ha singulariteter – men med denna varning är den dubbla bilden korrekt.

Massey-produkter av högre ordning

Mer allmänt, den n -faldiga Massey-produkten $\langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_ {n,n}\rangle$ av n element av $H^{*}(\Gamma )$ definieras som uppsättningen av element i formen

${\bar {a}}_{1,1}a_ {2,n}+{\bar {a}}_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar {a}}_{1,n-1}a_{n,n}$

för alla lösningar av ekvationerna

$da_{ i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j} +\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}$ ,

med $1\leq i\leq j\leq n$ och $(i,j)\neq (1,n)$ , där ${\bar {u}}$ betecknar $(-1)^{\deg(u)}u$ .

Den högre ordningens Massey-produkten $\langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n }\rangle$ kan ses som ett hinder för att lösa det senare ekvationssystemet för alla ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n} ,$ i den meningen att den innehåller 0 kohomologiklass om och endast om dessa ekvationer är lösbara. Denna n -faldiga Massey-produkt är en $n-1$ ordnings kohomologioperation, vilket innebär att för att den ska vara tom måste många lägre ordningens Massey-operationer innehålla 0, och dessutom skiljer sig kohomologiklasserna de representerar alla med termer med lägre orderverksamhet. Den 2-faldiga Massey-produkten är bara den vanliga koppprodukten och är en första ordningens kohomologioperation, och den 3-faldiga Massey-produkten är samma som den trefaldiga Massey-produkten definierad ovan och är en sekundär kohomologioperation .

J. Peter May ( 1969 ) beskrev en ytterligare generalisering som kallas Matric Massey products , som kan användas för att beskriva skillnaderna mellan Eilenberg-Moore-spektralsekvensen .

Ansökningar

Komplementet av Borromean-ringarna har en icke-trivial Massey-produkt.

Komplementet av de borromeiska ringarna ger ett exempel där den tredubbla Massey-produkten är definierad och inte noll. Observera att kohomologin för komplementet kan beräknas med Alexanderdualitet . Om u , v och w är 1-samkedjor dubbla till de 3 ringarna, så är produkten av vilka två som helst en multipel av motsvarande länktal och är därför noll, medan Massey-produkten av alla tre element är icke-noll, vilket visar att de borromeiska ringarna är sammanlänkade. Algebran speglar geometrin: ringarna är parvis olänkade, vilket motsvarar att de parvisa (2-faldiga) produkterna försvinner, men är totalt sett länkade, vilket motsvarar att den 3-faldiga produkten inte försvinner.

Icke-triviala Brunnian-länkar motsvarar icke-försvinnande Massey-produkter.

Mer allmänt, n -komponent Brunnian länkar – länkar så att någon $(n-1)$ -komponent underlänk är urlänkad, men den övergripande n -komponent länken är icke-trivialt länkad – motsvarar n - vik Massey-produkter, med avlänkningen av $(n-1)$ -komponentunderlänken som motsvarar försvinnandet av $(n-1)$ -fold Massey-produkterna och den totala n -komponentkopplingen som motsvarar den icke-försvinnande av den n -faldiga Massey-produkten.

Uehara & Massey (1957) använde Masseys trippelprodukt för att bevisa att Whitehead-produkten uppfyller Jacobi-identiteten .

Massey-produkter av högre ordning visas när man beräknar vriden K-teori med hjälp av Atiyah-Hirzebruch-spektralsekvensen ( AHSS). I synnerhet, om H är 3-klassens twist, Atiyah & Segal (2008) visade att, rationellt, de högre ordningens differentialer $d_{2p+1 }\$ i AHSS som verkar på en klass x ges av Massey-produkten av p kopior av H med en enda kopia av x .

Om ett grenrör är formellt (i betydelsen av Dennis Sullivan ), måste alla Massey-produkter på utrymmet försvinna; Således är en strategi för att visa att ett givet grenrör inte är formellt att ställa ut en icke-trivial Massey-produkt. Här är en formell mångfald en vars rationella homotopityp kan härledas ("formellt") från en finitdimensionell "minimal modell" av dess de Rham-komplex . Deligne et al. (1975) visade att kompakta Kähler-grenrör är formella.

Salvatore & Longoni (2005) använder en Massey-produkt för att visa att homotopitypen för konfigurationsutrymmet för två punkter i ett linsutrymme beror icke-trivialt på linsutrymmets enkla homotopityp .

Se även

• Toda fäste

•     Atiyah, Michael ; Segal, Graeme (2006), "Twisted K-theory and cohomology", Inspirerad av SS Chern , Nankai Tracts in Mathematics, vol. 11, Hackensack, NJ: World Scientific Publishers , s. 5–43, arXiv : math.KT/0510674 , doi : 10.1142/9789812772688_0002 , ISBN 978-901-1230-2702 , 778-981-1230-2 , 7 119726615
•    Deligne, Pierre ; Griffiths, Phillip ; Morgan, John ; Sullivan, Dennis (1975), "Real homotopy theory of Kähler manifolds", Inventiones Mathematicae , 29 (3): 245–274, Bibcode : 1975InMat..29..245D , doi : 10.1007 /BF031 , 7C 028 , 7C 28 , 7C 281 , 7C 281 , 7C . 357812
•   Massey, William S. (1958), "Some higher order cohomology operations", Symposium internacional de topología algebraica (International symposium on algebraic topology) , Mexico City: Universidad Nacional Autónoma de México och UNESCO, s. 145–154, MR 609836
•   May, J. Peter (1969), "Matric Massey products", Journal of Algebra , 12 (4): 533–568, doi : 10.1016/0021-8693(69)90027-1 , MR 0238929
•    McCleary, John (2001), A User's Guide to Spectral Sequences , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (2nd ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6 , MR 1793722 , kapitel 8, "Massey products", sid. 302–304; "Högre ordning Massey-produkter", s. 305–310; "Matric Massey products", s. 311–312 {{ citation }} : CS1 underhåll: postscript ( länk )
•    Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), "Configuration spaces are not homotopy invariant", Topology , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi : 10.1016/j.top.2004.11.002 1 , 57C 1 , 57 MR 5 1 , 571 1 , 57 1 1 , 57 1 ,
•   Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957), "Jacobi-identiteten för Whitehead-produkter", Algebraisk geometri och topologi. Ett symposium till ära för S. Lefschetz , Princeton, NJ: Princeton University Press , s. 361–377, MR 0091473

externa länkar

• Masseys produkter och dess tillämpningar - innehåller många tydliga exempel
• Massey-produkter i Adams Spectral Sequence - innehåller referenser som är användbara för att förstå hur man gör dessa beräkningar
• An Adams Spectral Sequence Primer - Bruners anteckningar
• Massey-produkter och A-infinity-strukturer