Kompakt sluten kategori

Inom kategoriteorin , en gren av matematiken , är kompakta slutna kategorier ett allmänt sammanhang för att behandla dubbla objekt . Idén om ett dubbelt objekt generaliserar det mer välbekanta konceptet med dualen av ett ändligt dimensionellt vektorrum . Så, det motiverande exemplet på en kompakt sluten kategori är FdVect , kategorin som har ändliga dimensionella vektorrum som objekt och linjära kartor som morfismer , med tensorprodukt som den monoidala strukturen . Ett annat exempel är Rel , kategorin som har mängder som objekt och relationer som morfismer, med kartesisk monoidal struktur .

Symmetrisk kompakt sluten kategori

En symmetrisk monoidal kategori $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$ är kompakt stängd om varje objekt $A\in \mathbf {C}$ har en dubbla objekt . Om detta gäller är det dubbla objektet unikt upp till kanonisk isomorfism och betecknas $A^{*}$ .

Lite mer detaljerat kallas ett objekt $A^{*}$ dualen av $A$ om det är utrustat med två morfismer som kallas enheten ${ \displaystyle \eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A}$ och enheten $\varepsilon _{A}:A\otimes A^{* }\to I$ , som uppfyller ekvationerna

$\lambda _{A}\circ (\varepsilon _ {A}\otimes A)\circ \alpha _{A,A^{*},A}^{-1}\circ (A\otimes \eta _{A})\circ \rho _{A}^ {-1}=\mathrm {id} _{A}$

och

$ho *}}\circ (A^{*}\otimes \varepsilon _{A})\circ \alpha _{A^{*},A,A^{*}}\circ (\eta _{A}\ ibland A^{*})\circ \lambda _{A^{*}}^{-1}=\mathrm {id} _{A^{*}},}$

där $\lambda ,\rho$ är introduktionen av enheten till vänster respektive höger, och $\alpha$ är associatorn.

För tydlighetens skull skriver vi om ovanstående kompositioner schematiskt. För att $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$ ska vara kompaktstängd behöver vi följande sammansättningar vara lika med $\mathrm {id} _ {A}$ :

$A{\xright} A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta }}A\otimes (A^{*}\otimes A){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes A^{*})\otimes A{ \xrightarrow {\epsilon \otimes A}}I\otimes A{\xrightarrow {\cong }}A$

och $\mathrm {id} _{A^{*}}$ :

$A ^{*}{\xrightarrow {\cong }}I\otimes A^{*}{\xrightarrow {\eta \otimes A^{*}}}(A^{*}\otimes A)\otimes A^{ *}{\xrightarrow {\cong }}A^{*}\otimes (A\otimes A^{*}){\xrightarrow {A^{*}\otimes \epsilon }}A^{*}\otimes I {\xrightarrow {\cong }}A^{*}}$

Definition

Antag mer generellt att $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$ är en monoidal kategori , inte nödvändigtvis symmetrisk, som i fallet med en förgruppsgrammatik . Ovanstående föreställning om att ha en dubbel $A^{*}$ för varje objekt A ersätts av den att ha både en vänster och en höger adjoint , $A^{l}$ och $A^{r}$ , med en motsvarande vänstra enhet $\eta _{A}^{l}:I\to A\otimes A^{l}$ , höger enhet $\eta _{A}^{r}:I\to A^{r}\otimes A$ , vänster enhet ${\displaystyle \varepsilon _{A}^{l}:A^{l}\otimes A\to I} ,$ och högra enheten $\varepsilon _{ A}^{r}:A\otimes A^{r}\to I$ . Dessa måste uppfylla de fyra ryckvillkoren , som var och en är identiteter:

$A\to A\otimes I{\xrightarrow {\eta ^ {r}}}A\otimes (A^{r}\otimes A)\to (A\otimes A^{r})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}I\otimes A\ till A$

$A\to I\otimes A{\xrightarrow { \eta ^{l}}}(A\otimes A^{l})\otimes A\to A\otimes (A^{l}\otimes A){\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}A\ ibland jag\till A$

och

$A^{r}\to I \otimes A^{r}{\xrightarrow {\eta ^{r}}}(A^{r}\otimes A)\otimes A^{r}\to A^{r}\otimes (A\otimes A) ^{r}){\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}A^{r}\otimes I\to A^{r}$

$A^{l}\to A^{l}\ibland I{\xrightarrow {\eta ^{l} }}A^{l}\otimes (A\otimes A^{l})\to (A^{l}\otimes A)\otimes A^{l}{\xrightarrow {\epsilon ^{l}}} I\otimes A^{l}\till A^{l}$

Det vill säga i det allmänna fallet är en kompakt sluten kategori både vänster- och högerstyv , och tvåstängd .

Icke-symmetriska kompakta slutna kategorier hittar tillämpningar inom lingvistik , inom området kategoriserad grammatik och specifikt i pregroup grammatik , där de distinkta vänster- och högeradjointerna krävs för att fånga ordordning i meningar. I detta sammanhang kallas kompakta slutna monoidala kategorier ( Lambek ) förgrupper .

Egenskaper

Kompakta slutna kategorier är ett specialfall av monoida slutna kategorier , som i sin tur är ett specialfall av slutna kategorier .

Kompakta slutna kategorier är just de symmetriska autonoma kategorierna . De är också *-autonoma .

Varje kompakt sluten kategori C medger ett spår . Nämligen, för varje morfism ${\displaystyle f:A\otimes C\to B\otimes C} ,$ kan man definiera

$\mathrm {Tr_{A,B}^{C}} (f)=\rho _{B}\circ (id_{B}\ ibland \varepsilon _{C})\circ \alpha _{B,C,C^{*}}\circ (f\otimes C^{*})\circ \alpha _{A,C,C^{* }}^{-1}\circ (id_{A}\otimes \eta _{C^{*}})\circ \rho _{A}^{-1}:A\to B$

vilket kan visa sig vara ett riktigt spår. Det hjälper att rita $A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta _{C^{*}}}}A\otimes (C\otimes C^{*}){\ xrightarrow {\cong }}(A\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\;\;f\otimes C^{*}\;\;}}(B\otimes C)\otimes C ^{*}{\xrightarrow {\cong }}B\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {B\otimes \varepsilon _{C}}}B\otimes I{\xrightarrow {\cong }}B.$

Exempel

Det kanoniska exemplet är kategorin FdVect med ändligt dimensionella vektorrum som objekt och linjära kartor som morfismer. Här $A^{*}$ den vanliga dualen av vektorrymden $A$ .

Kategorin av ändlig-dimensionella representationer av någon grupp är också kompakt sluten.

Kategorin Vect , med alla vektorrum som objekt och linjära kartor som morfismer, är inte kompaktstängd; den är symmetrisk monoidal sluten.

Enkel kategori

Simplexkategorin kan användas för att konstruera ett exempel på icke-symmetrisk kompakt sluten kategori . Simplexkategorin är kategorin av ändliga ordtal som inte är noll (sedda som helt ordnade mängder ) ; dess morfismer är ordningsbevarande ( monotona ) kartor. Vi gör den till en monoidal kategori genom att flytta till pilkategorin , så objekten är morfismer av den ursprungliga kategorin och morfismerna är pendlingsrutor . Då är tensorprodukten i pilkategorin den ursprungliga kompositionsoperatorn. De vänstra och högra anslutningarna är min- och max-operatorerna; specifikt, för en monoton karta f har man rätt adjoint

$f^{r}(n)=\sup\{m\in \mathbb {N} \mid f(m)\ leq n\}$

och den vänstra anslutningen

$f^{l}(n)=\inf\{m\in \mathbb {N} \mid n\leq f( m)\}$

De vänstra och högra enheterna och enheterna är:

${\mbox{id}}\leq f\circ f^{l}\qquad {\mbox{(vänster enhet)}}$

${\displaystyle \,{\mbox{id}}\leq f^{r}\circ f\quad \ \ \ {\mbox{(höger enhet)}}} f l ∘$

${\displaystyle f^{l}\circ f\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(vänster count)}}} f ∘ f r ≤ id (höger$

$circ f^{r}\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(höger enhet)}}}$

Ett av ryckvillkoren är då

$f=f\circ {\mbox{id}}\leq f\circ (f^{r}\circ f)=(f\circ f^{r})\circ f\leq {\mbox{ id}}\circ f=f.$

De andra följer på liknande sätt. Korrespondensen kan göras tydligare genom att skriva pilen $\to$ istället för $\leq$ , och använda $\otimes$ för funktionssammansättning $\circ$ .

Dolk kompakt kategori

En dolk symmetrisk monoidal kategori som är kompakt stängd är en dolk kompakt kategori .

Stel kategori

En monoidal kategori som inte är symmetrisk, men i övrigt följer dualitetsaxiomen ovan, är känd som en stel kategori . En monoidal kategori där varje objekt har en vänster (resp. höger) dual kallas också ibland för en vänster (resp. höger) autonom kategori. En monoidal kategori där varje objekt har både en vänster- och en högerdual kallas ibland för en autonom kategori . En autonom kategori som också är symmetrisk är då en kompakt sluten kategori.

Kelly, GM ; Laplaza, ML (1980). "Koherens för kompakta slutna kategorier" . Journal of Pure and Applied Algebra . 19 : 193–213. doi : 10.1016/0022-4049(80)90101-2 .