Kommutativt diagram

Det kommutativa diagrammet som används i beviset på de fem lemma

Inom matematik , och särskilt inom kategoriteori , är ett kommutativt diagram ett diagram så att alla riktade vägar i diagrammet med samma start och slutpunkter leder till samma resultat. Det sägs att kommutativa diagram spelar den roll i kategoriteorin som ekvationer spelar i algebra .

Beskrivning

Ett kommutativt diagram består ofta av tre delar:

• objekt (även känd som hörn )
• morfismer (även känd som pilar eller kanter )
• banor eller kompositer

Pilsymboler

I algebratexter kan typen av morfism betecknas med olika pilanvändningar:

• En monomorfism kan märkas med en $\hookrightarrow$ eller en $\rightarrowtail$ .
• En epimorfism kan märkas med en $\twoheadrightarrow$ .
• En isomorfism kan märkas med en ${\overset {\sim }{\rightarrow }}$ .
• Den streckade pilen representerar vanligtvis påståendet att den angivna morfismen existerar (när resten av diagrammet gäller); pilen kan valfritt märkas som $\exists$ .
  • Om morfismen dessutom är unik, kan den streckade pilen vara märkt $!$ eller $\exists !$ .

Betydelsen av olika pilar är inte helt standardiserade: pilarna som används för monomorfismer, epimorfismer och isomorfismer används också för injektioner , operationer och bijektioner , såväl som kofibreringar, fibrationer och svaga ekvivalenser i en modellkategori .

Verifiering av kommutativitet

Kommutativitet är meningsfullt för en polygon med valfritt ändligt antal sidor (inklusive bara 1 eller 2), och ett diagram är kommutativt om varje polygonalt underdiagram är kommutativt.

Observera att ett diagram kan vara icke-kommutativt, dvs sammansättningen av olika vägar i diagrammet kanske inte ger samma resultat.

Exempel

Exempel 1

I det vänstra diagrammet, som uttrycker det första isomorfismsatsen , betyder kommutativitet för triangeln att $f={\tilde {f}}\circ \pi$ . I det högra diagrammet betyder kommutativitet för kvadraten $h\circ f=k\circ g$ .

Exempel 2

För att diagrammet nedan ska kunna pendla måste tre likheter vara uppfyllda:

1. $r\circ h\circ g=H\circ G\circ l$
2. $m\circ g=G\circ l$
3. $r\circ h=H\circ m$

Här, eftersom den första likheten följer av de två sista, räcker det att visa att (2) och (3) är sanna för att diagrammet ska pendla. Men eftersom jämlikhet (3) i allmänhet inte följer av de två andra, räcker det i allmänhet inte att bara ha likheter (1) och (2) om man skulle visa att diagrammet pendlar.

Diagram jagar

Diagramjakt (även kallat diagrammatisk sökning ) är en metod för matematiskt bevis som används speciellt i homologisk algebra , där man etablerar en egenskap hos viss morfism genom att spåra elementen i ett kommutativt diagram. En proof by diagram chasing involverar vanligtvis den formella användningen av diagrammets egenskaper, såsom injektiva eller surjektiva kartor eller exakta sekvenser . En syllogism är konstruerad, för vilken den grafiska visningen av diagrammet bara är ett visuellt hjälpmedel. Det följer att det slutar med att man "jagar" element runt diagrammet, tills det önskade elementet eller resultatet är konstruerat eller verifierat.

Exempel på bevis genom att jaga diagram inkluderar de som vanligtvis ges för de fem lemma , ormlemma , zig-zag lemma och nio lemma .

I högre kategori teori

Huvudartikel: Teori om högre kategori

I teorin om högre kategori betraktar man inte bara objekt och pilar, utan pilar mellan pilarna, pilar mellan pilar mellan pilar och så vidare ad infinitum . Till exempel är kategorin små kategorier Cat naturligt en 2-kategori, med funktioner som pilar och naturliga transformationer som pilar mellan funktioner. I den här inställningen kan kommutativa diagram också innehålla dessa högre pilar, som ofta avbildas i följande stil: $\Rightarrow$ . Till exempel, följande (något triviala) diagram visar två kategorier C och D , tillsammans med två funktorer F , G : C → D och en naturlig transformation α : F ⇒ G :

Det finns två typer av komposition i en 2-kategori (kallad vertikal komposition och horisontell komposition ), och de kan också avbildas genom att klistra in diagram (se 2-kategori#Definition för exempel).

Diagram som funktioner

Huvudartikel: Diagram (kategoriteori)

Ett kommutativt diagram i en kategori C kan tolkas som en funktion från en indexkategori J till C; man kallar funktorn för ett diagram .

Mer formellt är ett kommutativt diagram en visualisering av ett diagram indexerat av en poset-kategori . Ett sådant diagram inkluderar vanligtvis:

• en nod för varje objekt i indexkategorin,
• en pil för en genererande uppsättning morfismer (som utelämnar identitetskartor och morfismer som kan uttryckas som kompositioner),
• diagrammets kommutativitet (likheten mellan olika sammansättningar av kartor mellan två objekt), motsvarande det unika hos en karta mellan två objekt i en posetkategori.

Omvänt, givet ett kommutativt diagram, definierar det en posetkategori, där:

• objekten är noderna,
• det finns en morfism mellan två objekt om och bara om det finns en (riktad) väg mellan noderna,
• med förhållandet att denna morfism är unik (alla sammansättningar av kartor definieras av dess domän och mål: detta är kommutativitetsaxiomet).

Men inte alla diagram pendlar (begreppet diagram generaliserar strikt kommutativt diagram). Som ett enkelt exempel, diagrammet av ett enskilt objekt med en endomorfism ( $f\colon X\to X$ ), eller med två parallella pilar ( $\bullet \rightarrows \ bullet$ , det vill säga $f,g\colon X\to Y$ , ibland kallad det fria kogret ), som används i definitionen av equalizer behöver inte pendla. Vidare kan diagram vara rörigt eller omöjligt att rita, när antalet objekt eller morfismer är stort (eller till och med oändligt).

Se även

• Matematiskt diagram

Bibliografi

•   Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990), Abstract and Concrete Categories (PDF) , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6 Nu tillgänglig som gratis onlineutgåva (4,2 MB PDF).
•   Barr, Michael ; Wells, Charles (2002), Toposes, Triples and Theories (PDF) , ISBN 0-387-96115-1 Reviderad och korrigerad gratis onlineversion av Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

externa länkar

• Diagram Chasing på MathWorld
• WildCats är ett kategoriteoripaket för Mathematica . Manipulering och visualisering av objekt, morfismer , kategorier, funktioner , naturliga transformationer .