Kluster algebra

Klusteralgebror är en klass av kommutativa ringar som introducerats av Fomin och Zelevinsky ( 2002 , 2003 , 2007 ). En klusteralgebra av rang n är en integral domän A , tillsammans med några delmängder av storlek n som kallas kluster vars förening genererar algebra A och som uppfyller olika villkor.

Definitioner

Antag att F är en integral domän , såsom fältet Q ( x 1 ,..., x n ) av rationella funktioner i n variabler över de rationella talen Q.

Ett kluster av rang n består av en uppsättning av n element { x , y , ...} av F , vanligtvis antas vara en algebraiskt oberoende uppsättning generatorer av en fältförlängning F .

Ett frö består av ett kluster { x , y , ...} av F , tillsammans med en utbytesmatris B med heltalsposter b x , y indexerade av par av element x , y i klustret. Matrisen antas ibland vara skevsymmetrisk , så att b x , y = – b y , x för alla x och y . Mer generellt kan matrisen vara skevsymmetriserbar, vilket innebär att det finns positiva heltal d x associerade med elementen i klustret så att d x b x , y = – d y b y , x för alla x och y . Det är vanligt att avbilda ett frö som ett koger med hörn som genereringsmängden, genom att rita b x , y pilar från x till y om detta nummer är positivt. När b x , y är snedsymmetriserbar har kogern inga slingor eller 2-cykler.

En mutation av ett frö, beroende på ett val av vertex y i klustret, är ett nytt frö som ges genom en generalisering av tiltning enligt följande. Byt ut värdena för b x , y och b y , x för alla x i klustret. Om b x , y > 0 och b y , z > 0 byt ut b x , z med b x , y b y , z + b x , z . Om b x , y < 0 och b y , z < 0 byt ut b x , z med - b x , y b y , z + b x , z . Om b x , y b y , z ≤ 0 så ändra inte b x , z . Slutligen ersätt y med en ny generator w , där

där produkterna löper genom elementen t i fröets kluster så att positivt respektive bt, y är negativt. Det omvända till en mutation är också en mutation, dvs om A är en mutation av B så är B en mutation av A .

En klusteralgebra är konstruerad från ett initialt frö enligt följande. Om vi ​​upprepade gånger muterar fröet på alla möjliga sätt får vi en finit eller oändlig graf av frön, där två frön är sammanfogade av en kant om det ena kan erhållas genom att mutera det andra. Den underliggande algebra för klusteralgebra är den algebra som genereras av alla kluster av alla frön i denna graf. Klusteralgebra kommer också med den extra strukturen av fröna i denna graf.

En klusteralgebra sägs vara av ändlig typ om den bara har ett ändligt antal frön. Fomin & Zelevinsky (2003) visade att klusteralgebror av ändlig typ kan klassificeras i termer av Dynkin-diagrammen för ändliga dimensionella enkla Lie-algebror .

Exempel

Klusteralgebror av rang 1

Om { x } är klustret av ett frö av rang 1, så tar den enda mutationen detta till {2 x −1 }. Så en klusteralgebra av rang 1 är bara en ring k [ x , x −1 ] av Laurents polynom , och den har bara två kluster, { x } och {2 x −1 }. I synnerhet är den av finit typ och är associerad med Dynkin-diagrammet A 1 .

Klusteralgebror av rang 2

Antag att vi börjar med klustret { x 1 , x 2 } och tar utbytesmatrisen med b 12 = –b 21 = 1. Då ger mutation en sekvens av variabler x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,.. så att klustren ges av intilliggande par { x n , x n +1 }. Variablerna är relaterade till

så ges av sekvensen

som upprepas med period 5. Så denna klusteralgebra har exakt 5 kluster, och är i synnerhet av finit typ. Det är associerat med Dynkin-diagrammet A 2 .

Det finns liknande exempel med b 12 = 1, – b 21 = 2 eller 3, där den analoga sekvensen av klustervariabler upprepas med period 6 eller 8. Dessa är också av finit typ och är associerade med Dynkin-diagrammen B 2 och G 2 . Men om | b 12 b 21 | ≥ 4 då är sekvensen av klustervariabler inte periodisk och klusteralgebra är av oändlig typ.

Klusteralgebror av rang 3

Anta att vi börjar med kogret x 1 → x 2 → x 3 . Då är de 14 klustren:

Det finns 6 klustervariabler andra än de 3 initiala x 1 , x 2 , x 3 som ges av

.

De motsvarar de 6 positiva rötterna i Dynkindiagrammet A 3 : närmare bestämt är nämnarna monomer i x 1 , x 2 , x 3 , vilket motsvarar uttrycket av positiva rötter som summan av enkla rötter. 3+6-klustervariablerna genererar en klusteralgebra av finit typ, associerad med Dynkin-diagrammet A3 . De 14 klustren är hörnen på klustergrafen, som är en associahedron .

Gräsmänniskor

Enkla exempel ges av algebrorna för homogena funktioner på Grassmannians . Plücker -koordinaterna ger några av de framstående elementen.

Mutation mellan två trianguleringar av heptagonen

För Grassmannian av plan i är situationen ännu enklare. I så fall ger Plücker-koordinaterna alla utmärkande element och klustren kan beskrivas fullständigt med hjälp av triangulering av en vanlig polygon med n hörn. Närmare bestämt är kluster i en-till-en-överensstämmelse med triangulering och de utmärkande elementen är i en-till-en-överensstämmelse med diagonaler (linjesegment som förenar två hörn av polygonen). Man kan skilja mellan diagonaler i gränsen, som hör till varje klunga, och diagonaler i det inre. Detta motsvarar en generell distinktion mellan koefficientvariabler och klustervariabler.

Klusteralgebror som uppstår från ytor

Antag att S är en kompakt sammankopplad orienterad Riemann-yta och M är en icke-tom ändlig uppsättning punkter i S som innehåller minst en punkt från varje gränskomponent av S (gränsen för S antas inte vara antingen tom eller icke-tom ). Paret ( S , M ) kallas ofta för en kantad yta med markerade punkter . Det har visat sig av Fomin-Shapiro-Thurston att om S inte är en sluten yta, eller om M har mer än en punkt, så parametriserar de (taggade) bågarna på ( S , M ) mängden klustervariabler för viss klusteralgebra A ( S , M ), som endast beror på ( S , M ) och valet av något koefficientsystem, på ett sådant sätt att uppsättningen av (taggade) trianguleringar av ( S , M ) är i en-till-en-överensstämmelse med uppsättningen kluster av A ( S , M ), två (taggade) trianguleringar är relaterade med en flip om och endast om klustren de motsvarar är relaterade till klustermutation.

Dubbla Bruhat-celler

För en reduktiv grupp såsom med Borel-undergrupper sedan på där och är i Weyl-gruppen ) finns det kluster koordinatdiagram beroende på reducerade orduppdelningar av och . Dessa kallas faktoriseringsparametrar och deras struktur är kodad i ett kopplingsschema. Med endast eller endast är detta Bruhat-nedbrytning .

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cluster_algebra&oldid=1095542112 "