Emmy Noether

Emmy Noether
Noether.jpg
Född
Amalie Emmy Noether

( 1882-03-23 ​​) 23 mars 1882
Erlangen , Bayern , tyska riket
dog 14 april 1935 (14-04-1935) (53 år)
Bryn Mawr, Pennsylvania , USA
Nationalitet tysk
Alma mater Universitetet i Erlangen
Känd för
Utmärkelser Ackermann-Teubner Memorial Award (1932)
Vetenskaplig karriär
Fält Matematik och fysik
institutioner
Avhandling   Om kompletta system av invarianter för ternära biquadratiska former ( 1907)
Doktorand rådgivare Paul Gordan
Doktorander

Amalie Emmy Noether ( USA : / ˈnʌtər tysk 1882 gjorde till / , Storbritannien : / ˈnɜːtə ; 23 mars många matematiker / ; tyska: [ˈnøːtɐ] – 14 april 1935) var en som viktiga bidrag algebra . . Hon upptäckte Noethers första och andra sats, som är grundläggande i matematisk fysik . Hon beskrevs av Pavel Alexandrov , Albert Einstein , Jean Dieudonné , Hermann Weyl och Norbert Wiener som den viktigaste kvinnan i matematikens historia . Som en av de ledande matematikerna på sin tid utvecklade hon några teorier om ringar , fält och algebror . Inom fysiken Noethers teorem sambandet mellan symmetri och bevarandelagar .

Noether föddes i en judisk familj i den frankiska staden Erlangen ; hennes far var matematikern Max Noether . Hon planerade ursprungligen att undervisa i franska och engelska efter att ha klarat de obligatoriska proven, men studerade istället matematik vid universitetet i Erlangen, där hennes far föreläste. Efter att ha avslutat sin doktorsexamen 1907 under överinseende av Paul Gordan arbetade hon vid Mathematical Institute of Erlangen utan lön i sju år. På den tiden var kvinnor i stort sett utestängda från akademiska tjänster. 1915 blev hon inbjuden av David Hilbert och Felix Klein att gå med i matematikavdelningen vid universitetet i Göttingen , ett världsberömt centrum för matematisk forskning. Den filosofiska fakulteten motsatte sig dock och hon tillbringade fyra år med att föreläsa under Hilberts namn. Hennes habilitering godkändes 1919, vilket gjorde att hon fick rang av Privatdozent .

Noether förblev en ledande medlem av Göttingens matematikavdelning fram till 1933; hennes elever kallades ibland "Noether-pojkarna". 1924 anslöt sig den holländska matematikern BL van der Waerden till hennes krets och blev snart den ledande utställaren av Noethers idéer; hennes arbete var grunden för den andra volymen av hans inflytelserika lärobok från 1931, Moderne Algebra . Vid tiden för hennes plenartal vid den internationella matematikkongressen 1932 i Zürich var hennes algebraiska skarpsinne erkänd över hela världen. Året därpå avskedade Tysklands nazistiska regering judar från universitetstjänster , och Noether flyttade till USA för att tillträda en tjänst vid Bryn Mawr College i Pennsylvania där hon undervisade bland annat doktorander och doktorander inklusive Marie Johanna Weiss , Ruth Stauffer, Grace Shover Quinn och Olga Taussky-Todd . Samtidigt föreläste och forskade hon vid Institute for Advanced Study i Princeton, New Jersey .

Noethers matematiska arbete har delats in i tre "epoker". I den första (1908–1919) gjorde hon bidrag till teorierna om algebraiska invarianter och talfält . Hennes arbete med differentiella invarianter i variationskalkylen , Noethers sats , har kallats "en av de viktigaste matematiska satserna som någonsin visat sig vägleda utvecklingen av modern fysik". Under den andra epoken (1920–1926) började hon arbete som "förändrade ansiktet på [abstrakt] algebra". I sin klassiska uppsats Idealtheorie in Ringbereichen ( Theory of Ideals in Ring Domains ) från 1921 utvecklade Noether teorin om ideal i kommutativa ringar till ett verktyg med omfattande tillämpningar. Hon använde sig elegant av det stigande kedjetillståndet , och föremål som tillfredsställer det heter Noetherian till hennes ära. Under den tredje epoken (1927–1935) publicerade hon verk om icke-kommutativa algebror och hyperkomplexa tal och förenade representationsteorin för grupper med teorin om moduler och ideal. Förutom sina egna publikationer var Noether generös med sina idéer och krediteras med flera forskningslinjer som publicerats av andra matematiker, även inom områden som är långt borta från hennes huvudsakliga arbete, såsom algebraisk topologi .

Privatliv

Noether växte upp i den bayerska staden Erlangen , avbildad här i ett vykort från 1916
Emmy Noether med sina bröder Alfred, Fritz och Robert, före 1918

Emmy Noether föddes den 23 mars 1882, det första av fyra barn till matematikern Max Noether och Ida Amalia Kaufmann, båda från judiska köpmansfamiljer. Hennes förnamn var "Amalie", efter sin mor och farmor, men hon började använda sitt mellannamn i ung ålder, och hon använde undantagslöst namnet "Emmy Noether" i sitt vuxna liv och i sina publikationer.

I sin ungdom stod Noether inte ut akademiskt även om hon var känd för att vara smart och vänlig. Hon var närsynt och pratade med en mindre läsk under sin barndom. En familjevän berättade om en historia flera år senare om den unge Noether som snabbt löste en brainteaser på ett barnkalas och visade logiskt skarpsinne vid den tidiga åldern. Hon fick lära sig att laga mat och städa, precis som de flesta flickor på den tiden, och hon tog pianolektioner. Hon utövade ingen av dessa aktiviteter med passion, även om hon älskade att dansa.

Hon hade tre yngre bröder: den äldste, Alfred, föddes 1883, doktorerades i kemi från Erlangen 1909, men dog nio år senare. Fritz Noether , född 1884, är ihågkommen för sina akademiska prestationer. Efter att ha studerat i München gjorde han ett rykte för sig själv i tillämpad matematik . Han avrättades i Sovjetunionen 1941. Den yngste, Gustav Robert, föddes 1889. Mycket lite är känt om hans liv; han led av kronisk sjukdom och dog 1928.

1935 opererades Noether för en cysta på äggstockarna och dog, trots tecken på återhämtning, fyra dagar senare vid 53 års ålder.

Universitetsliv och utbildning

Paul Gordan övervakade Noethers doktorsavhandling om invarianter av biquadratiska former.

Noether visade tidig kunskap i franska och engelska. Våren 1900 tog hon examen för lärare i dessa språk och fick totalt poäng sehr gut ( mycket bra). Hennes prestationer kvalificerade henne att undervisa i språk på skolor som är reserverade för flickor, men hon valde istället att fortsätta sina studier vid universitetet i Erlangen .

Detta var ett okonventionellt beslut; två år tidigare hade den akademiska senaten vid universitetet förklarat att tillåtelse av blandad könsutbildning skulle "störta all akademisk ordning". Noether, som var en av endast två kvinnor på ett universitet med 986 studenter, fick endast granska lektioner i stället för att delta fullt ut, och krävde tillstånd från enskilda professorer vars föreläsningar hon ville delta i. Trots dessa hinder klarade hon den 14 juli 1903 examen vid ett Realgymnasium i Nürnberg .

Under vinterterminen 1903–1904 studerade hon vid universitetet i Göttingen och deltog i föreläsningar av astronomen Karl Schwarzschild och matematikerna Hermann Minkowski , Otto Blumenthal , Felix Klein och David Hilbert . Kort därefter upphävdes restriktioner för kvinnors deltagande vid det universitetet.

Noether återvände till Erlangen. Hon gick officiellt in på universitetet i oktober 1904 och förklarade sin avsikt att enbart fokusera på matematik. Under överinseende av Paul Gordan skrev hon sin avhandling, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form ( On Complete Systems of Invariants for Ternary Biquadratic Forms, 1907). Gordan var medlem i den "beräkningsmässiga" skolan för invariantforskare, och Noethers avhandling slutade med en lista på över 300 explicit utarbetade invarianter. Detta förhållningssätt till invarianter ersattes senare av det mer abstrakta och allmänna förhållningssättet som Hilbert banat väg för. Även om det hade mottagits väl, beskrev Noether senare sin avhandling och ett antal efterföljande liknande artiklar som hon producerade som "skit".

Undervisningsperiod

Universitetet i Erlangen

Under de följande sju åren (1908–1915) undervisade hon vid universitetet i Erlangens matematiska institut utan lön och ersatte då och då sin far när han var för sjuk för att föreläsa. 1910 och 1911 publicerade hon en utvidgning av sitt avhandlingsarbete från tre variabler till n variabler.

Noether använde ibland vykort för att diskutera abstrakt algebra med sin kollega, Ernst Fischer . Detta kort är poststämplat den 10 april 1915.

Gordan gick i pension under våren 1910, men fortsatte att undervisa ibland med sin efterträdare, Erhard Schmidt , som lämnade kort därefter för en position i Breslau . Gordan drog sig tillbaka från undervisningen helt och hållet 1911 när Schmidts efterträdare Ernst Fischer anlände; Gordan dog ett år senare i december 1912.

Enligt Hermann Weyl var Fischer ett viktigt inflytande på Noether, i synnerhet genom att introducera henne till David Hilberts arbete . Från 1913 till 1916 Noether publicerade flera artiklar som utvidgar och tillämpar Hilberts metoder på matematiska objekt såsom områden med rationella funktioner och invarianter av ändliga grupper . Den här fasen markerar början på hennes engagemang med abstrakt algebra , det matematikfält som hon skulle göra banbrytande bidrag till.

Noether och Fischer delade livlig njutning av matematik och diskuterade ofta föreläsningar långt efter att de var över; Noether är känd för att ha skickat vykort till Fischer för att fortsätta sina matematiska tankar.

Högskolan i Göttingen

Våren 1915 blev Noether inbjuden att återvända till universitetet i Göttingen av David Hilbert och Felix Klein . Deras försök att rekrytera henne blockerades dock av filologerna och historikerna bland den filosofiska fakulteten: Kvinnor, insisterade de, borde inte bli privatdozenten . En fakultetsmedlem protesterade: " Vad kommer våra soldater att tänka när de återvänder till universitetet och upptäcker att de måste lära sig vid en kvinnas fötter?" Hilbert svarade med indignation och sa: " Jag ser inte att könet på kandidat är ett argument mot hennes antagning som privatdozent. När allt kommer omkring är vi ett universitet, inte ett badhus. "

År 1915 bjöd David Hilbert in Noether att gå med i Göttingens matematikavdelning, och utmanade synpunkterna från några av hans kollegor att en kvinna inte borde få undervisa vid ett universitet.

Noether reste till Göttingen i slutet av april; två veckor senare dog hennes mamma plötsligt i Erlangen. Hon hade tidigare fått sjukvård för ett ögonsjukdom, men dess karaktär och inverkan på hennes död är okänd. Vid ungefär samma tid gick Noethers far i pension och hennes bror gick med i den tyska armén för att tjäna i första världskriget . Hon återvände till Erlangen i flera veckor, mest för att ta hand om sin åldrande far.

Under sina första år som lärare vid Göttingen hade hon ingen officiell tjänst och fick inte lön; hennes familj betalade för hennes rum och kost och stödde hennes akademiska arbete. Hennes föreläsningar annonserades ofta under Hilberts namn, och Noether skulle ge "hjälp".

Strax efter ankomsten till Göttingen visade hon dock sina förmågor genom att bevisa satsen som nu är känd som Noethers sats , som visar att en bevarandelag är associerad med någon differentierbar symmetri i ett fysiskt system . Uppsatsen presenterades av en kollega, F. Klein, den 26 juli 1918 vid ett möte i Kungliga Vetenskapssamfundet i Göttingen. Noether presenterade förmodligen inte det själv eftersom hon inte var medlem i sällskapet. Amerikanska fysiker Leon M. Lederman och Christopher T. Hill hävdar i sin bok Symmetry and the Beautiful Universe att Noethers teorem är "säkert en av de viktigaste matematiska teorem som någonsin bevisats för att vägleda utvecklingen av modern fysik , möjligen i nivå med Pythagoras teorem ".

Matematikavdelningen vid universitetet i Göttingen tillät Noethers habilitering 1919, fyra år efter att hon hade börjat föreläsa vid skolan.

När första världskriget slutade medförde den tyska revolutionen 1918–1919 en betydande förändring i sociala attityder, inklusive fler rättigheter för kvinnor. År 1919 tillät universitetet i Göttingen Noether att fortsätta med sin habilitering (berättigande till anställning). Hennes muntliga prov hölls i slutet av maj, och hon höll framgångsrikt sin habiliteringsföreläsning i juni 1919.

Tre år senare fick hon ett brev från Otto Boelitz [ de ] , den preussiske ministern för vetenskap, konst och offentlig utbildning, där han gav henne titeln nicht beamteter ausserordentlicher Professor (en anställd professor med begränsade interna administrativa rättigheter och funktioner ). Detta var en oavlönad "extraordinär" professur , inte den högre "ordinarie" professuren, som var en tjänst inom civiltjänst. Även om den insåg vikten av hennes arbete, gav tjänsten fortfarande ingen lön. ett år senare utsågs till specialtjänsten Lehrbeauftragte für Algebra .

Arbeta i abstrakt algebra

Även om Noethers teorem hade en betydande effekt på klassisk och kvantmekanik, är hon bland matematiker bäst ihågkommen för sina bidrag till abstrakt algebra . I sin introduktion till Noether's Collected Papers skrev Nathan Jacobson det

Utvecklingen av abstrakt algebra, som är en av de mest utmärkande innovationerna inom 1900-talets matematik, beror till stor del på henne – i publicerade artiklar, i föreläsningar och i personligt inflytande på sin samtid.

Hon lät ibland sina kollegor och elever få kredit för sina idéer, och hjälpte dem att utveckla sina karriärer på bekostnad av hennes egen.

Noethers arbete inom algebra började 1920. I samarbete med W. Schmeidler publicerade hon sedan en artikel om teorin om ideal där de definierade vänster och höger ideal i en ring .

Året därpå publicerade hon ett papper som heter Idealtheorie i Ringbereichen , som analyserar stigande kedjeförhållanden med avseende på (matematiska) ideal . Den noterade algebraisten Irving Kaplansky kallade detta arbete "revolutionärt"; publikationen gav upphov till termen " Noetherian ring " och namngivningen av flera andra matematiska objekt som Noetherian .

1924 anlände en ung nederländsk matematiker, BL van der Waerden , till universitetet i Göttingen. Han började genast arbeta med Noether, som gav ovärderliga metoder för abstrakt konceptualisering. Van der Waerden sa senare att hennes originalitet var "absolut bortom jämförelse". 1931 publicerade han Moderne Algebra , en central text inom området; dess andra volym lånade mycket från Noethers verk. Även om Noether inte sökte erkännande, inkluderade han som en notering i den sjunde upplagan "baserad delvis på föreläsningar av E. Artin och E. Noether".

Van der Waerdens besök var en del av en konvergens av matematiker från hela världen till Göttingen, som blev ett stort nav för matematisk och fysisk forskning. Från 1926 till 1930 föreläste den ryske topologen Pavel Alexandrov vid universitetet, och han och Noether blev snabbt goda vänner. Han började hänvisa till henne som der Noether , och använde den maskulina tyska artikeln som ett begrepp för att visa sin respekt. Hon försökte ordna så att han skulle få en tjänst vid Göttingen som vanlig professor, men kunde bara hjälpa honom att få ett stipendium från Rockefeller Foundation . De träffades regelbundet och njöt av diskussioner om skärningspunkterna mellan algebra och topologi. I sin minnesadress 1935 utnämnde Alexandrov Emmy Noether till "den största kvinnliga matematikern genom tiderna".

Doktorander och inflytelserika föreläsningar

Utöver sin matematiska insikt respekterades Noether för sin hänsyn till andra. Även om hon ibland agerade oförskämt mot dem som inte höll med henne, fick hon ändå ett rykte om sig att ständigt vara hjälpsam och tålmodig vägleda nya studenter. Hennes lojalitet till matematisk precision fick en kollega att kalla henne "en allvarlig kritiker", men hon kombinerade detta krav på noggrannhet med en uppfostrande attityd. En kollega beskrev henne senare så här:

Helt oegoistisk och fri från fåfänga gjorde hon aldrig anspråk på något för sig själv, utan främjade framför allt sina elevers verk.

Göttingen

Noether c. 1930

I Göttingen handlede Noether mer än ett dussin doktorander; hennes första var Grete Hermann , som disputerade i februari 1925. Hon talade senare vördnadsfullt om sin "avhandlingsmor". Noether övervakade också Max Deuring , som utmärkte sig som en undergraduate och fortsatte med att bidra till området för aritmetisk geometri ; Hans Fitting , ihågkommen för Fittings teorem och Fittinglemma ; och Zeng Jiongzhi (även återgivet "Chiungtze C. Tsen" på engelska), som bevisade Tsens teorem . Hon arbetade också nära Wolfgang Krull , som avsevärt avancerade kommutativ algebra med sin Hauptidealsatz och hans dimensionsteori för kommutativa ringar.

Hennes sparsamma livsstil berodde till en början på att hon nekades lön för sitt arbete; men även efter att universitetet började betala henne en liten lön 1923, fortsatte hon att leva ett enkelt och blygsamt liv. Hon fick mer generöst betalt senare i sitt liv, men sparade hälften av sin lön för att testamentera till sin brorson, Gottfried E. Noether .

Biografer antyder att hon mestadels var obekymrad över utseende och uppförande, med fokus på sina studier. En framstående algebraist Olga Taussky-Todd beskrev en lunch under vilken Noether, helt uppslukad av en diskussion om matematik, "gestikulerade vilt" när hon åt och "spillde ut sin mat konstant och torkade bort den från sin klänning, helt oberörd". Utseendemedvetna elever krykade ihop sig när hon tog upp näsduken från sin blus och ignorerade den ökande oordningen i håret under en föreläsning. Två kvinnliga elever kom en gång fram till henne under en paus i en tvåtimmarsklass för att uttrycka sin oro, men de kunde inte bryta igenom den energiska matematiska diskussionen hon förde med andra elever.

Enligt van der Waerdens dödsruna över Emmy Noether följde hon inte en lektionsplan för sina föreläsningar, vilket frustrerade vissa studenter. Istället använde hon sina föreläsningar som en spontan diskussionstid med sina elever, för att tänka igenom och klargöra viktiga problem i matematik. Några av hennes viktigaste resultat utvecklades i dessa föreläsningar, och hennes studenters föreläsningsanteckningar utgjorde grunden för flera viktiga läroböcker, såsom de av van der Waerden och Deuring.

Flera av hennes kollegor deltog i hennes föreläsningar, och hon lät några av hennes idéer, såsom den korsade produkten ( verschränktes Produkt på tyska) av associativa algebror, publiceras av andra. Noether registrerades för att ha gett minst fem terminslånga kurser i Göttingen:

  • Vintern 1924/1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [ Gruppteori och hyperkomplexa tal ]
  • Vintern 1927/1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [ Hyperkomplexa kvantiteter och representationsteori ]
  • Sommaren 1928: Nichtkommutativ algebra [ Icke-kommutativ algebra ]
  • Sommaren 1929: Nichtkommutative Arithmetik [ Noncommutative Arithmetic ]
  • Vintern 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen [ Algebra of Hypercomplex Quantities ]

Dessa kurser föregick ofta större publikationer om samma ämnen.

Noether talade snabbt – vilket speglade hennes tankars hastighet, sa många – och krävde stor koncentration av sina elever. Studenter som ogillade hennes stil kände sig ofta alienerade. Vissa elever ansåg att hon förlitade sig för mycket på spontana diskussioner. Hennes mest hängivna studenter njöt dock av den entusiasm med vilken hon närmade sig matematik, särskilt eftersom hennes föreläsningar ofta byggde på tidigare arbeten de hade gjort tillsammans.

Hon utvecklade en nära krets av kollegor och studenter som tänkte i liknande banor och tenderade att utesluta de som inte gjorde det. "Outsiders" som då och då besökte Noethers föreläsningar tillbringade vanligtvis bara 30 minuter i rummet innan de gick därifrån i frustration eller förvirring. En vanlig student sa om ett sådant fall: "Fienden har besegrats; han har rensat ut."

Noether visade en hängivenhet för sitt ämne och sina elever som sträckte sig längre än den akademiska dagen. En gång, när byggnaden var stängd för en statlig helgdag, samlade hon klassen på trappan utanför, ledde dem genom skogen och föreläste på ett lokalt kaffestuga. Senare, efter att Nazityskland avskedat henne från undervisningen, bjöd hon in elever till sitt hem för att diskutera sina planer för framtiden och matematiska begrepp.

Moskva

Pavel Alexandrov

Vintern 1928–1929 accepterade Noether en inbjudan till Moscow State University , där hon fortsatte att arbeta med PS Alexandrov . Förutom att fortsätta med sin forskning, undervisade hon klasser i abstrakt algebra och algebraisk geometri . Hon arbetade med topologerna Lev Pontryagin och Nikolai Chebotaryov , som senare prisade hennes bidrag till utvecklingen av Galois teori .

Noether undervisade vid Moscow State University under vintern 1928–1929.

Även om politik inte var central i hennes liv, intresserade Noether ett stort intresse för politiska frågor och visade, enligt Alexandrov, stort stöd för den ryska revolutionen . Hon var särskilt glad över att se sovjetiska framsteg inom vetenskap och matematik, som hon ansåg tyda på nya möjligheter som möjliggjorts av bolsjevikprojektet . Denna attityd orsakade hennes problem i Tyskland, som kulminerade i att hon vräktes från ett pensionat , efter att studentledare klagade över att de bodde hos "en marxistisk judinna".

Noether planerade att återvända till Moskva, en insats för vilken hon fick stöd från Alexandrov. Efter att hon lämnat Tyskland 1933 försökte han hjälpa henne att få en professur vid Moscow State University genom det sovjetiska utbildningsministeriet . Även om detta försök visade sig misslyckat, korresponderade de ofta under 1930-talet, och 1935 gjorde hon planer för en återgång till Sovjetunionen. Under tiden accepterade hennes bror Fritz en position vid forskningsinstitutet för matematik och mekanik i Tomsk , i det sibiriska federala distriktet i Ryssland, efter att ha förlorat sitt jobb i Tyskland, och avrättades därefter under den stora utrensningen .

Erkännande

1932 fick Emmy Noether och Emil Artin Ackermann-Teubner Memorial Award för sina bidrag till matematik. Priset inkluderade en monetär belöning på 500 ℛℳ och sågs som ett sedan länge försenat officiellt erkännande av hennes betydande arbete inom området. Ändå uttryckte hennes kollegor frustration över det faktum att hon inte valdes in i Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (vetenskapsakademin) och aldrig befordrades till posten som Ordentlicher Professor (professor).

Noether besökte Zürich 1932 för att hålla ett plenartal vid International Congress of Mathematicians .

Noethers kollegor firade hennes femtioårsdag 1932, i typisk matematikerstil. Helmut Hasse ägnade en artikel till henne i Mathematische Annalen , där han bekräftade hennes misstanke om att vissa aspekter av icke-kommutativ algebra är enklare än de av kommutativ algebra , genom att bevisa en icke-kommutativ ömsesidighetslagstiftning . Detta gladde henne oerhört. Han skickade också en matematisk gåta till henne, som han kallade "m μν -gåtan för stavelser". Hon löste det direkt, men gåtan har gått förlorad.

I september samma år höll Noether ett plenartal ( großer Vortrag ) om "Hyperkomplexa system i deras relationer till kommutativ algebra och till talteori" vid International Congress of Mathematicians i Zürich . Kongressen deltog av 800 personer, inklusive Noethers kollegor Hermann Weyl , Edmund Landau och Wolfgang Krull . Det var 420 officiella deltagare och tjugoen plenartal presenterades. Tydligen var Noethers framträdande talande position ett erkännande av vikten av hennes bidrag till matematik. 1932 års kongress beskrivs ibland som höjdpunkten i hennes karriär.

Utvisning från Göttingen av Nazityskland

När Adolf Hitler blev tysk rikskansler i januari 1933 ökade den nazistiska aktiviteten runt om i landet dramatiskt. Vid universitetet i Göttingen ledde den tyska studentföreningen attacken mot den "o-tyska andan" som tillskrivs judar och fick hjälp av en privatdozent vid namn Werner Weber , en före detta student i Noether. Antisemitiska attityder skapade ett klimat fientligt mot judiska professorer. En ung demonstrant ska ha krävt: "Ariska studenter vill ha arisk matematik och inte judisk matematik."

En av de första åtgärderna av Hitlers administration var lagen för återupprättandet av den professionella civila tjänsten som avlägsnade judar och politiskt misstänkta statsanställda (inklusive universitetsprofessorer) från sina jobb om de inte hade "visat sin lojalitet mot Tyskland" genom att tjäna i världskriget jag . I april 1933 mottog Noether ett meddelande från det preussiska ministeriet för vetenskaper, konst och offentlig utbildning som läser: "På grundval av paragraf 3 i civiltjänstlagen av den 7 april 1933 drar jag härmed tillbaka från dig rätten att undervisa vid Högskolan i Göttingen." Flera av Noethers kollegor, däribland Max Born och Richard Courant , fick också sina befattningar återkallade.

Noether accepterade beslutet lugnt och gav stöd till andra under denna svåra tid. Hermann Weyl skrev senare att "Emmy Noether - hennes mod, hennes uppriktighet, hennes oro för sitt eget öde, hennes försonande anda - var mitt i allt hat och elakhet, förtvivlan och sorg som omgav oss, en moralisk tröst." Vanligtvis förblev Noether fokuserad på matematik och samlade elever i sin lägenhet för att diskutera klassfältteori . När en av hennes elever dök upp i uniformen från den nazistiska paramilitära organisationen Sturmabteilung (SA), visade hon inga tecken på agitation och, enligt uppgift, skrattade hon till och med åt det senare. Detta var dock före de blodiga händelserna i Kristallnatten 1938, och deras beröm från propagandaminister Joseph Goebbels .

Fristad vid Bryn Mawr och Princeton, i USA

Bryn Mawr College gav Noether ett välkomnande hem under de två sista åren av hennes liv.

När dussintals nya arbetslösa professorer började söka efter tjänster utanför Tyskland, försökte deras kollegor i USA att ge dem hjälp och jobbmöjligheter. Albert Einstein och Hermann Weyl utsågs av Institutet för avancerade studier i Princeton , medan andra arbetade för att hitta en sponsor som krävs för laglig immigration . Noether kontaktades av representanter för två utbildningsinstitutioner: Bryn Mawr College i USA och Somerville College vid University of Oxford i England. Efter en rad förhandlingar med Rockefeller Foundation , godkändes ett bidrag till Bryn Mawr för Noether och hon tog en position där, med start i slutet av 1933.

På Bryn Mawr träffade Noether och blev vän med Anna Wheeler , som hade studerat i Göttingen strax innan Noether kom dit. En annan källa till stöd vid college var Bryn Mawr-presidenten, Marion Edwards Park , som entusiastiskt bjöd in matematiker i området för att "se Dr. Noether i aktion!" Noether och ett litet team av elever arbetade snabbt igenom van der Waerdens bok Moderne Algebra I från 1930 och delar av Erich Heckes Theorie der algebraischen Zahlen ( Theory of algebraic numbers) .

År 1934 började Noether föreläsa vid Institute for Advanced Study i Princeton på inbjudan av Abraham Flexner och Oswald Veblen . Hon arbetade också med och övervakade Abraham Albert och Harry Vandiver . Däremot anmärkte hon om Princeton University att hon inte var välkommen till "mansuniversitetet, där inget kvinnligt antas".

Hennes tid i USA var trevlig, omgiven som hon var av stödjande kollegor och upptagen av sina favoritämnen. Sommaren 1934 återvände hon kort till Tyskland för att träffa Emil Artin och hennes bror Fritz innan han reste till Tomsk. Även om många av hennes tidigare kollegor hade tvingats bort från universiteten kunde hon använda biblioteket som "utländsk forskare". Utan incidenter återvände Noether till USA och sina studier vid Bryn Mawr.

Död

Noethers aska placerades under gångvägen som omger klostret i Bryn Mawrs M. Carey Thomas-bibliotek .

I april 1935 upptäckte läkare en tumör i Noethers bäcken . Oroliga för komplikationer från operationen beställde de två dagars sängvila först. Under operationen upptäckte de en ovariecysta "stor som en stor cantaloupe ". Två mindre tumörer i hennes livmoder verkade vara godartade och togs inte bort, för att undvika att förlänga operationen. Under tre dagar verkade hon återhämta sig normalt och hon återhämtade sig snabbt från en cirkulationskollaps den fjärde. Den 14 april föll hon medvetslös, hennes temperatur steg till 109 °F (42,8 °C) och hon dog. "[Jag] är inte lätt att säga vad som hade hänt hos Dr. Noether", skrev en av läkarna. "Det är möjligt att det fanns någon form av ovanlig och virulent infektion, som drabbade basen av hjärnan där värmecentralerna ska finnas."

Några dagar efter Noethers död höll hennes vänner och kollegor på Bryn Mawr en liten minnesstund i College President Parks hus. Hermann Weyl och Richard Brauer reste från Princeton och pratade med Wheeler och Taussky om deras bortgångna kollega. Under månaderna som följde började skriftliga hyllningar dyka upp runt om i världen: Albert Einstein gick med van der Waerden, Weyl och Pavel Alexandrov för att visa deras respekt. Hennes kropp kremerades och askan begravdes under gångvägen runt klostret på M. Carey Thomas Library i Bryn Mawr.

Bidrag till matematik och fysik

Noethers arbete inom abstrakt algebra och topologi var inflytelserik inom matematiken, medan Noethers teorem i fysiken har konsekvenser för teoretisk fysik och dynamiska system . Hon visade en akut benägenhet för abstrakta tankar, vilket gjorde att hon kunde närma sig matematikproblem på ett fräscht och originellt sätt. Hennes vän och kollega Hermann Weyl beskrev hennes vetenskapliga produktion i tre epoker:

Emmy Noethers vetenskapliga produktion föll i tre tydligt distinkta epoker:

(1) det relativa beroendet, 1907–1919

(2) undersökningarna grupperade kring den allmänna teorin om ideal 1920–1926

(3) studiet av de icke-kommutativa algebrorna, deras representationer genom linjära transformationer och deras tillämpning på studiet av kommutativa talfält och deras aritmetik

— Weyl 1935

Under den första epoken (1907–1919) behandlade Noether i första hand differentiella och algebraiska invarianter, med början med sin avhandling under Paul Gordan . Hennes matematiska vyer breddades, och hennes arbete blev mer allmänt och abstrakt, när hon blev bekant med David Hilberts arbete, genom nära samspel med en efterträdare till Gordan, Ernst Sigismund Fischer . Efter att ha flyttat till Göttingen 1915 producerade hon sitt arbete för fysik, de två Noethers teorem .

Under den andra epoken (1920–1926) ägnade sig Noether åt att utveckla teorin om matematiska ringar .

Under den tredje epoken (1927–1935) fokuserade Noether på icke-kommutativ algebra , linjära transformationer och kommutativa talfält.

Även om resultaten av Noethers första epok var imponerande och användbara, vilar hennes berömmelse bland matematiker mer på det banbrytande arbete hon gjorde under sin andra och tredje epok, vilket noterades av Hermann Weyl och BL van der Waerden i sina dödsannonser över henne.

Under dessa epoker tillämpade hon inte bara idéer och metoder från tidigare matematiker; snarare skapade hon nya system av matematiska definitioner som skulle användas av framtida matematiker. I synnerhet utvecklade hon en helt ny teori om ideal i ringar , och generaliserade tidigare arbete av Richard Dedekind . Hon är också känd för att utveckla stigande kedjeförhållanden, ett enkelt ändlighetstillstånd som gav kraftfulla resultat i hennes händer. Sådana förhållanden och teorin om ideal gjorde det möjligt för Noether att generalisera många äldre resultat och att behandla gamla problem från ett nytt perspektiv, såsom elimineringsteorin och de algebraiska varianterna som hade studerats av hennes far.

Historiska sammanhang

Under århundradet från 1832 till Noethers död 1935 genomgick matematikområdet – särskilt algebra – en djupgående revolution, vars efterklang fortfarande känns. Matematiker från tidigare århundraden hade arbetat med praktiska metoder för att lösa specifika typer av ekvationer, t.ex. kubiska , kvarts- och kvintiska ekvationer , såväl som på det relaterade problemet med att konstruera regelbundna polygoner med kompass och rätsida . Från och med Carl Friedrich Gauss bevis från 1832 att primtal som fem kan räknas in i Gaussiska heltal, introducerade Évariste Galois permutationsgrupper 1832 (även om hans tidningar på grund av hans död publicerades först 1846 av Liouville ), William Rowan Hamiltons upptäckt av quaternions 1843, och Arthur Cayleys mer moderna definition av grupper 1854, övergick forskningen till att fastställa egenskaperna hos allt mer abstrakta system som definieras av allt mer universella regler. Noethers viktigaste bidrag till matematik var utvecklingen av detta nya fält, abstrakt algebra .

Bakgrund på abstrakt algebra och begriffliche Mathematik (konceptuell matematik)

Två av de mest grundläggande objekten i abstrakt algebra är grupper och ringar .

En grupp består av en uppsättning element och en enda operation som kombinerar ett första och ett andra element och returnerar ett tredje. Operationen måste uppfylla vissa begränsningar för att den ska kunna bestämma en grupp: Den måste vara stängd (när den tillämpas på något par av element i den associerade uppsättningen, måste det genererade elementet också vara en medlem av den uppsättningen), den måste vara associativ , det måste vara ett identitetselement (ett element som, när det kombineras med ett annat element med hjälp av operationen, resulterar i det ursprungliga elementet, som att addera noll till ett tal eller multiplicera det med ett), och för varje element måste det finnas ett inverst element .

En ring har likaså en uppsättning element, men har nu två operationer. Den första operationen måste göra uppsättningen till en kommutativ grupp, och den andra operationen är associativ och distributiv med avseende på den första operationen. Det kan vara kommutativt eller inte ; detta betyder att resultatet av att tillämpa operationen på ett första och ett andra element är detsamma som för det andra och första - ordningen på elementen spelar ingen roll. Om varje element som inte är noll har en multiplikativ invers (ett element x så att a x = x a = 1 ), kallas ringen en divisionsring . Ett fält definieras som en kommutativ divisionsring.

Grupper studeras ofta genom grupprepresentationer . I sin mest allmänna form består dessa av ett val av grupp, en mängd och en åtgärd av gruppen på uppsättningen, det vill säga en operation som tar ett element av gruppen och ett element av mängden och returnerar ett element av uppsättningen. Oftast är uppsättningen ett vektorrum , och gruppen representerar symmetrier i vektorrummet. Till exempel finns det en grupp som representerar rymdens stela rotationer. Detta är en typ av rymdsymmetri, eftersom rymden i sig inte förändras när den roteras även om positionerna för objekt i den gör det. Noether använde dessa typer av symmetrier i sitt arbete med invarianter i fysiken.

Ett kraftfullt sätt att studera ringar är genom deras moduler . En modul består av ett val av ring, en annan uppsättning, vanligtvis skild från den underliggande uppsättningen av ringen och kallas den underliggande uppsättningen av modulen, en operation på par av element i den underliggande uppsättningen av modulen, och en operation som tar en element i ringen och ett element i modulen och returnerar ett element i modulen.

Den underliggande uppsättningen av modulen och dess funktion måste bilda en grupp. En modul är en ringteoretisk version av en grupprepresentation: Att ignorera den andra ringoperationen och operationen på par av modulelement bestämmer en grupprepresentation. Den verkliga nyttan med moduler är att de typer av moduler som finns och deras interaktioner avslöjar ringens struktur på sätt som inte framgår av själva ringen. Ett viktigt specialfall av detta är en algebra . (Ordet algebra betyder både ett ämne inom matematiken samt ett objekt som studerats i ämnet algebra.) En algebra består av ett val av två ringar och en operation som tar ett element från varje ring och returnerar ett element i den andra ringen . Denna operation gör den andra ringen till en modul över den första. Ofta är den första ringen ett fält.

Ord som "element" och "kombinerande operation" är mycket allmänna och kan appliceras på många verkliga och abstrakta situationer. Varje uppsättning saker som följer alla regler för en (eller två) operation(er) är per definition en grupp (eller ring) och lyder alla satser om grupper (eller ringar). Heltal och operationerna addition och multiplikation är bara ett exempel. Elementen kan till exempel vara datordataord , där den första kombinationsoperationen är exklusiv eller och den andra är logisk konjunktion . Satser för abstrakt algebra är kraftfulla eftersom de är generella; de styr många system. Man kan föreställa sig att man inte kunde dra slutsatser om objekt definierade med så få egenskaper, men just däri låg Noethers gåva att upptäcka det maximala som kunde dras slutsatsen från en given uppsättning egenskaper, eller omvänt, att identifiera den minimala mängden, de väsentliga egenskaperna ansvarig för en viss observation. Till skillnad från de flesta matematiker gjorde hon inga abstraktioner genom att generalisera från kända exempel; snarare arbetade hon direkt med abstraktionerna. I sin dödsruna över Noether påminde hennes elev van der Waerden om det

Den maxim som Emmy Noether vägleddes av genom hela sitt arbete kan formuleras på följande sätt: " Alla relationer mellan siffror, funktioner och operationer blir transparenta, allmänt tillämpliga och fullt produktiva först efter att de har isolerats från sina särskilda föremål och formulerats som universellt giltiga begrepp. "

Detta är den begriffliche Mathematik (rent konceptuell matematik) som var karakteristisk för Noether. Denna matematikstil antogs följaktligen av andra matematiker, särskilt inom det (då nya) området abstrakt algebra.

Exempel: heltal som en ring

Heltalen bildar en kommutativ ring vars element är heltal, och kombinationsoperationerna är addition och multiplikation . Vilket par av heltal som helst kan adderas eller multipliceras , vilket alltid resulterar i ett annat heltal, och den första operationen, addition, är kommutativ , dvs för alla element a och b i ringen, a + b = b + a . Den andra operationen, multiplikation, är också kommutativ, men det behöver inte vara sant för andra ringar, vilket betyder att a kombinerat med b kan skilja sig från b kombinerat med a . Exempel på icke-kommutativa ringar inkluderar matriser och kvaternioner . Heltalen bildar inte en divisionsring, eftersom den andra operationen inte alltid kan inverteras; det finns inget heltal a så att 3 × a = 1.

Heltalen har ytterligare egenskaper som inte generaliserar till alla kommutativa ringar. Ett viktigt exempel är aritmetikens fundamentalsats , som säger att varje positivt heltal kan faktoriseras unikt till primtal . Unika faktoriseringar existerar inte alltid i andra ringar, men Noether hittade en unik faktoriseringssats, nu kallad Lasker -Noether-satsen , för många ringars ideal . Mycket av Noethers arbete låg i att bestämma vilka egenskaper som gäller för alla ringar, i att utarbeta nya analoger till de gamla heltalssatserna, och i att bestämma den minimala uppsättningen av antaganden som krävs för att ge vissa egenskaper hos ringar.

Första epoken (1908–1919): Algebraisk invariant teori

Tabell 2 från Noethers avhandling om invariant teori. Denna tabell samlar 202 av de 331 invarianterna av ternära biquadratiska former. Dessa former graderas i två variabler x och u . Tabellens horisontella riktning listar invarianterna med ökande betyg i x , medan den vertikala riktningen listar dem med ökande betyg i u .

Mycket av Noethers arbete under den första epoken av hennes karriär var förknippat med invariant teori , främst algebraisk invariant teori. Invariant teori handlar om uttryck som förblir konstanta (invarianta) under en grupp av transformationer. Som ett vardagligt exempel, om en stel måttstock roteras, ändras koordinaterna ( x 1 , y 1 , z 1 ) och ( x 2 , y 2 , z 2 ) för dess ändpunkter, men dess längd L givet av formeln L 2 = Δ x 2 + Δ y 2 + Δ z 2 förblir densamma. Invariant teori var ett aktivt forskningsområde under det senare 1800-talet, delvis föranlett av Felix Kleins Erlangen -program , enligt vilket olika typer av geometri skulle karakteriseras av deras invarianter under transformationer, t.ex. korsförhållandet mellan projektiv geometri .

Ett exempel på en invariant är diskriminanten B 2 − 4 A C av en binär kvadratisk form x· A x + y· B x + y· C y , där x och y är vektorer och " · " är prickprodukten eller " inre produkt " för vektorerna. A, B och C är linjära operatorer på vektorerna – vanligtvis matriser .

       Diskriminanten kallas "invariant" eftersom den inte ändras av linjära substitutioner x → a x + b y , y → c x + d y med determinanten a d − b c = 1 . Dessa substitutioner bildar den linjära gruppen SL2 .

Man kan fråga efter alla polynom i A, B och C som är oförändrade genom verkan av SL 2 ; dessa kallas invarianter av binära kvadratiska former och visar sig vara polynomen i diskriminanten.

0  00 0 Mer generellt kan man fråga efter invarianter för homogena polynom A x r y + ... + A r x y r av högre grad, vilket kommer att vara vissa polynom i koefficienterna A , ..., A r , och mer allmänt ändå kan man ställa den liknande frågan för homogena polynom i mer än två variabler.

Ett av huvudmålen med invariantteorin var att lösa det " finita basproblemet ". Summan eller produkten av två invarianter är invariant, och det finita basproblemet frågade om det var möjligt att få alla invarianter genom att börja med en finit lista av invarianter, kallade generatorer, och sedan addera eller multiplicera generatorerna tillsammans. Till exempel ger diskriminanten en finit bas (med ett element) för invarianterna av binära kvadratiska former.

Noethers rådgivare, Paul Gordan, var känd som "kungen av invariant teori", och hans främsta bidrag till matematiken var hans 1870 lösning av det finita basproblemet för invarianter av homogena polynom i två variabler. Han bevisade detta genom att ge en konstruktiv metod för att hitta alla invarianter och deras generatorer, men kunde inte utföra detta konstruktiva tillvägagångssätt för invarianter i tre eller flera variabler. År 1890 bevisade David Hilbert ett liknande uttalande för invarianter av homogena polynom i valfritt antal variabler. Dessutom fungerade hans metod, inte bara för den speciella linjära gruppen, utan också för några av dess undergrupper som den speciella ortogonala gruppen .

Första epok (1908–1919): Galois teori

Galois teori handlar om transformationer av talfält som permuterar rötterna till en ekvation. Betrakta en polynomekvation av en variabel x av grad n , där koefficienterna är dragna från något markfält , som till exempel kan vara fältet för reella tal , rationella tal eller heltal modulo 7. Det kan eller inte vara val av x , som gör att detta polynom utvärderas till noll. Sådana val, om de finns, kallas rötter . Om polynomet är x 2 + 1 och fältet är de reella talen, så har polynomet inga rötter, eftersom varje val av x gör polynomet större än eller lika med ett. Om fältet förlängs kan polynomet dock få rötter, och om det utökas tillräckligt har det alltid ett antal rötter lika med dess grad.

Om man fortsätter med föregående exempel, om fältet förstoras till de komplexa talen, får polynomet två rötter, + i och − i , där i är den imaginära enheten , det vill säga i 2 = −1 . Mer allmänt är förlängningsfältet där ett polynom kan faktoriseras i dess rötter känt som polynomets splittringsfält .

Galoisgruppen för ett polynom är mängden av alla transformationer av det delande fältet som bevarar grundfältet och polynomets rötter . (På matematisk jargong kallas dessa transformationer för automorfismer .) Galois-gruppen av x 2 + 1 består av två element: Identitetstransformationen, som skickar varje komplext tal till sig själv, och komplex konjugation , som skickar + i till − i . Eftersom Galois-gruppen inte ändrar markfältet lämnar den koefficienterna för polynomet oförändrade, så den måste lämna mängden av alla rötter oförändrade. Varje rot kan dock flytta till en annan rot, så transformation bestämmer en permutation av de n rötterna sinsemellan. Betydelsen av Galois-gruppen härrör från Galois-teorins grundläggande teorem, som bevisar att fälten som ligger mellan markfältet och det delande fältet är i en-till-en-överensstämmelse med undergrupperna i Galois-gruppen.

År 1918 publicerade Noether en artikel om det omvända Galois-problemet . Istället för att bestämma Galois-gruppen av transformationer av ett givet fält och dess förlängning, frågade Noether om det, givet ett fält och en grupp, alltid är möjligt att hitta en förlängning av fältet som har den givna gruppen som sin Galois-grupp. Hon reducerade detta till " Noethers problem ", som frågar om det fasta fältet i en undergrupp G av permutationsgruppen S n som verkar på fältet k ( x 1 , ... , x n ) alltid är en ren transcendental förlängning av fältet k . (Hon nämnde detta problem först i en tidning från 1913, där hon tillskrev problemet till sin kollega Fischer .) Hon visade att detta var sant för n = 2, 3 eller 4. 1969 hittade RG Swan ett motexempel på Noethers problem , med n = 47 och G en cyklisk grupp av ordningen 47 (även om denna grupp kan realiseras som en Galois-grupp över rationalerna på andra sätt). Det omvända Galois-problemet förblir olöst.

Första epoken (1908–1919): Fysik

Huvudartiklar: Noether's theorem , Conservation law (fysik) och Constant of motion

Noether fördes till Göttingen 1915 av David Hilbert och Felix Klein, som ville ha hennes expertis inom invariant teori för att hjälpa dem att förstå allmän relativitet , en geometrisk gravitationsteori utvecklad främst av Albert Einstein . Hilbert hade observerat att bevarandet av energi verkade vara kränkt i den allmänna relativitetsteorien, eftersom gravitationsenergin själv kunde gravitera. Noether gav lösningen på denna paradox, och ett grundläggande verktyg för modern teoretisk fysik , med Noethers första teorem , som hon bevisade 1915, men publicerade inte förrän 1918. Hon löste inte bara problemet för den allmänna relativitetsteorien, utan bestämde också de konserverade kvantiteter för varje system av fysiska lagar som har en viss kontinuerlig symmetri. När Einstein fick sitt arbete skrev han till Hilbert:

Igår fick jag från Miss Noether en mycket intressant artikel om invarianter. Jag är imponerad av att sådana saker kan förstås på ett så generellt sätt. Det gamla gardet i Göttingen borde ta några lektioner av fröken Noether! Hon verkar kunna sin sak.

Till exempel, om ett fysiskt system beter sig likadant, oavsett hur det är orienterat i rymden, är de fysiska lagarna som styr det rotationssymmetriska; från denna symmetri visar Noethers teorem att systemets rörelsemängd måste bevaras. Det fysiska systemet i sig behöver inte vara symmetriskt; en taggig asteroid som tumlar i rymden bevarar vinkelmomentet trots sin asymmetri. Snarare är symmetrin i de fysiska lagarna som styr systemet ansvarig för bevarandelagen. Som ett annat exempel, om ett fysiskt experiment har samma resultat var som helst och när som helst, då är dess lagar symmetriska under kontinuerliga översättningar i rum och tid; genom Noethers teorem står dessa symmetrier för bevarandelagarna för linjärt rörelsemängd respektive energi inom detta system.

Noethers teorem har blivit ett grundläggande verktyg för modern teoretisk fysik , både på grund av den insikt den ger i bevarandelagar, och även som ett praktiskt beräkningsverktyg. Hennes teorem låter forskare bestämma de bevarade kvantiteterna från de observerade symmetrierna i ett fysiskt system. Omvänt underlättar det beskrivningen av ett fysiskt system baserat på klasser av hypotetiska fysiska lagar. Antag för illustration att ett nytt fysiskt fenomen upptäcks. Noethers teorem ger ett test för teoretiska modeller av fenomenet:

Om teorin har en kontinuerlig symmetri, så garanterar Noethers sats att teorin har en bevarad kvantitet, och för att teorin ska vara korrekt måste denna bevarande vara observerbar i experiment.

Andra epoken (1920–1926): stigande och fallande kedjeförhållanden

Under denna epok blev Noether känd för sin skickliga användning av stigande ( Teilerkettensatz ) eller fallande ( Vielfachenkettensatz ) kedjeförhållanden. En sekvens av icke-tomma delmängder A 1 , A 2 , A 3 , etc. av en mängd S sägs vanligtvis vara stigande , om var och en är en delmängd av nästa

kallas en sekvens av delmängder av S fallande om var och en innehåller nästa delmängd:

En kedja blir konstant efter ett ändligt antal steg om det finns ett n så att för alla m ≥ n . En samling av delmängder av en given mängd uppfyller det stigande kedjevillkoret om någon stigande sekvens blir konstant efter ett ändligt antal steg. Den uppfyller villkoret för den fallande kedjan om någon fallande sekvens blir konstant efter ett ändligt antal steg.

Stigande och fallande kedjeförhållanden är generella, vilket innebär att de kan tillämpas på många typer av matematiska objekt - och på ytan kanske de inte verkar särskilt kraftfulla. Noether visade hur man kan utnyttja sådana förhållanden till maximal fördel.

Till exempel: Hur man använder kedjevillkor för att visa att varje uppsättning delobjekt har ett maximalt/minimalt element eller att ett komplext objekt kan genereras av ett mindre antal element. Dessa slutsatser är ofta avgörande steg i ett bevis.

Många typer av objekt i abstrakt algebra kan uppfylla kedjevillkor, och vanligtvis om de uppfyller ett stigande kedjevillkor kallas de Noetherian till hennes ära. Per definition uppfyller en Noethersk ring ett stigande kedjevillkor på dess vänstra och högra ideal, medan en Noetherisk grupp definieras som en grupp där varje strikt stigande kedja av undergrupper är ändlig. En Noetherian modul är en modul i vilken varje strikt stigande kedja av submoduler blir konstant efter ett ändligt antal steg. Ett noeteriskt rum är ett topologiskt rum där varje strikt stigande kedja av öppna delrum blir konstant efter ett ändligt antal steg; denna definition gör spektrumet av en Noether-ring till ett Noetherskt topologiskt utrymme.

Kedjetillståndet är ofta "ärvt" av subobjekt. Till exempel är alla delrum i ett noeteriskt rum själva noeterska; alla undergrupper och kvotgrupper i en noeterisk grupp är likaledes noeterska; och, mutatis mutandis , detsamma gäller för undermoduler och kvotmoduler i en Noethersk modul. Alla kvotringar i en Noether-ring är Noetherian, men det gäller inte nödvändigtvis för dess underringar. Kedjetillståndet kan också ärvas av kombinationer eller förlängningar av ett Noetherian-objekt. Till exempel är ändliga direkta summor av Noetherian ringar Noetherian, liksom ringen av formella potensserier över en Noetherian ring.

En annan tillämpning av sådana kedjeförhållanden är i Noetherian induktion - även känd som välgrundad induktion - som är en generalisering av matematisk induktion . Det används ofta för att reducera allmänna uttalanden om samlingar av objekt till uttalanden om specifika objekt i den samlingen. Antag att S är en delvis ordnad mängd . Ett sätt att bevisa ett påstående om S: s objekt är att anta att det finns ett motexempel och härleda en motsägelse, och därigenom bevisa det ursprungliga påståendets kontrapositiva . Den grundläggande premissen för Noetherian induktion är att varje icke-tom delmängd av S innehåller ett minimalt element. Speciellt innehåller uppsättningen av alla motexempel ett minimalt element, det minimala motexemplet . För att bevisa det ursprungliga påståendet räcker det därför att bevisa något som verkar mycket svagare: För vilket motexempel som helst finns ett mindre motexempel.

Andra epoken (1920–1926): Kommutativa ringar, ideal och moduler

Noethers papper, Idealtheorie in Ringbereichen ( Theory of Ideals in Ring Domains, 1921), är grunden för allmän kommutativ ringteori och ger en av de första allmänna definitionerna av en kommutativ ring . Före hennes uppsats var de flesta resultat i kommutativ algebra begränsade till speciella exempel på kommutativa ringar, såsom polynomringar över fält eller ringar med algebraiska heltal. Noether bevisade att i en ring som uppfyller de stigande kedjevillkoren på ideal , skapas varje ideal ändligt. År 1943 myntade den franske matematikern Claude Chevalley termen Noetherian ring för att beskriva denna egenskap. Ett stort resultat i Noethers papper från 1921 är Lasker-Noether-satsen , som utvidgar Laskers sats om den primära nedbrytningen av ideal för polynomringar till alla Noether-ringar. Lasker-Noether-satsen kan ses som en generalisering av aritmetikens grundläggande sats som säger att vilket positivt heltal som helst kan uttryckas som en produkt av primtal , och att denna nedbrytning är unik.

Noethers arbete Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern ( Abstract Structure of the Theory of Ideals in Algebraic Number and Function Fields , 1927) karakteriserade de ringar där idealen har unik faktorisering till primära ideal som Dedekind-domänerna : integrerade domäner. är Noetherian, 0- eller 1- dimensionella och integrerat slutna i sina kvotfält. Denna artikel innehåller också vad som nu kallas isomorfismsatserna , som beskriver några grundläggande naturliga isomorfismer , och några andra grundläggande resultat på Noetherian och Artinian moduler .

Andra epoken (1920–1926): Eliminationsteori

1923–1924 tillämpade Noether sin idealteori på elimineringsteori i en formulering som hon tillskrev sin elev, Kurt Hentzelt. Hon visade att grundläggande satser om faktorisering av polynom kunde överföras direkt. Traditionellt handlar elimineringsteorin om att eliminera en eller flera variabler från ett system av polynomekvationer, vanligtvis med hjälp av resultantsmetoden .

00 Som illustration kan ett ekvationssystem ofta skrivas på formen M v = där en matris (eller linjär transformation ) M (utan variabeln x ) gånger en vektor v (som bara har potenser x ) som inte är noll ) är lika med nollvektorn, . Följaktligen determinanten för matrisen M vara noll, vilket ger en ny ekvation där variabeln x har eliminerats.

Andra epoken (1920–1926): Invariant teori om ändliga grupper

Tekniker som Hilberts ursprungliga icke-konstruktiva lösning på problemet med finita bas kunde inte användas för att få kvantitativ information om en grupphandlings invarianter, och dessutom gällde de inte alla grupphandlingar. I sin uppsats från 1915 fann Noether en lösning på problemet med ändlig bas för en ändlig grupp av transformationer G som verkar på ett ändligt dimensionellt vektorutrymme över ett fält med karakteristisk noll. Hennes lösning visar att ringen av invarianter genereras av homogena invarianter vars grad är mindre än, eller lika med, ordningen för den finita gruppen; detta kallas Noether's bound . Hennes uppsats gav två bevis på Noethers bundna, som båda också fungerar när fältets egenskap är coprime till | G |! ( faktorialen i ordningen | G | för gruppen G ). Generatorernas grader behöver inte uppfylla Noethers gräns när fältets egenskap delar talet | G |, men Noether kunde inte avgöra om denna gräns var korrekt när fältets egenskap delar | G |! men inte | G |. Under många år var det ett öppet problem, kallat "Noethers gap" att avgöra sanningen eller osanningen av detta bundna för detta specifika fall. Det löstes slutligen oberoende av Fleischmann 2000 och Fogarty 2001, som båda visade att gränsen förblir sann.

I sin uppsats från 1926 utvidgade Noether Hilberts teorem till representationer av en ändlig grupp över vilket fält som helst; det nya fallet som inte följde av Hilberts arbete är när fältets egenskap delar upp gruppens ordning. Noethers resultat utökades senare av William Haboush till alla reduktiva grupper genom hans bevis på Mumford-förmodan . I denna artikel introducerade Noether också Noether-normaliseringslemma , som visar att en ändligt genererad domän A över ett fält k har en uppsättning { x 1 , ..., x n } av algebraiskt oberoende element så att A är integral över k [ x 1 , ..., xn ] .

Andra epoken (1920–1926): Bidrag till topologi

En kontinuerlig deformation ( homotopi ) av en kaffekopp till en munk ( torus ) och tillbaka

Som noterats av Pavel Alexandrov och Hermann Weyl i sina dödsannonser , illustrerar Noethers bidrag till topologi hennes generositet med idéer och hur hennes insikter kan förändra hela matematikens områden. Inom topologi studerar matematiker egenskaperna hos objekt som förblir oföränderliga även under deformation, egenskaper som deras koppling . Ett gammalt skämt är att " en topolog inte kan skilja en munk från en kaffemugg ", eftersom de kontinuerligt kan deformeras till varandra.

Noether krediteras med grundläggande idéer som ledde till utvecklingen av algebraisk topologi från den tidigare kombinatoriska topologin , specifikt idén om homologigrupper . Enligt berättelsen om Alexandrov deltog Noether i föreläsningar som hölls av Heinz Hopf och av honom under somrarna 1926 och 1927, där "hon ständigt gjorde observationer som ofta var djupa och subtila" och han fortsätter att,

När ... hon först blev bekant med en systematisk konstruktion av kombinatorisk topologi, observerade hon omedelbart att det skulle vara värt att direkt studera grupperna av algebraiska komplex och cykler för en given polyeder och undergruppen av cykelgruppen bestående av cykler homologa med noll; istället för den vanliga definitionen av Betti-tal , föreslog hon att omedelbart definiera Betti-gruppen som den komplementära (kvotienten) gruppen av gruppen av alla cykler av undergruppen av cykler homologa till noll. Denna iakttagelse verkar nu självklar. Men under de åren (1925–1928) var detta en helt ny synpunkt.

Noethers förslag att topologi studeras algebraiskt antogs omedelbart av Hopf, Alexandrov och andra, och det blev ett frekvent diskussionsämne bland matematikerna i Göttingen. Noether observerade att hennes idé om en Betti-grupp gör Euler-Poincaré-formeln enklare att förstå, och Hopfs eget arbete om detta ämne "bär avtrycket av dessa kommentarer från Emmy Noether". Noether nämner sina egna topologiidéer endast som en åtskillnad i en publikation från 1926, där hon citerar det som en tillämpning av gruppteori .

Denna algebraiska inställning till topologi utvecklades också självständigt i Österrike . I en kurs 1926–1927 i Wien definierade Leopold Vietoris en homologigrupp , som utvecklades av Walther Mayer , till en axiomatisk definition 1928.

Helmut Hasse arbetade med Noether och andra för att grunda teorin om centrala enkla algebror .

Tredje epoken (1927–1935): Hyperkomplexa tal och representationsteori

Mycket arbete med hyperkomplexa tal och grupprepresentationer utfördes under artonhundratalet och början av nittonhundratalet, men förblev olika. Noether förenade dessa resultat och gav den första allmänna representationsteorin för grupper och algebror.

Kortfattat subsumerade Noether strukturteorin för associativa algebror och representationsteorin för grupper i en enda aritmetisk teori om moduler och ideal i ringar som uppfyller stigande kedjevillkor . Detta enda verk av Noether var av grundläggande betydelse för utvecklingen av modern algebra.

Tredje epoken (1927–1935): Icke-kommutativ algebra

Noether var också ansvarig för ett antal andra framsteg inom algebraområdet. Med Emil Artin , Richard Brauer och Helmut Hasse grundade hon teorin om centrala enkla algebror .

En artikel av Noether, Helmut Hasse och Richard Brauer hänför sig till divisionsalgebror , som är algebraiska system där division är möjlig. De bevisade två viktiga satser: en lokal-global sats som säger att om en ändlig dimensionell central divisionsalgebra över ett talfält delas lokalt överallt så delas den globalt (så är trivial) och från detta härledde de deras Hauptsatz ("huvudsats" ):

varje finita dimensionell central divisionsalgebra över ett algebraiskt talfält F delar sig över en cyklisk cyklotomisk förlängning .

Dessa satser låter en klassificera alla finita dimensionella centrala divisionsalgebror över ett givet talfält. En efterföljande uppsats av Noether visade, som ett specialfall av en mer allmän sats, att alla maximala delfält av en divisionsalgebra D är delande fält . Denna artikel innehåller också Skolem–Noether-satsen som säger att två valfria inbäddningar av en förlängning av ett fält k till en finitdimensionell central enkel algebra över k , är konjugerade. Brauer –Noether-satsen ger en karaktärisering av de delande fälten för en central divisionsalgebra över ett fält.

Bedömning, erkännande och minnesmärken

Ytterligare information: Lista över saker uppkallade efter Emmy Noether § Övrigt
Emmy Noether Campus vid University of Siegen är hem för dess matematik- och fysikavdelningar.

Noethers arbete fortsätter att vara relevant för utvecklingen av teoretisk fysik och matematik och hon rankas konsekvent som en av 1900-talets största matematiker. I sin dödsruna säger kollegan algebraist BL van der Waerden att hennes matematiska originalitet var "absolut bortom jämförelse", och Hermann Weyl sa att Noether "förändrade algebrans ansikte genom sitt arbete". Under sin livstid och till och med fram till idag har Noether karaktäriserats som den största kvinnliga matematikern i historien av matematiker som Pavel Alexandrov , Hermann Weyl och Jean Dieudonné .

I ett brev till The New York Times skrev Albert Einstein :

Enligt de mest kompetenta levande matematikerna var Fräulein Noether det mest betydande kreativa matematiska geni som hittills producerats sedan den högre utbildningen av kvinnor började. Inom algebrans rike, där de mest begåvade matematikerna har varit sysselsatta i århundraden, upptäckte hon metoder som visat sig vara av enorm betydelse för utvecklingen av den nuvarande yngre generationen matematiker.

Den 2 januari 1935, några månader före hennes död, skrev matematikern Norbert Wiener det

Miss Noether är ... den största kvinnliga matematiker som någonsin har levt; och den största kvinnliga vetenskapsmannen av något slag som nu lever, och en forskare åtminstone på Madame Curies plan .

Vid en utställning på världsutställningen 1964 ägnad åt moderna matematiker var Noether den enda kvinnan representerad bland de framstående matematikerna i den moderna världen.

Noether har hedrats i flera minnesmärken,

  • Association for Women in Mathematics håller en Noether-föreläsning för att hedra kvinnor i matematik varje år; i sin broschyr från 2005 för evenemanget karakteriserar föreningen Noether som "en av de stora matematikerna i sin tid, någon som arbetade och kämpade för det hon älskade och trodde på. Hennes liv och arbete förblir en enorm inspiration".
  • I överensstämmelse med hennes engagemang för sina studenter, inrymmer University of Siegen sina matematik- och fysikavdelningar i byggnader på Emmy Noether Campus .
  • Den tyska forskningsstiftelsen ( Deutsche Forschungsgemeinschaft ) driver Emmy Noether-programmet , som ger finansiering till forskare i tidiga karriärer för att snabbt kvalificera sig för en ledande position inom vetenskap och forskning genom att leda en oberoende junior forskargrupp.
  • En gata i hennes hemstad, Erlangen, har fått sitt namn efter Emmy Noether och hennes far, Max Noether.
  • Efterträdaren till gymnasieskolan hon gick i Erlangen har döpts om till Emmy Noether School .
  • En serie gymnasieworkshops och tävlingar hålls till hennes ära i maj varje år sedan 2001, ursprungligen värd för en efterföljande kvinnlig matematik privatdozent vid universitetet i Göttingen .
  • Perimeter Institute for Theoretical Physics delar årligen ut Emmy Noether Visiting Fellowships till framstående kvinnliga teoretiska fysiker. Perimeter Institute är också hem för Emmy Noether Council, en grupp volontärer som består av internationella samfund, företagsledare och filantropiska ledare som arbetar tillsammans för att öka antalet kvinnor inom fysik och matematisk fysik vid Perimeter Institute.
  • Emmy Noether Mathematics Institute in Algebra, Geometry and Function Theory vid Institutionen för matematik och datavetenskap, Bar-Ilan University, Ramat Gan, Israel grundades gemensamt 1992 av universitetet, den tyska regeringen och Minerva Foundation med syftet att stimulera forskning inom ovanstående områden och uppmuntra samarbeten med Tyskland. Dess huvudämnen är algebraisk geometri , gruppteori och komplex funktionsteori . Dess aktiviteter inkluderar lokala forskningsprojekt, konferenser, korttidsbesökare, post-doc-stipendier och Emmy Noether-föreläsningarna (en årlig serie framstående föreläsningar). ENI är medlem i ERCOM: "European Research Centres of Mathematics".
  • 2013 etablerade European Physical Society Emmy Noether Distinction for Women in Physics. Vinnare har inkluderat Dr Catalina Curceanu , Prof Sibylle Günter och Prof Anne L'Huillier .

I fiktion är Emmy Nutter, fysikprofessorn i "The God Patent" av Ransom Stephens , baserad på Emmy Noether.

Längre hemifrån,

  • Kratern Nöther på månens bortre sida är uppkallad efter henne.
  • Den mindre planeten 7001 Noether är uppkallad efter Emmy Noether.
  • Google satte en minnesklotter skapad av Googles artist Sophie Diao på Googles hemsida i många länder den 23 mars 2015 för att fira Emmy Noethers 133:e födelsedag.
  • Den 6 november 2020 skickades en satellit uppkallad efter henne ( ÑuSat 13 eller "Emmy", COSPAR 2020-079E) upp i rymden.

Lista över doktorander

Datum Elevs namn Avhandlingens titel och engelsk översättning universitet Publicerad
1911-12-16 Falckenberg, Hans Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen
Förgreningar av lösningar av icke-linjära differentialekvationer §
Erlangen Leipzig 1912
1916-03-04 Seidelmann, Fritz Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich
Komplett uppsättning kubiska och biquadratiska ekvationer med affekt i en godtycklig rationalitetsdomän §
Erlangen Erlangen 1916
1925-02-25 Hermann, Grete Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale unter Benutzung nachgelassener Sätze von Kurt Hentzelt
Frågan om det ändliga antalet steg i teorin om polynomideal med hjälp av den sene Kurt Hentzelts satser §
Göttingen Berlin 1926
1926-07-14 Grell, Heinrich Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe
Relationer mellan olika ringars ideal §
Göttingen Berlin 1927
1927 Doräte, Wilhelm Über einem verallgemeinert Gruppenbegriff
Om en generaliserad uppfattning om grupper §
Göttingen Berlin 1927
dog före försvaret Hölzer, Rudolf Zur Theorie der primären Ringe
Om teorin om primära ringar §
Göttingen Berlin 1927
1929-06-12 Weber, Werner Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen
Ideal-teoretisk tolkning av godtyckliga naturliga tals representativitet med kvadratiska former §
Göttingen Berlin 1930
1929-06-26 Levitski, Jakob Über vollständig reduzible Ringe und Unterringe
På helt reducerbara ringar och subringar §
Göttingen Berlin 1931
1930-06-18 Deuring, Max Zur aritmetischen Theorie der algebraischen Funktionen
Om den aritmetiska teorin om algebraiska funktioner §
Göttingen Berlin 1932
1931-07-29 Passande, Hans Zur Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen
Om teorin om automorfism-ringar av Abeliska grupper och deras analoger i icke-kommutativa grupper §
Göttingen Berlin 1933
1933-07-27 Witt, Ernst Riemann-Rochscher Satz och Zeta-Funktion i Hyperkomplexen
Riemann-Rochs sats och zetafunktion i hyperkomplexa tal §
Göttingen Berlin 1934
1933-12-06 Tsen, Chiungtze Algebren über Funktionenkörpern
Algebror över funktionsfält §
Göttingen Göttingen 1934
1934 Schilling, Otto Über gewisse Beziehungen zwischen der Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme und algebraischer Zahlkörper
Om vissa samband mellan aritmetiken för hyperkomplexa talsystem och algebraiska talfält §
Marburg Braunschweig 1935
1935 Stauffer, Ruth Byggandet av en normal bas i ett avskiljbart förlängningsfält Bryn Mawr Baltimore 1936
1935 Vorbeck, Werner Nichtgaloissche Zerfällungskörper einfacher Systeme
Icke-Galois Splitting Fields of Simple Systems §
Göttingen
1936 Wichmann, Wolfgang Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen
Tillämpningar av den p -adiska teorin i icke-kommutativa algebror §
Göttingen Monatshefte für Mathematik und Physik (1936) 44 , 203–24.

Matematiska ämnen med namn

Huvudartikel: Lista över saker uppkallade efter Emmy Noether

Se även

Anteckningar

Utvalda verk av Emmy Noether (på tyska)

Huvudartikel: Lista över publikationer av Emmy Noether
  • Berlyne, Daniel (11 januari 2014). "Ideal Theory in Rings (Översättning av "Idealtheorie in Ringbereichen" av Emmy Noether)". arXiv : 1401.2577 [ math.RA ].

Ytterligare källor

externa länkar


Biblioteksresurser om Emmy Noether
Av Emmy Noether
Personliga dokument
Fotografier
Akademiska biografier
Tidningsartiklar
Ljuddiskussioner


Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Emmy_Noether&oldid=1140809985 "