Hausdorff utrymme

Separationsaxiom i topologiska utrymmen
Kolmogorov- klassificering
T0	(Kolmogorov)
T 1	(Fréchet)
T 2	(Hausdorff)
T 2 ½	(Urysohn)
helt T 2	(helt Hausdorff)
T 3	(vanlig Hausdorff)
T 3½	(Tychonoff)
T 4	(normal Hausdorff)
T 5	(helt normal Hausdorff)
T 6	(helt normal Hausdorff)
Historia

Inom topologi och relaterade grenar av matematik är ett Hausdorff-rum ( / ˈ h aʊ s d ɔːr f / HOWS -dorf , / ˈ h aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ), separerat rum eller T _{2 -} rum ett topologiskt rum där , för varje två distinkta punkter, finns det grannskap av var och en som är osammanhängande från varandra. Av de många separationsaxiom som kan påtvingas ett topologiskt utrymme är "Hausdorff-tillståndet" (T ₂ ) det mest använda och diskuterade. Det innebär det unika med gränser för sekvenser , nät och filter .

Hausdorff-utrymmen är uppkallade efter Felix Hausdorff , en av topologins grundare. Hausdorffs ursprungliga definition av ett topologiskt utrymme (1914) inkluderade Hausdorffs tillstånd som ett axiom .

Definitioner

Punkterna x och y, åtskilda av sina respektive stadsdelar U och V.

₀ Punkterna $x$ och $y$ i ett topologiskt utrymme $X$ kan separeras med grannskap om det finns en grannskap $U$ av $x$ och en grannskap $V$ av $y$ så att $U$ och $V$ är disjunkta $(U\cap V=\varnothing )$ . $X$ är ett Hausdorff-utrymme om två distinkta punkter i $X$ är åtskilda av grannskap. Detta tillstånd är det tredje separationsaxiomet (efter T och T ₁ ), vilket är anledningen till att Hausdorff-rum även kallas T ₂ -rum . Namnet separerat utrymme används också.

En besläktad, men svagare, uppfattning är den om ett förregelbundet utrymme . $X$ är ett förregelbundet mellanrum om två topologiskt urskiljbara punkter kan separeras av disjunkta grannskap. Ett prereguljärt mellanslag kallas också ett R ₁ - mellanslag .

Förhållandet mellan dessa två villkor är följande. Ett topologiskt utrymme är Hausdorff om och bara om det är både prereguljärt (dvs topologiskt särskiljbara punkter separeras av grannskap) och Kolmogorov (dvs distinkta punkter är topologiskt särskiljbara). Ett topologiskt utrymme är prereguljärt om och endast om dess Kolmogorov-kvot är Hausdorff.

Ekvivalenser

För ett topologiskt utrymme $X$ är följande ekvivalenta:

• $X$ är ett Hausdorff-utrymme.
• Gränserna för nät i $X$ är unika.
• Begränsningar för filter på $X$ är unika.
• Varje singelmängd $\{x\}\delmängd X$ är lika med skärningspunkten mellan alla slutna kvarter av $x$ . (Ett slutet område av $x$ är en sluten uppsättning som innehåller en öppen uppsättning som innehåller x .)
• Diagonalen $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ stängs som en delmängd av produktutrymmet ${ \displaystyle X\ gånger X}$ .
• Varje injektion från det diskreta utrymmet med två punkter till $X$ har lyftegenskapen med avseende på kartan från det ändliga topologiska utrymmet med två öppna punkter och en stängd punkt till en enda punkt.

Exempel på Hausdorff- och icke-Hausdorff-utrymmen

Se även: Icke-Hausdorff-grenrör

Nästan alla utrymmen som påträffas i analysen är Hausdorff; viktigast av allt, de reella talen (under standardmetrisk topologi för reella tal) är ett Hausdorff-utrymme. Mer generellt är alla metriska utrymmen Hausdorff. Faktum är att många utrymmen för användning i analys, såsom topologiska grupper och topologiska grenrör , har Hausdorff-villkoret uttryckligen angett i sina definitioner.

Ett enkelt exempel på en topologi som är T ₁ men som inte är Hausdorff är den kofinita topologin definierad på en oändlig mängd .

Pseudometriska utrymmen är vanligtvis inte Hausdorff, men de är prereguljära, och deras användning i analys är vanligtvis endast vid konstruktionen av Hausdorff- mätutrymmen . Faktum är att när analytiker stöter på ett icke-Hausdorff-utrymme, är det förmodligen fortfarande åtminstone förregelbundet, och då ersätter de det helt enkelt med dess Kolmogorov-kvot, som är Hausdorff.

Däremot möts icke-förregelbundna utrymmen mycket oftare i abstrakt algebra och algebraisk geometri , i synnerhet som Zariski-topologin på en algebraisk variation eller spektrumet av en ring . De uppstår också i modellteorin för intuitionistisk logik : varje komplett Heyting-algebra är algebra av öppna uppsättningar av något topologiskt utrymme, men detta utrymme behöver inte vara förregelbundet, än mindre Hausdorff, och är det i själva verket vanligtvis varken. Det relaterade begreppet Scott-domän består också av icke-förregelbundna utrymmen.

Medan förekomsten av unika gränser för konvergerande nät och filter innebär att ett mellanslag är Hausdorff, finns det icke-Hausdorff T ₁ -utrymmen där varje konvergent sekvens har en unik gräns. Sådana utrymmen kallas amerikanska utrymmen .

Egenskaper

Delrum och produkter av Hausdorff-utrymmen är Hausdorff, men kvotutrymmen för Hausdorff-utrymmen behöver inte vara Hausdorff. Faktum är att varje topologiskt utrymme kan realiseras som kvoten av något Hausdorff-rum.

Hausdorff-utrymmen är T ₁ , vilket betyder att alla singlar är stängda. På liknande sätt är prereguljära mellanslag R ₀ . Varje Hausdorff-utrymme är ett Sober-utrymme även om det omvända i allmänhet inte är sant.

En annan trevlig egenskap hos Hausdorff spaces är att kompakta set alltid är stängda. För icke-Hausdorff-utrymmen kan det vara så att alla kompakta uppsättningar är slutna uppsättningar (till exempel den samräknade topologin på en oräknelig mängd) eller inte (till exempel den kofinita topologin på en oändlig mängd och Sierpiński-rymden ).

Definitionen av ett Hausdorff-utrymme säger att punkter kan separeras av stadsdelar. Det visar sig att detta antyder något som till synes är starkare: i ett Hausdorff-utrymme kan varje par av osammanhängande kompakta uppsättningar också separeras av grannskap, med andra ord finns det en grannskap av en uppsättning och en grannskap av den andra, så att de två stadsdelar är osammanhängande. Detta är ett exempel på den allmänna regeln att kompakta set ofta beter sig som punkter.

Kompakthetsförhållanden tillsammans med preregularitet innebär ofta starkare separationsaxiom. Till exempel är alla lokalt kompakta preregular space helt regelbundna . Kompakta prereguljära utrymmen är normala , vilket betyder att de uppfyller Urysohns lemma och Tietze förlängningssats och har partitioner av enhet som är underordnade lokalt ändliga öppna omslag . Hausdorff-versionerna av dessa uttalanden är: varje lokalt kompakt Hausdorff-utrymme är Tychonoff , och varje kompakt Hausdorff-utrymme är normalt Hausdorff.

Följande resultat är några tekniska egenskaper avseende kartor ( kontinuerliga och andra) till och från Hausdorff-utrymmen.

Låt $f:X\to Y$ vara en kontinuerlig funktion och anta att $Y$ är Hausdorff. Då grafen för $f$ , $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ en sluten delmängd av $X\ gånger Y$ .

Låt $f:X\to Y$ vara en funktion och låt ${\displaystyle \ operatornamn {ker} (f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}} vara dess kärna$ betraktad som ett delrum av $X\ gånger X$ .

• Om $f$ är kontinuerlig och $Y$ är Hausdorff så stängs ${\displaystyle \ker(f)} .$
• Om $f$ är en öppen surjection och $\ker(f)$ är stängd så är $Y$ Hausdorff.
• Om $f$ är en kontinuerlig, öppen surjection (dvs en öppen kvotkarta) så är $Y$ Hausdorff om och endast om $\ker(f)$ är stängd.

Om $f,g:X\to Y$ är kontinuerliga kartor och $Y$ är Hausdorff så ${\displaystyle {\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}} stängs$ utjämnarekv i $X$ . Det följer att om $Y$ är Hausdorff och $f$ och $g$ överens om en tät delmängd av $X$ då $f=g$ . Med andra ord bestäms kontinuerliga funktioner i Hausdorff-utrymmen av deras värden på täta delmängder.

Låt $f:X\to Y$ vara en sluten surjektion så att $f^{-1}(y)$ är kompakt för alla ${\ displaystil y\in Y}$ . Sedan om $X$ är Hausdorff så är $Y$ .

Låt $f:X\to Y$ vara en kvotkarta med $X$ ett kompakt Hausdorff-utrymme. Då är följande likvärdiga:

• $Y$ är Hausdorff.
• $f$ är en stängd karta .
• $\ker(f)$ är stängd.

Förregelbundenhet kontra regelbundenhet

Alla ordinarie utrymmen är förordinära, liksom alla Hausdorff-utrymmen. Det finns många resultat för topologiska utrymmen som håller för både vanliga och Hausdorff-utrymmen. För det mesta gäller dessa resultat för alla prereguljära utrymmen; de listades för vanliga utrymmen och Hausdorff-utrymmen separat eftersom idén om prereguljära utrymmen kom senare. Å andra sidan gäller de resultat som verkligen handlar om regelbundenhet i allmänhet inte också för icke-regelbundna Hausdorff-utrymmen.

Det finns många situationer där ett annat tillstånd av topologiska utrymmen (såsom parakompakthet eller lokal kompakthet ) kommer att innebära regelbundenhet om preregulariteten uppfylls. Sådana tillstånd finns ofta i två versioner: en vanlig version och en Hausdorff-version. Även om Hausdorff-utrymmen i allmänhet inte är vanliga, kommer ett Hausdorff-utrymme som också är (säg) lokalt kompakt att vara regelbundet, eftersom alla Hausdorff-utrymmen är förregelbundna. Alltså ur en viss synvinkel är det egentligen förregelbundenhet snarare än regelbundenhet som spelar roll i dessa situationer. Men definitioner är vanligtvis fortfarande formulerade i termer av regelbundenhet, eftersom detta tillstånd är bättre känt än preregularitet.

Se Historia om separationsaxiomen för mer om denna fråga.

Varianter

Termerna "Hausdorff", "separerade" och "preregular" kan också appliceras på sådana varianter på topologiska utrymmen som enhetliga utrymmen , Cauchy utrymmen och konvergensutrymmen . Det kännetecken som förenar konceptet i alla dessa exempel är att gränser för nät och filter (när de finns) är unika (för separerade utrymmen) eller unika upp till topologiska omöjligheter (för prereguljära utrymmen).

₀ Som det visar sig är enhetliga utrymmen, och mer allmänt Cauchy-utrymmen, alltid förregelbundna, så Hausdorff-tillståndet reduceras i dessa fall till T- villkoret. Det är också dessa utrymmen där fullständighet är meningsfull, och Hausdorffness är en naturlig följeslagare till fullständighet i dessa fall. Specifikt är ett mellanslag komplett om och endast om varje Cauchy-nät har minst en gräns, medan ett mellanslag är Hausdorff om och endast om varje Cauchy-nät har högst en gräns (eftersom endast Cauchy-nät kan ha gränser i första hand).

Algebra av funktioner

Algebra av kontinuerliga (reella eller komplexa) funktioner på ett kompakt Hausdorff-rum är en kommutativ C*-algebra , och omvänt kan man genom Banach-Stone-satsen återställa topologin för rummet från de algebraiska egenskaperna hos dess algebra av kontinuerliga funktioner. Detta leder till icke-kommutativ geometri , där man betraktar icke-kommutativa C*-algebror som representerande algebror för funktioner på ett icke-kommutativt utrymme.

Akademisk humor

• Hausdorffs tillstånd illustreras av ordleken att i Hausdorff-utrymmen kan vilka två punkter som helst "hållas bort" från varandra genom öppna uppsättningar .
• I det matematiska institutet vid universitetet i Bonn , där Felix Hausdorff forskat och föreläste, finns ett visst rum betecknat Hausdorff-Raum . Detta är en ordlek, eftersom Raum betyder både rum och utrymme på tyska.

Se även

• Fixed-point space – Topologiskt utrymme så att varje endomorfism har en fixpunkt, ett Hausdorff space X så att varje kontinuerlig funktion f : X → X har en fixpunkt.
• Lokalt Hausdorff utrymme
• Icke-Hausdorff grenrör – generalisering av grenrör Sidor som visar beskrivningar av wikidata som reserv
• Kvasitopologiskt utrymme – en uppsättning X utrustad med en funktion som associerar till varje kompakt Hausdorff-utrymme K en samling kartor K→C som uppfyller vissa naturliga villkor Sidor som visar wikidata-beskrivningar som reserv
• Separationsaxiom – Axiom i topologi som definierar begreppen "separation"
• Svagt Hausdorff-utrymme – koncept i algebraisk topologi Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv

Anteckningar

•   Arkhangelskii, AV; Pontryagin, LS (1990). Allmän topologi I . Springer. ISBN 3-540-18178-4 .
• Bourbaki (1966). Elements of Mathematics: General Topology . Addison-Wesley.
• "Hausdorff space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
•    Schechter, Eric (1996). Handbok för analys och dess grunder . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .
•   Willard, Stephen (2004). Allmän topologi . Dover. ISBN 0-486-43479-6 .