D -modul

I matematik är en D -modul en modul över en ring D av differentialoperatorer . Det stora intresset för sådana D -moduler är som ett förhållningssätt till teorin om linjära partiella differentialekvationer . Sedan omkring 1970 D -modulteori byggts upp, främst som ett svar på Mikio Satos idéer om algebraisk analys , och som utökar Satos och Joseph Bernsteins arbete med Bernstein-Sato-polynomet .

Tidiga stora resultat var Kashiwaras konstruktivitetsteorem och Kashiwara indexsats av Masaki Kashiwara . Metoderna för D -modulteorin har alltid hämtats från kärveteori och andra tekniker med inspiration från Alexander Grothendiecks arbete inom algebraisk geometri . Metoden är global till sin karaktär och skiljer sig från de funktionella analystekniker som traditionellt används för att studera differentialoperatorer. De starkaste resultaten erhålls för överbestämda system ( holonomiska system ), och på den karakteristiska variationen utskuren av symbolerna , som i det goda fallet är en lagrangisk undergren av det cotangensknippe med maximal dimension ( involutiva system ). Teknikerna togs upp från sidan av Grothendieck-skolan av Zoghman Mebkhout , som fick en allmän, härledd kategoriversion av Riemann-Hilbert-korrespondensen i alla dimensioner.

Introduktion: moduler över Weyl-algebra

Det första fallet med algebraiska D -moduler är moduler över Weyl-algebra A _n ( K ) över ett fält K med karakteristisk noll. Det är algebra som består av polynom i följande variabler

x ₁ , ..., x _n , ∂ ₁ , ..., ∂ _n .

där variablerna x _i och ∂ _j separat pendlar med varandra, och x _i och ∂ _j pendlar för i ≠ j , men kommutatorn uppfyller förhållandet

[∂ _i , x _i ] = ∂ _i x _i − x _i ∂ _i = 1.

För varje polynom f ( x ₁ , ..., x _n ) innebär detta sambandet

[∂ _i , f ] = ∂ f / ∂ x _i ,

därigenom relaterar Weyl-algebra till differentialekvationer.

En (algebraisk) D -modul är per definition en vänstermodul över ringen A _n ( K ). Exempel på D -moduler inkluderar själva Weyl-algebra (som verkar på sig själv genom vänstermultiplikation), den (kommutativa) polynomringen K [ x ₁ , ..., x _n ], där x _i verkar genom multiplikation och ∂ _j verkar genom partial differentiering med avseende på x _j och, på liknande sätt, ringen ${\mathcal {O}}(\mathbf {C} ^{n})$ av holomorfa funktioner på C ⁿ (funktioner) av n komplexa variabler.)

Givet någon differentialoperator ₀ P = a _n ( x ) ∂ ⁿ + ... + a ₁ ( x ) ∂ ¹ + a ( x ), där x är en komplex variabel, a _i ( x ) är polynom, kvotmodulen M = A ₁ ( C )/ A ₁ ( C ) P är nära kopplat till rymden av lösningar av differentialekvationen

P f = 0,

där f är någon holomorf funktion i C , säg. Vektorutrymmet som består av lösningarna av den ekvationen ges av rymden av homomorfismer för D -moduler $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}} (\mathbf {C} ))$ .

D -moduler på algebraiska varianter

Den allmänna teorin för D -moduler är utvecklad på en jämn algebraisk variant X definierad över ett algebraiskt slutet fält K med karakteristisk noll, såsom K = C . Kurven av differentialoperatorer D _X definieras som O _X -algebra som genereras av vektorfälten på X , tolkad som härledningar . En (vänster) D _X -modul M är en O _X -modul med en vänsterverkan av D X _på den. Att ge en sådan åtgärd motsvarar att specificera en K -linjär karta

$\nabla :D_{X}\högerpil \operatörsnamn {End} _{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}$

tillfredsställande

$\nabla _{fv}(m)=f\,\nabla _{v}(m)$

${\displaystyle \nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)} ( Leibniz$ - regeln )

$\nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)$

Här är f en vanlig funktion på X , v och w är vektorfält, m en lokal sektion av M , [−, −] betecknar kommutatorn . Därför, om M dessutom är en lokalt fri O _X -modul, är att ge M en D -modulstruktur inget annat än att utrusta vektorbunten som är associerad med M med en platt (eller integrerbar) anslutning .

Eftersom ringen D _X är icke-kommutativ, måste vänster och höger D -moduler särskiljas. De två begreppen kan dock utbytas, eftersom det finns en likvärdighet av kategorier mellan båda typerna av moduler, givet genom att mappa en vänstermodul M till tensorprodukten M ⊗ Ω _X , där Ω _X är linjebunten som ges av den högsta exteriören potens av differentiella 1-former på X . Detta paket har en naturlig rättighet som bestäms av

ω ⋅ v := − Lie _v (ω),

där v är en differentialoperator av ordning ett, det vill säga ett vektorfält, ω en n -form ( n = dim X ), och Lie betecknar Lie-derivatan .

Lokalt, efter att ha valt något system av koordinater x ₁ , ..., x _n ( n = dim X ) på X , som bestämmer en bas ∂ ₁ , ..., ∂ _n för tangentrymden av X , sektioner av D _X kan representeras unikt som uttryck

$\sum f_{i_{1},\dots ,i_{n}}\partial _{1}^{i_{1} }\cdots \partial _{n}^{i_{n}}$ , där $f_{i_{1},\dots ,i_{n}}$ är vanliga funktioner på X. _

I synnerhet när X är det n -dimensionella affina rummet , är detta D _X Weyl-algebra i n variabler.

Många grundläggande egenskaper hos D -moduler är lokala och parallella med situationen för koherenta skivor . Detta bygger på det faktum att D _X är en lokalt fri bunt av O _X -moduler, om än av oändlig rangordning, vilket ovannämnda O _X -bas visar. En D _X -modul som är koherent som en O _X -modul kan visas vara nödvändigtvis lokalt fri (av ändlig rangordning).

Funktionalitet

D -moduler på olika algebraiska varianter är sammankopplade med pullback- och pushforward-funktioner jämförbara med de för koherenta skivor. För en karta f : X → Y över släta sorter är definitionerna följande:

D _{X → Y} := O _X ⊗ _{f ⁻¹ ( O Y )} f ⁻¹ ( D _Y )

Denna är utrustad med en vänster D _X -åtgärd på ett sätt som emulerar kedjeregeln och med den naturliga högeråtgärden f ⁻¹ ( D _Y ). Tillbakadraget definieras som

f ^∗ ( M ) := D _{X → Y} ⊗ _{f ⁻¹ ( D Y )} f ⁻¹ ( M ).

Här är M en vänster DY _{- modul} , medan dess pullback är en vänster modul över X. Denna funktion är högerexakt , dess vänsterhärledda funktionor betecknas L f ^∗ . Omvänt, för en höger D _X -modul N ,

f _∗ ( N ) := f _∗ ( N ⊗ _{D X} D _{X → Y} )

är en höger DY _- modul. Eftersom denna blandar den högra exakta tensorprodukten med den vänstra exakta pushforwarden är det vanligt att ställa in istället

f _∗ ( N ):= Rf ∗ ₍ N ⊗ L ^D _{X D} X _{→ Y )} .

utvecklas mycket av teorin om D -moduler med den fulla kraften av homologisk algebra , särskilt härledda kategorier .

Holonomiska moduler

Holonomiska moduler över Weyl algebra

Det kan visas att Weyl algebra är en (vänster och höger) Noetherian ring . Dessutom är det enkelt , det vill säga, dess enda tvåsidiga ideal är nollidealet och hela ringen. Dessa egenskaper gör studiet av D -moduler hanterbart. Notably, standarduppfattningar från kommutativ algebra som Hilbert polynom , multiplicitet och längd av moduler överförs till D -moduler. Närmare bestämt D _X utrustad med Bernstein-filtreringen _, det vill säga filtreringen så att F ^p An ( K ) består av K -linjära kombinationer av differentialoperatorer x ^α ∂ ^β med | α | + | β | ≤ p (med multiindex notation ). Den associerade graderade ringen ses vara isomorf till polynomringen i 2 n obestämda. I synnerhet är den kommutativ.

Ändligt genererade D -moduler M är utrustade med så kallade "bra" filtreringar F ^∗ M , som är kompatibla med F ^∗ A _n ( K ), väsentligen parallella med situationen för Artin–Rees-lemmat . Hilbertpolynomet definieras som det numeriska polynomet som överensstämmer med funktionen

n ↦ dim _K F ⁿ M

för stort n . Dimensionen d ( M ) för en An ( K )-modul M definieras som graden av Hilbertpolynomet _. Det begränsas av Bernstein-ojämlikheten

n ≤ d ( M ) ≤ 2 n .

En modul vars dimension uppnår minsta möjliga värde, n , kallas holonomisk .

Ai ( K )-modulen M = Ai ( _K )/ Ai ( _K ) P (se ovan ) är holonomisk för alla differentialoperatorer P _{som inte är noll, men ett liknande} påstående för högredimensionella Weyl-algebror håller inte.

Allmän definition

Som nämnts ovan motsvarar moduler över Weyl-algebra D -moduler på affint rymd. Eftersom Bernstein-filtreringen inte är tillgänglig på D _X för allmänna varianter X , är definitionen generaliserad till godtyckliga affina släta varianter X med hjälp av ordningsfiltrering på D _X , definierad av ordningen för differentialoperatorer . Den tillhörande graderade ringen gr D _X ges av vanliga funktioner på cotangensknippet T ^∗ X .

Den karakteristiska varieteten definieras som undervarietet av cotangensknippet utskuret av radikalen av förintaren av gr M , där M återigen är utrustad med en lämplig filtrering (med hänsyn till ordningens filtrering på D _X ). Som vanligt limmas sedan den affina konstruktionen till godtyckliga varianter.

Bernstein-ojämlikheten fortsätter att gälla för vilken (smidig) sort X som helst . Medan den övre gränsen är en omedelbar konsekvens av ovanstående tolkning av gr D _X i termer av cotangensknippet, är den nedre gränsen mer subtil.

Egenskaper och karakteriseringar

Holonomiska moduler har en tendens att bete sig som ändliga dimensionella vektorrum. Till exempel är deras längd ändlig. Dessutom M holonomisk om och endast om alla kohomologigrupper i komplexet Li ∗ ( M ) är finita dimensionella K -vektorrum, där i är den slutna nedsänkningen av någon punkt ⁱ X .

För varje D -modul M definieras den dubbla modulen av

$\mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\operatörsnamn {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\dim X ].$

Holonomiska moduler kan också karakteriseras av ett homologiskt tillstånd: M är holonomiskt om och endast om D( M ) är koncentrerat (sett som ett objekt i den härledda kategorin D -moduler) i grad 0. Detta faktum är en första glimt av Verdier dualitet och Riemann–Hilbert-korrespondensen . Det bevisas genom att utvidga den homologiska studien av vanliga ringar (särskilt vad som är relaterat till global homologisk dimension ) till den filtrerade ringen D _X .

En annan karakterisering av holonomiska moduler är genom symplektisk geometri . Den karakteristiska varianten Ch( M ) av vilken D -modul M som helst är, sedd som en undervarietet av det cotangenta knippet T ^∗ X av X , en involutiv variant. Modulen är holonomisk om och endast om Ch( M ) är lagrangisk .

Ansökningar

En av de tidiga tillämpningarna av holonomiska D -moduler var Bernstein-Sato-polynomet .

Kazhdan–Lusztig gissning

Kazhdan -Lusztig-förmodan bevisades med hjälp av D -moduler.

Riemann–Hilbert korrespondens

Riemann -Hilbert-korrespondensen etablerar en koppling mellan vissa D -moduler och konstruerbara skivor. Som sådan gav det en motivation för att introducera perversa kärvar .

Geometrisk representationsteori

D -moduler tillämpas också i geometrisk representationsteori. Ett huvudresultat i detta område är lokaliseringen Beilinson–Bernstein . Den relaterar D -moduler på flaggvarianter G / B till representationer av Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ av en reduktiv grupp G . D -moduler är också avgörande vid utformningen av det geometriska Langlands-programmet .

•    Beilinson, AA ; Bernstein, Joseph (1981), "Localisation de g -modules", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 292 (1): 15–18, ISSN 0249-6291 , MR 0610137
•    Björk, J.-E. (1979), Rings of differential operators , North-Holland Mathematical Library, vol. 21, Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-85292-2 , MR 0549189
•     Brylinski, Jean-Luc; Kashiwara, Masaki (1981), "Kazhdan–Lusztig conjecture and holonomic systems", Inventiones Mathematicae , 64 (3): 387–410, Bibcode : 1981InMat..64..387B , doi : 10.1007/BF902 , 892702 , ISSN 92702 MR 0632980 , S2CID 18403883
•    Coutinho, SC (1995), A primer of algebraic D -modules , London Mathematical Society Student Texts, vol. 33, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55119-9 , MR 1356713
•   Borel, Armand , ed. (1987), Algebraic D-Modules , Perspectives in Mathematics, vol. 2, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-117740-9
• MGM van Doorn (2001) [1994], "D-modul" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D -moduler, perversa skivor och representationsteori (PDF) , Progress in Mathematics, vol. 236, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4363-8 , MR 2357361 , arkiverad från originalet (PDF) 2016-03-03 , hämtad 2009-12-10

externa länkar

• Bernstein, Joseph , Algebraisk teori om D -moduler (PDF)
• Gaitsgory, Dennis, Lectures on Geometric Representation Theory (PDF) , arkiverad från originalet (PDF) 2015-03-26 , hämtad 2011-12-14
• Milicic, Dragan, föreläsningar om den algebraiska teorin för D -moduler