Matematik, form och funktion

Mathematics, Form and Function , en bok som publicerades 1986 av Springer-Verlag , är en undersökning av hela matematiken , inklusive dess ursprung och djupa struktur, av den amerikanske matematikern Saunders Mac Lane .

Matematik och mänskliga aktiviteter

Under hela sin bok, och särskilt i kapitel I.11, diskuterar Mac Lane informellt hur matematik är förankrat i mer vanliga konkreta och abstrakta mänskliga aktiviteter. Följande tabell är anpassad från den som ges på sid. 35 av Mac Lane (1986). Raderna är mycket grovt ordnade från mest till minst grundläggande. För en punktlista som kan jämföras och kontrasteras med denna tabell, se avsnitt 3 i Var matematiken kommer ifrån .

Mänsklig aktivitet	Relaterad matematisk idé	Matematisk teknik
Samlar	Objekt samling	Set ; klass ; multiset ; lista ; familj
Ansluter	Orsak och verkan	beställt par ; relation ; funktion ; drift
"	Närhet ; förbindelse	Topologiskt utrymme ; merotopologi
Följande	Successiva handlingar	Funktionssammansättning ; transformationsgrupp
Jämförande	Uppräkning	Bijection ; kardinalnummer ; beställa
Timing	Före efter	Linjär ordning
Räkning	Efterträdare	Efterträdarfunktion ; ordningstal
Datoranvändning	Operationer på siffror	Addition, multiplikation rekursivt definierad ; abelisk grupp ; ringar
Tittar på föremål	Symmetri	Symmetrigrupp ; invarians ; isometrier
Byggnad; formning	Form ; punkt	Uppsättningar av poäng ; geometri ; pi
Ordna om	Permutation	Bijection ; permutationsgrupp
Väljer; särskiljande	Delskap	Delmängd ; beställa ; gitterteori ; merologi
Bråkar	Bevis	Första ordningens logik
Mätning	Avstånd ; utsträckning	Rationellt tal ; metriskt utrymme
Oändliga upprepningar	Oändlighet ; Rekursion	Rekursiv uppsättning ; Oändligt set
Uppskattning	Approximation	Verkligt tal ; verkligt fält
Att röra sig genom rum och tid :	krökning	kalkyl ; differentialgeometri
--Utan att cykla	Förändra	Verklig analys ; transformationsgrupp
--Med cykling	Upprepning	pi ; trigonometri ; komplext tal ; komplex analys
--Både		Differentialekvationer ; matematisk fysik
Rörelse genom tiden ensam	Tillväxt & förfall	e ; exponentiell funktion ; naturliga logaritmer ;
Ändrar former	Deformation	Differentialgeometri ; topologi
Att observera mönster	Abstraktion	Axiomatisk mängdlära ; universell algebra ; kategoriteori ; morfism
Försöker göra bättre	Optimering	Operationsforskning ; optimal kontrollteori ; dynamisk programmering
Att välja; spelande	Chans	Sannolikhetsteori ; matematisk statistik ; mäta

Se även de relaterade diagrammen som visas på följande sidor i Mac Lane (1986): 149, 184, 306, 408, 416, 422-28.

Mac Lane (1986) citerar en relaterad monografi av Lars Gårding (1977).

Mac Lanes relevans för matematikens filosofi

Mac Lane grundade kategoriteorin tillsammans med Samuel Eilenberg , som möjliggör en enhetlig behandling av matematiska strukturer och av relationerna mellan dem, till priset av att bryta sig loss från deras kognitiva grund . Ändå är hans åsikter – hur informella de än är – ett värdefullt bidrag till matematikens filosofi och antropologi . Hans åsikter föregriper, i vissa avseenden, den mer detaljerade redogörelsen för matematikens kognitiva grund som ges av George Lakoff och Rafael E. Núñez i deras Where Mathematics Comes From . Lakoff och Núñez hävdar att matematik uppstår via konceptuella metaforer grundade i människokroppen , dess rörelse genom rum och tid , och i mänskliga sinnesföreställningar.

Se även

• 1986 i filosofi

Anteckningar

• Gårding, Lars, 1977. Möte med matematik . Springer-Verlag.
• Reuben Hersh , 1997. Vad är matematik, egentligen? Oxford Univ. Tryck.
• George Lakoff och Rafael E. Núñez , 2000. Where Mathematics Comes From . Grundläggande böcker.
•   Mac Lane, Saunders (1986). Matematik, form och funktion . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96217-4 .
• Leslie White , 1947, "The Locus of Mathematical Reality: An Anthropological Footnote," Philosophy of Science 14 : 289-303. Återtryckt i Hersh, R., ed., 2006. 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics . Springer: 304–19.