Lokalt kompakt utrymme

I topologi och relaterade grenar av matematiken kallas ett topologiskt utrymme lokalt kompakt om, grovt sett, varje liten del av utrymmet ser ut som en liten del av ett kompakt utrymme . Mer exakt är det ett topologiskt utrymme där varje punkt har en kompakt grannskap .

I matematisk analys är lokalt kompakta utrymmen som är Hausdorff av särskilt intresse; de förkortas som LCH-mellanslag .

Formell definition

Låt X vara ett topologiskt rum . Oftast kallas X lokalt kompakt om varje punkt x i X har en kompakt grannskap , dvs det finns en öppen mängd U och en kompakt mängd K , så att $x\in U\subseteq K$ .

Det finns andra vanliga definitioner: De är alla likvärdiga om X är ett Hausdorff-mellanslag (eller preregular). Men de är inte likvärdiga i allmänhet:

1. varje punkt i X har en kompakt grannskap .

2. varje punkt i X har ett slutet kompakt grannskap.

2′. varje punkt i X har ett relativt kompakt grannskap.

2″. varje punkt i X har en lokal bas av relativt kompakta stadsdelar.

3. varje punkt i X har en lokal bas av kompakta grannskap.

4. varje punkt i X har en lokal bas av slutna kompakta grannskap.

5. X är Hausdorff och uppfyller alla (eller motsvarande alla) de tidigare villkoren.

Logiska samband mellan villkoren:

Varje villkor innebär (1).
Villkor (2), (2′), (2″) är likvärdiga.
Inget av villkoren (2), (3) innebär det andra.
Villkor (4) innebär (2) och (3).
Kompakthet innebär villkor (1) och (2), men inte (3) eller (4).

Villkor (1) är förmodligen den vanligaste definitionen, eftersom den är den minst restriktiva och de andra är likvärdiga med den när X är Hausdorff . Denna ekvivalens är en konsekvens av fakta att kompakta delmängder av Hausdorff-utrymmen är slutna och slutna undergrupper av kompakta utrymmen är kompakta. Utrymmen som uppfyller (1) kallas också ibland svagt lokalt kompakta , eftersom de uppfyller de svagaste av villkoren här.

Eftersom de definieras i termer av relativt kompakta uppsättningar, kan utrymmen som uppfyller (2), (2'), (2") mer specifikt kallas lokalt relativt kompakta. Steen & Seebach kallar (2), (2'), (2) ") starkt lokalt kompakt för att kontrastera med egenskap (1), som de kallar lokalt kompakt .

Utrymmen som uppfyller villkoren (4) är exakt de lokalt kompakta vanliga utrymmena. Ett sådant utrymme är faktiskt regelbundet, eftersom varje punkt har en lokal bas av stängda grannskap. Omvänt, i ett vanligt lokalt kompakt utrymme, anta att en punkt $x$ har en kompakt grannskap $K$ . Med regularitet, givet en godtycklig grannskap $U$ av $x$ , finns det ett slutet grannskap $V$ av $x$ som ingår i $K\cap U$ och $V$ är kompakt som en sluten uppsättning i en kompakt uppsättning.

Villkor (5) används till exempel i Bourbaki. Varje utrymme som är lokalt kompakt (i betydelsen skick (1)) och även Hausdorff uppfyller automatiskt alla villkor ovan. Eftersom lokalt kompakta utrymmen i de flesta applikationer också är Hausdorff, kommer dessa lokalt kompakta Hausdorff ( LCH ) utrymmen således att vara de utrymmen som denna artikel i första hand handlar om.

Exempel och motexempel

Kompakta Hausdorff-utrymmen

Varje kompakt Hausdorff-utrymme är också lokalt kompakt, och många exempel på kompakta utrymmen kan hittas i artikeln kompaktutrymme . Här nämner vi endast:

enhetsintervallet [0,1] ;
Kantorsetet ; _
Hilbertkuben . _

Lokalt kompakta Hausdorff-utrymmen som inte är kompakta

De euklidiska utrymmena R ⁿ (och i synnerhet den reella linjen R ) är lokalt kompakta som en konsekvens av Heine–Borels sats .
Topologiska grenrör delar de lokala egenskaperna hos euklidiska utrymmen och är därför också alla lokalt kompakta. Detta inkluderar till och med icke-parakompakta grenrör som den långa linan .
Alla diskreta utrymmen är lokalt kompakta och Hausdorff (de är bara de nolldimensionella grenrören). Dessa är kompakta endast om de är ändliga.
Alla öppna eller slutna delmängder av ett lokalt kompakt Hausdorff - utrymme är lokalt kompakta i delrumstopologin . Detta ger flera exempel på lokalt kompakta delmängder av euklidiska utrymmen, såsom enhetsskivan ( antingen den öppna eller slutna versionen).
Mellanrummet Q _p för p -adiska tal är lokalt kompakt, eftersom det är homeomorft till Cantor-mängden minus en punkt. Sålunda är lokalt kompakta utrymmen lika användbara i p -adisk analys som i klassisk analys .

Hausdorff-utrymmen som inte är lokalt kompakta

Som nämnts i följande avsnitt, om ett Hausdorff-utrymme är lokalt kompakt, är det också ett Tychonoff-utrymme . Av denna anledning kan exempel på Hausdorff-utrymmen som inte är lokalt kompakta eftersom de inte är Tychonoff-utrymmen hittas i artikeln tillägnad Tychonoff-utrymmen . Men det finns också exempel på Tychonoff-utrymmen som inte är lokalt kompakta, som:

utrymmet Q för rationella tal (försett med topologin från R ), eftersom varje grannskap innehåller en Cauchy-sekvens som motsvarar ett irrationellt tal, som inte har någon konvergent undersekvens i Q ;
delrummet $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ av $\mathbf {R} ^{2}$ , eftersom ursprunget inte har en kompakt grannskap;
den nedre gränstopologin eller övre gränstopologin på uppsättningen R av reella tal (användbart vid studiet av ensidiga gränser ) ;
något T ₀ , därav Hausdorff, topologiskt vektorrum som är oändligt dimensionellt , såsom ett oändligt dimensionellt Hilbert-rum .

De två första exemplen visar att en delmängd av ett lokalt kompakt utrymme inte behöver vara lokalt kompakt, vilket står i kontrast till de öppna och slutna delmängderna i föregående avsnitt. Det sista exemplet står i kontrast till de euklidiska utrymmena i föregående avsnitt; för att vara mer specifik, ett Hausdorff-topologiskt vektorrum är lokalt kompakt om och endast om det är ändligt dimensionellt (i vilket fall det är ett euklidiskt rum). Detta exempel kontrasterar också med Hilbertkuben som ett exempel på ett kompakt utrymme; det finns ingen motsägelse eftersom kuben inte kan vara en grannskap till någon punkt i Hilberts rymd.

Icke-Hausdorff exempel

Enpunktskomprimeringen av de rationella talen Q är kompakt och därför lokalt kompakt i betydelserna (1) och (2) men den är inte lokalt kompakt i betydelserna (3) eller (4) .
Den speciella punkttopologin på vilken oändlig mängd som helst är lokalt kompakt i bemärkelserna (1) och (3) men inte i bemärkelserna (2) eller (4), eftersom stängningen av varje grannskap är hela utrymmet, vilket är icke-kompakt.
Den disjunkta föreningen av ovanstående två exempel är lokalt kompakt i betydelse (1) men inte i betydelser (2), (3) eller (4).
Topologin i rätt ordning på den verkliga linjen är lokalt kompakt i bemärkelserna (1) och (3) men inte i bemärkelserna (2) eller (4), eftersom stängningen av ett område är hela det icke-kompakta utrymmet.
Sierpiński -utrymmet är lokalt kompakt i bemärkelserna (1), (2) och (3), och kompakt också, men det är inte Hausdorff eller regelbundet (eller till och med förregelbundet) så det är inte lokalt kompakt i bemärkelserna (4) eller ( 5). Den osammanhängande föreningen av oräkneligt många kopior av Sierpiński-rymden är ett icke-kompakt utrymme som fortfarande är lokalt kompakt i betydelserna (1), (2) och (3), men inte (4) eller (5).
Mer allmänt är den uteslutna punkttopologin lokalt kompakt i betydelserna (1), (2) och (3), och kompakt, men inte lokalt kompakt i betydelserna (4) eller (5).
Den kofinita topologin på en oändlig mängd är lokalt kompakt i bemärkelser (1), (2) och (3), och kompakt också, men den är inte Hausdorff eller regelbunden så den är inte lokalt kompakt i bemärkelser (4) eller ( 5).
Den indiskreta topologin på en uppsättning med minst två element är lokalt kompakt i bemärkelserna (1), (2), (3) och (4), och kompakt också, men den är inte Hausdorff så den är inte lokalt kompakt i känsla (5).

Allmänna klasser av exempel

Varje utrymme med en Alexandrov-topologi är lokalt kompakt i bemärkelserna (1) och (3).

Egenskaper

Varje lokalt kompakt förreguljärt utrymme är faktiskt helt regelbundet . Det följer att varje lokalt kompakt Hausdorff-utrymme är ett Tychonoff-utrymme . Eftersom rak regularitet är ett mer välbekant tillstånd än antingen preregularitet (som vanligtvis är svagare) eller fullständig regularitet (som vanligtvis är starkare), kallas lokalt kompakta preregulära mellanslag normalt i den matematiska litteraturen som lokalt kompakta regelbundna mellanrum . Liknande lokalt kompakta Tychonoff-utrymmen brukar bara kallas lokalt kompakta Hausdorff-utrymmen .

Varje lokalt kompakt ordinarie utrymme, i synnerhet varje lokalt kompakt Hausdorff-utrymme, är ett Baire-utrymme . Det vill säga, slutsatsen av Baire-kategorisatsen håller: det inre av varje räknebar förening av ingenstans täta delmängder är tom.

Ett delrum X av ett lokalt kompakt Hausdorff-rum Y är lokalt kompakt om och endast om X är lokalt sluten i Y (det vill säga X kan skrivas som den mängdteoretiska skillnaden mellan två slutna delmängder av Y ). I synnerhet är varje stängt set och varje öppet set i ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme lokalt kompakt. Som en följd av detta är också ett tätt delrum X av ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme Y lokalt kompakt om och endast om X är öppet i Y . Vidare, om ett delutrymme X av något Hausdorff-utrymme Y är lokalt kompakt, måste X fortfarande vara lokalt stängt i Y , även om det omvända inte gäller i allmänhet.

Utan Hausdorff-hypotesen bryts några av dessa resultat samman med svagare föreställningar om lokalt kompakt. Varje sluten uppsättning i ett svagt lokalt kompakt utrymme (= villkor (1) i definitionerna ovan) är svagt lokalt kompakt. Men inte varje öppet set i ett svagt lokalt kompakt utrymme är svagt lokalt kompakt. Till exempel är enpunktskomprimeringen $\mathbb {Q} ^{*}$ av de rationella talen $\mathbb {Q}$ kompakt, och därför svagt lokalt kompakt. Men den innehåller $\mathbb {Q}$ som en öppen uppsättning som inte är svagt lokalt kompakt.

Kvotientutrymmen av lokalt kompakta Hausdorff-utrymmen genereras kompakt . Omvänt är varje kompakt genererat Hausdorff-utrymme en kvot av något lokalt kompakt Hausdorff-utrymme.

För funktioner definierade på ett lokalt kompakt utrymme är lokal enhetlig konvergens detsamma som kompakt konvergens .

Punkten i oändligheten

Det här avsnittet utforskar kompaktering av lokalt kompakta utrymmen. Varje kompakt utrymme är sin egen kompaktering. Så för att undvika trivialiteter antas nedan att utrymmet X inte är kompakt.

Eftersom varje lokalt kompakt Hausdorff-utrymme X är Tychonoff, kan det bäddas in i ett kompakt Hausdorff-utrymme $b(X)$ med hjälp av Stone–Čech kompaktering . Men i själva verket finns det en enklare metod tillgänglig i det lokalt kompakta fallet; enpunktskomprimeringen kommer att bädda in X i ett kompakt Hausdorff-utrymme $a(X)$ med bara en extra punkt. (Enpunktskomprimeringen kan tillämpas på andra utrymmen, men $a(X)$ kommer att vara Hausdorff om och endast om X är lokalt kompakt och Hausdorff.) De lokalt kompakta Hausdorff-utrymmena kan således karakteriseras som öppna delmängder av kompakta Hausdorff-utrymmen.

Intuitivt kan den extra punkten i $a(X)$ ses som en punkt i oändligheten . Punkten vid oändligheten bör ses som att den ligger utanför varje kompakt delmängd av X . Många intuitiva föreställningar om tendens mot oändlighet kan formuleras i lokalt kompakta Hausdorff-utrymmen med hjälp av denna idé. Till exempel, en kontinuerlig reell eller komplex värderad funktion f med domän X sägs försvinna i oändlighet om, givet något positivt tal e , det finns en kompakt delmängd K av X så att $|f(x)|<e$ när punkten x ligger utanför K . Denna definition är meningsfull för vilket topologiskt utrymme X som helst . Om X är lokalt kompakt och Hausdorff är sådana funktioner just de som kan utökas till en kontinuerlig funktion g på dess enpunktskomprimering $a(X)=X\cup \{\infty \}$ där $g(\infty )=0.$

Gelfand representation

För ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme X är uppsättningen $C_{0}(X)$ av alla kontinuerliga komplext värderade funktioner på X som försvinner i oändligheten en kommutativ C*-algebra . Faktum är att varje kommutativ C*-algebra är isomorf till $C_{0}(X)$ för något unikt ( upp till homeomorfism ) lokalt kompakt Hausdorff-rymd X . Detta visas med hjälp av Gelfand-representationen .

Lokalt kompakta grupper

Begreppet lokal kompaktitet är viktig i studiet av topologiska grupper främst eftersom varje Hausdorff lokalt kompakt grupp G bär naturliga mått som kallas Haar-måtten som tillåter en att integrera mätbara funktioner definierade på G . Lebesguemåttet på den verkliga linjen $R} }$ { är ett specialfall av detta.

Pontryagin -dualen av en topologisk abelisk grupp A är lokalt kompakt om och endast om A är lokalt kompakt. Mer exakt definierar Pontryagin-dualitet en självdualitet av kategorin lokalt kompakta abelska grupper. Studiet av lokalt kompakta abelska grupper är grunden för harmonisk analys , ett fält som sedan dess har spridit sig till icke-abelska lokalt kompakta grupper.

Se även

Kompakt grupp – Topologisk grupp med kompakt topologi
F. Riesz sats
Lokalt kompakt fält
Lokalt kompakt kvantgrupp – relativt ny C*-algebraisk metod för kvantgrupper
Lokalt kompakt grupp – topologisk grupp G för vilken den underliggande topologin är lokalt kompakt och Hausdorff, så att Haar-måttet kan definieras
σ-compact space – förening av utalligt många kompakta topologiska utrymmen

Citat

Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications (2nd ed.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-31716-6 .
Kelley, John (1975). Allmän topologi . Springer . ISBN 978-0387901251 .
Munkres, James (1999). Topologi (2:a uppl.). Prentice Hall . ISBN 978-0131816299 .
Schechter, Eric (1996). Handbok för analys och dess grunder . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .
Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology ( Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . MR 0507446 .
Willard, Stephen (1970). Allmän topologi . Addison-Wesley . ISBN 978-0486434797 .