Sex operationer

Inom matematik är Grothendiecks sex operationer , uppkallade efter Alexander Grothendieck , en formalism i homologisk algebra , även känd som sexfunktionsformalismen . Det uppstod ursprungligen från relationerna i étale kohomologi som uppstår från en morfism av scheman f : X → Y . Den grundläggande insikten var att många av de elementära fakta som rör kohomologi på X och Y var formella konsekvenser av ett litet antal axiom. Dessa axiom håller i många fall helt orelaterade till det ursprungliga sammanhanget, och därför gäller även de formella konsekvenserna. De sex operationerna formalism har sedan visat sig gälla för sammanhang som D -moduler på algebraiska varianter, skivor på lokalt kompakta topologiska utrymmen och motiv.

Verksamheterna

Verksamheten är sex funktioner. Vanligtvis är dessa funktioner mellan härledda kategorier och det är faktiskt vänster- och högerhärledda funktioner .

den direkta bilden $f_{*}$
den omvända bilden $f^{*}$
den korrekta (eller extraordinära) direkta bilden $f_{!}$
den korrekta (eller extraordinära) omvända bilden $f^{!}$
intern tensorprodukt
inre Hom

Funktionerna $f^{*}$ och $f_{*}$ bildar ett adjoint funktorpar, liksom $f_{!}$ och $f^{!}$ . På liknande sätt lämnas intern tensorprodukt i anslutning till intern Hom.

Sex operationer i étale kohomologi

Låt f : X → Y vara en morfism av scheman. Morfismen f inducerar flera funktioner. Närmare bestämt ger det angränsande funktorer f ^* och f _* mellan kategorierna av skivor på X och Y , och det ger funktorn f _! av direkt bild med rätt stöd. I den härledda kategorin , Rf _! medger en rätt adjoint f ^! . Slutligen, när man arbetar med abelskivor, finns det en tensorproduktfunktion ⊗ och en intern Hom-funktion, och dessa är sammanhängande. De sex operationerna är motsvarande funktioner i den härledda kategorin: Lf ^* , Rf _* , Rf _! , f ^! , ⊗ ^L och RHom .

Antag att vi begränsar oss till en kategori av $\ell$ -adic torsionsskivor, där $\ell$ är coprime till egenskapen för X och Y . I SGA 4 III bevisade Grothendieck och Artin att om f är jämn av relativ dimension d , så är Lf ^* isomorf till f ^! (− d )[−2 d ] , där (− d ) anger den d :te inversa Tate-vridningen och [−2 d ] anger en gradförskjutning med −2 d . Antag vidare att f är separerat och av ändlig typ. Om g : Y ′ → Y är en annan morfism av scheman, om X ′ betecknar basförändringen av X med g , och om f ′ och g ′ betecknar basförändringarna av f och g med g respektive f , så finns det naturliga isomorfismer:

{\displaystyle Lg^{*}\circ Rf_{!}\to Rf'_{!}\circ Lg'^{*},

Rg'_{*}\circ f'^{!}\to f^{!}\circ Rg_{*}.

Återigen om vi antar att f är separerat och av ändlig typ, för alla objekt M i den härledda kategorin X och N i den härledda kategorin Y , finns det naturliga isomorfismer:

(Rf_{!}M)\otimes _{Y}N\to Rf_{!}(M\otimes _{X}Lf^{*}N),

\operatorname {RHom} _{Y}(Rf_{!}M,N)\to Rf_ {*}\operatörsnamn {RHom} _{X}(M,f^{!}N),

f^{!}\operatörsnamn {RHom} _{Y}(M,N)\till \operatörsnamn {RHom} _{X}(Lf^{*}M,f^{!}N).

Om i är en sluten nedsänkning av Z in i S med komplementär öppen nedsänkning j , så finns det en distingerad triangel i den härledda kategorin:

Rj_{!}j^{!}\to 1\to Ri_{*}i^{*}\to Rj_{!}j^{!}[1],

där de två första kartorna är talet respektive enheten av adjunktionerna. Om Z och S är regelbundna, så finns det en isomorfism:

1_{Z}(-c)[-2c]\to i^{!}1_{S},

där 1 _Z och 1 _S är enheterna för tensorproduktoperationerna (som varierar beroende på vilken kategori av $\ell$ -adic torsionsskivor som övervägs).

Om S är regelbundet och g : X → S , och om K är ett inverterbart objekt i den härledda kategorin på S med avseende på ⊗ ^L , definiera då D _X som funktionatorn RHom(—, g ^! K ) . Sedan, för objekt M och M ′ i den härledda kategorin på X , de kanoniska kartorna:

M\to D_{X}(D_{X}(M)),

D_{X}(M\otimes D_{X}(M'))\to \operatorname {RHom} (M,M'),

är isomorfismer. Slutligen, om f : X → Y är en morfism av S -scheman, och om M och N är objekt i de härledda kategorierna X och Y , så finns det naturliga isomorfismer:

D_{X}(f^{*}N)\cong f^{!}(D_{Y}(N)),

D_{X}(f^{!}N)\cong f^{*}(D_{Y}(N)),

D_{Y}(f_{!}M)\cong f_{*}(D_{X}(M)),

D_{Y}(f_{*}M)\cong f_{!}(D_{X}(M)).

Se även

Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2005). "De sex operationerna för skivor på Artin stackar I: Finita koefficienter". arXiv : math/0512097 .
Ayoub, Joseph. Les sex opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique (PDF) (avhandling).
Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019). Triangulerade kategorier av blandade motiv . Springer Monographs in Mathematics. arXiv : 0912.2110 . doi : 10.1007/978-3-030-33242-6 . ISBN 978-3-030-33241-9 . S2CID 115163824 .
Mebkhout, Zoghman (1989). Le formalisme des sex operations de Grothendieck pour les D _X -modules cohérents . Travaux en Cours. Vol. 35. Paris: Hermann. ISBN 2-7056-6049-6 .

externa länkar