Tvådimensionell konform fältteori

En tvådimensionell konform fältteori är en kvantfältteori på ett euklidiskt tvådimensionellt utrymme, som är invariant under lokala konforma transformationer .

I motsats till andra typer av konforma fältteorier har tvådimensionella konforma fältteorier oändligt dimensionella symmetrialgebror. I vissa fall gör detta att de kan lösas exakt med den konforma bootstrap- metoden.

Noterbara tvådimensionella konforma fältteorier inkluderar minimala modeller , Liouville-teori , masslösa fria bosoniska teorier , Wess-Zumino-Witten-modeller och vissa sigma-modeller .

Grundläggande strukturer

Geometri

Tvådimensionella konforma fältteorier (CFT) definieras på Riemann-ytor , där lokala konforma kartor är holomorfa funktioner . Medan en CFT kan tänkas existera endast på en given Riemann-yta, innebär dess existens på vilken yta som helst förutom sfären dess existens på alla ytor. Med en CFT är det verkligen möjligt att limma två Riemann-ytor där det finns, och få CFT på den limmade ytan. Å andra sidan existerar vissa CFT endast på sfären. Om inte annat anges, anser vi CFT på sfären i den här artikeln.

Symmetrier och integrerbarhet

Givet en lokal komplex koordinat $z$${ \displaystyle (\ell _{n}+{\bar {\ell}}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup (i(\ell _{n}-{\bar { \ell }}_{n}))_{n\in \mathbb {Z} }}$ det reella vektorutrymmet för infinitesimala konforma basen , med $\ell _{n}=-z^{n +1}{\frac {\partial }{\partial z}}$ . (Till exempel, $\ell _{1}+\ell _{-1}$ och $i(\ell _{1}- \ell _{-1})$ genererar översättningar.) Avslappning av antagandet att ${\bar {z}}$ är det komplexa konjugatet av $z$ , dvs komplexifierar utrymmet för infinitesimala konforma kartor , får man ett komplext vektorrum med basen $(\ell _{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup ({\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ .

Med sina naturliga kommutatorer genererar differentialoperatorerna ${\displaystyle \ell _{n}} en$ Witt- algebra . Med vanliga kvantmekaniska argument måste konformfältteorins symmetrialgebra vara den centrala förlängningen av Witt-algebra, dvs. Virasoro- algebra , vars generatorer är $(L_{n})_{ n\in \mathbb {Z} }$ , plus en central generator. I en given CFT tar den centrala generatorn ett konstant värde $c$ , kallat centralladdningen.

Symmetrialgebra är därför produkten av två kopior av Virasoro-algebra: den vänstergående eller holomorfa algebra, med generatorer ${\displaystyle L_{n}} ,$ och den högergående eller antiholomorfa algebra, med generatorer ${\bar {L}}_{n}$ .

I Virasoros universella omslutande algebra, algebra, är det möjligt att konstruera en oändlig uppsättning av ömsesidigt pendlande laddningar. Den första laddningen är ${\displaystyle L_{0}-{\frac {c}{24}}} ,$ den andra laddningen är kvadratisk i Virasoro-generatorer, den tredje laddningen är kubik, etc. Detta visar att två godtyckliga -dimensionell konform fältteori är också ett kvantintegrerbart system .

Rymden av stater

Tillståndsutrymmet , även kallat spektrum , av en CFT, är en representation av produkten av de två Virasoro-algebrerna .

För ett tillstånd som är en egenvektor av $L_{0}$ och ${\bar {L}}_{0}$ med egenvärdena $\Delta$ och ${\ displaystyle {\bar {\Delta }}}$ ,

• $\Delta$ är den vänstra konforma dimensionen ,
• ${\bar {\Delta }}$ är den rätta konforma dimensionen ,
• $\Delta +{\bar {\Delta }}$ är den totala konforma dimensionen eller energin,
• $\Delta -{\bar {\Delta }}$ är det konforma spinnet .

En CFT kallas rationell om dess rum av tillstånd bryts ned i ändligt många irreducerbara representationer av produkten av de två Virasoro-algebrorna.

En CFT kallas diagonal om dess tillståndsrymd är en direkt summa av representationer av typen $R\otimes {\bar {R}}$ , där $R$ är en oupplöslig representation av den vänstra Virasoro algebra, och ${\bar {R}}$ är samma representation av den högra Virasoro algebra.

CFT kallas enhetlig om tillståndsutrymmet har en positiv bestämd hermitisk form så att $L_{0}$ och ${\bar {L}}_{0}$ är självadjoint, $L_{0}^{\dolk }=L_{0}$ och ${\bar {L}}_{0}^{\dolk }={ \bar {L}}_{0}$ . Detta innebär särskilt att ${\displaystyle L_{n}^{\dolk }=L_{-n}} ,$ och att den centrala laddningen är reell. Tillståndsrummet är då ett Hilbertrum . Medan enhetlighet är nödvändig för att en CFT ska vara ett korrekt kvantsystem med en probabilistisk tolkning, är många intressanta CFT:er ändå icke-enhetliga, inklusive minimala modeller och Liouville-teori för de flesta tillåtna värden för den centrala laddningen.

Fält och korrelationsfunktioner

Tillståndsfältsöverensstämmelsen är en linjär karta $v\mapsto V_{v}(z)$ från tillståndsutrymmet till fältutrymmet, som pendlar med verkan av symmetrialgebra .

Speciellt är bilden av ett primärt tillstånd med en representation med lägsta vikt av Virasoro-algebra ett primärt fält ${\displaystyle V_{\Delta }(z)} ,$ så att

$L_{n>0}V_{\Delta }(z)=0\quad ,\quad L_{0}V_{\Delta }(z)=\Delta V_{\Delta }(z)\ .$

Underordnade fält erhålls från primära fält genom att agera med skapande lägen $L_{n<0}$ . Degenererade fält motsvarar primära tillstånd för degenererade representationer. Till exempel lyder det degenererade fältet $V_{1,1}(z)$ L $\displaystyle L_{-1}V_{1, 1}(z)=0}$ , på grund av närvaron av en nollvektor i den motsvarande degenererade representationen.

En $N$ -punktkorrelationsfunktion är ett tal som beror linjärt på $N$ -fält, betecknat som $\left\langle V_{1}(z_{1})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle$ med $i\neq j\Rightarrow z_{i} \neq z_{j}$ . I vägintegralformuleringen av konform fältteori definieras korrelationsfunktioner som funktionella integraler. I den konforma bootstrap- metoden definieras korrelationsfunktioner av axiom. I synnerhet antas det att det finns en operatörsproduktexpansion (OPE),

$V_{1}(z_{1})V_{2 }(z_{2})=\summa _{i}C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})V_{v_{i}}(z_{2})\ ,$

där $\{v_{i}\}$ är en bas för tillståndsutrymmet, och talen $C_{12}^{v_ {i}}(z_{1},z_{2})$ kallas OPE-koefficienter. Dessutom antas korrelationsfunktioner vara invarianta under permutationer på fälten, med andra ord antas OPE vara associativ och kommutativ. (OPE kommutativitet $V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2} )=V_{2}(z_{2})V_{1}(z_{1})$ innebär inte att OPE-koefficienter är invarianta under $1\leftrightarrow 2$ , eftersom expandering på fält $V_{v_{i}}(z_{2})$ bryter den symmetrin.)

OPE-kommutativitet innebär att primära fält har heltalskonforma spinn $S\in \mathbb {Z}$ . Ett primärt fält med noll konformt spinn kallas ett diagonalt fält . Det finns också fermioniska CFT: er som inkluderar fermioniska fält med halvheltals konforma spinn ${\displaystyle S\in {\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z} } ,$ som antipendlar. Det finns också parafermioniska CFT: er som inkluderar fält med mer allmänna rationella snurr $S\in \mathbb {Q}$ . Inte bara parafermioner pendlar inte, utan även deras korrelationsfunktioner är flervärdiga.

Toruspartitionsfunktionen är en speciell korrelationsfunktion som enbart beror på spektrumet ${\mathcal {S}}$ och inte på OPE-koefficienterna. För en komplex torus ${\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}$ med modulen ${\displaystyle \tau$ } partitionsfunktionen är

$Z(\tau )=\operatörsnamn {Tr} _{\mathcal {S}}q^{L_{0}- {\frac {c}{24}}}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-{\frac {c}{24}}}$

där $q=e^{2\pi i\tau }$ . Toruspartitionsfunktionen sammanfaller med karaktär , betraktad som en representation av symmetrialgebra.

Kiral konform fältteori

I en tvådimensionell konform fältteori kallas egenskaper kirala om de följer av verkan av en av de två Virasoro-algebrorna. Om tillståndsrymden kan dekomponeras i faktoriserade representationer av produkten av de två Virasoro-algebrorna, så är alla konsekvenser av konform symmetri kirala. Med andra ord kan de två Virasoro-algebrans handlingar studeras separat.

Energi-moment tensor

Beroendet av ett fält $V(z)$ på dess position antas bestäms av

${\frac {\partial }{\partial z}}V(z)=L_{-1}V(z).$

Härav följer att OPE

$T(y)V(z)=\summa _{n\in \mathbb { Z} }{\frac {L_{n}V(z)}{(yz)^{n+2}}},$

definierar ett lokalt holomorft fält $T(y)$ som inte är beroende av $z.$ Detta fält identifieras med (en komponent av) energi-moment-tensorn . I synnerhet är OPE för energi-moment-tensorn med ett primärt fält

$T(y)V_{\Delta }(z)={\frac {\Delta }{(yz)^{2}}}V_{\Delta }(z)+{\frac {1}{yz }}{\frac {\partial }{\partial z}}V_{\Delta }(z)+O(1).$

OPE för energi-momentum-tensorn med sig själv är

$T(y )T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(yz)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(yz)^{2}}}+ {\frac {\partial T(z)}{yz}}+O(1),$

där $c$ är den centrala laddningen. (Denna OPE är ekvivalent med kommuteringsrelationerna för Virasoro-algebra.)

Konforma församlingsidentiteter

Conformal Ward-identiteter är linjära ekvationer som korrelationsfunktioner lyder som en konsekvens av konform symmetri. De kan härledas genom att studera korrelationsfunktioner som involverar insättningar av energi-moment-tensorn. Deras lösningar är konforma block .

Tänk till exempel på konforma församlingsidentiteter på sfären. Låt $z$ vara en global komplex koordinat på sfären, sett som $\mathbb {C} \cup \{\infty \}.$ Holomorfi av energi-momentum-tensorn vid $z=\infty$ är ekvivalent med

$T(z){\underset {z\to \infty }{=}}O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right).$

Dessutom, infogning av $T(z)$ i en $N$ -punktfunktion för primära fält ger

$\left\langle T(z)\prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =\summa _{i=1 }^{N}\left({\frac {\Delta _{i}}{(z-z_{i})^{2}}}+{\frac {1}{z-z_{i}}} {\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i}) \right\rangle .$

Från de två sista ekvationerna är det möjligt att härleda lokala avdelningsidentiteter som uttrycker $N$ -punktsfunktioner för efterkommande fält i termer av $N$ -punktsfunktioner för primära fält. Dessutom är det möjligt att härleda tre differentialekvationer för vilken $N$ -punktsfunktion som helst för primära fält, kallade globala konforma avdelningsidentiteter :

$\sum _{i=1}^{N}\left(z_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+\Delta _{i}kz_ {i}^{k-1}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0, \qquad (k\in \{0,1,2\}).$

Dessa identiteter bestämmer hur två- och trepunktsfunktioner beror på $z,$

$\left langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})\right\rangle {\begin{cases}=0&\ \ (\Delta _{ 1}\neq \Delta _{2})\\\propto (z_{1}-z_{2})^{-2\Delta _{1}}&\ \ (\Delta _{1}=\Delta _{2})\end{fall}}$

$\left\langle V_{\Delta _{1}}(z_ {1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})V_{\Delta _{3}}(z_{3})\right\rangle \propto (z_{1}-z_{2} )^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2} -\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}},$

där de obestämda proportionalitetskoefficienterna är funktioner av ${\bar {z}}.$

BPZ-ekvationer

En korrelationsfunktion som involverar ett degenererat fält uppfyller en linjär partiell differentialekvation som kallas en Belavin–Polyakov–Zamolodchikov-ekvation efter Alexander Belavin , Alexander Polyakov och Alexander Zamolodchikov . Ordningen för denna ekvation är nivån på nollvektorn i den motsvarande degenererade representationen.

Ett trivialt exempel är BPZ-ekvationen i ordning ett

${\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\ vänster\langle V_{1,1}(z_{1})V_{2}(z_{2})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle =0.$

som följer av

${\frac {\partial }{\partial z_{1}}}V_{1, 1}(z_{1})=L_{-1}V_{1,1}(z_{1})=0.$

Det första icke-triviala exemplet involverar ett degenererat fält $V_{2,1}$ med en försvinnande nollvektor på nivå två,

$\left(L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2}\right)V_{2 ,1}=0,$

där $b$ är relaterad till den centrala laddningen med

$c=1+6\left(b+b^{-1}\right)^{2}.$

Då lyder en $N$ -punktsfunktion av $V_{2,1}$ och $N-1$ andra primära fält:

$\left({\frac {1}{b^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_ {1}^{2}}}+\summa _{i=2}^{N}\left({\frac {1}{z_{1}-z_{i}}}{\frac {\partial } {\partial z_{i}}}+{\frac {\Delta _{i}}{(z_{1}-z_{i})^{2}}}\right)\right)\left\langle V_ {2,1}(z_{1})\prod _{i=2}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0.$

En BPZ-ekvation av ordningen $rs$ för en korrelationsfunktion som involverar det degenererade fältet $V_{r,s}$ kan härledas från försvinnandet av nollvektorn och den lokala Ward identiteter . Tack vare globala avdelningsidentiteter kan fyrapunktsfunktioner skrivas i termer av en variabel istället för fyra, och BPZ-ekvationer för fyrapunktsfunktioner kan reduceras till vanliga differentialekvationer.

Fusion regler

I en OPE som involverar ett degenererat fält, begränsar försvinnandet av nollvektorn (plus konform symmetri) vilka primära fält som kan visas. De resulterande begränsningarna kallas fusionsregler . Använd momentum $\alpha$ så att

$\Delta =\alpha \left(b+b^{-1}-\alpha \right)$

istället för den konforma dimensionen $\Delta$ för parametrisering av primära fält, är fusionsreglerna

$V_{r ,s}\ gånger V_{\alpha }=\sum _{i=0}^{r-1}\sum _{j=0}^{s-1}V_{\alpha +\left(i-{ \frac {r-1}{2}}\right)b+\left(j-{\frac {s-1}{2}}\right)b^{-1}}$

särskilt

${\begin{aligned}V_{1,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha }\\[6pt]V_{2,1}\times V_{\alpha }&=V_ {\alpha -{\frac {b}{2}}}+V_{\alpha +{\frac {b}{2}}}\\[6pt]V_{1,2}\ gånger V_{\alpha } &=V_{\alpha -{\frac {1}{2b}}}+V_{\alpha +{\frac {1}{2b}}}\end{aligned}}$

Alternativt har fusionsregler en algebraisk definition i termer av en associativ fusionsprodukt av representationer av Virasoro-algebra vid en given central laddning. Fusionsprodukten skiljer sig från tensorprodukten av representationer. (I en tensorprodukt lägger de centrala laddningarna till.) I vissa ändliga fall leder detta till strukturen av en fusionskategori .

En konform fältteori är kvasirationell är fusionsprodukten av två oupplösliga representationer är en summa av ändligt många oupplösliga representationer. Till exempel generaliserade minimalmodeller kvasirationella utan att vara rationella.

Konform bootstrap

Den konforma bootstrap- metoden består i att definiera och lösa CFT:er med enbart symmetri- och konsistensantaganden, genom att reducera alla korrelationsfunktioner till kombinationer av strukturkonstanter och konforma block. I två dimensioner leder denna metod till exakta lösningar av vissa CFT, och till klassificeringar av rationella teorier.

Strukturkonstanter

Låt $V_{i}$ vara ett vänster- och högerprimärt fält med vänster- och högerkonforma dimensioner $\Delta _{i}$ och ${\bar {\Delta }}_{i}$ . Enligt den vänstra och högra globala församlingsidentiteten är trepunktsfunktioner av sådana fält av typen

${\begin{aligned}&\left\langle V_{1}( z_{1})V_{2}(z_{2})V_{3}(z_{3})\right\rangle =C_{123}\\&\qquad \times (z_{1}-z_{2 })^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2 }-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}}\\&\qquad \times ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{3}-{\bar {\Delta}}_{ 1}-{\bar {\Delta }}_{2}}({\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta } }_{1}-{\bar {\Delta}}_{2}-{\bar {\Delta}}_{3}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z }}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta}}_{1}-{\bar {\Delta}}_{3}}\ , \end{aligned}}$

där $z_{i}$ -oberoende tal $C_{123}$ kallas en trepunktsstrukturkonstant . För att trepunktsfunktionen ska vara enkelvärdig måste de primära fältens vänster- och högerkonforma dimensioner följa

$\Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \ .$

Detta villkor är uppfyllt av bosonisk ( ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} })$ och fermionisk ( $\Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}$ ) fält. Den bryts dock av parafermioniska fält ( ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Q} } ), vars$ korrelation Funktioner är därför inte ensvärda på Riemann-sfären.

Trepunktsstrukturkonstanter förekommer också i OPE,

$V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\summa _{i}C_{12i}(z_{1}-z_{2})^{\Delta _ {i}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\ Delta }}_{i}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}{\Big (}V_{i}(z_{2})+ \cdots {\Big )}\ .$

Bidragen från efterkommande fält, betecknade med prickarna, bestäms helt av konform symmetri.

Konforma block

Huvudartikel: Virasoro konformt block

Vilken korrelationsfunktion som helst kan skrivas som en linjär kombination av konforma block : funktioner som bestäms av konform symmetri och märks av representationer av symmetrialgebra. Koefficienterna för den linjära kombinationen är produkter av strukturkonstanter.

I tvådimensionell CFT faktoriseras symmetrialgebra till två kopior av Virasoro-algebra, och ett konformt block som involverar primära fält har en holomorf faktorisering : det är en produkt av en lokalt holomorf faktor som bestäms av den vänsterförflyttade Virasoro algebra, och en lokalt antiholomorf faktor som bestäms av den högergående Virasoro-algebra. Dessa faktorer kallas i sig konforma block.

Till exempel, att använda OPE för de två första fälten i en fyrapunktsfunktion av primära fält ger

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle =\sum _{s} C_{12s}C_{s34}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\} ){\mathcal {F}}_{{\bar {\Delta }}_{s}}^{(s)}(\{{\bar {\Delta}}_{i}\},\{{ \bar {z}}_{i}\})\ ,$

där ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{ i}\},\{z_{i}\})$ är ett s-kanals fyrapunkts konformt block . Fyrpunktskonforma block är komplicerade funktioner som effektivt kan beräknas med hjälp av Alexei Zamolodchikovs rekursionsrelationer. Om ett av de fyra fälten är degenererat, så följer de motsvarande konforma blocken BPZ-ekvationer. Om särskilt ett av de fyra fälten är $V_{2,1}$ , så kan motsvarande konforma block skrivas i termer av den hypergeometriska funktionen .

Som först förklarades av Witten, kan utrymmet av konforma block av en tvådimensionell CFT identifieras med kvant-Hilbert-utrymmet i en 2+1-dimensionell Chern-Simons-teori , vilket är ett exempel på en topologisk fältteori . Detta samband har varit mycket fruktbart i teorin om den fraktionerade kvanthalleffekten .

Konforma bootstrap-ekvationer

När en korrelationsfunktion kan skrivas i termer av konforma block på flera olika sätt, ger likheten mellan de resulterande uttrycken begränsningar på tillståndsutrymmet och på trepunktsstrukturkonstanter. Dessa begränsningar kallas de konforma bootstrap-ekvationerna . Medan Ward-identiteterna är linjära ekvationer för korrelationsfunktioner, beror de konforma bootstrap-ekvationerna icke-linjärt på trepunktsstrukturkonstanterna.

Till exempel kan en fyrpunktsfunktion $\left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle$ skrivas i termer av konforma block på tre olikvärdiga sätt, motsvarande användning av OPEs $V_{1}V_{2}$ ( s-kanal ), $V_{1}V_{4 }$ ( t-kanal ) eller $V_{1}V_{3}$ ( u-kanal ). Likheten mellan de tre resulterande uttrycken kallas korsningssymmetri för fyrpunktsfunktionen och är ekvivalent med associativiteten hos OPE.

Till exempel är toruspartitionsfunktionen invariant under inverkan av den modulära gruppen på torusmodulen, motsvarande $Z(\tau ) =Z(\tau +1)=Z(-{\frac {1}{\tau }})$ . Denna invarians är en begränsning av staternas utrymme. Studiet av modulära invarianta torus-partitionsfunktioner kallas ibland den modulära bootstrap .

Konsistensen av en CFT på sfären motsvarar korsningssymmetri för fyrpunktsfunktionen. Konsistensen av en CFT på alla Riemann-ytor kräver också modulär invarians av torus enpunktsfunktion. Modulär invarians av toruspartitionsfunktionen är därför varken nödvändig eller tillräcklig för att en CFT ska existera. Det har dock studerats i stor omfattning i rationella CFT, eftersom karaktärer av representationer är enklare än andra typer av konforma block, såsom sfäriska fyrapunkts konforma block.

Exempel

Minimala modeller

Huvudartikel: Minimal modell (fysik)

En minimal modell är en CFT vars spektrum är byggt från ändligt många irreducerbara representationer av Virasoro-algebra. Minimala modeller finns bara för särskilda värden på den centrala laddningen,

$c_{p,q}=1-6{\frac {(pq)^{2}}{pq}},\qquad p>q\in \{2,3,\ldots \}.$

Det finns en ADE-klassificering av minimala modeller. I synnerhet är A-seriens minimalmodell med den centrala laddningen $c=c_{p,q}$ en diagonal CFT vars spektrum är byggt från ${\tfrac {1}{2}}(p-1)(q-1)$ degenererar lägsta viktrepresentationer av Virasoro-algebra. Dessa degenererade representationer är märkta av par av heltal som bildar Kac-tabellen ,

$(r,s)\in \{1,\ldots ,p-1\}\times \{1,\ldots ,q-1\}\qquad {\text{with}}\qquad (r, s)\simeq (pr,qs).$

Till exempel beskriver A-seriens minimalmodell med $c=c_{4,3}={\tfrac {1}{2}}$ spinn- och energikorrelatorer för de två -dimensionell kritisk Ising-modell .

Liouville teori

Huvudartikel: Liouville field theory

För alla $c\in \mathbb {C} ,$ är Liouville-teorin en diagonal CFT vars spektrum är byggt från Verma-moduler med konforma dimensioner

$\Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}$

Liouville-teorin har lösts, i den meningen att dess trepunktsstrukturkonstanter är explicit kända. Liouville-teorin har tillämpningar på strängteori och tvådimensionell kvantgravitation.

Utökade symmetrialgebror

I vissa CFT är symmetrialgebra inte bara Virasoro-algebra, utan en associativ algebra (dvs inte nödvändigtvis en Lie-algebra) som innehåller Virasoro-algebra. Spektrumet sönderdelas sedan i representationer av den algebra, och begreppen diagonala och rationella CFTs definieras med avseende på den algebra.

Masslösa gratis bosoniska teorier

Huvudartikel: Masslösa fria skalära bosoner i två dimensioner

I två dimensioner är masslösa fria bosoniska teorier konformt invarianta. Deras symmetrialgebra är den affina Lie-algebra ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}$ byggd från den abelska, ranka ett Lie-algebra. Fusionsprodukten av två representationer av denna symmetrialgebra ger bara en representation, och detta gör korrelationsfunktionerna mycket enkla.

Att se minimala modeller och Liouville-teori som störda fria bosoniska teorier leder till Coulomb-gasmetoden för att beräkna deras korrelationsfunktioner. Dessutom, för $c=1,$ finns det en enparameterfamilj av fria bosoniska teorier med oändliga diskreta spektrum, som beskriver kompakterade fria bosoner , där parametern är kompaktifieringsradien.

Wess–Zumino–Witten modeller

Huvudartikel: Wess–Zumino–Witten modell

Givet en Lie-grupp $G,$ är motsvarande Wess–Zumino–Witten-modell en CFT vars symmetrialgebra är den affina Lie-algebra byggd från Lie-algebra av $G.$ Om $G$ är kompakt, så är denna CFT rationell, dess centralladdning tar diskreta värden och dess spektrum är känt.

Superkonforma fältteorier

Symmetrialgebra för en supersymmetrisk CFT är en super Virasoro algebra , eller en större algebra. Supersymmetriska CFT:er är särskilt relevanta för supersträngteori.

Teorier baserade på W-algebror

W-algebror är naturliga förlängningar av Virasoro-algebra. CFTs baserade på W-algebror inkluderar generaliseringar av minimalmodeller och Liouville-teori, respektive kallade W-minimalmodeller och konforma Toda-teorier . Konforma Toda-teorier är mer komplicerade än Liouville-teorin, och mindre väl förstådda.

Sigma modeller

I två dimensioner är klassiska sigmamodeller konformt invarianta, men endast vissa målförgreningar leder till kvantsigmamodeller som är konformt invarianta. Exempel på sådana grenrör inkluderar toruser och Calabi-Yau grenrör .

Logaritmiska konforma fältteorier

Huvudartikel: Logaritmisk konformfältteori

Logaritmiska konforma fältteorier är tvådimensionella CFT:er så att verkan av Virasoro-algebrageneratorn $L_{0}$ på spektrumet inte är diagonaliserbar. Speciellt kan spektrumet inte byggas enbart från representationer med lägsta vikt . Som en konsekvens kan korrelationsfunktionernas beroende av fältens positioner vara logaritmiskt. Detta står i kontrast till det kraftliknande beroendet av två- och trepunktsfunktionerna som är associerade med representationer med lägst vikt.

Kritisk Q-state Potts modell

Den kritiska $Q$ -tillstånd Potts-modellen eller kritiska slumpmässiga klustermodellen är en konform fältteori som generaliserar och förenar den kritiska Ising-modellen , Potts-modellen och perkolation . Modellen har en parameter $Q$ , som måste vara heltal i Potts-modellen, men som kan ta vilket komplext värde som helst i den slumpmässiga klustermodellen. Denna parameter är relaterad till den centrala laddningen med

$Q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\qquad {\text{with}}\qquad c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{ -2}\ .$

Specialvärden för $Q$ inkluderar:

$Q$	$c$	Relaterad statistisk modell
$0$	$-2$	Enhetligt spännande träd
$1$	$0$	Perkolering
$2$	${\frac {1}{2}}$	Ising modell
${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$	${\frac {7}{10}}$	Tricritical Ising-modell
$3$	${\frac {4}{5}}$	Tre-stats Potts modell
$2+{\sqrt {2}}$	${\frac {25}{28}}$	Trikritisk Potts-modell med tre tillstånd
$4$	$1$	Ashkin-Teller modell

Den kända toruspartitionsfunktionen antyder att modellen är icke-rationell med ett diskret spektrum.

Vidare läsning

•   P. Di Francesco, P. Mathieu och D. Sénéchal, Conformal Field Theory , Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-94785-X .
• Conformal Field Theory i String Theory Wiki listar böcker och recensioner.
• Ribault, Sylvain (2014). "Konform fältteori på planet". arXiv : 1406.4290 [ hep-th ].