Langlands dubbelgrupp
I representationsteorin , en gren av matematiken, är Langlands dubbla L G av en reduktiv algebraisk grupp G (även kallad L -gruppen av G ) en grupp som kontrollerar representationsteorin för G. Om G definieras över ett fält k , så är L G en förlängning av den absoluta Galois-gruppen av k med en komplex Lie-grupp . Det finns också en variant som kallas Weil-formen av L - gruppen , där Galois-gruppen ersätts med en Weil-grupp . Här indikerar bokstaven L i namnet också sambandet med teorin om L-funktioner , särskilt de automorfa L-funktionerna. Langlands dual introducerades av Langlands (1967) i ett brev till A. Weil .
L - gruppen används flitigt i Langlands gissningar av Robert Langlands . Det används för att göra exakta påståenden från idéer om att automorfa former i viss mening är funktionella i gruppen G , när k är ett globalt fält . Det är inte exakt G med avseende på vilka automorfa former och representationer som är funktionella, utan L G . Detta ger mening med många fenomen, som att "lyfta" former från en grupp till en annan större, och det allmänna faktum att vissa grupper som blir isomorfa efter fältförlängningar har relaterade automorfa representationer.
Definition för avskiljbart slutna fält
Från en reduktiv algebraisk grupp över ett separerbart slutet fält K kan vi konstruera dess rotdatum ( X * , Δ, X * , Δ v ), där X * är gittret av tecken i en maximal torus, X * det dubbla gittret (givet av 1-parameters undergrupper), Δ rötterna och Δ v rötterna. En sammankopplad reduktiv algebraisk grupp över K bestäms unikt (upp till isomorfism) av dess rotdatum. En rotdatum innehåller något mer information än Dynkin-diagrammet , eftersom det också bestämmer gruppens mittpunkt.
För vilken rotdatum som helst ( X * , Δ, X * , Δ v ), kan vi definiera en dubbelrotdatum ( X * , Δ v , X * , Δ) genom att byta tecken med 1-parameters undergrupper och byta rötter med rötterna.
Om G är en ansluten reduktiv algebraisk grupp över det algebraiskt slutna fältet K , då är dess Langlands-dubbelgrupp L G den komplexa anslutna reduktiva gruppen vars rotdatum är dubbel med G .
Exempel : Langlands dubbla grupp L G har samma Dynkin-diagram som G , förutom att komponenter av typ B n ändras till komponenter av typ C n och vice versa. Om G har trivialt centrum så är L G helt enkelt anslutet, och om G helt enkelt är anslutet så har L G trivialt centrum. Langlands-dualen av GLn ( K ) är GLn ( C ) .
Definition för grupper över mer generella fält
Antag nu att G är en reduktiv grupp över något fält k med separerbar förslutning K . Över K har G ett rotdatum, och detta kommer med en handling från Galois-gruppen Gal ( K / k ) . Identitetskomponenten L Go i L - gruppen är den anslutna komplexa reduktiva gruppen för dubbelrotdatan; detta har en inducerad verkan av Galois-gruppen Gal ( K / k ). Hela L -gruppen L G är den halvdirekta produkten
- L G = L G o × Gal ( K / k )
av den anslutna komponenten med Galois-gruppen.
Det finns några varianter av definitionen av L -gruppen, enligt följande:
- Istället för att använda hela Galois-gruppen Gal ( K / k ) för den separerbara förslutningen, kan man bara använda Galois-gruppen med en finit förlängning över vilken G delas. Den motsvarande halvdirekta produkten har då endast ett ändligt antal komponenter och är en komplex Lie-grupp.
- Antag att k är ett lokalt, globalt eller ändligt fält. Istället för att använda den absoluta Galois-gruppen av k kan man använda den absoluta Weil-gruppen , som har en naturlig karta till Galois-gruppen och därför också verkar på rotdatumet. Motsvarande halvdirekta produkt kallas Weil-formen av L -gruppen.
- För algebraiska grupper G över ändliga fält introducerade Deligne och Lusztig en annan dubbelgrupp. Som tidigare G ett rotdatum med en verkan av den absoluta Galois-gruppen i det finita fältet. Den dubbla gruppen G * är då den reduktiva algebraiska gruppen över det finita fältet som är associerat med dubbelrotdatan med Galois-gruppens inducerade verkan. (Denna dubbla grupp definieras över ett ändligt fält, medan komponenten i Langlands dubbla grupp definieras över de komplexa talen.)
Ansökningar
Langlands gissningar antyder, mycket grovt, att om G är en reduktiv algebraisk grupp över ett lokalt eller globalt fält, så finns det en överensstämmelse mellan "bra" representationer av G och homomorfismer av en Galois-grupp (eller Weil-grupp eller Langlands-grupp ) till Langlands dubbla grupp av G . En mer allmän formulering av gissningarna är Langlands funktionalitet , som säger (ungefär) att givet en (väluppfostrad) homomorfism mellan Langlands dubbla grupper borde det finnas en inducerad karta mellan "bra" representationer av motsvarande grupper.
För att göra denna teori explicit måste det definieras begreppet L -homomorfism av en L -grupp till en annan. Det vill säga att L -grupper måste göras till en kategori , så att "funktionalitet" har betydelse. Definitionen av de komplexa Lie-grupperna är som förväntat, men L -homomorfismer måste vara "över" Weil-gruppen.
- A. Borel , Automorfa L-funktioner , i automorfa former, representationer och L-funktioner , ISBN 0-8218-1437-0
- Langlands, R. (1967), brev till A. Weil
- Mirković, I.; Vilonen, K. (2007), "Geometric Langlands dualitet och representationer av algebraiska grupper över kommutativa ringar", Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95–143, arXiv : math/0401222 , doi : 10.4007/annals. 2007.166.95 , ISSN 0003-486X , MR 2342692 beskriver den dubbla gruppen av G i termer av geometrin för den affina Grassmannian av G.